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2012浦东第二学期期末考试卷
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安徽省阜阳三中高考数学二轮复习 立体几何 4空间中的垂直学案 理
资料类别: /
所属版本: 通用
所属地区: 安徽
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资料类型：高考真题
文档大小：1.52M
所属点数： 0.1点
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资料概述与简介
二轮复习专题五：立体几何
§5.3空间中的垂直关系
【学习目标】
1.理解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．
2.了解数列通项公式的意义（数列是自变量为正整数的一类函数．）
3.理解数列的函数特征，能利用数列的周期性，单调性解决数列的有关问题。
4.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
【学法指导】
先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；
2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
4.重点理解的内容：
【高考方向】
以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.
考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．
【课前预习】：
一、知识网络构建
高考真题再现
[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B - AD - E的大小．
解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，
由AC＝，AB＝2，
得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.
(2)方法一：
过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B - AD - E的平面角．
在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.
在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝，得AD＝.
在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝，得AE＝.
在Rt△ABD中，由BD＝，AB＝2，AD＝，得BF＝，AF＝AD.从而GF＝ED＝.
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝，BG＝.
在△BFG中，cos∠BFG＝＝.
所以，∠BFG＝，即二面角B - AD - E的大小是.
以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D - xyz，如图所示．
由题意知各点坐标如下：
D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，
A(0，2，)，B(1，1，0)．
设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
可算得AD＝(0，－2，－)，AE＝(1，－2，－)，＝(1，1，0)．
可取m＝(0，1，－)．
可取n＝(1，－1，)．
于是|cos〈m，n〉|＝＝＝.
由题意可知，所求二面角是锐角，
故二面角B - AD - E的大小是.
基本概念检测
1．(2010·浙江改编)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．
①若l⊥m，m?α，则l⊥α；
②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③若l∥α，m?α，则l∥m；
④若l∥α，m∥α，则l∥m.
2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；
③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；
④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有________个．
3．(2009·四川卷改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的序号是________．
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PBC；
③直线BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
【课中研讨】：
例1.[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
例2.如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.
变式迁移2　(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
平面BEF⊥平面PAD.
例3.(2013年高考新课标1（理）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
例4.[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．
解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.
因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.
由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.
(2)方法一： 如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1.
由(1)知，O1O⊥底面ABCD，所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.
又因为四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，
因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1.
进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．
不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，OB1＝.
在Rt△OO1B1中，易知O1H＝＝2.而O1C1＝1，于是C1H＝＋O1H2)＝＝.
故cos∠C1HO1＝＝＝.
即二面角C1-OB1-D的余弦值为.
方法二：因为四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直．
如图(b)，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O -xyz，不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，
B1(，0，2)，C1(0，1，2)．
易知，n1＝(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量．
设n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则即
取z＝－，则x＝2，y＝2，所以n2＝(2，2，－)．
设二面角C1-OB1-D的大小为θ，易知θ是锐角，于是
cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
故二面角C1-OB1-D的余弦值为.
【课后巩固】
1．(2010·扬州月考)已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的________条件．
2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.
其中正确命题是________(填序号)．
3．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：
①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；
②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；
③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；
④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．
其中错误的是________．
4．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号)．
5.[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 - AB - C的大小．
2013年高考陕西卷（理）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.
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长方体ABCD-A'B'C'D'有6个面,12条棱,8个顶点.与AB垂相交的棱有4条,与AB平行的棱有3条.
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本题考点：
考点点评：
此题考查了学生对立体图形的理解能力，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．要熟悉垂线的定义．
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