设线段AB=6,直线AB于平面α所成的角为0度,求线段AB在平面α内的射影长这道题的答案应该是6还是0和6呢?还有一种情况是如果线段在平面内呢?那样是不是就为0了?
射影长=线段AB×cosα当α＝0度 cosα=1则射影长AB＝6×1＝6
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扫描下载二维码　　摘 要：同一平面内两条直线的位置关系有哪些？本文分析了常见的不同观点，提出同一平面内两条直线的位置关系应包括重合，并介绍了自己的有效教学实践，对一线老师有一定的借鉴意义。
　　关键词：小学数学教学;平行;相交;重合 　　一、提出D同一平面的两条直线会重合吗 　　“同一平面内的两条直线不是平行就是相交”这句话对吗？在教学研讨活动中，老师们对此各执己见。综合不同的观点，问题焦点集中于“同一平面的两条直线的位置关系是否包含重合”。主要的观点有三个：一是“无视重合”论。认为两条直线重合后就是一条直线。如果重合后仍算两条直线，那么“经过两点就可以画两条（甚至更多）直线”，这与“两点定一线”是相悖的。所以，重合后就是一条直线，若有两条直线，就不包括重合。因此，同一平面的两条直线，只有相交和平行两种关系。二是“重合特殊”论。持这种观点的老师，从教材结语“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线” 出发（人教版数学四年级上册56页），认为同一平面的两条直线不是平行就是相交。而关于“重合”，一部分老师认为这是特殊的平行，即两条直线之间的距离为0的平行;另一部分老师认为这是特殊的相交，即两条直线的交角为0度或180度。三是“重合单列”论。认为重合就和相交、平行一样，是同一平面内两条直线的一种正常位置关系。同一平面内两条直线的位置关系并列为三种：相交、平行和重合。 　　二、问题辨析D同一平面两条直线可以重合 　　众说纷纭中，我认为：同一平面内两条直线的位置关系应该包括“重合”。 　　1.操作验证 　　在教学同一平面内两条直线的位置关系时，很多老师都会从操作引入。如用两根小棒在桌面上摆出不同的位置关系;或用黑、灰两条线段，表示两条直线，然后在纸上画出不同的位置关系。无论是实物操作，还是画图，都有很多同学把两条线段（表示直线）摆（或画）在一起（如图1左），或是把它们摆（画）在同一直线上（如图1右）。这不都表示两条直线的重合关系吗？ 　　2.经验迁移 　　“无视重合”论的老师认为，两条直线重合就成一条直线了，所以，提到两条直线，就不包括重合的关系。果真“合二”就“为一”了吗？不是的。两个物体虽然重合了，但不能因为位置的单一性而否定同一位置上事物的多样性。这与“两点定一线”也是不相违背的，因为“两点定一线”研究的是单一的位置，而重合是指“两个或两个以上的几何图形占有同一个空间”。两条直线既然已经前提存在，可能重合就应该是一种正常的位置关系。 　　3.集合分类 　　从实践和经验层面看，重合都是确实存在的，但可否列为特殊的平行或相交呢？这要联系到事物的分类，根据同一平面两条直线的交点个数，我们可以分为三种情况： 0、1和无限。当交点为0时，两条直线平行;当交点是1时，两条直线相交;当交点为无限时，两条直线重合。类似的三分法，在小学阶段也不少见。因此，重合与平行、相交应该是相对的，并不是包含关系。 　　综上，同一平面内两条直线的位置关系有三种：重合、相交、平行。 　　三、教学处理 　　1.理解教材意图，突出教学重点 　　在众多版本的小学数学教材中，都没有明确涉及两条直线的重合关系，甚至在初中、高中也鲜有涉及。在教学中，重合作为一种特殊的位置关系，没有太多的研究价值，因此在教学中一般不作研究。但这并不是否定“重合”的存在。在教学中，我们可以对重合关系不作过多渲染，而把重点放在平行和相交（垂直）的认识上。但如果学生提出，我们应该作出肯定的回应。 　　2.正视重合关系，促进迁移比较 　　重合，作为同一平面内两条直线的一种位置关系，在教学中往往不可避免。我们要正视这种关系，对学生给予恰当的引导。尤其是重合关系在小学阶段有许多类似的迁移引用，因此，认识两条直线的重合关系，再迁移比较，可以为学习同类知识作铺垫。如学生提出并认识了重合关系后，可引导学生思考：以前的学习中，哪里有过类似的重合关系？通过联系比较，学生不仅认识了重合，还加深了对相关知识的理解。 　　四、教学尝试 　　（1）组织学生动手操作：用两根小棒表示直线，在桌面上摆出不同的位置，然后用图表示出来。 　　（2）学生汇报，对比整理：学生汇报操作结果，教师引导学生对比，整理并列出常见位置关系图：（如图2） 　　（3）引导学生分类，认识重合、相交和平行。 　　师：能把这几种情况进行分类吗？ 　　生1：可分成两类：一种是有交叉的，还有一种是没有交叉的。（如图3） 　　师：有不同意见吗？ 　　生2：我觉得①和⑦也是交叉的，因为这些线段表示的是直线，可以无限延长，延长以后它们就交叉了。（教师根据学生回答，调整分类图如图4） 　　生3：我觉得⑥也会交叉。 　　生4：不是交叉，⑥的两条线段延长后会重合到一起。还有⑧也是这样的。 　　师：也就是说，（调整分类图如图5）要这样分类？ 　　生4：是的。 　　师：⑥和⑧是交叉吗？ 　　生5：不是，交叉时，中间只有一个点，而⑥和⑧是完全重合在一起。 　　师：哦，是的，这两条直线重合在一起了，就像我们认识时间的时候D 　　生6：12点时，时针与分针重合。 　　师：还有，我们在量线段长度的时候，直尺的边要与线段D 　　生7：对齐，哦，是重合。 　　师：对的，同一平面的两条直线，像⑥和⑧这样，两条直线重合在一起了，我们把这种位置关系叫做重合;而像①②⑤⑦这样，我们把这种位置关系叫作相交，交叉的一点叫作交点;像③和④这样，不相交的两条直线叫作平行线。因此，在同一平面内，两条直线就可能是D 　　生：重合、相交、平行。 　　…… 　　以上教学充分结合学生的操作经验和已有知识，条理清晰又易于理解，学生学得自然而深刻，浅显而易懂。避免了模棱两可、似是而非的认识，又与前面所学连成一体，还可为后面学习奠基，更能体现数学学习的连贯性、一致性。 　　参考文献： 　　[1]人民教育课程教材研究所.义务教育教科书数学四年级上册[M].北京：人民教育出版社，2014. 　　[2]徐 颖.由“同一平面内两条直线间的位置关系”引发的问题探究[J]. & 小学教学（数学版），2010（03）. 　　（作者：福建省武平县象洞中心学校）
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&相关文章:求直线x+y+3z=0,x-y-z=0与平面x-y-z+1=0的夹角.
迷醉ggMR99
设z=t,得到x=-t,y=-2t,直线的方向向量为a=(-1,-2,1),平面的法相量为b=(1,-1,-1)cos=|a*b|/|a||b|=0所以夹角为90度
为什么要设z？直接用n1=(1,1,3),n2=（1，-1，-1），n1*n2=(2,4,-2)做直线的方向向量不对吗？
n1×n2的结果是同时垂直于n1,n2的向量，当然是直线的方向向量，方法是可以多样的，目的只是求方向向量而已
但是为什么结果不一样呢
而且90度好像也不对
书上答案是φ=0啊 也就是0°啊
不好意思，说错了，最后cos=0表示直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么直线和平面是平行的关系
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直线为x+y=0
扫描下载二维码如图，直线l：y=kx+6分别于x轴，y轴交于E、F点，点E的坐标为（-4，0）．若点A的坐标为（-3，0），点P（x，y）是平面内的一个动点．（1）求k的值；（2）若点P在直线l上（与点E不重合），试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；（3）是否存在横坐标为-4的点P，使得S△EFP=10？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案：解：（1）将点E（-4，0）代入，可得0=-4k+6，解得：k=；（2）①当点P在x轴上方时，即x＞-4时，点P的纵坐标=x+6，S=OA×P纵坐标=×3×（x+6）=x+9；②当点P在x轴下方时，即x＜-4时，点P的纵坐标=-x-6，S=OA×P纵坐标=×3×（-x-6）=-x-9；（3）假设存在点P（-4，y），由题意得：S△EFP=10，则×4×|y|=10解得：y=±5，故存在点P，坐标为（-4，5）或（-4，-5）．
点评：本题考查了一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式及三角形的面积，对于存在形问题一定要假设存在，求出结果后再判断，难度较大．
分析：（1）将点E的坐标代入一次函数解析式即可得出k的值．（2）分段表示，①当点P在x轴上方时，②当点P在x轴下方时，分别表示出点P到x轴的长度，继而可表示出△OPA的面积S与x的函数关系式．（3）设点P的坐标为（-4，y），根据△EFP的面积为10，可得出方程，解出即可得出点P的坐标．
&&评论 & 纠错 &&同一平面内，两条直线的位置关系有几种？--秦淮周萍
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同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:秦淮周萍
今天在南师附小听了王凌老师的课，在课中概括出了在同一平面内两条直线的位置关系有相交、平行、重合。为什么书上只给出了相交、平行两种关系，我也问了学校的其他教中高年级的老师，大家都说以前的书上也没有出示过重合的概念。“重合”有没有交点？如果有无数个交点，重合算不算相交的一种？那么“同一平面内，两条直线可以不平行也不相交”这句话就是对的了？我们几人都困惑了！书上给出的平行的定义“同一平面内，不相交的两条直线互相平行，”中所提的“不相交的两条直线互相平行”不是和三种分类矛盾了吗？因为不相交的情况还有平行和重合，按这样推理不就可以说重合也是平行了吗？
到底怎么回事？头昏！！！
Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:无所谓(游客)
专家回答一下吧
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:小点点(游客)
到高中就知道了，重合是平行的特殊情况。
Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:墨墨(游客)
平行包括重合
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:草石(游客)
根据课本平行与相交的定义，是以两条直线交点个数确定的。我们把两条直线的交点个数进行分类：没有交点就是平行；有一个交点就是相交；有两个及其以上交点就是重合。这样应该比较容易理解。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:草石(游客)
根据课本平行与相交的定义，是以两条直线交点个数确定的。我们把两条直线的交点个数进行分类：没有交点就是平行；有一个交点就是相交；有两个及其以上交点就是重合。这样应该比较容易理解。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:老师(游客)
现在,我来解释一下为什么两条直线的位置关系不包括重合,用反证法,如果包括重合,那么两条直线重合后,还因该是两条直线,但是数学中规定,两条直线重合是一条直线,所以重合应该排除在外,也就是说;同一平面内,两条直线位置关系有两种;相交,平行.
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:zzz(游客)
当两条直线做好相交,平行的动作后,仍是两条直线,而两条直线重合,则是一条直线,若是两条直线的位置关系包括重合,那么,反过来看,一条直线也能看作几条直线的结合体,与上文&两条直线'不符,所以,同一平面内,两条直线位置关系有两种;相交,平行.
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:杨(游客)
以下引用鲁QQ(游客)在 15:46:00发表的评论: 书本对相交线的定义为:&如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交&对平行线的定义为:&在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.&结合相交线的定义[i]不相交[/i]我们可以理解成&两条直线没有一个公共点或有两个或两个以上的公共点&显然重合是两条直线有无数个公共点即属于有两个以上的公共点,所以我认为重合应该属于平行中的特殊情况.即平面内,两直线的位置关系只有两种:平行和相交.不错，我认同！
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:高压危险(游客)
还是三种的好
理由就是：我该怎样解释零度角和周角呢
零度角是两条射线重合
周角也是吧
那样的话学生好理解了就
有重合就能解释这个问题了
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:振江(游客)
要是有个权威的专家发表下意见就好了 我们的教材不知道怎么搞的 老是出现这样的问题 像还有个问题 扩大1倍 和扩大2倍怎么区分 不知道教材编者考虑过这事没
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:蒋守成
平行是同一平面内没有公共点的两条直线。
相交是在同一平面内有且只有一个公共点的两条直线。
重合可以看着一条直线，不把它放在两条直线的位置关系讨论。
Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:蒋守成
平行是同一平面内没有公共点的两条直线。
在同一平面内有且只有一个公共点的两条直线。
重合可以看着一条直线，不把它放在两条直线的位置关系讨论。
Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:蓝贝儿老师(游客)
我认为同一平面内，两条直线的位置的确有三种，首先我的教案上就是这样讲的。我个人也认为是的。平行、相交、重合这三种关系是不能等同的。只不过小学生为细致研究而已。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:妮妮(游客)
我也感到很困惑，谁能请示一下数学界的权威，明确一下说法，急盼！！！！！！！！！！
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:唉(游客)
同一平面内两直线的关系最好明确下,在小学是两种还是三种
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:<span id="n_5(游客)
请那个 专家来解这个疑惑 ，我看的是一头雾水
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:访客01Uh84(游客)
几种关系，要看是在那个学习阶段，小学初中阶段应该是两种。即相交和平行。在高中阶段应该是三种。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:访客01Uh84(游客)
我认为两种好一些
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:访客qUl8OB(游客)
一直以来我也在寻找答案，我认为两条直线重合时就变为一条直线了，所以平面内两条直线的位置关系应该只有两种（初中范围内）：相交、平行。至于一些特例，在不同的学段有不同的要求，知识是在不断加深的，学生也应该能理解。另外我们的教材是在不断完善的，我相信以后的教材会越来越好。教学过程中，我们不必把问题弄得复杂化
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:小熊猫(游客)
今天,我正好给学生讲到这个知识,我支持三种关系
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:桐乡数学网(游客)
讨论的老师大家好: 大家有兴趣听听桐乡数学网意见的话.请联系qq:,电话:
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:谭友兵(游客)
我认为分三种情况为好,及同一平面内,两条直线的位置关系分为平行、相交、重合。否则会出现下面的矛盾：当相交的两条直线夹角是０度时就重合，可以把重合看成是特殊的相交；当平行的两条直线的距离为０时就是平行，重合又是特殊的平行了。那么重合既是平行又是相交了，相矛盾了。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:HLLHLL(游客)
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:小号(游客)
我认为还是分为平行，相交，重合的好，如果到了高中，判断两直线 2x＋3y＋5＝0和4x+6y+10=0的位置关系，怎么回答。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:鲁QQ(游客)
书本对相交线的定义为:&如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交& 对平行线的定义为:&在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.&结合相交线的定义[i]不相交[/i]我们可以理解成&两条直线没有一个公共点或有两个或两个以上的公共点&显然重合是两条直线有无数个公共点即属于有两个以上的公共点,所以我认为重合应该属于平行中的特殊情况.即平面内,两直线的位置关系只有两种:平行和相交.
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:xzpzzh(游客)
平行、相交、重叠
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:<span id="n_2(游客)
我认为这是一个悖论，没有准确答案。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:流浪无声(游客)
同一平面内，两条直线的位置关系本来就有三种:平行,相交和重合.不知为什么要回避重合这种位置关系呢?现行教材就是有点怪怪的!
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:人(游客)
我想问小学生教材里为啥是只有两种情况?
Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:飞云(游客)
到底是相交、平行两种还是相交、平行、重合三种呵？
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:龚&道(游客)
我认为对小学生来说还是两种的较好。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:王凌(游客)
早几天得到南京师范大学数学系涂荣豹教授的回复：平面内两条直线的位置关系确实分为平行、相交和重合三种。
我的想法现在就比较明确了，在小学阶段，我们进行教学时可以就平行与相交为主进行教学。如果有学生提到重合，则给予肯定；如果没有学生提到重合，则不谈重合。
另外，重合既不是平行，也不是相交。所以有的老师提到所谓特殊的平行或特殊的相交是不成立的。
我已经修改了教案并在南湖一小重新进行了教学，感觉还可以。等朱老总回国，会请他在博客放视频的。到时再请老师们提意见。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:林中之师(游客)
怎么没有人帮助解决这个问题的
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:陆艳军(游客)
在教学本课时，我遇到了同样的问题，而且这个问题是学生主动提出来的。对于这个问题，我也感到非常疑惑，希望有关数学专家能帮助解决这个问题。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:秦淮周萍
学习的氛围好浓哦，开心！向各位学习！
王特亲自指导，有利于大家深入讨论
短短两天，本文竟然被浏览了100次，回复也多达15篇，看出大家对这个问题的关注。今天王特亲自前来，肯定有助于深入研讨。如果大家还想再回顾一下课堂，请前往下面的地址观看。
Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:王凌(游客)
大家听了课，特别是周老师，头都昏了，我真是抱歉。记得下次听我的课要带治疗头昏的药。呵呵！！！
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:王凌(游客)
老师们在上课的时候，不必考虑重合这种情况。今天问了读数学系的学生，回答仍然是在不重合的前提下研究两条直线的位置关系，至于为什么这样规定，他们说老师和书上都是这样说的。
昨晚与赵东京老师通了电话，他也在查找相关资料。
对于问题，我的态度是不怕出现问题，就怕不出现问题。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:游客(游客)
先打个招呼，我是王凌。
同一平面内两条直线的位置关系确实本不是问题，却又确实成为了问题。
在各类教学参考用书上都写明：在同一平面内，不重合的两条直线，位置关系有相交和平行。
备课时就产生了疑惑：如果不谈“不重合”这一前提，那么两条直线的位置关系究竟有几种？因为相交这一课时就是围绕两条直线的位置关系来进行的。原本，正如上面老师所谈的：按教材上的内容进行，就没有问题了。但是在试教的时候，学生中确实又出现了画出重合的情况。这就不得不让我再次面对问题：究竟有几种位置关系？重合究竟算不算？再看书得不到答案；请教他人，所得的结论与书上一致，都说有三种，但是重合一般不研究。
从他人的回答中我妄自推断：一般不研究重合，并不表示没有重合。所以就有了课上的一幕。从而也就带来了问题。
通常的论断是这样描述的：同一平面内，首先看两条直线重合不重合分为两类。再在不重合的这类中分为相交与平行；最后在相交中分为垂直与斜交。
课上那样分，现在得到的答复是：一般我们不这样分。但是这样分算不算错，也没有得到答复。我也在等待。毕竟把问题弄清楚了，这才是最重要的。
此外，重合可能不能看成是相交。因为相交的两条直线只有一个公共点，而重合是有无数个公共点。至于重合是否能看成特殊的平行，这个我就不敢说了。
最后，正如上面老师说的：特级不是“唯一”。特级同样也会有问题，特级还是和大家一样的老师，希望老师们不要将特级神化，最起码不要将我神化，否则就会成为脱离现实空洞虚无的神话。
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Re:同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
作者:尝试(游客)
我认为同一平面内重合的两条直线其实应该就是一条直线，上课当天王老师在画这两条直线的时候也就是在同一条直线的位置画了两段。况且在学生中间并没有出现这样的理解，在小学阶段是否可以不和学生讨论这样的问题。这仅是我听课时的感受，不知说得是否正确。
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