一元函数微分学（四）
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第三章 一元函数微分学 本章主要内容有：一元（隐）函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证
明、凸函数、导数的应用（极值、函数作图等）等.
基本概念与主要结果 一 导数与微分 1
导数 定义1
设函数 在点x
某领域内有定义，若极限 y
f x 0 lim x
x → 0 x x ? 0 x x f
x ′ 存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 . f 0 f 0 0 等价形式： f
? + ? ′ 0 f x
x lim lim lim
. 0 Δ →x 0 Δx h→0 h Δ →x 0
Δx 当上述极限不存在时，可研究其单侧极限，即左右导数. 左导数：设函数 在点 的左领域 y
?δ 上有定义，若左极限 0 0 0 f
0 ? 0 lim ?
x 0 Δ →x 0? Δx x f
存在，则称该极限为函数 在点 左导数，记作 f 0 ?
0 类似可定义右导数： f
x ′lim （0
0 Δ →x 0+ Δx 左右导数统称为单侧导数. 可导的充要条件： 在点 可导 x ? 在点x 的左右导数存在，且相等. f 0 f 0 有限增量公式：设 在点x
可导，则 f
x +Δ ? Δy f
x ′lim 0 0
lim ， 0 Δ →x 0 Δx Δ →x 0
′ . 0 Δ + Δ 称之为 在点 的有限增量公式.
注意，此公式对Δx 0 f x 0 仍旧成立. 若函数 在区间I 上每点都可导，则称 为I 上的可导函数，此时，若区间I 为闭区间， f f 则区间的端点处的导数应理解为相应的单侧导数. 2 导数的几何意义 函数 在点x 可导的充要条件是：曲线 , x在点
x 存在不平行于 轴 f 0 y
x 0 0 y 的切线. x , x在点
x 的切线方程为 若函数 在点 可导，则曲线 y
? 0 注 此说明：可导一定存在切线，
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一元函数微分学--复习要点收藏
一元函数微分学--复习要点高等数学这门科也叫做微积分学，足可见微分学的地位.微分学分为一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是多元微分学的基础.这两部分有一些相近或相似的概念和结论，例如可（偏）导、可微以及两者之间的关系，同学们在学习的时候一方面要认真的理解这些概念，另一方面要注意比较一元和多元微分学在有些概念和结论上的区别和联系.回到一元函数微分学.导数与微分是基本概念，导数与微分的计算是基本计算，导数与微分的应用，特别是利用导数研究函数性态是微积分的基本内容.本章考试内容相对比较多，其中包括基本概念(导数与微分)，基本方法(微分法)，基本理论(微分中值定理)，相关应用(函数性态)，故本章是每年必考内容，也是考题所占比例较大的一章，同时有些相对较难的试题也会出现在本章. 本章的内容归纳起来，包括下列四个方面：1.基本概念方面：重点是导数和微分的定义，要掌握可导的充要条件即，这一点常用来讨论分段函数在分段点处的可导性，还要理解连续、可导与可微的关系；有必要掌握二阶导数和高阶导数的定义，它们实际上是低阶导函数再次求导.
上面这些概念也出现在多元函数微分学中，同学们不妨做一下比对.2.理论方面：重点是微分中值定理，即罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理.要记住各个定理的条件和结论，同时要清楚每个定理的相关题型.罗尔定理考研中常利用来证明中值等式（不含端点），或者证明导函数和高阶导函数零点的存在性和个数.其中中值等式的证明往往需要引入辅助函数，我们要熟悉常见辅助函数的构造.拉格朗日中值定理也常用来证明含有中值的等式，与罗尔定理不同的是结论里会出现区间的端点；此外，它还可用作不等式的证明或研究函数的性态，有时甚至可以用来辅助求极限，例如：，其中在之间，所以也趋；进行过这个处理后，等式右端的极限就非常容易求了.柯西中值定理，用来证明含有中值的等式，这个等式中将出现端点，且出现两个函数.有时两个函数之一是确定的，端点也可能取定，这个我们要注意观察.泰勒定理建立了函数与高阶导数的关系.对于泰勒定理，我们要掌握基本的5个麦克劳林展开式，在某些极限题型中利用泰勒展式处理可能更快速更便捷.其次要掌握它的一个应用，即求取一点处的高阶导数.最后重要的，它可以用做不等式的证明，这种证明题的特征是结论中出现高阶导数或高阶导数的估计.3. 计算方面：重点是导数的计算，包括基本初等函数的求导公式，导数的四则运算和复合运算性质，常见函数如积分上限函数、反函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导公式，也要会求某些函数的二阶导数或高阶导数.像反函数、隐函数、参数方程确定的函数，其二阶导数公式可以不记，但一定要掌握求解方法，明确每一步是对哪个函数关于哪个变量求导，其实这个运算无非是复合函数求导罢了.鉴于可微与可导的等价关系，微分的运算实质上只是求导运算.4. 应用方面：重点是利用导数研究函数的性态.(1)导数的几何意义即曲线的斜率，我们要会求切线方程和法线方程.(2)能利用导数的符号判断函数的单调性，同时要求同学们能利用单调性证明一些不等式，或证明函数零点的唯一性.(3)能利用极值的第一充分条件和第二充分条件判断一点是否极值点，以及是取得极大值还是极小值；除此之外，还要会求函数的最大值和最小值，这实际上只需要找出所有可能的最值点，比较他们的函数值大小；求极值或最值都有相对固定的步骤和程序，我们要熟悉.(4)能够利用二阶导数的符号判断函数图形的凹凸性，能利用第一充分条件和第二充分条件确定拐点；能利用凹凸性证明一些不等式.同时，还要将“凹凸性和拐点”与“单调性和极值”相比较，看一下它们的判定是极为相似的，以此来强化我们的理解和记忆.(5)根据渐近线的概念，能够求出曲线的铅直、水平和斜渐近线.实质上，求渐近线就是求极限.我们可以分类别来求，并注意到同一趋势上水平和斜渐近线的不共生现象，避免不必要的计算.在掌握了上述函数性态的研究方法之后，我们要能绘出函数的图形.实际上只需要把上述关键点（极值点、拐点、区间端点等，也可加上一些函数值容易求得的点）先描出来，根据各个区间内函数的单调性和凹凸性分别画出图象.(6)除了上述函数性态相关的内容，还要求能利用导数解决物理、经济等领域的最值等应用问题.
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或微分学 - 必应微分学自然科学微分学与联系密切，共同组成的一个基本分支──。微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用或来任意近似表示。微分学研究函数的与及其在函数研究中的应用。微分学的作用是在自然科学中用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程（运动）。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“”。微分学的基础是建立在、函数、极限、连续性等一组基本概念之上的。微分学主要研究以下内容。更多资料：····关于微分学，网友们最关心的问题124202237732336423305232862327723278232790100110120130140150160170181本结果选自8262项相关网络资源问 图片:http://g./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=b9d168aee98b7/8644ebf81a4c510faf3fdd52aa5be.jpg答（1）直线的斜率为1对抛物线方程求导：y'=2x=1，x=1/2y(1/2)=2*(1/2)^2=1/4所以抛物线上一点(1/2,1/4)到直线的距离最短最短距离=|1/2-1/4-2|/√2=7√2/8（2）平面x方向的斜率为1/4，y方向的斜率1/4对曲面方程求偏导：dz/dx=3x/2-y/2=1/4...来自问 图片:http://c./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=08c7a67e8cd4b31cf0699cbdb7e60b47/d788d43ff345aad6e39f3.jpg答亲爱的，-1是e的指数中-x的导数啊来自问答1(x,2x) = 2当 x = 1 时;1(x； U&quot，有U'11(1;12(x,2x) + 4 * U&xx (1,2x) = U&12(x;yy(1,2) = -2 ,2x) = U&quot, 有U&quot, (3)联解式 (2);11(1,2x) = x^4两边对 x 求导;12(1,2x)__RN...来自2本结果选自3894项相关网络资源问 图片:http://c./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=510fbe903e4ad/dcdd0d758ccbf6d814df3.jpg答奇次幂（3阶及以上）二阶导数是奇次幂，可得拐点；偶次幂（2阶及以上）二阶导数是偶次幂，不是拐点。例如：g(x) = (x-a)^3, g' = 3(x-a)^2, g'' = 6(x-a)g'' = 0, 得 x = a, x 在 a 两侧， g'' 变号。(a, g(a)) 是拐点。若 g(x) = (x-a)^4,...来自问 图片:http://e./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=c9b41c1db6a1b4e168e087/fbf2bdccef7.jpg答第一排那个看不清来自问 图片:http://d./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=d06b456c9013b07ebdebd1b/02d9d94aa05112dfa9ec8b13cdd3.jpg 图片:http://f./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=a20efbffdec759d7bfd2b/d009b3de9c82dfc830a19d8bd3e42ff.jpg答连续性：lim(x-&x0)[f(x)-f(x0)]=0,函数是连续的。两边求导：将x0，f(x0)看成常数：f'(x)=-1/(2+x0)+2a(x-x0)显然，x0取不同的数值，f'(x)不同，函数不可微。应该A正确。不论x0取何值，f(x)应该有一个确定的、唯一的值。x0取-1时：f(x)...来自3本结果选自588项相关网络资源文章分类:教育专区|高等教育类型:ppt来自文章分类:教育专区|高等教育类型:doc来自文章分类:教育专区|高等教育类型:doc来自4本结果选自731项相关网络资源瞬时速度微分学的核心概念，主要始原于研究如何确定非匀速直线运动质点的瞬时速度与平面曲线上一点处的切线方向。原是一个纯粹的物理概念。它是在人们经过多次反复观察比较种种非匀速直线运动，尤其在研究物体的碰撞运动而获得大量经验之后产生的。精确科学要求，不仅要准确、清晰而定性地表达这个概念（当然必须与经验的瞬时速度概念相一致），而且要能同时给出确定速度数值的方法。这就促使人们在数学上要建 立一种对函数施加的独特的运算。(图1)设一个非匀速直线运动的质点所行的路程 s与时间t的依赖关系是 s=f(t)。 如果要定义质点在某一给定时刻t的速度(瞬时速度),并计算出这速度的数值，考虑时刻t的一个邻近值t1，在...来自5本结果选自1113项相关网络资源问答函数e^(-x)f(x)与e^(-x)在[a，即e^(-b)-e^(-a)=e^(-η)(f&#39。两个式子相除得;(η)-f(η))=-e^(-ξ)，此即f(η)-f&#39,b]上使用拉格朗日中值定理，在(a,b)内可导,η∈(a;(η)-f(η))(b-a)对e^(-x)f(x)与e^(-x)分别在[a，由拉格朗日中值定理，使得e^(-b)-e^...来自问设函数f(x)在[a,b]上三阶可导，证明存在e∈(a,b)使得f(b) = f(a) + 1/2(b-a)[f'(a) + f'(b)] - 1/12 (b - a) ^ 3 * f'''(e)这道题貌似要构造辅助函数，用拉格朗日中值定理 ；但我不会构造辅助函数……求大牛指点迷津！谢谢了！悬赏10分！答其实这道题用泰勒展开要方便些,具体做法是:把f[(a+b)/2]分别在点a和b泰勒展开至三阶导余项,相减,并利用导函数的介值定理(不是中值定理,可参考此处:/view/632063.htm)立马可得.如果非要构造辅助函数用拉格朗日中值定理,计算会很繁琐.下面涉及计算的我用mathematica编程来计算和证明,...来自文章分类:教育专区|高等教育类型:ppt来自6本结果选自494项相关网络资源文章分类:教育专区|高等教育类型:ppt来自文章分类:|类型:pdf来自7本结果选自580项相关网络资源文章分类:教育专区|高等教育类型:pdf来自文章分类:专业资料|自然科学类型:pdf来自文章分类:教育专区|高等教育类型:doc来自8本结果选自644项相关网络资源文章分类:教育专区|高等教育类型:ppt来自文章分类:教育专区|高等教育类型:ppt来自9微分学研究函数的导数与微分及其在函数研究中的应用。建立微分学所用的分析方法对整个数学的发展产生了深远的影响，运用到了许多数学分支中，渗透到自然科学与技术科学等极其众多的领域。微分学的作用是在自然科学中用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程（运动）。微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。微分学的基础是建立在实数、函数、极限、连续性等一组基本概念之上的。微分学主要研究以下内容。来自10问微分学的核心概念，主要始原于研究如何确定非匀速直线运动质点的瞬时速度与平面曲线上一点处的切线方向。原是一个纯粹的物理概念。它是在人们经过多次反复观察比较种种非匀速直线运动，尤其在研究物体的碰撞运动而获得大量经验之后产生的。精确科学要求，不仅要准确、清晰而定性地表达这个概念（当然必须与经验的瞬时速度概念相一致），而且要能同时给出确定速度数值的方法。这就促使人们在数学上要建 立一种对函数施加的独特的运算。(图1)设一个非匀速直线运动的质点所行的路程 s与时间t的依赖关系是 s=f(t)。 如果要定义质点在某一给定时刻t的速度(瞬时速度),并计算出这速度的数值，考虑时刻t的一个邻近值t1，在t到t1这段时间Δt=t1-t中，质点运动的路程是 △s=f(t1)-f(t)，从而这段路程上的平均速度是：（图1）(图2)在一般常见的情形，当Δt很小,相应的尌就很接近于时刻t的瞬时速度，而且一般说来，Δt愈小，尌就愈接近于该时刻的瞬时速度。这说明,时刻t的瞬时速度可以表现为路程变化量与时间变化量之比当Δt趋于零（而始终不等于零）时的极限：（图2）只要这个极限存在，就利用它来定义瞬时速度并计算其数值。来自问若质点作曲线运动，则在每一瞬时，运动的特征首先表现在方向上。对质点运动瞬时方向的数量分析也将导致对函数施加与计算瞬时速度类似的运算。(图3)设一个质点在一平面上运动，其轨迹在取定一个笛卡儿坐标系后可以表示成曲线y=?(x)。如果要考虑怎样确定质点运动到曲线上一任意给定点p（x,y）时的瞬时方向（图1），为此在曲线上取p的一邻近点Q(x1,y1)。很容易看到割线pQ的方向近似于质点在p处的瞬时方向,而且一般说来，x1愈接近x，近似程度就愈好。如果当Q沿曲线趋近p,割线pQ趋近某个极限位置pT，则占据这个极限位置的直线就称为曲线在点p(图4)处的切线，这切线的方向就是运动质点在点p处的瞬时方向。切线pT与横轴的夹角θ,就应当是割线pQ与横轴夹角φ的极限。因此切线pT的斜率k=tanθ可以如下计算：（图3） 若令Δx=x1-x，则有（图4）只要这个极限存在,就决定了曲线y=?(x)在点p(x,y)处的切线的方向。来自问(图5) 导数也称微商。上述两个问题尽管有着不同的物理方面或几何方面的背景，但表现在数量关系上并没有区别,解决问题所涉及的运算也是相同的:从自变量x的变化量Δx出发，求出相应的因变量y的变化量Δy以后，取商Δy/Δx，再令Δx趋于零(而始终不等于零)取极限（图5）。这个极限运算称为函数的微分运算，运算的结果称为函数的导数。(图6)准确地说，函数y=?(x)在给定一点x处的导数定义为 （图6）这里说的是这个极限存在的情况，这时又称函数?(x)在点x处是可微的。如果这个极限不存在,就认为?(x)在x处没有导数,并称?(x)在点x处不可微。例如?(x)=|x|在x=0处就是不可微的。容易看出,如果因变量的变化量Δy=?(x+Δx)-?(x)不随Δx趋于零,则上述极限不会存(图7)在，所以函数在其不连续点处一定是不可微的。值得注意的是,函数在其连续点处也有可能是不可微的,如前面所给出的例?(x)=|x|就在x=0处连续而不可微。K.（T.W.）外尔斯特拉斯曾给出一个例子(1872)，其中的函数处处连续但处处不可微。所以，函数的可微性要求比连续性强得多。外尔斯特拉斯给出的函数是（图7）式中0&α&1；b)为满足条件（图8）的一个奇整数。(图8) 可以在给定的点x处考虑单侧导数,即左导数与右导数：（图9）函数?(x)在它的每一个可微点x处都对应着一个唯一确定的数值──导数值?┡(x),这个对应关系给出了一个(图9)定义在?(x)全体可微点的集合上的新的函数，称为函数?(x)的导函数，记为?┡(x)。来自11(图10)导数的定义直接蕴含着微分运算所遵循的基本法则。若u=u(x)与v=v(x)都是可微函数,则它们的和、差、积、商仍然是可微函数，并且（图10）这就是微分运算的四则运算法则。(图11)若函数z=F（y）,y=?（x）都可微，则复合函数z=F(?(x))也可微，并且（图11）这就是复合函数微分法则。若y=?(x)与x=φ(y)互为反函数,则其中一个可微时，另一个也可微，并且(图12) （图12）这就是反函数微分法则。事实上，在反函数存在性得到保证的前提下，这不过是复合函数微分法则的应用。由以上微分法则可得基本初等函数的导数如下：（图13）(图13)以上微分法则表明，初等函数的导数仍然是初等函数而且初等函数的导数的具体计算都切实可行。因此，关于初等函数的微分运算已完全地得到解决。来自12(图14)函数?(x)的一阶导数?┡(x)的导数就是?(x)的二阶导数，记为?″(x)。可以归纳地定义?(x)的n阶导数?(n)(x)的导数就是?(x)的(n+1)阶导数?(n+1)(x)。关于乘积函数的高阶导数，有莱布尼茨公式：如果u(x)和v(x)都是x的函数，(图15) 各自有n阶导数，则（图14）（图15）。来自13导数作为变化量之比的极限，不仅是变量变化的一种数量表现，而且还能通过函数关系进行运算。线性主要部分导数的存在表明切线的存在。假如函数y=?(x)在点x处有导数?┡(x)存在，则函数曲线在相应点p(x,y)处有斜率为?┡(x)的惟一确定的切线存在。它在切点p附近与曲线密合,并且在相当靠近切点的地方，密合得难以区分（图2）。这在分析上意味着在点x的小邻域内，函数值y=?(x)是可以用切线上相应点的纵坐标值来近似的。而且在x充分小的邻域内，近似误差R与Δx=x1-x相比是微不足道的。事实上 由于?┡(x)存在，就有 这样，函数的改变量Δy就被分解成了两部分之和，其中第一项线性地依赖于Δx,而它与Δy相差是关于Δx的高阶无穷小量。换言之,当Δx很小时,舍弃这个微不足道的误差，剩下的部分?┡(x)Δx就可以作为Δy的近似值了。这一项被称为Δy的线性主要部分。来自14自变量x的变化量Δx与x是无关的,称为自变量的微分,记为dx；而因变量相应的变化量Δy的线性主要部分 则称为函数y=?(x)在点x处相应于自变量的变化量Δx的微分，用d?(x)或dy表示，即 Δy=d?(x)=dy。抽象看来，微分有两个特性，其一是dy是dx的齐次线性函数,其二是dy与Δy之差是关于Δx的高阶无穷小量。这两个特性完全决定了微分本身：如果有一个Δx的齐次线性函数为AΔx，同时具有第二种特性，则可以断定A=?┡(x),亦即线性函数AΔx就必定是函数的微分。所以对一元函数说来，导数的存在性与微分的存在性是等价的。微分的概念从萌发到完整，其严格化经历了几个世纪。即使在微积分蓬勃发展的牛顿-莱布尼茨-欧拉时代，数学家们尽管能用微分进行近似计算，布列并求解微分方程，但由于无穷小量的概念尚未精确化，微分的概念并不明晰；直至19世纪，数学的严格性发展到了新的高度，微分的概念才被确切地理解。一阶微分形式不变性 对复合函数如果?(u)和φ(x)都是可微函数，则在x为自变量时这说明，dy的表达式不论对自变量x还是对中间变量u其形式是不变的。也就是说可以不必区分变量u是自变量或因变量，函数y=?(u)的微分永远具有一个共同的形式： 这就是一阶微分形式不变性，这使得有时利用微分进行计算比运用导数要简单。由于一阶微分是自变量改变量的线性函数，在求函数的变化量时用微分作近似计算很简便。例如 在x=2与Δx=0.01时, ，而这里dy与Δy相同至三位小数,而计算dy要比计算Δy容易得多。来自15可以归纳地定义。一阶微分（仍然作为x的一个函数）的微分，即称为原来函数的二阶微分,记为关于乘积函数的莱布尼茨公式就变为 这里 d0u=u， d0v=v。需要注意的是,高阶微分不再具有形式不变性。对于y=?(u)，u=φ(x)，有dy=?┡(u)du，其中du=φ┡(x)dx是一个与x有关的函数，所以 如果u是自变量，则d2u=0，因而 这就是说，u是自变量还是因变量,会导致高阶微分具有不同的形式。来自16问1690年法国数学家M.罗尔首先发现，在闭区间上连续，区间内可微，在区间端点取等值的函数，其图形上至少存在一点，图形在该点的切线是“水平”的（图3）。与这个结论等价的是拉格朗日定理。来自问如果函数?(x)在闭区间【α,b)】上连续，在开区间(α,b)内可微,则在这个区间内至少存在一点ξ，使得。直观上说，就是在函数图形上至少存在一点，在该点处的切线与图形两端点的连线平行（图4）。不过定理本身并没有给出点ξ的确切位置,而且满足条件的ξ点也可能不只一个。如果设想?(t)表示一质点在时刻t所行的路程，那么就表示质点在时间间隔(α,b)中的平均速度,而?┡(t)表示质点在时刻t的瞬时速度的数值。定理的意义则在于断定至少存在一个时刻t=ξ,在这个时刻的瞬时速度的数值，恰等于平均速度的数值。形式上作些变化后，得到公式 式中0&θ&1,这个公式被称为拉格朗日有限增量公式。另一种较一般的形式称为柯西中值定理。来自问若函数?(x)与g(x)在闭区间【α,b】上连续，在开区间(α,b)内可微,则在这个区间内至少存在一点ξ，使得当g(x)=x时，上面定理与拉格朗日定理有同一形式，所以柯西中值定理是拉格朗日定理的最一般的形式。洛必达法则 法国数学家 G.-F.-A de洛必达于1696年在他的名著《无穷小分析》中，给出了一种确定未定式值的方法：如果函数?(x)与g(x)在区间(α,b)内可微，g┡(x)≠0，又如果极限过程x→α+0也可以换成别的极限过程(x→b)-0,x→с,x→∞)。由于所考虑的比?(x)/g(x)在极限过程中形式上趋于或,不能一般地定值,所以称为未定式。通过洛必达法则可以由?┡(x)/g┡(x)的极限来确定?(x)/g(x)的极限。应当注意的是，如果?┡(x)/g┡(x)的极限不存在,并不能肯定?(x)/g(x)的极限也不存在。此外还有0·∞，∞－∞，00，1∞及∞0几种类型的未定式,但它们都可以先经过适当代数变换化归型或型,然后用洛必达法则定值。 泰勒公式 多项式是最简单的一类初等函数。由于它本身的运算仅是有限次加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具。对于一个任意给定的函数?(x),总希望能找到一个n次多项式p(x),它至少在局部上与?(x)相当接近，因而在数值计算上能代替?(x)。 如果函数?(x)在某点x=x0附近本来就是一个多项式 逐次微分便给出 当n式中 称为函数?(x)在点x=x0处的n次泰勒多项式。对一般函数?(x),前面的估计式也可以成立，只要?(x)在点x=x0处n次可微。因为这时只要写出恒等式并重复使用洛必达法则便可以得到 故仍然有 这里余项的估计式 称为余项的皮亚诺形式。此外常用的还有余项的拉格朗日形式 式中ξ 位于x0与x之间的某一点。也有余项的柯西形式 。当然这里都假定?(n+1)（x）在x到x0之间处处存在。如果?(n+1)（x）在x与x0之间处处连续，则有余项的积分形式 通常，称原点x0=0处的泰勒公式为马克劳林公式，即 或 式中ξ介于0到x之间。来自17问描绘函数y=?(x)的图形，往往可以使人们获得?(x)的一个直观几何形象。这对于研究?(x)的变化规律，确定?(x)的极大值、极小值，甚至对方程近似求根都很有好处。选定笛卡儿坐标系后，描绘函数曲线y=?(x)的图形，原则上说要采取“列表描点法”。也就是说要在坐标系中描出一批点(x1,?(x1)),(x2,?(x2)),…,(xn,?(xn))；最后用适当的曲线顺次连结这些点。由于实际上只可能描出有限个点，这样得到的曲线图形当然是粗糙的。为了能比较全面细致、又比较简单地得到函数图形，重要的是把握函数在整体上变化的特性（如范围、对称性、周期性等）、趋势以及某些局部的特殊变化性态。函数在某点的导数，几何上给出了函数曲线在相应点处的切线的斜率。因此对于可微函数，借助于其一阶导数的代数符号，可以分析曲线上各点处的切线的状态，随之即可能对曲线“上升”与“下降”的变化规律作出一些判断。再借助函数的二阶导数的代数符号，又能对切线的变化规律加以分析，从而又可以对曲线的“凸”与“凹”的特征进一步作出判断。来自问如果函数取值随自变量的增大而增大，则称函数是单调增大的。反之，如果函数的取值随自变量的增大而减小，则称函数是单调减小的。单调增大和单调减小统称为单调。考虑可微函数y=?(x),其图形如图5。在其导数为正的区间,例如区间(x2,x4)内任取一点,比如x3，则曲线上对应点处切线的倾角必介于0到π/2之间，因而曲线在x3附近（从左到右）必定是上升的。故在区间(x2,x4)内函数是单调增大的；而在函数的导数为负的区间,例如区间(α,x2)内恰恰相反,函数是单调减小的。来自问如果函数在某一点所取的值不超过（或不小于）函数在该点某个邻域内其他各点的值，则称函数在该点处达到相对极小（或极大）值。该点是函数的一个极小（极大）值点。在图5中?(x)在x=x2，x=x0处达到极小值，而在x=x5处达到极大值,且x2、x6、x5都是极值点。17世纪法国数学家P de费马首先注意到，可微函数的极值只可能在适合方程?┡(x)=0的点，即驻点处达到。几何上看，曲线在相应极值点处的切线必定是“水平”的。不过驻点可能并不是极值点,如图5中在x=x4点的情形。因而函数在驻点是否达到极值，需进一步分析判定。如果函数在驻点处二阶导数存在而且大于零，则函数在驻点处达到极小值。事实上，如果二阶导数大于零，则一阶导数在驻点附近是单调增大的；又由于驻点处导数值是零，因而一阶导数在驻点左边小于零而在驻点右边大于零。这在几何上反映出函数在驻点左边单调减小，而在驻点右边单调增大；故函数必定在驻点处达到极小值，该驻点是一个极小值点。类似地，如果在驻点处二阶导数小于零，则该驻点必是一个极大值点。来自18微分学研究函数的导数与微分及其在函数研究中的应用。微分学与积分学联系密切，共同组成分析学的一个基本分支──微积分学。... /view/1831905.htm《微分学》是H．嘉当根据他在20世纪五、六十年代所授课程编写的。书中讲述了巴拿赫空间中的微分学、微分方程及微分形式，还讲述了变分学原理与活动标架法及对曲线 .../subject/3716257当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数），但仍然有微分的概念。 定义 设 f {\displaystyle f} 是从欧几里得空间R n （或者任意 ...https://zh.wikipedia.org/wiki/微分... 贝瓦（Roberval）的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数为零，然后求出函数极点的方法。 /view/15986微分学与积分学联系密切，共同组成分析学的一个基本分支──微积分学。微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。微分 … /wiki/微分学In calculus, the differential represents the principal part of the change in a function y = f(x) with respect to changes in the independent variable.相关领域： ·
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