是逻辑造就了数学还是数学造就了逻辑？
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从历史和逻辑的角度来说，当然是逻辑造就了高等生物造就了数学。然而数学也反过来造就了更严密的现代逻辑(数理逻辑)，熟知的哥德尔不完备。而且我们也发现了选择公理这样的宏观化好像会产生悖论的逻辑，(我们的日常不需要与无限打交道，不代表逻辑与无限无关)所有现代学科都需要公理化的根基和严密的逻辑来构造一个完善的系统。构造数学大厦当然也需要逻辑，但用到的逻辑是仅仅是数理逻辑。 数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分(分支)，我们如今发展数学并不直接用所谓的逻辑，而是用我们提炼出来的数理逻辑。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。逻辑学是以概念、命题、推理、证明等为研究对象的科学。我们先来浏览一下《 逻辑学导论》的目录：第一部分逻辑与语言第1章逻辑学的基本概念1.1什么是逻辑学1.2命题与语句1.3论证、前提与结论1.4论证的分析1.5论证的辨识1.6论证和说明1.7演绎和有效性1.8归纳和或然性1.9有效性和真实性1.10复杂的论证性语段1.11推理第1章概要第2章语言的用法2.1语言的三种基本功能2.2多功能话语2.3话语形式2.4情感词汇2.5一致与歧见的种类2.6情感中性语言第2章概要第3章定义3.1论争、言辞之争与定义3.2定义的类型和论争的解决3.3外延和内涵3.4外延定义3.5内涵定义3.6属加种差定义的规则第3章概要第4章谬误4.1什么是谬误？4.2相干谬误4.3预设谬误4.4含混谬误第4章概要第二部分演绎第5章直言命题5.1演绎理论5.2直言命题及其类别5.3质、量与周延性5.4传统对当方阵5.5其他直接推论5.6存在含义与直言命题的解释5.7直言命题的符号系统与图解第5章概要第6章直言三段论6.1标准式直言三段论6.2三段论论证的形式性质6.3检验三段论：文恩图解法6.4三段论规则和三段论谬误6.5直言三段论的15个有效形式6.6直言三段论15个有效形式的演绎推导第6章概要第7章日常语言中的论证第8章符号逻辑第9章演绎方法第三部分归纳第11章类比与或然推理第12章因果连接：实验探求的密尔方法第13章科学和假说第14章概率部分练习题解答术语/索引译者后记会发现符号逻辑即数理逻辑仅是草草带过。他俩的关系就像国际物理学规划总部和奋斗在大型原子对撞机的研究员一样的区别举个例子，牛顿的经典运动学加上光速不变原理(不严谨地说)可以发展出相对论，就像我们的逻辑加上平行边永不相交公理及若干9条发展出欧几里得几何一样。逻辑的作用大概和公理一样，但是又很特殊，每个学科(比如数学分支)会有不同的公理，但是我们平常所说的逻辑便是所有学科都共有的公理
“逻辑”一词是有多重含义的，比如它可以指称“逻辑学”，也可以指称“逻辑思维”。逻辑学是一门研究逻辑思维的形式结构的学科，公认是由亚里士多德在两千多年前创立的，而逻辑思维是人的一种本能；逻辑学与逻辑思维的关系是研究与被研究的关系，它们二者显然是不同的。因此，这个问题中的“逻辑”是什么含义是需要进一步澄清的，否则说了半天大家在讨论的可能根本不是同一个问题。
如果问题中的“逻辑”是指逻辑学，那么可以说，是数学造就了现代逻辑学，而现代逻辑学又进一步造就了现代数学，它们是相辅相成的。首先可以明确的一点是，无论是数学还是逻辑学，这两门学科都还在发展之中，因而我们需要用历史的眼光来讨论它们之间的关系。逻辑和数学都是两门非常古老的学科，它们的诞生是相互独立的，不存在谁造就谁的情况。逻辑学在经亚里士多德创立之后，直到弗雷格之前，其内容基本上都是固定的，没有太大的变化，甚至在某种程度上可以说逻辑学的发展陷入了停滞（这个阶段的逻辑学现在通常被称为传统逻辑学）。但是，数学在其诞生之后一直到现在都在生生不息的发展之中，并且在莱布尼兹提出用数学方法改造逻辑学的想法，以及弗雷格践行了莱布尼兹的这一想法之后，数学终于为逻辑学的发展带来了革命性的改变，使现代逻辑学慢慢地建立起来并逐渐地对数学造成影响，最终反过来又造就了现代数学。现代逻辑学的核心是形式化、公理化的一阶逻辑。一阶逻辑是最抽象、最严格的纯演绎体系。为什么是纯演绎的呢？因为一阶逻辑就是演绎本身，除了演绎之外没有任何其它实质的内容，任何科学只要是演绎的都要受到一阶逻辑的规范。我们知道，数学也是高度抽象、高度严格的演绎体系，因而，在出现了比原先数学更加抽象、严格的一阶逻辑之后，数学家们就试图把数学建立在一阶逻辑的基础之上。如在一阶逻辑的公理中加入具有实质含义的集合论公理，并因此得到公理化集合论；在集合论的基础上，数学家们建立起了现代自然数理论，在现代自然数理论上又建立起了实数理论，并最终建立了大部分数学。这是数学基础研究中获得极大成功的逻辑主义的基本主张（逻辑主义试图将数学还原为一阶逻辑）。虽然现在并非所有的数学都能被还原为一阶逻辑，但就目前来讲我们仍然可以说，是现代逻辑学造就了现代数学。
如果问题中的“逻辑”是指逻辑思维，那么说“数学造就了逻辑”肯定是错的，因为数学只是一门学科，是人类的知识积累的成果，而这些成果是人依靠自己的天赋能力获得的，这其中就包括逻辑思维能力。可以说，在必要条件上的含义上，逻辑（逻辑思维）以及人的其它天赋能力（如创造力等）一起造就了数学。逻辑思维造就了数学中的演绎性、严格性、抽象性等，而其它能力如创造力，则造就了数学的创造性、广博性等。但显然我们不能在充分条件的含义上说是逻辑思维造就了数学，因为我们可以说没有逻辑就没有数学，但不能说有了逻辑就一定有数学。我们现在学的数学是西方人的发明，我们说的数学也是指西方的数学，但是同样具有逻辑思维能力的古代中国人并没有发展出西方数学这样的东西，所以我们不能在充分条件的含义上说逻辑造就了数学。
数字逻辑智能的发展
主要结构用的皮亚杰的。
第一阶段，0-3岁，这一阶段属于混沌期，主要任务是感觉的表达，与世界沟通交流的工具的形成，也就是说语言和对世界的初步感知。对结构的初步架设。
第二阶段，3-7岁，这一阶段属于点的积累（前运演阶段）。这一阶段幼儿已经拥有了与世界交流与学习的工具，会进行庞大的基础积累。从表面上看这一阶段儿童并没有积累太多知识，因为这一阶段属于感觉的积累和对框架的填充。这一阶段并不需要急于掌握知识，重要的是感觉的大量积累，通过感觉的大量积累就好像一条线上点了极为大量的点，通过数量极为庞大的点之间的疏密关系，会有一些相似的感觉点聚集到一起，不同的事物会有不同的线，每条线上都会 汇聚大量的点，到了5,6岁（前运演阶段第二水平）开始能对模糊的点进行操作，儿童的逻辑初步形成，过家家 就是孩子在交流中和别人模拟某种情况，就是对模糊的点进行巩固、确定等操作的实例，对感觉的发展有很大帮助。可以比喻成把一个3岁的儿童放在一个赌场里，一个赌场会有几十种赌博方法，他每天都可以去看各个赌台发生了什么，扑克牌，麻将或者其他赌博方式。可以从荷官那里问一些最基础的信息。通过每天的观察，他可以了解到赌博的一些基础关系，然后到了7岁就可以去专门的赌博方式了。他可以运用以前积累的对赌博的感觉快速度掌握各种赌博方式。但是如果3岁的时候就让他在一个赌台上专心学习一种或者几种赌博方式，那么他就没有形成对赌博的基本认识，不利于他掌握所有赌博方式。这一阶段学习和吸收的能力极强，那些所谓的神童，就是在这一阶段不通过感觉对点进行积累，而是直接学习量化的知识。就好像用马赛克画出一个图形，虽然速度快但是非常不细致，过了这一阶段也就错过了点的积累阶段。这类神童以后只能在某一领域做一些常规的工作，这一阶段在以后的人生中非常重要，虽然看上去没学到什么知识，但是积累的大量的感觉，所以不要以为在这个阶段学一些固定的知识就比不学强。这一阶段认识世界的工具是感觉，而不是知识。卡尔?威特、赫伯特?斯宾塞、鲍里斯?塞德兹他们三个都在这里出了问题。而且那些少年班，大概14,15岁就要选大学专业，那时候对周围事物还没有什么判断呢，结果只能继续深入学习，到了大学比别人小好几岁，情感没法正常发展。毕业之后很多很难和别人交流。
一般的孩子也是这样的，如果不想当翻译就不要在13岁之前学习外语，如果不想让孩子 当音乐家就不要让孩子花费太多时间在音乐上。不要让孩子太早专心学习一项内容，尤其是和数学逻辑有关系的，感觉积累阶段尽量让孩子接触一些自然事物，接触一些人，多接触一些有联系的人和事物 。有利于孩子感觉点的积累和对点的操作，一般男孩除了接触人之间的关系还会接触大量的自然事物，而女孩普遍接触的自然事物要少一些，所以点的范围要小不少，所以会比男孩更早形成密集的感觉点，更早的对感觉点进行操作，也就是过家家吧。7岁之后有大量的时间进行知识学习，所以不要急于给孩子教授大量的知识。井深大和蒙台梭利那种从很小就开始让孩子进行系统的学习是不对的，属于强行对量化和固定的知识进行学习。井深大的理论中的那种聪明是定向的聪明，是忽略了感觉的知识层面的聪明。蒙台梭利的理论主要 来源于实践 ，是通过最初她对智障儿童的教育建立起来的，理论的来源就有问题。智障儿童很难表达出一些东西，她通过一种类似于把事物变成大块像素或者马赛克的方式让智障儿童也能表达出来，把事物变得更加简单，而且增强幼儿的表达能力 ，让表达能力差的智障儿童也能表达出自己的意思。然后蒙台梭利把她的方法推广到穷人身上，其实穷人家的小孩只是缺少关怀而已，多给他们点儿关怀不用蒙台梭利的方法也能让那些孩子进步。之后蒙台梭利就把自己的理论推广到智力正常的孩子身上了，这种方法能够立竿见影，现在很多方法都是这样，但是对孩子以后的发展是不利的。做一些感统 训练可以，但是没必要在智力层面定向练习。
这一阶段应该让孩子多一些正向、积极、有模糊的方向的感觉点的积累，多一些身体上、语言上的关心。不要总是逗着玩，让孩子的感觉点不能固化，让他对初步判断产生疑惑。
第三阶段，7-8岁，机械的量化阶段（具体运演阶段第一水平）。这一阶段是让学生对数字 进行学习和运用。因为前一阶段积累了极为大量的感觉点，到了这个年龄段已经达到了可以量化的程度了，学习数学，对数字进行操作，数学是以量化工具的身份出现的。计算的练习应该是在一大段时间内做大量的练习，从而达到完全掌握的目的。不是通过批评也不是通过惩罚，只要保证孩子不厌烦就可以了，小孩子对于重复的事情并没有那么厌恶，只要他在重复的过程中不难受就可以了，如果学生在计算的过程中出现了错误继续练习就可以了，不是因为犯了错而惩罚，而是因为熟练度不够而继续练习。就好像一个岔路口，他走右边的路是因为他每次走到这里都走右边的路，走的次数太多已经形成了一种本能；不是因为每次他想走左边的路都有一个鬼出来吓唬他，也不是因为他走右边的路就有人给他一块糖。计算熟练度的练习只能是在一段时间内，每天都做一定量的练习，从而达到熟练的目的。学生注意力集中的时间是逐步增加的，一年级大概15分钟，六年级大概30分钟，根据孩子的年级，一次的练习时间最好比这个要长一些，也别太长，让学生厌恶计算。一次三四道题，一次五六分钟的计算练习是没有效果的。练习时间很短的话学生注意力非常集中，跟本没达到练习的效果，平常练习不出错，一考试就出错就是这个原因，在学生注意力集中的时间过去之后继续练习，达到一种本能反应的效果，在这一过程中不要聊天什么的。把计算当成一件很普通的事来做，不需要奖励也不需要批评，不需要鼓励也不要给学生泄气，只是练习就可以了。不需要喜欢数学也不需要培养兴趣，对于一般的事物而言，你需要对这项事物有一定的了解之后才会喜欢这项事物，数学也不例外，你需要体会到数学的乐趣或者魅力之后才会喜欢数学，在这之前只要不厌烦就可以了。即使最后依然不喜欢数学也没什么，只要不厌烦就可以了，你可能会喜欢上其他和数学相关的学科，比如物理化学生物计算机什么的，这些都不喜欢也没什么，只要不厌烦，能运用就可以了。数学不需要一些乱七八糟的方法提高学生的兴趣，也不需要减负什么的，在这些人的眼里数学是枯燥和乏味的，对于他们来说不管怎么变化花样，不管怎么减负，数学学习都是痛苦的，抱着这样态度的人是不可能教好数学的。英国至少从140年前就开始减负并降低课程难度了，减到现在学生越来越厌恶数学，有的人说外国家长不关注学生成绩，只关注孩子的健康成长，你以为外国家长傻么，不知道孩子学习成绩好的话未来更容易找到好工作么，美国很多学校对于很简单的进位加法、借位减法都要求画图，对于那些很简单的看一眼就知道答案的计算他们会要求用一些很奇怪很麻烦的方法来解答, 而且他们是不要求背乘法口诀的，那些家长要是看到老师在讲台上问3×3等于几，下边四年级的学生数半天手指之后高喊 9，9 的时候，他们就明白为什么不要求成绩了，这种事情是可以在美国真实发生的。周围都是这样的孩子，那些家长完全不知道应该怎么努力，也就放弃了。而那种成绩不好的乐观也不是什么好现象，那是一种放弃之后把自己置身事外的情感，这个年龄段的孩子还是很敏感的，所以你稍微认真一下他们就会转移话题，就会逃避，这个年龄不应该是这种性格。孩子考得不好家长说“没关系，每个人是不同的。”这句话也没用，每天都花大块时间在数学上面，重要程度他们自己会判断的。给一个三四年级的小孩一些辅导，他们的成绩大幅提高之后就会很高兴，也会更有自信，这是那些口头的糊弄没法解决的。
我见过一个五年级快结束还不会乘法口诀的学生，对她来说不管怎么减负，数学学习都是一件非常痛苦的事。如果把数学学习比作盖一座高楼，那些基础计算就是我们的砖，砖的质量不好的话后面很难进行，尤其是那些要学奥数的学生，基础计算不扎实，一张卷子三四处计算错误，最后都泯灭于人海了。卷子比较难的话那些计算不扎实的学生是一定会出错的。学的内容越难，要求基础计算就越牢固。基础计算就是要不断的进行无意识的重复，就像背乘法口诀那样，一直背，到最后也不用什么注意力，就是无意识的重复，计算时用到的时候不用思考就能保证绝对正确。基础的加减法也要练到这种程度。对于那个年龄段的学生来说，重复做事情是可以接受的，对于他们来说，以后盖楼就只专注于把楼盖好就可以了，而那些计算基础不好的学生，拿起每一块砖都很痛苦，盖的楼质量不好，自己也很痛苦。这就是为什么外国学生学的内容很简单却非常痛恨数学的原因。那些教育专家总喊减负应该也是这个原因，基础计算没学好，稍微学一点儿数学就很痛苦。对于一般的学生来说，数学学习并没那么痛苦。但是如果一直减负的话就会很痛苦了。
能力法则：能力的学习分为两段：磨刀和砍柴。在磨刀阶段就是一点点的努力，把基础事物全做好；砍柴阶段就是给一些大方向和基本规则然后就是随意发挥了。如果想和别人自由交流，你需要在初期学习大量的单词和表达方法，然后在交流阶段你就可以自由发挥了，不需要你自己研究出一些单词。如果要做一名歌唱家，在初期你需要把每个音都唱准，到了后期你就可以唱不同的歌曲了。你不需要去和别人研究这个音怎么唱，如果你初期不做好基础那么你就不能成为一个歌唱家。估计中国足球也是这个原因吧，如果一个教练今天教盘带明天教盘带后天还教盘带，教了一个学期盘带，家长就会说你这个教练是不是不会别的？其他教练的学员都能托马斯全旋加空中转体三周半射门了。并不是付出和收获不成正比，而是付出的方式要正确。在合适的阶段做合适的练习。
对于数学来说，磨刀阶段除了基础计算就是各个方面点点滴滴的努力，对数字的字形进行固定，让数字尽量不和别的数字混淆，速度也尽量快一点儿，数字之间合适的间距，尽量不要对错位；握笔的正确方法，小数点怎么样写才能更加的明显省时。草稿纸应该怎么用，对于不同的数字，在运算过程中有极为大量的方法让计算更加快速准确。怎样才能尽量正确，怎样才能尽量减少错误，通过不断的点点滴滴的努力让结果尽可能的准确，人不是机器，不可能做到100%的准确，但是却可以通过不断的努力，把结果做的尽量准确。这就是数学和逻辑最大的联系，通过数学的学习，让一个人的思维更加缜密，让思考结果尽量准确。数学和逻辑还有一个联系就是通过数学的学习我们会掌握一些整体的规则，从而对一些我们完全没有接触过的事物或者整体比较抽象的事物进行操作，或者构建一个结构。主要就是这两个。像学散文一样学微积分一点用都没有。
激发学生兴趣说得好像学生的脑袋是个水桶，你把水桶打漏了水就流出来了，点燃孩子的好奇心说的好像孩子的脑子是个操场，在某个角落放着一堆柴火，如果你恰巧把一个火把扔到了这堆柴火上，孩子就充满好奇心了。孩子从小就一直对任何事物都充满好奇心，只要你能保证他不受打击的，心态平和的掌握基础内容，他的好奇心就不会消失，在掌握了一定量的基础知识之后，他能够对这项事物进行操作，他也就会对这件事情有兴趣，就会重新充满好奇心。如果基础内容不牢固，后边的内容对他来说就会很难，也就没有兴趣和好奇心了。奖励也不要乱用，如果他获得一些小的成就之后家长或者老师给他一些奖励，他就会以为自己在为了奖励而学习，小孩子很容易受到影响的，慢慢的就会失去对学习的兴趣，改成对奖励的追逐，对学习也就失去兴趣了。
学生如果接触有联系的事物比较多，感觉点的范围就比较大，固化的速度也就比较慢，如果在这一阶段学生在语文学习的过程中不善于表达那么最好不要强迫他，尤其是那种比较聪明的男生，说明他还没有到这个阶段。识字、基本结构当然要学，但是那些比较个人化的表达如果做不到的话最好不要强求。还有就是多动手吧，这个对智力也有帮助。对孩子要求太严格，孩子什么都要听家长的，或者太松散，不用动脑凭感觉做什么都无所谓的，肯定不会是最聪明的那种。
第四阶段，9,10岁，基础计算的初步应用阶段，在计算层面更加丰富了，在应用题方面加入一些简单的步骤了，具体运演阶段第二水平。前运演阶段第二水平是积累了大量的感觉点，可以对感觉点进行操作了，具体运演阶段第二水平是积累了大量的计算，可以用数字对事件进行操作了。具体运演阶段第一水平虽然开始学习计算，但是并不熟练，思考问题的方式还是和前运演阶段差不多，但是到了第二水平可以对数字进行操作，就可以对具体事物进行逻辑判断了。
小学数学主要就是两类题，计算和应用题，做计算就是要尽量无意识的进行：省精力、速度快、正确率高。做应用题注意力尽量集中，方法就是背题。两条都能做到的话速度能提高不少。在看过一遍题之后就能像讲故事一样把题复述下来，这个技巧是我在四年级的时候老师教的。到初三的时候最长最复杂的浮力题也可以保证很普通的看一遍题之后就可以把题目准确的复述出来了。如果能做到这一步那么学生对于题目的把握要好很多，因为逻辑思维最基础的模式就是要把条件都掌握的特别好然后一次性快速的冲过去。这种思维模式是最基本的，但是现在很多班级一个这样的学生都没有。小学数学还有一个技巧就是尽量多动笔。我在小学五六年级的时候一张大卷子别人快做完左半边的时候我基本上可以做完整张卷子。做完卷子不能交只能一遍一遍的看。有一次考了89，被老师狠狠的批了一顿，要求我以后检查的时候必须动笔。以后在检查的时候就多动笔了。后来只要不能立刻看出来的计算都动笔去算，习惯之后速度也不慢，而且在大量动笔的过程中也养成了尽量准确，尽量避免错误的习惯。如果一个学生能在中低年级就养成这个习惯数学学起来就会轻松很多吧。我觉得一个小学数学老师的理论必须要他在自己的小学和初中阶段没经过太多额外努力，数学就非常好，然后接触一些教育理论，之后在教学过程中不断思考完善，才能形成一套完整的系统。如果自己没有经历这个阶段，光靠猜是猜不出来的。只能说一些类似回家多练练，下次注意点儿这样的话。
到了这一阶段如果前面的基础比较扎实而且随着年龄的增长思维方式也有一些变化，学生就可以进行初步的系统化思考了。感觉点很细小，很松散，就像沙子，如果你不进行量化，只能抓两把沙子，但是如果你能把它们量化的话你就可以处理量足够大的事物。人在思考的时候可以把它们当做数字信号和模拟信号。模拟信号表现的是事物本来的样子，数字信号是事物的属性经过压缩之后表现出来的样子。在智力相同的情况下，运用数字信号可以解决更大范围的问题。智商测试就是测试人们处理压缩后数字信号的能力。
经过长期的使用，人们的思维方式就会固定。
１.生物式思考：如果一直用模拟信号进行思考，那么他的的思考范围就会很狭窄，但是能对周围事物很敏感。大多数人都属于这种思考模式。这种人的思考主要受见识和经验的影响，见过，经历过，感受过就会对事物有不同的思考结果。经历不同的事情，对一件事物的思考就会发生很大的变化。
２.数字化思考：如果学习和工作中会接触大量数字信号，那么这个人就会用数据、属性进行思考，很多机械与科技方面的专业人才就属于这种。很多书呆子也属于这种吧，缺点就是有时不能把理论应用到实际当中，因为现实世界是连续的，但是数字信号是跳跃式的，不连续的所以处理事物会有些机械化，有些死板，思考的结果无法应用于实际。
３.系统化思考：能够对一系列数字信号进行整理加工，把数据组成结构，进行运作，很多科技领导人应该属于这种吧。系统化思考应该是从数字化思考中自然产生的，具备处理一定量不同种类的数字化情况就可以成为系统化思考了。
４.模块化思考：以结构的方式对模拟信号进行思考。这种人的思考最慢，可以思考出量化、有方向性的结果。思考的时候可以把模拟信号组成模型进行思考，思考的时候需要不断的反复切换数字信号和模拟信号。 
四种思考模式反应了人们放弃数字信号和模拟信号联系的时间：生物式思考一开始就没和数字信号联系上。随着所接触内容的深入，结构的扩大，不停的在数字信号和模拟信号之间切换越来越难。在不同的时间产生了数字化思考和系统化思考。最后结构足够大，而且一直没有放弃数字信号和模拟信号之前的联系就成了模块化思考。数字化思考和系统化思考会运用到上边提到的数学和逻辑关系的对完全没有接触过的事物或者整体比较抽象的事物进行推理判断。模块化思考除了这点还会运用到让思考结果尽量准确。
这就是为什么1970年皮亚杰写了《发生认识论原理》，1980年皮亚杰死后认知心理学没有一点发展的原因。一个人如果不具备模块化思考的能力就没法对一些不容易量化的事物做出封闭性很强的思考。我买过三本也可能更多本不是皮亚杰写的、和认知心理学有关的书，内容都极度晦涩难懂，要很努力的找才能找到一些能读懂的内容，读完之后就可以知道这些人的思维并不严谨，他们只是把一些名词，一些实验结果、一些不完整的理论生硬的凑在一起写了一本流水账而已。如果他们想展示他们的科研成果，就凑1000个小孩或者成人，让他们做选择题，然后把人们选择的结果稀里糊涂的分析一下扔出来，完全没有系统性和封闭性。
这一阶段主要就是计算的进一步加强还有初步的应用题吧。该磨刀的时候磨刀，该砍柴的时候砍柴。这一阶段学生成绩会稍微拉开一点儿，现在不让做单元测试不让有期中考试，其实这些考试就是一个反馈的机会，让学生查缺补漏的。考得好说明掌握得好，考的不好的话就把掌握的不好的地方再加强一下，让学生彻底掌握就行了。现在关键问题在于学生的知识点出现问题之后老师和家长完全不知道怎么解决。每一道题都有一定的逻辑关系，出错的话说明学生在思考的时候没有弄清这些关系。引导他，让他体会到正确的思维方式就可以了。很多时候家长和老师只是生硬的给他讲一遍而已。相当于去一个地方，他走错了，老师拽着他的手一路狂奔，跑到了终点，懂了吗？不懂的话从起点拽着学生再一路狂奔跑到终点。没有思维的印导，学生并没有彻底明白。不过话说回来，现在小学数学课内的内容只要基础计算掌握好，练习好背题，一般的问题都能解决。很多教学技巧只是用一些技巧去弥补一些过去的漏洞，而且还不能解决实际问题。思考只是一项很基本的能力，教别人思考不太可能需要太强的教学技巧。
第五阶段，结构化的操作阶段，11，,12岁开始，也就是形式运演阶段，皮亚杰在《发生认识论原理》里没写什么时候结束，不过一般材料写的14,15岁。大概就是初中毕业吧，而且发展到这一阶段前面的差距应该比较大了，基础好，聪明的孩子智力增长的时间会长一些，不那么聪明的孩子发展的时间会短一些。皮亚杰对这一阶段的分析显得有些无力。所以也只能猜了。猜的基础主要就是社会和生物的结构发展特点，在进入下一阶段的时候学习或者慢慢融入这个阶段的东西，但是做事方式、思考方式还是上一个阶段的。一个逻辑事物只要它的封闭性足够强，那么它就可以足够真实。比如霍金分析出大量宇宙中的情况，在没有办法验证的情况下，只要他理论的封闭性足够强，就认为他说的是对的，希望这个结构的封闭性足够强吧。
幼儿在3、4岁是感觉点的积累阶段，5、6岁是感觉点的操作阶段；到了7、8岁由于积累了大量的感觉点，经过处理，使客体上升到算子的地位（只有“使客体上升到算子”这几个字出自《发生认识论原理》44页，商务印书馆，皮亚杰没有提到感觉点这个概念，百度了一下居然有感觉点这个名词，是个生物名词，不过那个叫感受点更合适，感觉这个词更广泛一些，用在这里更合适），不过我觉得说成用算子来表达客体更合适。在对算子的操作足够熟练的情况下进入到下一阶段，9,10岁把算子和客体结合，进行逻辑操作。
在对算子和客体进行大量操作之后，客体可以变得抽象化，运算不再依赖于客体。“在这个阶段，运演从其对时间的依赖性中解脱了出来，运演最后具有了超时间性，这种特性是纯逻辑数学关系所特有的。形式运演的主要特征是它们有能力处理假设而不只是单纯的处理客体。”（《发生认识论原理》51,52页）
总结起来就是感觉点积累，感觉点操作，算子的积累，算子的操作，到了11,12岁应该是形式的积累，13-15岁就是形式的操作。
现在五六年级的数学难度直线下降。工程问题变简单了，单位1变换没了，分数的乘除法直接放到一本书的最后，学完不给学生练习的机会直接放假。五六年级应用题难度和四年级持平。
有一次遇到一个小学六年级的学生，那个男生非常聪明，一年级的时候就去了美国，基础计算非常扎实，没跳级，下了课就是玩或者参加各种活动，快要六年级毕业的时候回国了。能够看出他从没因为惩罚或者其他原因对学习有抵触的情绪，注意力可以高度集中，像个弹簧。我给他讲了一些奥数，开始的时候他学的非常快，理解能力非常强，但是讲到后边步骤多的内容他突然变得不知所措了，完全不知道怎么下笔，和之前判若两人。这是因为在之前的学习中，他从来没处理过难题，相当于遇到一条小河，他迈过去，再宽一点儿，他又迈过去，以前遇到的每条河他都是一步迈过去的。突然遇到一步迈步过去的河，他就相当于掉进了沼泽里，完全不知道如何处理。在智力发展的阶段，一定要处理一些称得上困难的题，不然以后这些人只能被称为小聪明或者自以为聪明。他们不是不努力，只是不知道如何努力，也不了解如何处理一件复杂的事物。这里有一个逻辑结构难度层分流循环，也就是说对于难度不同的逻辑结构，我们有不同的处理方式，在智力发展的过程中最好能够循序渐进的增加难度，形成回流，这样我们就能处理更难的事物，形成习惯。但如果智力固定之前，没有处理困难事物的经验，遇到逻辑复杂对事物，只能选择放弃。
我教了他画图，画图是题目和答案之间的桥梁，可以理清题目关系。如果可以画图的题最好画图，很多时候都是简单的题学生不画图，到了复杂的题学生不会画图，画图也有很多规则和技巧，不能只说一句画图，就期待着学生能把图画好。然后就是关于动笔的一些内容，要一点一点把需要的内容或者自己知道的内容写出来，相当于“蹭”，一点一点的往前蹭，这也是解复杂问题必须具备的技能。最后教了一些做几何题的方法，毕竟在几何中如果能够有一些方法的话会容易很多。反对学习奥数的有很多，不过不管怎么说奥数只是一个工具，就像一把枪，你可以用来保护自己，也可以用来自杀。有些人说数鸡腿兔腿没用，一边进水一边放水有病，其实鸡兔同笼去掉鸡和兔就是一定数量的是2和4，它们的和怎么才能是某个数。水管问题就是最基本的动态调整。应用题只是给数量关系加了个外衣，让这些内容更易于接受一点儿。不过现在奥数的教学存在的问题挺大的，学生可以学一学，学不下去就放弃吧。不然学到最后像没弹力的弹簧一样也不太好。
初中，也就是形式运演的操作阶段了。虽说能力法则是磨刀加砍柴，但是小学阶段主要是磨刀，五六年级会初步涉及到一些砍柴阶段的技巧。然而初中就是磨刀和砍柴相结合了，核心就是学习新知识，然后把新知识融入所学之中进行灵活运用，再学习新知识，再融入所学之中进行灵活运用，这样一个反复的过程，最后达到能够对所有内容进行灵活运用的程度。学习新知识的时候要达到像乘法口诀那种熟练程度，然后在题目中灵活运用。不过初中数学也会有一些结构型习题，也就是说这种题在短时间内正常想基本想不出来，必须在以前做过非常类似的题才会做。这种题做多了也会使思维固化。那些最难的题基本上都是这种，那些分数最高的学生练的最多的也是这种。初中物理好像没有这样的题。为了让智力更加健康，这种题还是少做，尽量保证自己的脑子是个尽量完美的弹簧。
初中的时候很多学生成绩掉的很多，这个原因用网上的一个小段子就可以解释：学神对学霸说，我考100分是因为卷子只有100分，你考98分是因为你的能力只有98分。小学阶段把天花板定的太低，让很多基础不怎么样的学生以为自己学习不错，接近于完美，到了初中就充分暴露出来了。
到了高中，估计智力也就不发展了吧，高中数学比较杂一些，考试中也会有大量结构型题目。高考能接近满分的，肯定做了极为大量的结构型题目，在练习过程中对思维也会有一定的固化吧。语文那些猜作者思想、让一只鸟叼着二斤的木头飞到美国更是对思维的摧残，猜完几万个作者的想法之后，估计想知道自己的想法都要靠猜了。最后那些高考状元，完全就是人肉机械人了，他们已经没有一点儿弹性了，课后的运动也是为了更好的调整状态，我看过一个女生写的一个东西：不能两顿饭不吃，不然会影响状态，不能哭，不然会影响状态。就好像一个只能跑四公里的普通人非要跑一个全马，要调整所有能调整的事情，保证完成任务，他们已经提前进入了老年了，没激情，没弹性，他们的表情都是一副与世无争，人畜无害的样子，跟公园里的老头一模一样。
现在的学生，小的时候在城市里接触的自然事物少，积累的感觉点少，学英语扰乱思维，到了小学计算不扎实，乱学一堆东西，让孩子厌学，学语文就要瞎猜，不能正常思维，一定要标新立异，还不会爬就让他飞。感觉上就像张海迪大姐姐学会了英语、学会了针灸、学会了会计，最后终于学会了瘫痪。
很多人说学校教育破坏了学生的思维，主要就是结构型数学题，语文那些莫名其妙的分析，还有一些其他学科的。语文应该像美国那样进行大量的阅读，但是不去细分析，读大量的文章相当于听了大量的人讲故事或者讲道理，知道他说的是什么就行了，或激进或保守，或对或错，自己判断。所有老师教的东西都是绝对固定的，那些带个人感情的任凭自己。但是如果不想保持思维的弹性，那什么都随意啦。
我一直以为，数学并不是一门学科，而是一种语言。数学是描述逻辑的语言~比如说，你要证明一个逻辑，把N表示成m个数的平方和，这种表示方法的个数。这种逻辑怎么证明？用其他的工具？实验？都无法来直接的证明。所以，数学就告诉你，我独创了一种语言。比如，我就定义一个数论函数这个函数就是把N表示成m个数的平方和的表法个数~于是，椭圆函数论中一个著名的等式就诞生了~那就是于是，表法个数的问题就转换成为一个最基本的函数问题。有人说，为什么会有左边的公式。你仔细想想这是恒成立的~因为根据级数的定义嘛~这就是解决数学问题的第一步，把常见的逻辑问题“翻译”成为数学语言。而平方和的表法个数，我们用初等数论没法解决，我们考虑引入一个新的东西，比如把平方弄到指数上去。当然你弄到对数上也可以，不过对数做起来不怎么方便，这是第一步。第二步，根据等式寻找逻辑关系。平方表示方法个数。要有怎么办？把上面等式两边平方，是不是左边的指数就变成了了？而右边？只要把方程所有的系数相加，使得是不是就是表示把n表示成两个平方和相加有几种表示方法了？第三步，也就是我们在数学中学得最多的。就是把上面的等式给解出来~这就是我们大多数人所理解的数学，就是解公式。。。学语文、英语要语感，学数学要“数感”，数学强调大量做题，原因就是培养对数的感觉~
数学的基础是集合论，集合论的基础就是逻辑。自然，有了逻辑，才有了数学。
目前没有最权威的答案，关于数学的抽象层面世界大数学家们也分为各个派别
数学仅仅是逻辑的一部分，当然是逻辑造就了数学。举个例子，数学的基础就是1+1=2，2-1=1，但绝对没有1+1=3的道理，逻辑却能分析出来什么时候1+1=3。觉得有道理的赞起。
逻辑是先于数学且包含数学的根本上区分只有有两种逻辑：建立的逻辑和破坏的逻辑任何逻辑都是凭空建立并且根本上无法自证的例：假设1+1=2，依次推演所有四则运算法则，都是运用形式逻辑正向推演；使用辩证逻辑可对任何一道四则运算的所谓正确答题提出质疑，不论怎么质疑都会归结到质疑假设1+1=2上，于是形式逻辑等待除此之外的假设比如1+1=1之类的确立，可是辩证逻辑只管质疑不管确立假设，于是书呆子遇上耍流氓没法玩了对于公理设定的反驳并不需要理由，但对于公理以下的定理推论以及现象解释的反驳需要回溯到公理基础，因为这是同一个公理体系下的契约协议，以保持形式逻辑的一致性。这就是为啥形式逻辑斗不过辩证逻辑，因为形式逻辑再怎么严密都是建立在某套公理假设基础上，而辩证逻辑直接穿越了形式逻辑的整体证明过程，对公理体系发起攻击，釜底抽薪，所以辩证法无敌辩证法最大。但是辩证法在签了契约协议之后还在公理体系内乱窜就是违法，违反形式逻辑
严格说。逻辑学科是数学学科的一部分。逻辑思维也是数学思维的一部分
逻辑是人脑对空间幻觉的梳理与情景再现数的本质是区分个体。。1是一个，2是两个----人脑有一种辨识个体与个体区分开的能力，即逻辑本质上，数是空间幻觉，而逻辑也是对空间的幻觉再现所以，数与逻辑本质是一种东西-------空间。。。或叫空间幻觉
纯引用：“一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。”数学的发展更多的是凭直觉，然后再来找逻辑上的解释
这个问题的答案我可以毫无疑问的回答你，这个并不是哪个造就哪个的问题，只能说是相辅相成。
马克思说过，逻辑是有客观基础的，它并不以人的意志为转移，归根到底它是客观事物在人脑中的反映。我们之所以这样思考，那也是客观事物首先反映在人脑中，而人脑的加工处理，也必须是符合客观现实的，否则就没有客观基础，不能逻辑。即使是随意的幻想，那也是以逻辑为基础的，不信你幻想看看，你会发觉你总是在运用逻辑。
数学起源于数数，1，2，3....，我们现在所谓的＂数＂，已经高度抽象。但是我们刚开始认识＂数＂的概念，总是从具体事物中发展而来的，一个苹果，两棵苹果树，三片叶子等等。＂一个苹果和一个苹果加在一起，变成两个苹果＂，三片叶子加在一起变成三片叶子，这就是最初客观事实在人脑中反映的＂加法＂的概念，而为什么＂一个苹果和一个苹果加在一起，变成两个苹果＂，但是＂男人加女人却不等于两个人（生孩子了嘛）＂？这又是一个哲学问题，叫做＂规定性＂（还有＂质＂与＂量＂），这里不做讨论了。
数学来自客观事实在人脑中的反映，逻辑也是客观事物在人脑中的反映，但两者是有区别的。
数学是通过抽象具体事物得到＂数＂的概念。之后总是运用一定的＂规则＂，1加1等于2（哲学上称之为＂规定性＂），以此类推。请注意＂以此类推＂这个词，就其内涵来说，它是重复规则的运用，这个规则哪里来？通过认识客观事物，从而反映在人脑中。因此最初的＂规则＂，就是我们最初的逻辑，此后反复循环运用，通过对概念的操作，最后沉淀成各种知识，数学、物理、生物学、医学等等，但不能说是逻辑造就了数学，只能说，它们是人脑通过认识客观事物，客观事物在人脑中的反映。
接下来我要彻底否定逻辑是数学的内容的不妥认识。
数理逻辑只是借助数学的方法，运用数学符号作为工具，来研究逻辑，也就是借助数学语言来描述逻辑，从而得到更精确的描述。显然数学对逻辑的研究是推波助澜的，计算机的逻辑设计运用的布尔代数，就是一个典型的借助数学语言来表达逻辑的例子，正因为数学语言的精确，许多地方都需要数学化，很多人在没有彻底搞清楚情况之前，就误把＂运用数学语言＂，就认为是＂数学的内容＂。但是不可否认，数学化的形式语言确实是数学的研究内容，但别把它描述的东西说成是数学的内容，那是一种不严谨的臆测。
等待被否定.......
互帮互助呢~~
数学是工具，逻辑是人类发明的学科，是人开车，还是车开人，乃说呢。
从抽象实体的角度上来说，数学基本上都是一些抽象实体，而逻辑学里面除了抽象实体，还有一些思维规范性法则。当然逻辑学里面也是有很多作为抽象实体的重言式的。并且数学中的每一个真陈述都是逻辑学中重言式的代入实例。所以真要说的话，按照柏拉图的观点，两者是同时存在的吧。我猜。然后是具体的发展过程。显然逻辑和数学的性质是不同的。不同在哪里呢？数学更像是一个东西，你可以把玩研究的东西，而逻辑更像是工具，一种理性思维的工具。所以，你是先有刀，还是先有雕像呢？当然，在二十世纪蓬勃发展的公理系统和数理逻辑，自然是和数学有关，但是这种关联性本质上还是源自于逻辑上的质疑，比如说罗素悖论推动了公理化集合论的发展，但是这个悖论与其说是一个数学领域内的悖论，不如说是一个纯粹逻辑的悖论。所以说，即便是数学推动了逻辑的发展，也是在逻辑的基础上进行的……
这个问题有点类似先有鸡还是先有蛋。个人认为，人类最先发现自我逻辑思维的能力，之后在生活和运算过程中产生了数学。当然，数学也推进了逻辑推理的范围。
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