第一篇:高一数学必修1课后习题答案人
人教版高中数学必修 1 课后习题答案 人教版高中数学必修 1 课后习题答案
人教版高中数学必修 1 课后习题答案 人教版高中数学必修 1 课后习题答案 人教版高中数学必修 1 课后习题答案
人教版高中数学必修 1 课后习题答案 人教版高中数学必修 1 课后习题答案 人教版高中数学必修 1 课后习题答案 人教版高中数学必修 1 课后习题答案
人教版高中数学必修 1 课后习题答案
人教版高中数学必修 1 课后习题答案
人教版高中数学必修 1 课后习题答案
人教版高中数学必修 1 课后习题答案
人教版高中数学必修 1 课后习题答案
人教版高中数学必修 1 课后习题答案
31第一篇:高一数学必修1课后习题答案高中数学必修 1 课后习题答案 不可抄袭 第一章 集合与函数概念
1．1．1 集合的含义与表示
练习（第 5 页） 1．用符号“ ? ”或“ ? ”填空： （1）设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______ A ，美国_______ A ， 印度_______ A ，英国_______ A ；
（2）若 A ? {x | x2 ? x} ，则 ?1 _______ A ； （3）若 B ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0} ，则 3 _______ B ； （4）若 C ? {x ? N |1 ? x ? 10} ，则 8 _______ C ， 9.1 _______ C ． 1． （1）中国 ? A ，美国 ? A ，印度 ? A ，英国 ? A ； 中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲． （2） ?1 ? A （3） 3 ? B
2 A ?{ x | x ? x } ? { 0 ,． 1} 2 B ?{ x | x ? x? 6 ? 0 } ? {? 3 ． , 2}
9.1? N ． （4） 8 ? C ， 9.1 ? C 2．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合；
（2）由小于 8 的所有素数组成的集合； （3）一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合； （4）不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集． 2．解： （1）因为方程 x ? 9 ? 0 的实数根为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ，
所以由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合为 {?3,3} ；
（2）因为小于 8 的素数为 2,3,5,7 ， 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 {2,3,5,7} ；
?y ? x ? 3 ?x ? 1 ，得 ? ， ? y ? ?2 x ? 6 ?y ? 4
即一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点为 (1, 4) ， 所以一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合为 {(1, 4)} ； （4）由 4 x ? 5 ? 3 ，得 x ? 2 ， 所以不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集为 {x | x ? 2} ．
1．1．2 集合间的基本关系
练习（第 7 页）
1．写出集合 {a, b, c} 的所有子集． 1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得 ? ； 取一个元素，得 {a},{b},{c} ； 取两个元素，得 {a, b},{a, c},{b, c} ； 取三个元素，得 {a, b, c} ， 即集合 {a, b, c} 的所有子集为 ?,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} ． 2．用适当的符号填空： （1） a ______ {a, b, c} ； （3） ? ______ {x ? R | x 2 ? 1 ? 0} ； （5） {0} ______ {x | x 2 ? x} ； 2． （1） a ?{a, b, c} （2） 0 ?{x | x2 ? 0} （2） 0 ______ {x | x 2 ? 0} ； （4） {0,1} ______ N ； （6） {2,1} ______ {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ．
a 是集合 {a, b, c} 中的一个元素；
{x |x2 ? 0 ? } {； 0}
方程 x ? 1 ? 0 无实数根， {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ? ? ；
（3） ? ? {x ? R | x2 ? 1 ? 0} （4） {0,1} （5） {0}
（或 {0,1} ? N ）
{ 0 , 1} 是自然数集合 N 的子集，也是真子集；
2 {x | x ? x} ? { 0 ,； 1}
{x | x 2 ? x} （或 {0} ? {x | x2 ? x} ）
（6） {2,1} ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} 3．判断下列两个集合之间的关系：
方程 x ? 3x ? 2 ? 0 两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 ．
（1） A ? {1, 2, 4} ， B ? {x | x是 8 的约数} ； （2） A ? {x | x ? 3k , k ? N} ， B ? {x | x ? 6 z, z ? N} ；
（3） A ? {x | x是 4 与10 的公倍数,x ? N? } ， B ? {x | x ? 20m, m ? N? }．
3．解： （1）因为 B ? {x | x是 8 的约数} ? {1, 2, 4,8} ，所以 A
（2）当 k ? 2 z 时， 3k ? 6 z ；当 k ? 2 z ? 1 时， 3k ? 6 z ? 3 ， 即 B 是 A 的真子集， B
（3）因为 4 与 10 的最小公倍数是 20 ，所以 A ? B ．
1．1．3 集合的基本运算
练习（第 11 页）
1．设 A ? {3,5,6,8}, B ? {4,5,7,8} ，求 A 1．解： A
B ? {3,5,6,8} {4,5,7,8} ? {5,8} ，
A B ? {3,5,6,8} {4,5,7,8} ? {3, 4,5,6,7,8} ．
2．设 A ? {x | x2 ? 4x ? 5 ? 0}, B ? {x | x2 ? 1} ，求 A 2．解：方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 5 ，
方程 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 1 ，
得 A ? {?1,5}, B ? {?1,1} ， 即A
B ? {?1}, A B ? {?1,1,5} ． B, A B ．
3．已知 A ? {x | x是等腰三角形} ， B ? {x | x是直角三角形} ，求 A 3．解： A
B ? {x | x是等腰直角三角形} ，
A B ? {x | x是等腰三角形或直角三角形} ．
4．已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} ， A ? {2, 4,5}, B ? {1,3,5,7} ， 求A
(痧 ( U B) ． U B),( U A)
4．解：显然 ? U B ? {2, 4,6} ， ? U A ? {1,3,6,7} ， 则A
(? ( U B) ? {6} ． U B) ? {2, 4} ， (痧 U A)
习题 1．1 （第 11 页） A组
1．用符号“ ? ”或“ ? ”填空： （1） 3
2 _______ Q ； 7
（2） 3 ______ N ；
（3） ? _______ Q ；
（4） 2 _______ R ； 1． （1） 3
（5） 9 _______ Z ； （6） ( 5)2 _______ N ． （2） 3 ? N
2 3 是有理数； 7
32 ? 9 是个自然数；
（3） ? ? Q （5） 9 ? Z
? 是个无理数，不是有理数； （4） 2 ? R
9 ? 3 是个整数；
（6） ( 5)2 ? N
2 是实数；
是个自然数． ( 52 )? 5
2．已知 A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } ，用 “ ? ”或“ ? ” 符号填空： （1） 5 _______ A ； （2） 7 _______ A ； （3） ?10 _______ A ． 2． （1） 5 ? A ； （2） 7 ? A ； （3） ?10 ? A ． 当 k ? 2 时， 3k ? 1 ? 5 ；当 k ? ?3 时， 3k ? 1 ? ?10 ； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于 1 且小于 6 的整数； （2） A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ； （3） B ? {x ? Z | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3} ． 3．解： （1）大于 1 且小于 6 的整数为 2,3, 4,5 ，即 {2,3, 4,5} 为所求； （2）方程 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 的两个实根为 x1 ? ?2, x2 ? 1 ，即 {?2,1} 为所求； （3）由不等式 ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 ，得 ?1 ? x ? 2 ，且 x ? Z ，即 {0,1, 2} 为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合： （1）二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合；
2 的自变量的值组成的集合； x （3）不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集．
（2）反比例函数 y ? 4．解： （1）显然有 x ? 0 ，得 x ? 4 ? ?4 ，即 y ? ?4 ，
2 得二次函数 y ? x ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ? ?4} ；
2 的自变量的值组成的集合为 {x | x ? 0} ； x 4 4 （3）由不等式 3x ? 4 ? 2 x ，得 x ? ，即不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集为 {x | x ? } ． 5 5
（2）显然有 x ? 0 ，得反比例函数 y ? 5．选用适当的符号填空： （1）已知集合 A ? {x | 2 x ? 3 ? 3x}, B ? {x | x ? 2} ，则有：
?4 _______ B ；
?3 _______ A ； { 2 } _______ B ；
B _______ A ；
（2）已知集合 A ? {x | x2 ?1 ? 0} ，则有：
1 _______ A ； {? 1} _______ A ；
? _______ A ； {1 ? _______ A ； , 1}
（3） {x | x是菱形} _______ {x | x是平行四边形} ； _______ {x | x是等边三角形} ． {x |x是等腰三角形 } 5． （1） ?4 ? B ；
?3 ? A ； { 2 } B ；
2 x ? 3 ? 3x ? x ? ?3 ，即 A ? {x | x ? ?3}, B ? {x | x ? 2} ；
（2） 1 ? A ；
{? 1} A ； ?
A ； {1 ? , 1} =A；
A ? {x | x2 ?1 ? 0} ? {?1,1} ；
（3） {x | x是菱形}
{x | x是平行四边形} ；
菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；
{x | x是等边三角形} {x | x是等腰三角形} ．
等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形． 6．设集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x} ，求 A
6．解： 3x ? 7 ? 8 ? 2 x ，即 x ? 3 ，得 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? 3} ， 则A
B ? {x | x ? 2} ， A B ? {x | 3 ? x ? 4} ．
7．设集合 A ? {x | x是小于 9 的正整数} ， B ? {1, 2,3}, C ? {3, 4,5,6} ，求 A
A C ， A (B C) ， A (B C) ．
7．解： A ? {x | x是小于 9 的正整数} ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8}， 则A 而B 则A
B ? {1, 2,3} ， A C ? {3, 4,5, 6} ， C ? {1, 2,3, 4,5,6} ， B C ? {3} ， ( B C ) ? {1, 2,3, 4,5,6} ，
A ( B C ) ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ．
8．学校里开运动会，设 A ? {x | x是参加一百米跑的同学}，
B ? {x | x是参加二百米跑的同学}， C ? {x | x是参加四百米跑的同学} ，
学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义： （1） A B ； （2） A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为 ( A （1） A
B) C ? ? ．
B ? {x | x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学} ；
（2） A C ? {x | x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学} ． 9．设 S ? {x | x是平行四边形或梯形} ， A ? {x | x是平行四边形} ， B ? {x | x是菱形} ， ，求 B C ， ?A B ， ?S A ． C ? { x | 是矩形 x } 9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即 B
C ? {x | x是正方形} ，
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即 ?A B ? {x | x是邻边不相等的平行四边形} ，
?S A ? {x | x是梯形}．
10．已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ? 10} ，求 ?R ( A
B) ， ?R ( A B) ，
(?R A) B ， A (?R B) ．
10．解： A
B ? {x | 2 ? x ? 10} ， A B ? {x | 3 ? x ? 7} ，
?R A ? {x | x ? 3, 或x ? 7} ， ?R B ? {x | x ? 2, 或x ? 10}，
B) ? {x | x ? 2, 或x ? 10} ，
?R ( A B) ? {x | x ? 3, 或x ? 7} ， (?R A) B ? {x | 2 ? x ? 3, 或7 ? x ? 10} ， A (?R B) ? {x | x ? 2, 或3 ? x ? 7或x ? 10} ．
1．已知集合 A ? {1, 2}，集合 B 满足 A 1． 4 集合 B 满足 A
B ? {1, 2} ，则集合 B 有
B ? A ，则 B ? A ，即集合 B 是集合 A 的子集，得 4 个子集．
2．在平面直角坐标系中，集合 C ? {( x, y) | y ? x} 表示直线 y ? x ，从这个角度看， 集合 D ? ?( x, y ) | ?
?2 x ? y ? 1 ? ? 表示什么？集合 C , D 之间有什么关系？ ? x ? 4 y ? 5? ?2 x ? y ? 1 ? ? 表示两条直线 2 x ? y ? 1, x ? 4 y ? 5 的交点的集合， ? x ? 4 y ? 5?
2．解：集合 D ? ?( x, y ) | ?
即 D ? ? ( x, y ) | ?
?2 x ? y ? 1 ? ? ? {(1,1)}，点 D(1,1) 显然在直线 y ? x 上， x ? 4 y ? 5 ? ?
3．设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} ， B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ，求 A 3．解：显然有集合 B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ? {1, 4} ， 当 a ? 3 时，集合 A ? {3} ，则 A 当 a ? 1 时，集合 A ? {1,3} ，则 A 当 a ? 4 时，集合 A ? {3, 4} ，则 A
B ? {1,3, 4}, A B ? ? ； B ? {1,3, 4}, A B ? {1} ； B ? {1,3, 4}, A B ? {4} ；
当 a ? 1 ，且 a ? 3 ，且 a ? 4 时，集合 A ? {3, a} ， 则A 4．已知全集 U ? A
B ? {1,3, 4, a}, A B ? ? ．
B． B ? {x ? N | 0 ? x ? 10} ， A (? U B) ? {1,3,5,7} ，试求集合
4．解：显然 U ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} ，由 U ? A 得? U B ? A ，即 A
(痧 U B) ?
B ，而 A (? U B) ? {1,3,5,7} ，
得? U B ? {1,3,5,7} ，而 B ? 痧 U ( U B) ， 即 B ? {0, 2, 4, 6,8.9,10} ．
集合与函数概念
1．2 函数及其表示
1．2．1 函数的概念
练习（第 19 页）
1．求下列函数的定义域：
（1） f ( x ) ?
1 ； 4x ? 7
（2） f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ?1 ．
1．解： （1）要使原式有意义，则 4 x ? 7 ? 0 ，即 x ? ? 得该函数的定义域为 {x | x ? ? } ； （2）要使原式有意义，则 ?
?1 ? x ? 0 ，即 ?3 ? x ? 1 ， ?x ? 3 ? 0
得该函数的定义域为 {x | ?3 ? x ? 1} ． 2．已知函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ， （1）求 f (2), f (?2), f (2) ? f (?2) 的值； （2）求 f (a), f ( ?a), f (a) ? f ( ?a) 的值． 2．解： （1）由 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ，得 f (2) ? 3 ? 22 ? 2 ? 2 ? 18 ， 同理得 f (?2) ? 3? (?2)2 ? 2 ? (?2) ? 8 ， 则 f (2) ? f (?2) ? 18 ? 8 ? 26 ， 即 f (2) ? 18, f (?2) ? 8, f (2) ? f (?2) ? 26 ； （2）由 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ，得 f (a) ? 3? a2 ? 2 ? a ? 3a2 ? 2a ， 同理得 f (?a) ? 3? (?a)2 ? 2 ? (?a) ? 3a2 ? 2a ， 则 f (a) ? f (?a) ? (3a2 ? 2a) ? (3a2 ? 2a) ? 6a 2 ， 即 f (a) ? 3a2 ? 2a, f (?a) ? 3a2 ? 2a, f (a) ? f (?a) ? 6a 2 ． 3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由： （1）表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h ? 130t ? 5t 和二次函数 y ? 130 x ? 5 x 2 ；
0 （2） f ( x) ? 1 和 g ( x) ? x ．
3．解： （1）不相等，因为定义域不同，时间 t ? 0 ； （2）不相等，因为定义域不同， g ( x) ? x ( x ? 0) ．
1．2．2 函数的表示法
练习（第 23 页）
1．如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为 xcm ，
面积为 ycm 2 ，把 y 表示为 x 的函数． 1．解：显然矩形的另一边长为 502 ? x2 cm ，
y ? x 502 ? x2 ? x 2500 ? x2 ，且 0 ? x ? 50 ，
即 y ? x 2500 ? x 2 (0 ? x ? 50) ． 2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （ 2）我骑着 车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离
2．解：图象（A）对应事件（2） ，在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B）对应事件（3） ，刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D）对应事件（1） ，返回家里的时刻，离开家的距离又为零； 图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数 y ?| x ? 2 | 的图象． 3．解： y ?| x ? 2 |? ?
? x ? 2, x ? 2 ，图象如下所示． ?? x ? 2, x ? 2
4 ．设 与 A
， A ? {x | x是锐角 }, B ? {0,1} ，从 A 到 B 的映射是“求正弦” 中元素 60 相对应
B 中的元素是什么？与 B 中的元素
2 相对应的 A 中元素是什 2
4．解：因为 sin 60 ?
3 3 ，所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的元素是 ； 2 2 2 2 ，所以与 B 中的元素 相对应的 A 中元素是 45 ． 2 2
1．2 函数及其表示 习题 1．2（第 23 页）
因为 sin 45 ?
1．求下列函数的定义域： （1） f ( x ) ? （3） f ( x) ?
3x ； x?4 6 ； x ? 3x ? 2
（2） f ( x) ? （4） f ( x) ?
4? x ． x ?1
1．解： （1）要使原式有意义，则 x ? 4 ? 0 ，即 x ? 4 ， 得该函数的定义域为 {x | x ? 4} ； （2） x ? R ， f ( x) ?
x 2 都有意义，
即该函数的定义域为 R ；
2 （3）要使原式有意义，则 x ? 3x ? 2 ? 0 ，即 x ? 1 且 x ? 2 ，
得该函数的定义域为 {x | x ? 1且x ? 2} ； （4）要使原式有意义，则 ?
?4 ? x ? 0 ，即 x ? 4 且 x ? 1 ， ?x ?1 ? 0
得该函数的定义域为 {x | x ? 4且x ? 1} ． 2．下列哪一组中的函数 f ( x ) 与 g ( x) 相等？ （1） f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? （3） f ( x) ? x 2 , g ( x) ?
x2 ?1 ； x
（2） f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( x )4 ；
x2 ?1 的定义域为 {x | x ? 0} ， x
2．解： （1） f ( x) ? x ? 1 的定义域为 R ，而 g ( x) ?
即两函数的定义域不同，得函数 f ( x ) 与 g ( x) 不相等； （2） f ( x) ? x 的定义域为 R ，而 g ( x) ? ( x ) 4 的定义域为 {x | x ? 0} ，
即两函数的定义域不同，得函数 f ( x ) 与 g ( x) 不相等； （3）对于任何实数，都有 3 x6 ? x2 ，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同， 得函数 f ( x ) 与 g ( x) 相等． 3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． （1） y ? 3x ； （2） y ? 3．解： （1）
8 ； （3） y ? ?4 x ? 5 ； （4） y ? x2 ? 6x ? 7 ． x
定义域是 (??, ??) ，值域是 (??, ??) ； （2）
定义域是 (??,0)
(0, ??) ，值域是 (??,0) (0, ??) ；
定义域是 (??, ??) ，值域是 (??, ??) ； （4）
定义域是 (??, ??) ，值域是 [?2, ??) ．
2 4．已知函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2 ，求 f (? 2) ， f (?a) ， f (a ? 3) ， f (a) ? f (3) ．
4．解：因为 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2 ，所以 f (? 2) ? 3? (? 2)2 ? 5 ? (? 2) ? 2 ? 8 ? 5 2 ，
即 f (? 2) ? 8 ? 5 2 ； 同理， f (?a) ? 3? (?a)2 ? 5 ? (?a) ? 2 ? 3a2 ? 5a ? 2 ， 即 f (?a) ? 3a2 ? 5a ? 2 ；
f (a ? 3) ? 3? (a ? 3)2 ? 5 ? (a ? 3) ? 2 ? 3a2 ? 13a ? 14 ，
即 f (a ? 3) ? 3a2 ? 13a ? 14 ；
f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 2 ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 16 ，
即 f (a) ? f (3) ? 3a ? 5a ? 16 ．
5．已知函数 f ( x) ?
x?2 ， x?6
（1）点 (3,14) 在 f ( x ) 的图象上吗？ （2）当 x ? 4 时，求 f ( x ) 的值；
（3）当 f ( x) ? 2 时，求 x 的值． 5．解： （1）当 x ? 3 时， f (3) ?
3? 2 5 ? ? ? 14 ， 3?6 3
即点 (3,14) 不在 f ( x ) 的图象上； （2）当 x ? 4 时， f (4) ?
4?2 ? ?3 ， 4?6
即当 x ? 4 时，求 f ( x ) 的值为 ?3 ； （3） f ( x) ?
x?2 ? 2 ，得 x ? 2 ? 2( x ? 6) ， x?6 即 x ? 14 ．
6．若 f ( x) ? x2 ? bx ? c ，且 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ，求 f (?1) 的值． 6．解：由 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ， 得 1,3 是方程 x ? bx ? c ? 0 的两个实数根，
即 1 ? 3 ? ?b,1? 3 ? c ，得 b ? ?4, c ? 3 ， 即 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ，得 f (?1) ? (?1)2 ? 4 ? (?1) ? 3 ? 8 ， 即 f (?1) 的值为 8 ． 7．画出下列函数的图象： （1） F ( x) ? ?
?0, x ? 0 ； ?1, x ? 0
（2） G(n) ? 3n ? 1, n ?{1, 2,3} ．
7．图象如下：
8．如图，矩形的面积为 10 ，如果矩形的长为 x ，宽为 y ，对角线为 d ， 周长为 l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
8．解：由矩形的面积为 10 ，即 xy ? 10 ，得 y ?
10 10 ( x ? 0) ， x ? ( y ? 0) ， x y
由对角线为 d ，即 d ?
x 2 ? y 2 ，得 d ? x 2 ?
100 ( x ? 0) ， x2
由周长为 l ，即 l ? 2 x ? 2 y ，得 l ? 2 x ?
20 ( x ? 0) ， x
2 2 2 另外 l ? 2( x ? y) ，而 xy ? 10, d ? x ? y ，
2 2 2 2 得 l ? 2 ( x ? y ) ? 2 x ? y ? 2 xy ? 2 d ? 20 (d ? 0) ，
即 l ? 2 d 2 ? 20 (d ? 0) ． 9．一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ，高是 hcm ，现在以 vcm / s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶 液内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有 ? ( ) x ? vt ，即 x ?
4v t， ?d2
显然 0 ? x ? h ，即 0 ?
4v h? d 2 t ? h 0 ? t ? ，得 ， ?d2 4v
h? d 2 ] 和值域为 [0, h] ． 得函数的定义域为 [0, 4v
10．设集合 A ? {a, b, c}, B ? {0,1} ，试问：从 A 到 B 的映射共有几个？ 并将它们分别表示出来． 10．解：从 A 到 B 的映射共有 8 个．
? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? ? ? ? 分别是 ? f (b) ? 0 ， ? f (b) ? 0 ， ? f (b) ? 1 ， ? f (b) ? 0 ， ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ? ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? ? ? ? ? f (b) ? 0 ， ? f (b) ? 0 ， ? f (b) ? 1 ， ? f (b) ? 0 ． ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ?
1．函数 r ? f ( p ) 的图象如图所示． （1）函数 r ? f ( p ) 的定义域是什么？ （2）函数 r ? f ( p ) 的值域是什么？ （3） r 取何值时，只有唯一的 p 值与之对应？ 1．解： （1）函数 r ? f ( p ) 的定义域是 [?5,0] [2,6) ； （2）函数 r ? f ( p ) 的值域是 [0, ??) ； （3）当 r ? 5 ，或 0 ? r ? 2 时，只有唯一的 p 值与之对应． 2．画出定义域为 {x | ?3 ? x ? 8, 且x ? 5} ，值域为 { y | ?1 ? y ? 2, y ? 0} 的一个函数的图象．
（1）如果平面直角坐标系中点 P( x, y ) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8 ， ?1 ? y ? 2 ，那么其中哪些点不能在图象 上？ （2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ 2．解：图象如下， （1）点 ( x, 0) 和点 (5, y ) 不能在图象上； （2）省略．
3．函数 f ( x) ? [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如， [?3.5] ? ?4 ， [2.1] ? 2 ． 当 x ? (?2.5,3] 时，写出函数 f ( x ) 的解析式，并作出函数的图象．
??3, ? 2.5 ? x ? ?2 ??2, ? 2 ? x ? ?1 ? ??1, ? 1 ? x ? 0 ? 3．解： f ( x) ? [ x] ? ?0, 0 ? x ? 1 ?1, 1 ? x ? 2 ? ?2, 2 ? x ? 3 ?3, x ? 3 ?
4． 如图所示， 一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km ， 从点 P 沿海岸正东 12 km 处有一个城镇．
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km / h ，步行的速度是 5km / h ， t （单位： h ）表示他从小岛 到城镇的时间， x （单位： km ）表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离．请将 t 表示为 x 的函数． （2）如果将船停在距点 P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到 1h ）？ 4．解： （1）驾驶小船的路程为 x2 ? 22 ，步行的路程为 12 ? x ， 得t ?
x 2 ? 22 12 ? x ， (0 ? x ? 12) ， ? 3 5 x 2 ? 4 12 ? x ， (0 ? x ? 12) ． ? 3 5 42 ? 4 12 ? 4 2 5 8 ? ? ? ? 3 (h) ． 3 5 3 5
（2）当 x ? 4 时， t ?
集合与函数概念
1．3 函数的基本性质
1．3．1 单调性与最大（小）值
练习（第 32 页）
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．
1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率 达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人 越多，生产效率就越高． 2．整个上午 (8 : 00
12 : 00) 天气越来越暖，中午时分 (12 : 00 13: 00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许
20 : 00 期间气温
多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山 (18 : 00) 才又开始转凉.画出这一天 8 : 00 作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下
[8, 12 ] [12,13] 是递减区间， [13,18] 是递增区间， [18, 20] 是递减区间． 是递增区间，
3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
3．解：该函数在 [?1, 0] 上是减函数，在 [0, 2] 上是增函数，在 [2, 4] 上是减函数， 在 [4,5] 上是增函数．
4．证明函数 f ( x) ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数. 4．证明：设 x1 , x2 ? R ，且 x1 ? x2 ， 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2( x1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 ， 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ， 所以函数 f ( x) ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数. 5．设 f ( x ) 是定义在区间 [ ?6,11] 上的函数.如果 f ( x ) 在区间 [?6, ?2] 上递减，在区间 [ ?2,11] 上递增，画 出 f ( x ) 的一个大致的图象，从图象上可以发现 f (?2) 是函数 f ( x ) 的一个 5．最小值． .
1．3．2 单调性与最大（小）值
练习（第 36 页）
1．判断下列函数的奇偶性： （1） f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 ； （2） f ( x) ? x3 ? 2x
x2 ? 1 （3） f ( x) ? ； x
（4） f ( x) ? x ? 1 .
1．解： （1）对于函数 f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 ，其定义域为 (??, ??) ，因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? 2(? x)4 ? 3(? x)2 ? 2 x4 ? 3x2 ? f ( x) ， 所以函数 f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 为偶函数； （2）对于函数 f ( x) ? x3 ? 2x ，其定义域为 (??, ??) ，因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? (? x)3 ? 2(? x) ? ?( x3 ? 2 x) ? ? f ( x) ， 所以函数 f ( x) ? x3 ? 2x 为奇函数； （3）对于函数 f ( x) ?
x2 ? 1 ，其定义域为 (??,0) (0, ??) ，因为对定义域内 x
(? x) 2 ? 1 x2 ? 1 ?? ? ? f ( x) ， 每一个 x 都有 f (? x) ? ?x x
所以函数 f ( x) ?
x2 ? 1 为奇函数； x
（4）对于函数 f ( x) ? x2 ? 1 ，其定义域为 (??, ??) ，因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? (? x)2 ? 1 ? x2 ? 1 ? f ( x) ， 所以函数 f ( x) ? x2 ? 1 为偶函数. 2.已知 f ( x ) 是偶函数， g ( x) 是奇函数，试将下图补充完整.
2．解： f ( x ) 是偶函数，其图象是关于 y 轴对称的；
g ( x) 是奇函数，其图象是关于原点对称的．
1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 y ? f ( x) 的单调区间，以及在各单调区间 上函数 y ? f ( x) 是增函数还是减函数. （ 1 ） y ? x ? 5x ? 6 ；
（2） y ? 9 ? x .
1．解： （1）
函数在 ( ??, ) 上递减；函数在 [ , ??) 上递增； （2）
函 2.证明：
(??, 0) 上递增；函数在 [0, ??) 上递减.
（1）函数 f ( x) ? x2 ? 1 在 ( ??, 0) 上是减函数； （2）函数 f ( x ) ? 1 ?
1 在 ( ??, 0) 上是增函数. x
2．证明： （1）设 x1 ? x2 ? 0 ，而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ， 由 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ，得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ， 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，所以函数 f ( x) ? x ? 1 在 ( ??, 0) 上是减函数；
（2）设 x1 ? x2 ? 0 ，而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
1 1 x1 ? x2 ， ? ? x2 x1 x1 x2
由 x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ，得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ， 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，所以函数 f ( x ) ? 1 ?
1 在 ( ??, 0) 上是增函数. x
3.探究一次函数 y ? mx ? b( x ? R) 的单调性，并证明你的结论. 3．解：当 m ? 0 时，一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数；
当 m ? 0 时，一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数， 令 f ( x) ? mx ? b ，设 x1 ? x2 ， 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m( x1 ? x2 ) ， 当 m ? 0 时， m( x1 ? x2 ) ? 0 ，即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ， 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数； 当 m ? 0 时， m( x1 ? x2 ) ? 0 ，即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ， 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数. 4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
5.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为
x2 ? 162 x ? 21000 ，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多 50
x2 ? 162 x ? 21000 ， 5．解：对于函数 y ? ? 50
162 1 2 ? (? ) 50
， ? 4050 时， ymax ? 307050 （元）
即每辆车的月租金为 4050 元时，租赁公司最大月收益为 307050 元． 6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? x(1 ? x) .画出函数 f ( x ) 的图象，并求出函数的解析式. 6．解：当 x ? 0 时， ? x ? 0 ，而当 x ? 0 时， f ( x) ? x(1 ? x) ， 即 f (? x) ? ? x(1 ? x) ，而由已知函数是奇函数，得 f (? x) ? ? f ( x) ， 得 ? f ( x) ? ? x(1 ? x) ，即 f ( x) ? x(1 ? x) ，
所以函数的解析式为 f ( x) ? ?
? x(1 ? x), x ? 0 . ? x(1 ? x), x ? 0
1.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ， g ( x) ? x2 ? 2 x ( x ?[2, 4]) . （1）求 f ( x ) ， g ( x) 的单调区间； （2）求 f ( x ) ， g ( x) 的最小值. 1．解： （1）二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的对称轴为 x ? 1 ， 则函数 f ( x ) 的单调区间为 (??,1),[1, ??) ， 且函数 f ( x ) 在 (??,1) 上为减函数，在 [1, ??) 上为增函数， 函数 g ( x) 的单调区间为 [2, 4] ， 且函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数； （2）当 x ? 1 时， f ( x)min ? ?1， 因为函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数， 所以 g ( x)min ? g (2) ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 0 ． 2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 30m ，那么宽 x （单位： m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积 是多少？
2．解：由矩形的宽为 x m ，得矩形的长为 则S ? x
30 ? 3 x m ，设矩形的面积为 S ， 2
30 ? 3x 3( x 2 ? 10 x) ?? ， 2 2
当 x ? 5 时， Smax ? 37.5 m ， 即宽 x ? 5 m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大， 且每间熊猫居室的最大面积是 37.5 m ．
3.已知函数 f ( x ) 是偶函数，而且在 (0, ??) 上是减函数，判断 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是增函数还是减函数，并 证明你的判断. 3．判断 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是增函数，证明如下： 设 x1 ? x2 ? 0 ，则 ? x1 ? ? x2 ? 0 ， 因为函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数，得 f (? x1 ) ? f (? x2 ) ， 又因为函数 f ( x ) 是偶函数，得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ， 所以 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是增函数．
复习参考题
1．用列举法表示下列集合： （1） A ? {x | x2 ? 9} ； （2） B ? {x ? N |1 ? x ? 2} ； （3） C ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}. 1．解： （1）方程 x ? 9 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ，即集合 A ? {?3,3} ；
（2） 1 ? x ? 2 ，且 x ? N ，则 x ? 1, 2 ，即集合 B ? {1, 2}； （3）方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的解为 x1 ? 1, x2 ? 2 ，即集合 C ? {1, 2} ．
2．设 P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1） {P | PA ? PB} ( A, B是两个定点) ； （2） {P | PO ? 3cm} (O是定点) . 2．解： （1）由 PA ? PB ，得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等， 即 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线； （2） {P | PO ? 3cm} 表示的点组成以定点 O 为圆心，半径为 3cm 的圆． 3.设平面内有 ?ABC ，且 P 表示这个平面内的动点，指出属于集合
{P | PA ? PB} {P | PA ? PC}的点是什么.
3．解：集合 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线， 集合 {P | PA ? PC} 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线， 得 {P | PA ? PB} {P | PA ? PC}的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的 垂直平分线的交点，即 ?ABC 的外心． 4.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1}， B ? {x | ax ? 1} .若 B ? A ，求实数 a 的值. 4．解：显然集合 A ? {?1,1} ，对于集合 B ? {x | ax ? 1} ， 当 a ? 0 时，集合 B ? ? ，满足 B ? A ，即 a ? 0 ； 当 a ? 0 时，集合 B ? { } ，而 B ? A ，则 得 a ? ?1 ，或 a ? 1 ， 综上得：实数 a 的值为 ?1, 0 ，或 1 ． 5. 已知集合 A ? {( x, y) | 2 x ? y ? 0} ， B ? {( x, y) | 3x ? y ? 0} ， C ? {( x, y) | 2 x ? y ? 3} ，求 A
1 1 ? ?1 ，或 ? 1 ， a a
A C ， ( A B) ( B C ) .
5．解：集合 A
? ?2 x ? y ? 0? B ? ?( x, y) | ? ? ? {(0, 0)} ，即 A B ? {(0,0)} ； 3 x ? y ? 0 ? ? ? ? ?2 x ? y ? 0 ? C ? ? ( x, y ) | ? ? ? ? ，即 A C ? ? ； ?2 x ? y ? 3 ? ?
? ?3 x ? y ? 0 ? 3 9 C ? ?( x, y ) | ? ? ? {( , ? )} ； 5 5 ? 2 x ? y ? 3? ?
3 9 B) ( B C ) ? {(0, 0), ( , ? )} . 5 5
6.求下列函数的定义域： （1） y ? （2） y ?
x?2? x?5 ；
x?4 . | x | ?5 ?x ? 2 ? 0 ，即 x ? 2 ， x ? 5 ? 0 ?
6．解： （1）要使原式有意义，则 ?
得函数的定义域为 [2, ??) ；
（2）要使原式有意义，则 ?
?x ? 4 ? 0 ，即 x ? 4 ，且 x ? 5 ， ?| x | ?5 ? 0
(5, ??) ．
得函数的定义域为 [4,5) 7.已知函数 f ( x ) ?
1? x ，求： 1? x
（2） f (a ? 1)(a ? ?2) .
（1） f (a) ? 1(a ? ?1) ； 7．解： （1）因为 f ( x ) ?
1? x ， 1? x 1? a 1? a 2 ?1 ? 所以 f ( a ) ? ，得 f (a) ? 1 ? ， 1? a 1? a 1? a 2 即 f (a) ? 1 ? ； 1? a 1? x （2）因为 f ( x ) ? ， 1? x 1 ? ( a ? 1) a ?? 所以 f (a ? 1) ? ， 1? a ?1 a?2 a 即 f ( a ? 1) ? ? ． a?2
1 ? x2 8.设 f ( x) ? ，求证： 1 ? x2
（1） f (? x) ? f ( x) ； （2） f ( ) ? ? f ( x ) .
8．证明： （1）因为 f ( x) ?
1 ? x2 ， 1 ? x2
所以 f (? x) ?
1 ? ( ? x) 2 1 ? x 2 ? ? f ( x) ， 1 ? ( ? x) 2 1 ? x 2
即 f ( ? x) ? f ( x) ； （2）因为 f ( x) ?
1 ? x2 ， 1 ? x2
1 1 ? ( )2 1 1 ? x2 x 所以 f ( ) ? ? ? ? f ( x) ， x 1 ? ( 1 )2 x2 ? 1 x 1 即 f ( ) ? ? f ( x) . x
9.已知函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性，求实数 k 的取值范围.
9．解：该二次函数的对称轴为 x ?
函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性，
k k ? 20 ，或 ? 5 ，得 k ? 160 ，或 k ? 40 ， 8 8 即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ，或 k ? 40 ．
则 10．已知函数 y ? x ?2 ， （1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在 (0, ??) 上是增函数还是减函数？ （4）它在 ( ??, 0) 上是增函数还是减函数？ 10．解： （1）令 f ( x) ? x ?2 ，而 f (? x) ? (? x)?2 ? x?2 ? f ( x) ， 即函数 y ? x ?2 是偶函数； （2）函数 y ? x ?2 的图象关于 y 轴对称； （3）函数 y ? x ?2 在 (0, ??) 上是减函数； （4）函数 y ? x ?2 在 ( ??, 0) 上是增函数．
1.学校举办运动会时，高一（1）班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛， 有 14 人参加球类比赛， 同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人， 同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人， 没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有 x 人， 则 15 ? 8 ? 14 ? 3 ? 3 ? x ? 28 ，得 x ? 3 ， 只参加游泳一项比赛的有 15 ? 3 ? 3 ? 9 （人） ， 即同时参加田径和球类比赛的有 3 人，只参加游泳一项比赛的有 9 人． 2.已知非空集合 A ? {x ? R | x2 ? a} ，试求实数 a 的取值范围. 2．解：因为集合 A ? ? ，且 x ? 0 ，所以 a ? 0 ．
3.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} ， ? U (A 3．解：由 ? U (A 集合 A
B. B) ? {1,3} ， A (? U B) ? {2, 4} ，求集合
B) ? {1,3} ，得 A B ? {2, 4,5,6,7,8,9} ，
B， B 里除去 A (? U B) ，得集合
所以集合 B ? {5, 6, 7,8,9} . 4.已知函数 f ( x) ? ?
? x( x ? 4), x ? 0 .求 f (1) ， f (?3) ， f (a ? 1) 的值. ? x( x ? 4), x ? 0
4．解：当 x ? 0 时， f ( x) ? x( x ? 4) ，得 f (1) ? 1? (1 ? 4) ? 5 ； 当 x ? 0 时， f ( x) ? x( x ? 4) ，得 f (?3) ? ?3 ? (?3 ? 4) ? 21 ；
?(a ? 1)(a ? 5), a ? ?1 ． f (a ? 1) ? ? ?(a ? 1)(a ? 3), a ? ?1
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ； 2 2 x ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) )? （2）若 g ( x) ? x2 ? ax ? b ，则 g ( 1 . 2 2 x ? x2 x ?x a ) ? a 1 2 ? b ? ( x1 ? x2 ) ? b ， 5．证明： （1）因为 f ( x) ? ax ? b ，得 f ( 1 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ax1 ? b ? ax2 ? b a ? ? ( x1 ? x2 ) ? b ， 2 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 所以 f ( ； 2 2
（1）若 f ( x) ? ax ? b ，则 f ( （2）因为 g ( x) ? x2 ? ax ? b ，
x1 ? x2 x ?x 1 ) ? ( x12 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? a( 1 2 ) ? b ， 2 4 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ? [( x12 ? ax1 ? b) ? ( x2 2 ? ax2 ? b)] 2 2 x ?x 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? a ( 1 2 ) ? b ， 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 因为 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ， 4 2 4 1 2 1 2 2 2 即 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ， 4 2 x ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) )? 所以 g ( 1 . 2 2
得 g( 6.（1）已知奇函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是减函数，试问：它在 [?b, ?a] 上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数 g ( x) 在 [ a, b] 上是增函数，试问：它在 [?b, ?a] 上是增函数还是减函数？ 6．解： （1）函数 f ( x ) 在 [?b, ?a] 上也是减函数，证明如下： 设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ，则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b ，
因为函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是减函数，则 f (? x2 ) ? f (? x1 ) ， 又因为函数 f ( x ) 是奇函数，则 ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ，即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ， 所以函数 f ( x ) 在 [?b, ?a] 上也是减函数； （2）函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数，证明如下： 设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ，则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b ， 因 为 函 数 g ( x ) 在 [ a, b] 上 是 增 函 数 ， 则 全月应纳税所得额 税 率
不超过 500 元的部分
g (? x2 ) ? g (?x1 ) ，
又因为函数 g ( x) 是偶函数，则 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ，即
5 10 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 15
所以函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数．
g ( x1 ) ? g ( x2 ) ，
7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分 不必纳税，超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为 x 元，应纳此项税款为 y 元，则
?0, 0 ? x ? 2000 ?( x ? 2000) ? 5%, 2000 ? x ? 2500 ? y?? ?25 ? ( x ? 2500) ?10%, 2500 ? x ? 4000 ? ?175 ? ( x ? 4000) ?15%, 4000 ? x ? 5000 由该人一月份应交纳此项税款为 26.78 元，得 2500 ? x ? 4000 ，
25 ? ( x ? 2500) ?10% ? 26.78 ，得 x ? 2517.8 ，
所以该人当月的工资、薪金所得是 2517.8 元．第一篇:高一数学必修1课后习题答案高中数学必修 1 课后习题答案 第一章 集合与函数概念
1．1．1 集合的含义与表示
练习（第 5 页）
1．用符号“ ? ”或“ ? ”填空 （1）设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______ A ，美国_______ A ， 印度_______ A ，英国_______ A ； （2）若 A ? { x | x ? x } ，则 ? 1 _______ A ；
（3）若 B ? { x | x ? x ? 6 ? 0} ，则 3 _______ B ；
（4）若 C ? { x ? N | 1 ? x ? 10} ，则 8 _______ C ， 9 .1 _______ C ． 1． （1）中国 ? A ，美国 ? A ，印度 ? A ，英国 ? A ； 中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲． （2） ? 1 ? A （3） 3 ? B
A ?{ x| x ?
x ? { 0 ,． } } 1
B ? { x | x ? x? 6 ? 0 } ? { ? 3 ． } , 2
9.1 ? N ． （4） 8 ? C ， 9 .1 ? C 2．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合；
（2）由小于 8 的所有素数组成的集合； （3）一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ? 2 x ? 6 的图象的交点组成的集合； （4）不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集． 2．解： （1）因为方程 x ? 9 ? 0 的实数根为 x1 ? ? 3, x 2 ? 3 ，
所以由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合为 { ? 3, 3} ；
（2）因为小于 8 的素数为 2, 3, 5, 7 ， 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 {2, 3, 5, 7} ；
?y ? x?3 ? y ? ?2 x ? 6 ?x ? 1 ?y ? 4
即一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ? 2 x ? 6 的图象的交点为 (1, 4) ， 所以一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ? 2 x ? 6 的图象的交点组成的集合为 { (1, 4 )} ； （4）由 4 x ? 5 ? 3 ，得 x ? 2 ， 所以不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集为 { x | x ? 2} ．
1．1．2 集合间的基本关系
练习（第 7 页）
1．写出集合 { a , b , c} 的所有子集． 1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得 ? ； 取一个元素，得 { a } ,{b } ,{ c } ； 取两个元素，得 { a , b },{ a , c },{b , c } ； 取三个元素，得 { a , b , c} ， 即集合 { a , b , c} 的所有子集为 ? ,{ a },{b },{ c },{ a , b},{ a , c},{b , c},{ a , b , c } ． 2．用适当的符号填空： （1） a ______ { a , b , c} ； （3） ? ______ { x ? R | x ? 1 ? 0} ；
（2） 0 ______ { x | x ? 0} ；
（4） {0,1} ______ N ； （6） {2,1} ______ { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} ．
（5） {0} ______ { x | x ? x } ；
2． （1） a ? { a , b , c } （2） 0 ? { x | x ? 0}
a 是集合 { a , b , c } 中的一个元素；
{ x |x ? 0 ? }
（3） ? ? { x ? R | x ? 1 ? 0} （4） {0,1} （5） {0}
方程 x ? 1 ? 0 无实数根， { x ? R | x ? 1 ? 0} ? ? ；
{ 0 , 1是自然数集合 N 的子集，也是真子集； }
（或 {0,1} ? N ）
{ x | x ? x}
（或 {0} ? { x | x ? x} ）
{ 0 ,； } 1
（6） {2,1} ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} 3．判断下列两个集合之间的关系：
方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 两根为 x1 ? 1, x 2 ? 2 ．
（1） A ? {1, 2, 4} ， B ? { x | x 是 8 的 约 数 } ； （2） A ? { x | x ? 3 k , k ? N } ， B ? { x | x ? 6 z , z ? N } ； （3） A ? { x | x 是 4 与 10 的 公 倍 数 , x ? N ? } ， B ? { x | x ? 2 0 m , m ? N ? } ．
3．解： （1）因为 B ? { x | x 是 8 的 约 数 } ? {1, 2, 4, 8} ，所以 A
（2）当 k ? 2 z 时， 3 k ? 6 z ；当 k ? 2 z ? 1 时， 3 k ? 6 z ? 3 ， 即 B 是 A 的真子集， B
（3）因为 4 与 10 的最小公倍数是 2 0 ，所以 A ? B ．
1．1．3 集合的基本运算
练习（第 11 页）
1．设 A ? {3, 5, 6, 8}, B ? {4, 5, 7, 8} ，求 A ? B , A ? B ． 1．解： A ? B ? {3, 5, 6, 8} ? {4, 5, 7, 8} ? {5, 8} ，
A ? B ? {3, 5, 6, 8} ? {4, 5, 7, 8} ? {3, 4, 5, 6, 7, 8} ．
2．设 A ? { x | x ? 4 x ? 5 ? 0} , B ? { x | x ? 1} ，求 A ? B , A ? B ．
2．解：方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的两根为 x1 ? ? 1, x 2 ? 5 ，
方程 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ? 1, x 2 ? 1 ，
得 A ? { ? 1, 5}, B ? { ? 1,1} ， 即 A ? B ? { ? 1}, A ? B ? { ? 1,1, 5} ． 3．已知 A ? { x | x 是 等 腰 三 角 形 } ， B ? { x | x 是 直 角 三 角 形 } ，求 A ? B , A ? B ． 3．解： A ? B ? { x | x 是 等 腰 直 角 三 角 形 } ，
A ? B ? { x | x是 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 } ．
4．已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ， A ? {2, 4, 5} , B ? {1, 3, 5, 7} ， 求 A ? ( 痧 B ), ( U
A) ? ( B) ．
4．解：显然 ?U B ? {2, 4, 6} ， ?U A ? {1, 3, 6, 7} ， 则 A ? ( ?U B ) ? {2, 4} ， ( 痧 A ) ? ( U
B ) ? {6} ．
习题 1．1 （第 11 页）
1．用符号“ ? ”或“ ? ”填空： （1） 3
（2） 3 ______ N ；
_______ Q ；
（3） ? _______ Q ；
（4） 2 _______ R ； 1． （1） 3
2 7 ?Q 3 2 7
2 （5） 9 _______ Z ； （6） ( 5 ) _______ N ．
是有理数；
（2） 3 ? N
3 ? 9 是个自然数；
（3） ? ? Q （5） 9 ? Z
? 是个无理数，不是有理数； （4） 2 ? R
9 ? 3 是个整数；
2 是实数；
（6） ( 5 ) ? N
5 是个自然数．
2．已知 A ? { x | x ? 3 k ? 1, k ? Z } ，用 “ ? ”或“ ? ” 符号填空： （1） 5 _______ A ； （2） 7 _______ A ； （3） ? 10 _______ A ． 2． （1） 5 ? A ； （2） 7 ? A ； （3） ? 10 ? A ．
当 k ? 2 时， 3 k ? 1 ? 5 ；当 k ? ? 3 时， 3 k ? 1 ? ? 1 0 ； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于 1 且小于 6 的整数； （2） A ? { x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ； （3） B ? { x ? Z | ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3} ． 3．解： （1）大于 1 且小于 6 的整数为 2, 3, 4, 5 ，即 {2, 3, 4, 5} 为所求； （2）方程 ( x ? 1)( x ? 2 ) ? 0 的两个实根为 x1 ? ? 2, x 2 ? 1 ，即 { ? 2,1} 为所求； （3）由不等式 ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3 ，得 ? 1 ? x ? 2 ，且 x ? Z ，即 {0,1, 2} 为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合： （1）二次函数 y ? x ? 4 的函数值组成的集合；
（2）反比例函数 y ?
的自变量的值组成的集合；
（3）不等式 3 x ? 4 ? 2 x 的解集． 4．解： （1）显然有 x ? 0 ，得 x ? 4 ? ? 4 ，即 y ? ? 4 ，
得二次函数 y ? x ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ? ? 4} ；
（2）显然有 x ? 0 ，得反比例函数 y ? （3）由不等式 3 x ? 4 ? 2 x ，得 x ? 5．选用适当的符号填空：
的自变量的值组成的集合为 { x | x ? 0} ；
，即不等式 3 x ? 4 ? 2 x 的解集为 { x | x ?
（1）已知集合 A ? { x | 2 x ? 3 ? 3 x }, B ? { x | x ? 2} ，则有：
? 4 _______ B ；
? 3 _______ A ；
{2} _______ B ；
B _______ A ；
（2）已知集合 A ? { x | x ? 1 ? 0} ，则有：
1 _______ A ；
{? 1 } _______ A ；
? _______ A ；
{ 1 ? 1_______ A ； , }
（3） { x | x是 菱 形 } _______ { x | x是 平 行 四 边 形 } ；
{ x | x是 等 腰 三 角 形 } _______ { x | x是 等 边 三 角 形 } ．
5． （1） ? 4 ? B ；
2 x ? 3 ? 3 x ? x ? ? 3 ，即 A ? { x | x ? ? 3} , B ? { x | x ? 2} ；
（2） 1 ? A ；
{? 1 } A ；
{ 1 ? 1= A ； , }
A ? { x | x ? 1 ? 0} ? { ? 1,1} ；
（3） { x | x是 菱 形 }
{ x | x是 平 行 四 边 形 } ；
菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；
{ x | x是 等 边 三 角 形 } { x | x是 等 腰 三 角 形 } ．
等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形． 6．设集合 A ? { x | 2 ? x ? 4}, B ? { x | 3 x ? 7 ? 8 ? 2 x} ，求 A ? B , A ? B ． 6．解： 3 x ? 7 ? 8 ? 2 x ，即 x ? 3 ，得 A ? { x | 2 ? x ? 4}, B ? { x | x ? 3} ， 则 A ? B ? { x | x ? 2} ， A ? B ? { x | 3 ? x ? 4} ． 7．设集合 A ? { x | x 是 小 于 9 的 正 整 数 } ， B ? {1, 2, 3} , C ? {3, 4, 5, 6} ，求 A ? B ，
A ? C ， A ? (B ? C ) ， A ? (B ? C ) ．
7．解： A ? { x | x 是 小 于 9 的 正 整 数 } ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ， 则 A ? B ? {1, 2, 3} ， A ? C ? {3, 4, 5, 6} ， 而 B ? C ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} ， B ? C ? {3} ， 则 A ? ( B ? C ) ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，
A ? ( B ? C ) ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ．
8．学校里开运动会，设 A ? { x | x 是 参 加 一 百 米 跑 的 同 学 } ，
B ? { x | x是 参 加 二 百 米 跑 的 同 学 } ， C ? { x | x是 参 加 四 百 米 跑 的 同 学 } ，
学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义： （1） A ? B ； （2） A ? C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为 ( A ? B ) ? C ? ? ． （1） A ? B ? { x | x 是 参 加 一 百 米 跑 或 参 加 二 百 米 跑 的 同 学 } ； （2） A ? C ? { x | x 是 既 参 加 一 百 米 跑 又 参 加 四 百 米 跑 的 同 学 } ． 9．设 S ? { x | x 是 平 行 四 边 形 或 梯 形 } ， A ? { x | x 是 平 行 四 边 形 } ， B ? { x | x 是 菱 形 } ，
C ? { x | 是矩形 } x ，求 B ? C ， ?A B ， ?S A ．
9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即 B ? C ? { x | x 是 正 方 形 } ， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即 ?A B ? { x | x 是 邻 边 不 相 等 的 平 行 四 边 形 } ，
?S A ? { x | x 是 梯 形 } ．
10．已知集合 A
? { x | 3 ? x ? 7}, B ? { x | 2 ? x ? 10} ，求 ?R ( A ? B ) ， ?R ( A ? B ) ，
( ?R A ) ? B ， A ? ( ?R B ) ．
10．解： A ? B ? { x | 2 ? x ? 10} ， A ? B ? { x | 3 ? x ? 7} ，
?R A ? { x | x ? 3, 或 x ? 7} ， ?R B ? { x | x ? 2, 或 x ? 1 0} ，
得 ?R ( A ? B ) ? { x | x ? 2, 或 x ? 1 0} ，
?R ( A ? B ) ? { x | x ? 3, 或 x ? 7} ， ( ?R A ) ? B ? { x | 2 ? x ? 3, 或 7 ? x ? 10} ， A ? ( ?R B ) ? { x | x ? 2, 或 3 ? x ? 7 或 x ? 10} ．
1．已知集合 A ? {1, 2} ，集合 B 满足 A ? B ? {1, 2} ，则集合 B 有 1． 4 个．
集合 B 满足 A ? B ? A ，则 B ? A ，即集合 B 是集合 A 的子集，得 4 个子集．
2．在平面直角坐标系中，集合 C ? {( x , y ) | y ? x } 表示直线 y ? x ，从这个角度看，
? ?2 x ? y ? 1 ? ? 表示什么？集合 C , D 之间有什么关系？ ? x ? 4 y ? 5? ?2 x ? y ? 1 ? ? 表示两条直线 2 x ? y ? 1, x ? 4 y ? 5 的交点的集合， ? x ? 4 y ? 5?
集合 D ? ? ( x , y ) | ?
2．解：集合 D ? ? ( x , y ) | ?
即 D ? ?( x, y ) | ?
?2 x ? y ? 1 ? ? ? { (1,1)} ，点 D (1,1) 显然在直线 y ? x 上， ? x ? 4 y ? 5?
3．设集合 A ? { x | ( x ? 3)( x ? a ) ? 0, a ? R } ， B ? { x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ，求 A ? B , A ? B ． 3．解：显然有集合 B ? { x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ? {1, 4} ， 当 a ? 3 时，集合 A ? {3} ，则 A ? B ? {1, 3, 4} , A ? B ? ? ； 当 a ? 1 时，集合 A ? {1, 3} ，则 A ? B ? {1, 3, 4}, A ? B ? {1} ； 当 a ? 4 时，集合 A ? {3, 4} ，则 A ? B ? {1, 3, 4}, A ? B ? {4} ； 当 a ? 1 ，且 a ? 3 ，且 a ? 4 时，集合 A ? {3, a} ， 则 A ? B ? {1, 3, 4, a }, A ? B ? ? ． 4．已知全集 U ? A ? B ? { x ? N | 0 ? x ? 10} ， A ? ( ?U B ) ? {1, 3, 5, 7} ，试求集合 B ．
4．解：显然 U ? {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} ，由 U ? A ? B ， 得 ?U B ? A ，即 A ? ( 痧 B ) ? U
B ，而 A ? ( ?U B ) ? {1, 3, 5, 7} ， B) ，
得 ?U B ? {1, 3, 5, 7} ，而 B ? 痧 ( U 即 B ? {0, 2, 4, 6, 8.9,10} ．
集合与函数概念
1．2 函数及其表示
1．2．1 函数的概念
练习（第 19 页）
1．求下列函数的定义域： （1） f ( x ) ?
（2） f ( x ) ?
x ? 3 ?1．
1．解： （1）要使原式有意义，则 4 x ? 7 ? 0 ，即 x ? ? 得该函数的定义域为 { x | x ? ? } ；
（2）要使原式有意义，则 ?
?1 ? x ? 0 ?x ? 3 ? 0
，即 ? 3 ? x ? 1 ，
得该函数的定义域为 { x | ? 3 ? x ? 1} ． 2．已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ，
（1）求 f (2), f ( ? 2), f (2) ? f ( ? 2) 的值； （2）求 f ( a ), f ( ? a ), f ( a ) ? f ( ? a ) 的值． 2．解： （1）由 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ，得 f (2 ) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 8 ，
同理得 f ( ? 2 ) ? 3 ? ( ? 2 ) ? 2 ? ( ? 2 ) ? 8 ，
则 f (2) ? f ( ? 2) ? 18 ? 8 ? 26 ， 即 f (2) ? 18, f ( ? 2) ? 8, f (2) ? f ( ? 2) ? 26 ； （2）由 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ，得 f ( a ) ? 3 ? a ? 2 ? a ? 3 a ? 2 a ，
同理得 f ( ? a ) ? 3 ? ( ? a ) ? 2 ? ( ? a ) ? 3 a ? 2 a ，
则 f ( a ) ? f ( ? a ) ? (3 a ? 2 a ) ? (3 a ? 2 a ) ? 6 a ，
即 f (a ) ? 3a ? 2 a , f (? a ) ? 3a ? 2 a , f (a ) ? f ( ? a ) ? 6 a ．
3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由： （1）表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h ? 130 t ? 5 t 和二次函数 y ? 1 3 0 x ? 5 x ；
（2） f ( x ) ? 1 和 g ( x ) ? x ．
3．解： （1）不相等，因为定义域不同，时间 t ? 0 ； （2）不相等，因为定义域不同， g ( x ) ? x ( x ? 0 ) ．
1．2．2 函数的表示法
练习（第 23 页）
1．如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为 xcm ， 面积为 ycm ，把 y 表示为 x 的函数． 1．解：显然矩形的另一边长为 5 0 ? x cm ，
y ? x 50 ? x
? x 2500 ? x
，且 0 ? x ? 50 ，
即 y ? x 2500 ? x (0 ? x ? 50) ． 2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车一路 匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离
2．解：图象（A）对应事件（2） ，在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B）对应事件（3） ，刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D）对应事件（1） ，返回家里的时刻，离开家的距离又为零； 图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数 y ? | x ? 2 | 的图象．
? x ? 2, x ? 2 ? ? x ? 2, x ? 2
3．解： y ? | x ? 2 | ? ?
，图象如下所示．
A ? { x | x 是 锐 角}, B ? {0,1} ，从 A 到 B 的映射是“求正弦” ，与 A 中
元素 6 0 相对应
2 2 3 2 2 2 2 2 3 2
的 B 中的元素是什么？与 B 中的元素
相对应的 A 中元素是什么？
4．解：因为 sin 6 0 ?
，所以与 A 中元素 6 0 相对应的 B 中的元素是
因为 sin 4 5 ?
，所以与 B 中的元素
相对应的 A 中元素是 4 5 ．
1．2 函数及其表示 习题 1．2（第 23 页） 1．求下列函数的定义域： （1） f ( x ) ?
（2） f ( x ) ?
（3） f ( x ) ?
x ? 3x ? 2
（4） f ( x ) ?
1．解： （1）要使原式有意义，则 x ? 4 ? 0 ，即 x ? 4 ， 得该函数的定义域为 { x | x ? 4} ； （2） x ? R ， f ( x ) ?
x 都有意义，
即该函数的定义域为 R ； （3）要使原式有意义，则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ，即 x ? 1 且 x ? 2 ，
得该函数的定义域为 { x | x ? 1且 x ? 2} ；
?4 ? x ? 0 ?x ?1 ? 0
（4）要使原式有意义，则 ?
，即 x ? 4 且 x ? 1 ，
得该函数的定义域为 { x | x ? 4 且 x ? 1} ． 2．下列哪一组中的函数 f ( x ) 与 g ( x ) 相等？
（1） f ( x ) ? x ? 1, g ( x ) ?
（2） f ( x ) ? x , g ( x ) ? ( x ) ；
（3） f ( x ) ? x , g ( x ) ?
2．解： （1） f ( x ) ? x ? 1 的定义域为 R ，而 g ( x ) ?
? 1 的定义域为 { x | x ? 0} ，
即两函数的定义域不同，得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 不相等； （2） f ( x ) ? x 的定义域为 R ，而 g ( x ) ? ( x ) 的定义域为 { x | x ? 0} ，
即两函数的定义域不同，得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 不相等； （3）对于任何实数，都有 x ? x ，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，
得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 相等． 3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． （1） y ? 3 x ； 3．解： （1） （2） y ?
； （3） y ? ? 4 x ? 5 ； （4） y ? x ? 6 x ? 7 ．
定义域是 ( ? ? , ? ? ) ，值域是 ( ? ? , ? ? ) ； （2）
定义域是 ( ? ? , 0) ? (0, ? ? ) ，值域是 ( ? ? , 0) ? (0, ? ? ) ；
定义域是 ( ? ? , ? ? ) ，值域是 ( ? ? , ? ? ) ； （4）
定义域是 ( ? ? , ? ? ) ，值域是 [ ? 2, ? ? ) ． 4．已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2 ，求 f ( ? 2 ) ， f ( ? a ) ， f ( a ? 3) ， f ( a ) ? f (3) ．
4．解：因为 f ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2 ，所以 f ( ? 2 ) ? 3 ? ( ? 2 ) ? 5 ? ( ? 2 ) ? 2 ? 8 ? 5 2 ，
即 f (? 2 ) ? 8 ? 5 2 ； 同理， f ( ? a ) ? 3 ? ( ? a ) ? 5 ? ( ? a ) ? 2 ? 3 a ? 5 a ? 2 ，
即 f (? a ) ? 3a ? 5a ? 2 ；
f ( a ? 3) ? 3 ? ( a ? 3) ? 5 ? ( a ? 3) ? 2 ? 3 a ? 13 a ? 14 ，
即 f ( a ? 3) ? 3 a ? 13 a ? 14 ；
f ( a ) ? f (3) ? 3 a ? 5 a ? 2 ? f (3) ? 3 a ? 5 a ? 1 6 ，
即 f ( a ) ? f (3) ? 3 a ? 5 a ? 16 ．
5．已知函数 f ( x ) ?
（1）点 (3,1 4 ) 在 f ( x ) 的图象上吗？ （2）当 x ? 4 时，求 f ( x ) 的值； （3）当 f ( x ) ? 2 时，求 x 的值． 5．解： （1）当 x ? 3 时， f (3) ?
3? 2 3?6 ? ? 5 3 ? 14 ，
即点 (3,14) 不在 f ( x ) 的图象上； （2）当 x ? 4 时， f ( 4 ) ?
4?2 4?6 ? ?3 ，
即当 x ? 4 时，求 f ( x ) 的值为 ? 3 ；
（3） f ( x ) ?
? 2 ，得 x ? 2 ? 2 ( x ? 6 ) ，
即 x ? 14 ． 6．若 f ( x ) ? x ? bx ? c ，且 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ，求 f ( ? 1) 的值．
6．解：由 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ， 得 1, 3 是方程 x ? bx ? c ? 0 的两个实数根，
即 1 ? 3 ? ? b ,1 ? 3 ? c ，得 b ? ? 4, c ? 3 ， 即 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 ，得 f ( ? 1) ? ( ? 1) ? 4 ? ( ? 1) ? 3 ? 8 ，
即 f ( ? 1) 的值为 8 ． 7．画出下列函数的图象： （1） F ( x ) ? ?
? 0, x ? 0 ?1, x ? 0
（2） G ( n ) ? 3 n ? 1, n ? {1, 2, 3} ．
7．图象如下：
8．如图，矩形的面积为 10 ，如果矩形的长为 x ，宽为 y ，对角线为 d ， 周长为 l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
8．解：由矩形的面积为 10 ，即 xy ? 10 ，得 y ?
( x ? 0) ， x ?
( y ? 0) ，
由对角线为 d ，即 d ?
x ? y ，得 d ?
( x ? 0) ，
由周长为 l ，即 l ? 2 x ? 2 y ，得 l ? 2 x ?
( x ? 0) ，
另外 l ? 2( x ? y ) ，而 xy ? 10, d ? x ? y ，
得 l ? 2 ( x ? y ) ? 2 x ? y ? 2 xy ? 2 d ? 2 0 ( d ? 0 ) ，
即 l ? 2 d ? 20 (d ? 0) ．
9．一个圆柱形容器的底部直径是 d cm ，高是 h cm ，现在以 vcm / s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶 液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有 ? ( ) x ? vt ，即 x ?
显然 0 ? x ? h ，即 0 ?
t ? h ，得 0 ? t ?
得函数的定义域为 [0,
] 和值域为 [0 , h ] ．
10．设集合 A ? { a , b , c } , B ? {0,1} ，试问：从 A 到 B 的映射共有几个？ 并将它们分别表示出来． 10．解：从 A 到 B 的映射共有 8 个．
? f (a ) ? 0 ? f (a ) ? 0 ? f (a ) ? 0 ? f (a ) ? 0 ? ? ? ? 分别是 ? f ( b ) ? 0 ， ? f ( b ) ? 0 ， ? f ( b ) ? 1 ， ? f ( b ) ? 0 ， ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ? ? f (a ) ? 1 ? f (a ) ? 1 ? f (a ) ? 1 ? f (a ) ? 1 ? ? ? ? ? f (b ) ? 0 ， ? f (b ) ? 0 ， ? f (b ) ? 1 ， ? f (b ) ? 0 ． ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ?
1．函数 r ? f ( p ) 的图象如图所示．
（1）函数 r ? f ( p ) 的定义域是什么？ （2）函数 r ? f ( p ) 的值域是什么？ （3） r 取何值时，只有唯一的 p 值与之对应？ 1．解： （1）函数 r ? f ( p ) 的定义域是 [ ? 5, 0] ? [2, 6) ； （2）函数 r ? f ( p ) 的值域是 [0, ? ? ) ； （3）当 r ? 5 ，或 0 ? r ? 2 时，只有唯一的 p 值与之对应． 2．画出定义域为 { x | ? 3 ? x ? 8, 且 x ? 5} ，值域为 { y | ? 1 ? y ? 2, y ? 0} 的一个函数的图象．
（1）如果平面直角坐标系中点 P ( x , y ) 的坐标满足 ? 3 ? x ? 8 ， ? 1 ? y ? 2 ，那么其中哪些点不能在图象上？ （2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ 2．解：图象如下， （1）点 ( x , 0 ) 和点 (5, y ) 不能在图象上； （2）省略．
3．函数 f ( x ) ? [ x ] 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如， [ ? 3 .5] ? ? 4 ， [2.1] ? 2 ． 当 x ? ( ? 2 .5, 3] 时，写出函数 f ( x ) 的解析式，并作出函数的图象．
? ? 3, ? 2 .5 ? x ? ? 2 ? ? 2, ? 2 ? x ? ? 1 ? ? ? 1, ? 1 ? x ? 0 ? f ( x ) ? [ x ] ? ? 0, 0 ? x ? 1 ?1, 1 ? x ? 2 ? ? 2, 2 ? x ? 3 ? ? 3, x ? 3
3 ． 解 ：
4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2 km ，从点 P 沿海岸正东 1 2 km 处有一个城镇．
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3 km / h ，步行的速度是 5 km / h ， t （单位： h ）表示他从小岛到城 镇的时间， x （单位： km ）表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离．请将 t 表示为 x 的函数． （2）如果将船停在距点 P 4 km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到 1h ）？ 4．解： （1）驾驶小船的路程为 x ? 2 ，步行的路程为 12 ? x ，
， (0 ? x ? 12) ，
， (0 ? x ? 12) ．
（2）当 x ? 4 时， t ?
? 3 (h) ．
集合与函数概念
1．3 函数的基本性质
1．3．1 单调性与最大（小）值
练习（第 32 页）
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．
1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最 大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效 率就越高． 2．整个上午 (8 : 00 ? 12 : 00) 天气越来越暖，中午时分 (12 : 00 ? 13 : 00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴 风雨过后，天气转暖，直到太阳落山 (1 8 : 0 0 ) 才又开始转凉.画出这一天 8 : 00 ? 20 : 00 期间气温作为时间函 数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下
[8,12] 是递增区间， [1 2,1 3] 是递减区间， [1 3,1 8] 是递增区间， [1 8, 2 0 ] 是递减区间．
3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
3．解：该函数在 [ ? 1, 0 ] 上是减函数，在 [0 , 2 ] 上是增函数，在 [ 2 , 4 ] 上是减函数， 在 [4, 5] 上是增函数． 4．证明函数 f ( x ) ? ? 2 x ? 1 在 R 上是减函数. 4．证明：设 x1 , x 2 ? R ，且 x1 ? x 2 ， 因为 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 2( x1 ? x 2 ) ? 2( x 2 ? x1 ) ? 0 ， 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ， 所以函数 f ( x ) ? ? 2 x ? 1 在 R 上是减函数. 5． f ( x ) 是定义在区间 [ ? 6,1 1] 上的函数.如果 f ( x ) 在区间 [ ? 6, ? 2 ] 上递减， 设 在区间 [ ? 2,1 1] 上递增， 画出 f ( x ) 的一个大致的图象，从图象上可以发现 f ( ? 2 ) 是函数 f ( x ) 的一个 5．最小值． .
1．3．2 单调性与最大（小）值
练习（第 36 页）
1．判断下列函数的奇偶性： （1） f ( x ) ? 2 x ? 3 x ； （2） f ( x ) ? x ? 2 x
（3） f ( x ) ?
（4） f ( x ) ? x ? 1 .
1．解： （1）对于函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 x ，其定义域为 ( ? ? , ? ? ) ，因为对定义域内
每一个 x 都有 f ( ? x ) ? 2( ? x ) ? 3( ? x ) ? 2 x ? 3 x ? f ( x ) ，
所以函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 x 为偶函数；
（2）对于函数 f ( x ) ? x ? 2 x ，其定义域为 ( ? ? , ? ? ) ，因为对定义域内
每一个 x 都有 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? 2( ? x ) ? ? ( x ? 2 x ) ? ? f ( x ) ，
所以函数 f ( x ) ? x ? 2 x 为奇函数；
（3）对于函数 f ( x ) ?
，其定义域为 ( ? ? , 0) ? (0, ? ? ) ，因为对定义域内
x (? x) ? 1
每一个 x 都有 f ( ? x ) ?
? ? f ( x) ，
所以函数 f ( x ) ?
为奇函数；
（4）对于函数 f ( x ) ? x ? 1 ，其定义域为 ( ? ? , ? ? ) ，因为对定义域内
每一个 x 都有 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? 1 ? x ? 1 ? f ( x ) ，
所以函数 f ( x ) ? x ? 1 为偶函数.
2.已知 f ( x ) 是偶函数， g ( x ) 是奇函数，试将下图补充完整.
2．解： f ( x ) 是偶函数，其图象是关于 y 轴对称的；
g ( x ) 是奇函数，其图象是关于原点对称的．
1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 y ? f ( x ) 的单调区间，以及在各单调区间 上 函 数 y ? f (x) 是 增 （1） y ? x ? 5x ? 6 ；
函数还是减函数. （2） y ? 9 ? x .
1．解： （1）
函数在 ( ? ? , ) 上递减；函数在 [ , ? ? ) 上递增；
函 2.证明：
( ? ? , 0 ) 上递增；函数在 [0, ? ? ) 上递减.
（1）函数 f ( x ) ? x ? 1 在 ( ? ? , 0 ) 上是减函数；
（2）函数 f ( x ) ? 1 ?
在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数.
2．证明： （1）设 x1 ? x 2 ? 0 ，而 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ， 由 x1 ? x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? 0 ，得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ， 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ，所以函数 f ( x ) ? x ? 1 在 ( ? ? , 0 ) 上是减函数；
（2）设 x1 ? x 2 ? 0 ，而 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
x1 ? x 2 x1 x 2
由 x1 x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? 0 ，得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ， 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ，所以函数 f ( x ) ? 1 ?
在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数.
3.探究一次函数 y ? m x ? b ( x ? R ) 的单调性，并证明你的结论. 3．解：当 m ? 0 时，一次函数 y ? m x ? b 在 ( ? ? , ? ? ) 上是增函数； 当 m ? 0 时，一次函数 y ? m x ? b 在 ( ? ? , ? ? ) 上是减函数， 令 f ( x ) ? m x ? b ，设 x1 ? x 2 ， 而 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? m ( x 1 ? x 2 ) ，
当 m ? 0 时， m ( x1 ? x 2 ) ? 0 ，即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ， 得一次函数 y ? m x ? b 在 ( ? ? , ? ? ) 上是增函数； 当 m ? 0 时， m ( x1 ? x 2 ) ? 0 ，即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ， 得一次函数 y ? m x ? b 在 ( ? ? , ? ? ) 上是减函数. 4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
5.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为
? 1 6 2 x ? 2 1 0 0 0 ，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
5．解：对于函数 y ? ? 当x ? ?
162 2 ? (?
? 162 x ? 21000 ，
? 4 0 5 0 时， y m ax ? 3 0 7 0 5 0 （元） ， )
即每辆车的月租金为 4 0 5 0 元时，租赁公司最大月收益为 307050 元． 6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x ) ? x (1 ? x ) .画出函数 f ( x ) 的图象，并求出函数的解析式. 6．解：当 x ? 0 时， ? x ? 0 ，而当 x ? 0 时， f ( x ) ? x (1 ? x ) ， 即 f ( ? x ) ? ? x (1 ? x ) ，而由已知函数是奇函数，得 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ， 得 ? f ( x ) ? ? x (1 ? x ) ，即 f ( x ) ? x (1 ? x ) ，
? x (1 ? x ), x ? 0 ? x (1 ? x ), x ? 0
所以函数的解析式为 f ( x ) ? ?
1.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ， g ( x ) ? x ? 2 x ( x ? [2, 4]) .
（1）求 f ( x ) ， g ( x ) 的单调区间； （2）求 f ( x ) ， g ( x ) 的最小值. 1．解： （1）二次函数 f ( x ) ? x ? 2 x 的对称轴为 x ? 1 ，
则函数 f ( x ) 的单调区间为 ( ? ? ,1), [1, ? ? ) ， 且函数 f ( x ) 在 ( ?? ,1) 上为减函数，在 [1, ?? ) 上为增函数， 函数 g ( x ) 的单调区间为 [ 2 , 4 ] ， 且函数 g ( x ) 在 [ 2 , 4 ] 上为增函数； （2）当 x ? 1 时， f ( x ) m in ? ? 1 ， 因为函数 g ( x ) 在 [ 2 , 4 ] 上为增函数， 所以 g ( x ) m in ? g (2) ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ．
2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 3 0 m ， 那么宽 x （单位： m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？
2．解：由矩形的宽为 x m ，得矩形的长为
30 ? 3 x 2 3( x ? 1 0 x )
30 ? 3 x 2
m ，设矩形的面积为 S ，
当 x ? 5 时， S m ax ? 3 7 .5 m ， 即宽 x ? 5 m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大， 且每间熊猫居室的最大面积是 3 7 .5 m ． 3.已知函数 f ( x ) 是偶函数，而且在 (0, ? ? ) 上是减函数，判断 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数还是减函数，并证明 你的判断. 3．判断 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数，证明如下： 设 x1 ? x 2 ? 0 ，则 ? x1 ? ? x 2 ? 0 ， 因为函数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是减函数，得 f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 ) ， 又因为函数 f ( x ) 是偶函数，得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ， 所以 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数．
复习参考题
1．用列举法表示下列集合： （1） A ? { x | x ? 9} ；
（2） B ? { x ? N | 1 ? x ? 2} ； （3） C ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} .
1．解： （1）方程 x ? 9 的解为 x1 ? ? 3, x 2 ? 3 ，即集合 A ? { ? 3, 3} ；
（2） 1 ? x ? 2 ，且 x ? N ，则 x ? 1, 2 ，即集合 B ? {1, 2} ； （3）方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 的解为 x1 ? 1, x 2 ? 2 ，即集合 C ? {1, 2} ．
2．设 P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1） { P | P A ? P B } ( A , B 是 两 个 定 点 ) ； （2） { P | P O ? 3 cm } ( O 是 定 点 ) . 2．解： （1）由 P A ? P B ，得点 P 到线段 A B 的两个端点的距离相等， 即 { P | P A ? P B } 表示的点组成线段 A B 的垂直平分线； （2） { P | P O ? 3 cm } 表示的点组成以定点 O 为圆心，半径为 3c m 的圆． 3.设平面内有 ? A B C ，且 P 表示这个平面内的动点，指出属于集合
{ P | P A ? P B } ? { P | P A ? P C } 的点是什么.
3．解：集合 { P | P A ? P B } 表示的点组成线段 A B 的垂直平分线， 集合 { P | P A ? P C } 表示的点组成线段 A C 的垂直平分线， 得 { P | P A ? P B } ? { P | P A ? P C } 的点是线段 A B 的垂直平分线与线段 A C 的 垂直平分线的交点，即 ? A B C 的外心． 4.已知集合 A ? { x | x ? 1} ， B ? { x | a x ? 1} .若 B ? A ，求实数 a 的值.
4．解：显然集合 A ? { ? 1,1} ，对于集合 B ? { x | a x ? 1} ， 当 a ? 0 时，集合 B ? ? ，满足 B ? A ，即 a ? 0 ； 当 a ? 0 时，集合 B ? { } ，而 B ? A ，则
a 1 1 a ? ? 1 ，或 1 a ?1，
得 a ? ? 1 ，或 a ? 1 ， 综上得：实数 a 的值为 ? 1, 0 ，或 1 ． 5.已知集合 A ? { ( x , y ) | 2 x ? y ? 0} ， B ? {( x , y ) | 3 x ? y ? 0} ， C ? { ( x , y ) | 2 x ? y ? 3} ，求 A ? B ， A ? C ，
( A ? B) ? (B ? C ) .
5．解：集合 A ? B ? ? ( x , y ) | ?
?2x ? y ? 0? ? ? { (0, 0 )} ，即 A ? B ? { (0, 0 )} ； ?3 x ? y ? 0 ? ?2 x ? y ? 0? ? ? ? ，即 A ? C ? ? ； ?2 x ? y ? 3?
集合 A ? C ? ? ( x , y ) | ?
集合 B ? C ? ? ( x , y ) | ?
?3 x ? y ? 0 ? 3 9 ? ? { ( , ? )} ； 5 5 ?2 x ? y ? 3?
则 ( A ? B ) ? ( B ? C ) ? { (0, 0 ), ( , ? )} .
6.求下列函数的定义域： （1） y ?
x?2? x?5 ；
x?4 | x | ?5
?x ? 2 ? 0 ?x ? 5 ? 0
6．解： （1）要使原式有意义，则 ?
，即 x ? 2 ，
得函数的定义域为 [ 2, ? ? ) ；
?x ? 4 ? 0 ?| x | ? 5 ? 0
（2）要使原式有意义，则 ?
，即 x ? 4 ，且 x ? 5 ，
得函数的定义域为 [ 4, 5) ? (5, ? ? ) ． 7.已知函数 f ( x ) ?
，求： （2） f ( a ? 1)( a ? ? 2 ) . ， ，得 f ( a ) ? 1 ?
1? a ?1 ? 2 1? a
（1） f ( a ) ? 1( a ? ? 1) ； 7．解： （1）因为 f ( x ) ? 所以 f ( a ) ?
1? x 1? x 1? a
1? a 1? a 2 即 f (a ) ? 1 ? ； 1? a 1? x （2）因为 f ( x ) ? ， 1? x 1 ? ( a ? 1) a ? ? 所以 f ( a ? 1) ? ， 1? a ?1 a?2 a 即 f ( a ? 1) ? ? ． a?2
8.设 f ( x ) ?
（1） f ( ? x ) ? f ( x ) ；
（2） f ( ) ? ? f ( x ) .
8．证明： （1）因为 f ( x ) ?
所以 f ( ? x ) ?
1 ? (? x) 1 ? (? x)
? f (x) ，
即 f (? x) ? f ( x) ；
（2）因为 f ( x ) ?
1 2 1? ( ) 2 1? x x ? 2 ? ? f (x) ， 所以 f ( ) ? 1 2 x x ?1 1? ( ) x 1
即 f ( ) ? ? f (x) .
9.已知函数 f ( x ) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 2 0 ] 上具有单调性，求实数 k 的取值范围.
9．解：该二次函数的对称轴为 x ?
函数 f ( x ) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 2 0 ] 上具有单调性， 则
k 8 ? 2 0 ，或 k 8 ? 5 ，得 k ? 160 ，或 k ? 40 ，
即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ，或 k ? 40 ． 10．已知函数 y ? x
（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在 (0, ? ? ) 上是增函数还是减函数？ （4）它在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数还是减函数？ 10．解： （1）令 f ( x ) ? x
，而 f ( ? x ) ? ( ? x ) 是偶函数；
? f (x) ，
即函数 y ? x （2）函数 y ? x （3）函数 y ? x （4）函数 y ? x
的图象关于 y 轴对称； 在 (0, ? ? ) 上是减函数； 在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数．
1.学校举办运动会时，高一（1）班共有 2 8 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，没有人同
时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有 x 人， 则 15 ? 8 ? 14 ? 3 ? 3 ? x ? 28 ，得 x ? 3 ， 只参加游泳一项比赛的有 15 ? 3 ? 3 ? 9 （人） ， 即同时参加田径和球类比赛的有 3 人，只参加游泳一项比赛的有 9 人． 2.已知非空集合 A ? { x ? R | x ? a } ，试求实数 a 的取值范围.
2．解：因为集合 A ? ? ，且 x ? 0 ，所以 a ? 0 ．
3.设全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ， ?U ( A ? B ) ? {1, 3} ， A ? ( ?U B ) ? {2, 4} ，求集合 B . 3．解：由 ?U ( A ? B ) ? {1, 3} ，得 A ? B ? {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ， 集合 A ? B 里除去 A ? ( ?U B ) ，得集合 B ， 所以集合 B ? {5, 6, 7, 8, 9} .
? x ( x ? 4 ), x ? 0 ? x ( x ? 4 ), x ? 0
4.已知函数 f ( x ) ? ?
.求 f (1) ， f ( ? 3) ， f ( a ? 1) 的值.
4．解：当 x ? 0 时， f ( x ) ? x ( x ? 4 ) ，得 f (1) ? 1 ? (1 ? 4) ? 5 ； 当 x ? 0 时， f ( x ) ? x ( x ? 4 ) ，得 f ( ? 3) ? ? 3 ? ( ? 3 ? 4) ? 21 ；
? ( a ? 1)( a ? 5), a ? ? 1 f ( a ? 1) ? ? ． ? ( a ? 1)( a ? 3), a ? ? 1
5.证明： （1）若 f ( x ) ? ax ? b ，则 f (
x1 ? x 2 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 )
?b ? a 2 ( x1 ? x 2 ) ? b ，
（2）若 g ( x ) ? x ? ax ? b ，则 g (
x1 ? x 2 2
2 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 2
5．证明： （1）因为 f ( x ) ? ax ? b ，得 f (
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 x1 ? x 2 2
)? a ? a 2
x1 ? x 2 2
2 a x1 ? b ? a x 2 ? b 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2
( x1 ? x 2 ) ? b ，
（2）因为 g ( x ) ? x ? ax ? b ，
)?b ， 2 4 2 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 1 2 2 ? [( x1 ? a x1 ? b ) ? ( x 2 ? a x 2 ? b )] 2 2 x ? x2 1 2 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? a ( 1 )?b ， 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 因为 ( x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? ? ( x1 ? x 2 ) ? 0 ， 4 2 4
( x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ) ? a (
( x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ) ?
x1 ? x 2 2
2 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 2
( x1 ? x 2 ) ，
6.（1）已知奇函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上是减函数，试问：它在 [ ? b , ? a ] 上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数 g ( x ) 在 [ a , b ] 上是增函数，试问：它在 [ ? b , ? a ] 上是增函数还是减函数？ 6．解： （1）函数 f ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上也是减函数，证明如下： 设 ? b ? x1 ? x 2 ? ? a ，则 a ? ? x 2 ? ? x1 ? b ， 因 为 函 数 f ( x) 在 [a, b] 上 是 减 函 数 ， 则 全月应纳税所得额 不超过 5 0 0 元的部分 超过 5 0 0 元至 2 0 0 0 元的部分 超过 2 0 0 0 元至 5 0 0 0 元的部分 税率 ( 0 0 )
f ( ? x 2 ) ? f ( ? x1 ) ，
又因为函数 f ( x ) 是奇函数，则 ? f ( x 2 ) ? ? f ( x1 ) ，即
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ，
所以函数 f ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上也是减函数； （2）函数 g ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上是减函数，证明如下： 设 ? b ? x1 ? x 2 ? ? a ，则 a ? ? x 2 ? ? x1 ? b ， 因为函数 g ( x ) 在 [ a , b ] 上是增函数，则 g ( ? x 2 ) ? g ( ? x1 ) ， 又因为函数 g ( x ) 是偶函数，则 g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ，即 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ， 所以函数 g ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上是减函数． 7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 2 0 0 0 元的部分 不必纳税，超过 2 0 0 0 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？ 7．解：设某人的全月工资、薪金所得为 x 元，应纳此项税款为 y 元，则
? 0, 0 ? x ? 2 0 0 0 ? ?( x ? 2000) ? 5% , 2000 ? x ? 2500 y ? ? ? 25 ? ( x ? 2500) ? 10% , 2500 ? x ?
5 ? ( x ? 4 0 0 0 ) ? 1 5 % , 4 0 0 0 ? x ? 5 0 0 0 ?
由该人一月份应交纳此项税款为 26.78 元，得 2500 ? x ? 4000 ，
25 ? ( x ? 2500) ? 10% ? 26.78 ，得 x ? 2517.8 ，
所以该人当月的工资、薪金所得是 2 5 1 7 .8 元．
《》出自:链接地址：/content/oxawZo0YPbavMYZD.html
《高一数学必修1课后习题答案》