&>&&>&从江苏08年高考13题的解法看阿波罗尼斯圆的应用
从江苏08年高考13题的解法看阿波罗尼斯圆的应用_2400字
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数学通报２００９年第４８卷第５期
从江苏０８年高考１３题的解法看
“阿波罗尼斯圆”的应用
（江苏省前黄高级中学２１３１６１）
１提出问题
２００８年高考江苏卷第１３题：若ＡＢ
角形三边关系有Ｊ√２工＋ｚ＞２解得２拉一２＜ｚ＜
【ｚ＋２＞√２ｚ
－－－－２，ＡＣ＝Ｊ、／２ＢＣ，则Ｓ△删的最大值是——．
２教材原题再现及推广
苏教版必修２教材习题２．２（１）第１０题：
２在＋２，故当ｚ２＝１２，即ｚ＝２厄时ｓ△ＡＢｃ取得最
大值２√２．
解法２引进角为自变量．
设么ＡＣＢ＝０，ＢＣ＝ｚ，则ＡＣ一√２ｚ．在
已知点Ｍ（ｘ，ｙ）与两个定点０（０，Ｏ），Ａ（３，Ｏ）
的距离之比为÷，那么点Ｍ的坐标应满足什么关
系？画出满足条件的点Ｍ所形成的曲线．
解：由题意得了丢黔＝虿１，化简整理
、／ＬＺ一５，。１＿Ｖ。
／ｋＡＢＣ中，由余弦定理知４一ｚ２＋（屈）２—２?ｚ?皿?ｃｏｓ０，即ｚ２＝———≥—一再根据面积公
３‘——２
４２Ｃ０８０
得（ｚ＋１）２＋ｙ２＝４，所以满足条件的点Ｍ所形成的曲线是以（一１，Ｏ）为圆心，２为半径的圆，图略．
一般地，我们可以证明：平面内到两个定点Ａ（－－ａ，ｏ），Ｂ（ａ，０），（ａ＞０）的距离之比为正数Ａ
（，Ｉｖｅ
式得：Ｓ△ＡＢｃ：
ＡＣ．．Ｂｃ．ｓｉｎ口：～—／２—ｘ２－ｓｉｎ０，将
上式代入得ｓ△ＡＢｃ
ｉ２ｊ、／巧２ｓ面ｉｎ
Ｊ——二Ｖ厶ＣＯＳ口
１）的点的轨迹是以ｃ＼｛ＡＡ。２一＋ｉｌａ，Ｏ）为圆心，
ｓ』上丝些卫，则２抠（ｓｉｎＯ＋Ｓ
３—２√ＺＣＯＳ０
Ｉ者兰ｌ为半径的圆．与圆锥曲线的第二定义类
似，我们把“平面内到两个定点距离之比为正数Ａ（Ａ≠１）的点的轨迹”叫做圆的第二定义，这个圆就是著名的“阿波罗尼斯圆”．３解决问题
解法１引进边长为自变量
设ＢＣ＝ｚ，则Ａｃ＝√虿ｚ，根据面积公式得
朴ｉｎ（臼叫Ｉ
５焘≤１＇可得ｓ≤２拉，
ＣＯＳ口）：３Ｓ，再
当且仅当ｔａｎ口＝半时Ｓ△ＡＢｃ取最大值２厄
解法３应用“阿波罗尼斯圆”，将三角问题解析化．
＝４互ＢＣ可得以ｉＦ丁研一厄抓孑可呵，
化简得（ｚ一３）２＋Ｙ２＝８，于是点Ｃ的轨迹是以
设Ａ（一１，Ｏ），Ｂ（１，０），动点Ｃ（ｘ，ｙ），由ＡＣ
ｓ△Ａ８ｃ＝÷ＡＢ?ＢＣ?ｓｉｎ
余弦定理得ｃ。ｓ
＝一＝一仃ｚ乒再玎一正、／－－（匹ｘ２－－竽１２）２塑＋１２８，又由三
ｒ讯胜：—４＋—ｘ—石２－－～２ｘ２：—４－－：－Ｘ２，代，ｔ、上式得ＳＡＡ４ｚ’ｏ～７、Ｊ－Ｈ
Ｂ＝垒甓去鼯
４１－－Ｃ０￥２Ｂ，根据
Ｄ（３，ｏ）为圆心，２厄为半径的圆，所以点Ｃ到ＡＢ的距离的最大值为半径２厄，故ｓ△ＡＢｃ的最大值
…＝ＡＢｃ：“
为妻×２×２抠＝２厄
４高考题链接
其实，“阿波罗尼斯圆”在高考数学试卷中的
２００９年第４８卷第５期
出现还有几例，请看：
问题２（２００６年高考四川卷第６题）已知两定点Ａ（一２，０），Ｂ（１，０），如果动点Ｐ满足条件ｌＰＡｌ一２ＩＰＢＩ，则点Ｐ的轨迹所包围的图形的面积等于
Ｂ．４７ｃ
Ｃ．８７ｒ
ＡＢ＝ｌＯＯｋｍ，灾区Ｃ到铁路的距离ＣＡ＝２０ｋｍ，现要在Ａ、Ｂ之间某点Ｄ处，向Ｃ抢修一条笔直的公路，已知每吨救灾物资运输ｌｋｍ在铁路与公路上的费用之比为３：５，为了使每吨救灾物资从供应站Ｂ运到灾区Ｃ的总费用最少，点Ｄ应选在何处？
该题的求解模型很多，此处不一一列出，其中用“阿波罗尼斯圆”来解就显得很简捷！
解建立如图所示直角坐标系，先求到定点
Ｄ．９７ｒ
解析：设Ｐ（ｘ，ｙ），用类似的方法可以求得点Ｐ的轨迹方程为（ｚ一２）２＋ｙ２＝４，所以点Ｐ的轨迹所包围的图形为半径为２的圆及圆的内部，它的面积为４丌，故选Ｂ．
问题３（２００８年高考四川卷第１２题）设抛物线Ｃ：Ｙ２＝Ｓｘ的焦点为Ｆ，准线与ｚ轴相交于点
Ａ、ｃ的距离之比为詈的动点Ｐ（ｚ，ｙ）的轨迹方
Ｋ，点Ａ在ｃ上且ｌＡＫＩ一√三ＩＡＦＩ，则ＡＡＦＫ的
程，即：了主军斋２号，整理即得动点
厂ｊ－二ｒ—ｒ
Ｐ（ｘ，ｙ）的轨迹方程：２ｘ２＋２ｙ２＋４５ｙ－－４５０—０，令ｙ＝ｏ，得ｚ一±１５（舍去正值）即得点Ｄ（一１５，ｏ），ＤＡ一１５，ＤＣ＝２５，所以点Ｄ应该选在线段ＡＢ上距离Ａ点１５ｋｍ处．
＋下证此点Ｄ即为所选的点：自点Ｂ作ＣＤ延长线的垂线，设垂足为Ｅ，在线段ＢＡ上任取异于Ｄ的点Ｄ，，连结ＣＤ，，再作Ｄ。Ｅ。上ＢＥ于Ｅ?．设每吨物资运输ｌｋｍ在铁路上的费用为３ｋ（ｋ２＞０），则每吨物资运输ｌｋｍ在公路上的费用为５足，若选址在Ｄ１处，那么总运输费用ｙ＝３ｋＢＤ?＋５ｋＤ，Ｃ
＝（３ＢＤｌ＋５Ｄ１Ｃ）ｋ，而△ＢＥＤ１∽△ＢＥＤ∽
常规方法解析：Ｙ２＝８ｘ的焦点Ｆ（２，０），准线
拉ＩＡＦＩ，得以习虿而ｒ一拉以≯虿酮了，
即（ｚ＋２）２＋ｙ２—２［（ｚ一２）２＋ｙ２］．得ｚ一２，Ｙ＝士４．
ｚ＝一２，Ｋ（一２，０）．设Ａ（ｚ，ｙ），由Ｉ
化简得：ｚ２＋ｙ２—１２ｚ＋４＝０，与ｙ２—８ｘ联立，解
所以ｓ△ＡＦＫ一÷?Ｉ
Ｉ．Ｊ蛳ｌ＝寺×４×４
＝８故选Ｂ．
自编题举例
四川汶川大地震后，各地的救灾物资源源不
ＡＣＡＤ，所以器一器一＿而２５一＿了５，所以３
即为所求的选址点．
５Ｅ，Ｄ１，于是总费用ｙ一（３ＢＤｌ＋５Ｄ１Ｃ）ｋ一（Ｅ１Ｄ?＋Ｄ，Ｃ）５愚≥（ＣＤ＋ＤＥ）５ｋ＝５ｋＣＥ，上式当且仅当点Ｃ、Ｄ。、Ｅ１三点共线时取等号．综上所述，点Ｄ
，，，７／
总之，在高中数学教学中，教材上的习题我们一定要给予充分重视，因为教材是教师实施教学的主要工具，它里面的习题都是经过精心挑选的，具有一定的代表性和可迁移性．教师不仅要善待教材中每一道习题，而且还要善于挖掘问题的本质和背景，从“高观点”看数学问题，达到“居高临下”的境界，这样更有利于我们提高习题的教学质量，促进学生创造思维的培养．
Ｄ．／石夕一广＼
一、、、、＼姒?＼．乡】ｉ
断的运抵灾区Ｃ，如上图。在铁路运输线上线段
５８数学通报２００９年第４８卷第５期从江苏０８年高考１３题的解法看“阿波罗尼斯圆”的应用周永兴（江苏省前黄高级中学２１３１６１）１提出问题问题１２００８年高考江苏卷第１３题：若ＡＢ角形三边关系有Ｊ√２工＋ｚ＞２解得２拉一２＜ｚ＜【ｚ＋２＞√２ｚ－－－…
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高中数学 求13题详细解题过程
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提问者采纳
这个要用定积分。。。
超纲了，不用管
你要学积分我教你。。
定积分我们学过的
能教我吗？
好吧。。。不过可以明天吗。。我躺在床上没法写π_π
我刚刚画了个图
我把我的解题方法发给你
你帮我看看对不对
可能有点乱
如果没看懂我可以重新写
围成的图形面积为阴影部分
把阴影部分成两部分解
这是我的思路
后面那个是cosx
额。。刚刚手误
解这个定积分的方法是将函数的原函数求出来
再用积分上限减去积分下限
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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出门在外也不愁十三题求解,还有是怎么想的&
oochfovp1696
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