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电磁场矢势和标势从洛伦兹势变换到库仑势的证明
电磁场的标势φ与矢势A具有规范不变性,可以进行规范变换.证明了洛伦兹势经过规范变换成为库仑势.
作者单位：
扬州大学物理科学与技术学院,江苏扬州,225002
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在线出版日期：
基金项目：
扬州大学教改课题资助，扬州大学教改课题资助
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2-1 标势及其方程
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2-1 标势及其方程
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第二章& 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(1)
本章对麦克斯韦方程组进行了仔细的分析，引入静电场的标势和静磁场的矢势概念，对其泰勒展开式进行讨论，引入电偶极矩、磁偶极矩及电四极矩概念；讨论了讯变电磁场的矢势和标势，引入了推迟势的概念。对推迟势进行泰勒级数展开，研究电磁辐射的性质。
1. 静电场的标势& 在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---1）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---2）（2.1---1）式表式静电场的无旋性，（2.1---2）式表式自由电荷分布ρ是电场E的源。这两方程是解决静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势φ来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。无旋性的积分形式是电场沿任意闭合回路的环量等于零，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---3）设C1和C2为由P1点到P2电的两条不同路径。C1与-C2构成闭合回路，因此&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 因此，电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，而只和两端点有关。把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所作的功为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 这功定义为P1点和P2点的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势φ下降。由此，&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---4）由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。
相距为 d l的两点的电势差为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 由于&&&&&&&&&&&&&&&&& 因此，电场强度E等于电势φ的负梯度&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---5）
只有势的差值才有物理意义。但在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考点，规定其上的电势为零，这样整个空间的电势就单值地确定了。参考点的选取是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷点作为参考点。令φ(∞) =0，由（2.1---4）式得&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---4a）
公式（2.1---4）和（2.1---5）是电场强度和电势相互关系的一般公式。由这些公式，当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。
下面我们计算给定电荷分布所激发的电势。已知点电荷Q激发的电场强度为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向由场点到无穷源点积分，把积分变数写为r'，由（2.1---4a）式得&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---6）
由电场的叠加性，多个电荷激发的电势φ等于每个电荷激发的电势的代数和。设有一组点电荷Qi ，与场点P的距离为ri ，则这组点电荷激发的电势为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
若电荷连续分布，电荷密度为ρ ，设r为由源点x' 到场点x的距离（参看图1-1），则场点x处的电势为&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---7）
由上式，假如空间所有电荷分布都给定，电势φ，因而电场E就完全确定。但是实际情况往往不是所有电荷分布都能够预先给定的。例如，在某一给定电荷附近放着一个导体，则导体表面上就会产生感应电荷分布，这个电荷分布正是要从电场与电荷相互作用的规律求出来，而不是预先给定的。由于导体表面上的电荷分布是未知数，因而就不能应用（2.1---7）是来计算空间中的电势和电场。问题在于（2.1---7）式只反映电荷激发电场这一方面，而没有反映场对电荷作用的方面。在上述例子中，实际上包括了下面一些物理过程：给定电荷激发了电场，电场作用到导体自由电子上，引起它们运动，使电荷在导体上重新分布，最后在总电场（包括给定电荷和导体上感应电荷激发的电场）作用下达到平衡静止状态。在这静止状态下，导体表面上的感应电荷由确定的分布密度，而空间中的电场也同时确定。由这例子看出，电荷和电场是互相制约着的。一方面感应电荷的出现是由电场引起的，另一方面电场又受到感应电荷的影响。我们要同时解出这问题中的电场和感应电荷密度，就必须再深入一步，研究一个电荷对它邻近的电场是怎样作用的，一点上的电场和它邻近的电场又是怎样联系的，既要找出电荷和电场相互作用规律的微分形式，而在导体表面或其它边界上场和电荷的相互关系则由边值关系或边界条件反映出来。这种问题在数学上称为边值问题，即求微分方程满足给定边界条件的解。下面我们来研究这问题。
2. 静电势的微分方程& 把（2.1---5）式代入（2.1---2）式得&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---8）ρ为自由电荷密度。上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松（Poisson）方程。给定边界条件就可以确定电势φ的解。
可以验证，电势
是泊松（Poisson）方程
的一个特解。
在各种边界条件下泊松方程的解法将在第四章讨论。
3．静电场的能量& 由第一章第4节可知，在真空中静电场的总能量为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---9）在静电场情形下，W可以用电势和电荷分布表出。由 E = -▽φ 和 ▽· E = ρ/ε0& 得&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =因此，&&&&&&&&&&&&&&& 式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分（见附录Ⅰ.7式）面积分遍及无穷远界面。由于 φ ~1/r ，E ~1/r2，而面积 ~r2，所以面积分当 r → 0时趋于零，因此&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---10）
这公式是通过电荷分布和电势表示出来的静电场总能量。注意这公式只有作为静电总能量才有意义，不应该把看作能量密度，因为我们知道能量分布于电场内，而不仅在电荷分布区域内。
（2.1---10）式中的φ 是由电荷分布ρ 激发的电势。由（2.1---7）和（2.1---10）式可以得到电荷分布ρ 所激发的电场总能量&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---11）式中r为x与x ' 点的距离。
我们可以应用（2.1---9）—（2.1---11）各式中任一公式来计算静电场总能量。在静电场中之所以能够通过电荷分布来表示电场能量，是因为在这情况下电场决定与电荷分布，在场内没有独立的运动，因而场的能量就由电荷分布决定。在非恒定情况下，电场和磁场互相激发，其形式就是独立于电荷分布之外的电磁运动，因而场的总能量不可能完全通过电荷或电流分布表示出来。由第一章第4节我们知道（2.1---9）是普遍情况下仍然可以表示电场的能量，但（2.1---10）和（2.1---11）式只在静电场情况下成立。
例1& 求均匀电场 E0 的电势。
解&& 均匀电场每一点强度 E0 相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 φ0 ，由（1.4）式求得任一点P处的电势&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---12）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
x为P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选 φ（∞） = 0。若选 φ0= 0 ，则有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
例2& 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为 τ ，求电势。
解&& 如图2-2，设场点P到导线的垂直距离为R，电荷元τdz到P点的距离为 （ z2 +R2 ）1/2 ，由（2.1---7）式得&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 积分结果无穷大。无穷大的出现和电荷不是有限区域内的分布有关。计算两点P和P0 的电势差可以不出现无穷大。设P0 点与导线的垂直距离为R0 ，则P点和P0 点的电势差为&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.1---13）若选 P0 点为参考点，规定 φ（R0）= 0，则&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
取 φ 的梯度得用高斯定理也可以得出这结果。&&&&&&&&&&&&&&&& ,
例3& 求带电量Q 、半径为a的导体球的静电场总能量。
解&& 导体球的电荷分布于球面上，整个导体为等势体。用（2.1---10）式求总能量最为方便。球面上的电势为φa =Q/4π ε0 a ，因此静电总能量为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 静电总能量也可以由（2.1---9）式求出。因为球内电场为零，故只须对球外积分&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&
课下作业：教材第72页，14、15。
14、画出函数的图：说明是一个位于原点的偶极子的电荷密度。
15、证明：
（若a&0，结果如何？）
补充题8：对静电场，为什么能引入标势，并推导出的泊松方程。& 上传我的文档
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