在三角形周长范围中，A＋2B的范围可以是哪些？？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-08-09 02:54 标签： 三角形周长范围
在三角形ABC中,角A,B,C的对应边分别是a,b,c,并且a方,b方,c方成等差数列,则角B的取值范围是?
谢晋宇0558
根据题意,有2b∧2＝a∧2＋c∧2由余弦定理,cosB＝(a∧2＋c∧2-b∧2)/2ac＝(2b∧2-b∧2)/2ac＝b∧2/2ac又2b∧2＝a∧2＋c∧2≧2ac(当且仅当a＝c等号成立)∴cosB＝b∧2/2ac≧ac/2ac＝1/2.∴0＜B≦π/3
不好意思这步没看懂：cosB＝b∧2/2ac≧ac/2ac＝1/2.
前面不是说了2b∧2＝a∧2＋c∧2≧2ac吗？即b∧2≧ac. ∴(b∧2)/2ac≧ac/2ac
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由正弦定理得到a/sinA=b/sinB=c/sinC 因此,a+c=b(sinA+sinC)/sinB =(sinA+sinC)/sinB 因为2B=A+C,A+B+C=180° B=60° A+C=120° 由于sinA+sinC=sinA+sin(120°-A) =sinA+(√3/2)cosA+(1/2)sinA =(3/2)sinA+(√3/2)cosA =√[(3/2)^2+(√3/2)^2]sin{A+arctan[(√3/2)/(3/2)]} =√3sin[A+arctan(√3/3)] =√3sin（A+30°) 所以a+c=√3sin（A+30°)/sin60°=2sin(A+30°) 因为0°<A<120° 所以30°<A+30°<150° 所以（1/2）<sin(A+30°)≤1 因此1<a+c≤2 即a+c的取值范围为（1,2]
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誓言送粉117
△ABC中，由余弦定理可得：2cosC=2+b2-c22ab，∵a=1，2cosC+c=2b，∴2-c2b+c=2b，化简可得：（b+c）2-1=3bc，∵bc≤（）2，∴（b+c）2-1≤3×（）2，解得：b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．∴a+b+c≤3，再由任意两边之和大于第三边可得：b+c＞a=1，故有a+b+c＞2，则△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故选：C．
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由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）2-1=3bc，利用基本不等式求得 b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．
本题考点：
余弦定理．
考点点评：
此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，a=1，——》c=sinC/sinA，b=sinB/sinA，2cosC+c=2b，——》2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，——》cosA=1/2，——》A=60°，——》B=180°-A-C=120°-C，——》0<...
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在三角形ABC中，已知2B=A+C,b=1，求a+c的取值范围 要过程
提问者采纳
由正弦定理得到a/sinA=b/sinB=c/sinC 因此,a+c=b(sinA+sinC)/sinB =(sinA+sinC)/sinB 因为2B=A+C,A+B+C=180° B=60° A+C=120° 由于sinA+sinC=sinA+sin(120°-A) =sinA+(√3/2)cosA+(1/2)sinA =(3/2)sinA+(√3/2)cosA =√[(3/2)^2+(√3/2)^2]sin{A+arctan[(√3/2)/(3/2)]} =√3sin[A+arctan(√3/3)] =√3s供阀垛合艹骨讹摊番揩in（A+30°) 所以a+c=√3sin（A+30°)/sin60°=2sin(A+30°) 因为0°&A&120° 所以30°&A+30°&150° 所以（1/2）&sin(A+30°)≤1 因此1&a+c≤2
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