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二维正方晶格和三维立方晶格电子的等能面_固体物理CAI软件开发实例
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固体总复习题.doc
第一章晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。解晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶体又分为单晶体和多晶体整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为晶格点阵＋基元＝子和复式格子吗解晶体结构可以分为子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或子当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗为什么如果是，指明它属于那类布喇菲格子如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类（a）（b）（c）（d）图a）面心＋体心立方（b）边心立方（c）边心＋体心立方（d）面心四方解（a）面心＋体心立方不是布喇菲格子。从面心＋体心立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（b）边心立方不是布喇菲格子。从边心立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个从边心立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（c）边心体心立方不是布喇菲格子。从边心体心立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2个从体心点来看，与它最邻近的点子有12个。显然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（d）面心四方从面心四方任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个从面心四方任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此面心四方格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。解以下给出了了二维有心长方晶格示意图由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示12ab（a）（b）从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系解倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为、、，根据倒格子基矢的定义1?????2213321中是晶格原胞的体积，即，由此可以唯一地确定相应的倒格子?321?空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。）和数（）都能反映一个平行晶面族的方向321面指数（）是以固体物理学原胞的基矢、、为坐标轴来表示面1数（）是以结晶学原胞的基矢、、为坐标轴来表示面指数kl它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。心立方的（100），（110）和（111）面上的格点分布。解体心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为体心立方（100）面体心立方（110）面体心立方（111）面面心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）何物理意义一个正八面体（见图哪些对称操作解对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面6个2度轴6个与2度轴垂直的对称面3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。近邻原子数）是多少解7种典型的晶体结构的配位数如下表示晶体结构配位数晶体结构配位数面心立方六角密积12氯化钠型结构6体心立方8氯化铯型结构8简立方6金刚石型结构证球可能占据的最大体积与总体积之比为（1）简单立方（2）体心立方（3）面心立方6?8?62?（4）六角密积（5）金刚石。16解（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为623413???????a（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数R，则体心立方的致密度为3/483/423???????）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则面心立方的致密度为6234243???????）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则六角密积的致密度为/2?623/??????????）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则金刚石的致密度为?163/8433???????证明体心立方晶格的倒格子是面心立方;面心立方晶格的倒格子是体心立方．证明对于体心立方原胞，基矢?????21?????2????23代入倒格子基矢公式kjb???2321ib?132i???13若设b,则a?4kjkib??2jib????23与面心立方晶格的基矢形式相同。晶格常数是的体心立方晶格的倒格子是晶格常数是的面心立方晶格．?a?4同理晶格常数是的面心立方晶格的倒格子是晶格常数是立方晶格．证明倒格子原胞的体积为，其中为正格子原胞的体积．?正格子原胞基矢为,, 1a?32???c， ，?213?2213?则倒格子原胞的体积}{a?????? 根据,??则???}{}{3??132?c?明倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系．321321面系中最靠近原点的晶面三个晶轴上的截距分别为32．只要证G垂直于晶面可。321,（，，为基矢）3????321321??于简单立方晶格．证明密勒指数为（）的晶面系，面间距满足证明简单立方晶格原胞基矢 13倒格子基矢 ???1则 ．?22出体心立方和面心立方邻晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数．若立方边长为，写出最近邻和次近邻的原子间距． 体心立方 面心立方最近邻原子数 ８ １２次近邻原子数 ６ ６最近邻原子间距 我们知体心立方格子的基矢为???????231们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为????????2213321由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。13.对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为试求倒格子基矢。解根据倒格子基矢的定义可知2?????＝3??????＝?23?????14.一晶体原胞基矢大小，，，基矢间夹角?，，。试求?90?????2??（1）倒格子基矢的大小（2）正、倒格子原胞的体积（3）正格子210晶面族的面间距。解1由题意可知，该晶体的原胞基矢为232由此可知2?23213??所以＝＝11??a??＝22?109.?b＝＝3c?107854.??2正格子原胞的体积为＝＝321a????23??倒格子原胞的体积为＝＝321b??31??303498.?根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子210晶面族的面间距为210?442?134??????示，试求（1）晶列，和的晶列指数）晶面,和的密勒指数）画出晶面（120），（131）。1）根据晶列指数的定义易求得晶列的晶列指数为111，晶列的晶列指10，晶列的晶列指数为011。）根据晶面密勒指数的定义晶面在，和三个坐标轴上的截距依次为1，1，则其倒数之比为该晶面的密勒指数为（111）。11??晶面在，和三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为该晶面的密勒指数为（201）。02/?晶面在，和三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞，则其倒数之比为该晶面的密勒指数为（210）。12/1??（3）晶面（120），（131）分别如下图中晶面和晶面所示，构成简单正交系。证明晶面族的面间距为1?解由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为????????????????根据倒格子矢量的性质有3212212?的基矢分别为，，。试求）此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子（2）该晶体的倒格子基矢（3）密勒指数为（121）晶面族的面间距（4）原子最密集的晶面族的密勒指数是多少（5）111与111晶列之间的夹角余弦为多少解（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。（2）由倒格子基矢的定义可知????????????????（3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为3523????4）由于面密度，其中是面间距，是体密度。对布喇菲格子，等于d????常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为，则该晶面族的面间距321以有321????????此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距，2/3因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。（5）111与111晶列之间的夹角余弦为3213211??????.r???有闪锌矿结构，原子的最近距离d＝0求1晶格常数2固体物理学原胞基矢和倒格子基矢3密勒指数为110晶面族的面间距4密勒指数为110和111晶面法向方向间的夹角。解1由题意可知，晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个子和一个子，其中子处于面心立方位置上，而子则处于立方单元体对角线上距离子1/4体对角线长的位置上，如左图所示由此可知子子故?1059.??2由于空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为??????????.32101??????????13密勒指数为110晶面族的面间距为??根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为110和111晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢和之间的夹角，设为，则有101????????????＝??19.如图示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a，试求1正格子基矢和倒格子基矢2画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。解1取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使的方向和的方向相1是有????????????????根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示π/由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为章解答共价结合中,电子虽然不能脱离电负性大的原子,但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子,形成电子共享的形式,即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间,通过库仑力,把两个原子连接起来.离子晶体中,正离子与负离子的吸引力就是库仑力.金属结合中,原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着.分子结合中,是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体.电偶极矩的作用力实际就是库仑力.氢键结合中,氢先与电负性大的原子形成共价结合后,氢核与负电中心不在重合,迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合.可见,解答晶体结合中,原子间的排斥力是短程力,在原子吸引靠近的过程中,把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力,这个长程吸引力就是库仑力.所以,库仑力是原子结合的动力.晶体的内能,原子间的相互作用势能有何区别解答自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量,或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量,称为晶体的结合能.K时,原子还存在零点振动能.但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多.所以,在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.解答相邻的原子靠得很近,以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时,相邻的原子间便产生巨大排斥力.也就是说,原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系起主导的范围是什么解答在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中,吸引力起到了主要作用.在吸引力的作用下,原子间的距离缩小到一定程度,原子间才出现排斥力.当排斥力与吸引力相等时,晶体达到稳定结合状态.可见,晶体要达到稳定结合状态,吸引力与排斥力缺一不可.设此时相邻原子间的距离为,当相邻原子间的距离时,吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离0Δ们有相同之处解所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。定费米面有何重要性解布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。准经典运动的基本公式有晶体电子的准动量为晶体电子的速度为1vE?a??a?图布里渊区界面附近禁带形成的物理示意图晶体电子受到的外力为晶体电子的倒有效质量张量为????12在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足???穴的意义。引入它们有何用处解有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。当满带顶附近有空状态时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，具有正质量、速度的粒子的情况一样，这样一个qmvk假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。导体和绝缘体能带结构的基本特征。解在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。当满足布洛赫定理。若晶格常数为，电子的波函xk?）?（2）3）（其中为某个确定的函数）。????布洛赫函数可写成，其中，或写成?（1）??故1????????显然有故的波矢是。?（2）33???所以1?3????????显然有的波矢。3?（3）1??????????????故10??????????故的波矢为0。???要说明的是，上述所确定的波矢并不是唯一的，这些值加上任一倒格矢都是所需为空间中相差任一倒格矢的两个值所描述的状态是一样的。??????????时，当时，当0222?其中，为常数。1）画出势能曲线，并求出其平均值（2）用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。解（1）该周期场的势能曲线如下所示其势能平均值为?????????????（2）根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为12E??其中和表示周期场的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。4????????????????????故此晶体的第1及第2个禁带宽度为318??22??2?式中是晶格常数。试求a（1）能带的宽度（2）电子在波矢的状态时的速度（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解（1）在能带底处，电子能量为0?k，电子能量为a?OxU32?故能带宽度为20??（2）电子在波矢的状态时的速度为k?（3）电子的有效质量为?于是有在能带底部电子的有效质量为m1?在能带顶部电子的有效质量为图，六角形2个对边的间距是，其基矢为a求（1）倒格子基矢（2）画出此晶体的第一、二、三布里渊区（3）计算第一、二、三布里渊区的体积多大解（1）由题意可取，那么根据倒格子基矢的定义有?a??3212??（2）此晶体的第一、二、三布里渊区如下图示布里渊区第二布里渊区第三布里渊区图面正六边形晶格的布里渊区示意图（3）由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，所以第一、二、三布里渊区的体积为21321?????????该区侧面中点处的电子动能大1倍。对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少解设正方格子的晶胞参数为，则其相应的倒格子也为一正方格子，并且其倒格子基矢大小为，由此可知位于该正方格子第一布里渊区角隅处的自由电子的波矢大小为a?2，而位于该区侧面中点处的电子的波矢大小为。2又由自由电子动能与其波矢的关系式可知，正方格子第一布里渊区角隅处自由电子的动能大小为，而位于该区侧面中点处的电子的动能大小为21?，显然有。22?21该区侧面中点处1倍。对三维简单立方晶格，由相同的方法可以同样证得其相应的倍数为3。胞边长，。??（1）画出倒格子图（2）画出第一布里渊区和第二布里渊区（3）画出自由电子的费米面。解由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为，，由此可求得其倒格子基，a?下图示图形晶格的倒格子（2）该矩形晶格的第一布里渊区和第二布里渊区如下图示第一布里渊区第二布里渊010形晶格的第一和第二布里渊区（3）设该二维矩形晶格晶体含有个电子，由于费米面是空间占有电子与不占有以有下式成立?22?由此得2/12/1该二维晶格晶体的电子密度。是可求得该二维晶格晶体的费米面的半径为102/1089.8????圆面所示图用紧束缚方法，对于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，其2/式中为能带底部的能量为交叠积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的设s态的原子能级为，当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚方法可s?求得该一维单原子链的s态电子能量为?????近邻s0上式中，20????ξξ其中表示晶体中的0ξξ即各格点原子势场之和。为某格点的原子势场）ξs态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为和，由此可一维单原子链的s态电子能量可化为00???????/??ξξii?由此可知，当时，即能带底的能量为当，即能0?k??带顶的能量为?于是可证得一维单原子链的s态电子能量为/2且还可得能带宽度为?由此还可求得有效质量2??于是可求得能带顶部的电子有效质量????能带底部的电子有效质量。0??试根据紧束缚近似的结果，求出能带的表求出相应的电子速度和有效质量的各个分量。只计及最近邻格点的相互作用时，根据紧束缚近似可得该晶格由原子s态的形成的能带表达式为?????近邻s0?（1）上式中，20???ξξ其中表示晶体中的0??ξξ即各格点原子势场之和。为某格点的原子势场）在此二维晶格中，取原点为参考点，则其六个近邻格点坐标值为（，0）（，0）（，），aa?，）（，）（，）21?3213?把近邻格式代入（1）式，并考虑到s态波函数的球对称性可得10?????????2（2）上式中表示原点所处格点与任一最近邻格点的波函数的重叠积分的负值，并有1J。01?由此可知相应的电子速度为1?232ji?选取，轴沿张量主轴方向，则有，而?322???12s态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为20????并求能带底部电子的有效质量。解当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能带的表达式可写为k?????近邻上式中，，s??002???ξξ其中表示晶体中的周期性??ξξ即各格点原子势场之和为最近邻格点的原子势场为最近邻格点的位ξ。对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12个格点的位矢坐标值为（，，0），（，，0），（，，0），（，，0）2，0，），（，0，），（，0，），（，0，）（0，，），（0，，），（0，，），（0，，）将上述的12套坐标值代入上述的的表达式，可得22220??????2}222e????222s?2于，所以当时，有最小值，即?J0??为能带底部。选取，，轴沿张量主轴方向，则有，?s/???????s/????????19.写出一维近自由电子近似，第n个能带（n1，2，3，）中，简约波数的0级7波函数。????01?第一区n1,m0???????,7071??第二区n2,???????????,????第三区n3,??????????a?3,271571???
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§6.2布里渊区
§6.2 布里渊区 一、布里渊区1.布里渊区在倒格子空间以某一倒格点为原点，从原点出发做所 有倒格矢的中垂面, 这些平面把倒格子空间划分成许多包围 原点的多面体,离原点最近的多面体称为第一布里渊区。离 原点次近的多面体与第一布里渊区之间的区域称为第二布里渊区……。或者从原点出发不跨过任何垂直平分面的点的集合称为第一布里渊
区；从原点出发只跨过一个垂直平分面的 所有点的集合称为第二布里渊区……从原点出发跨过(n-1)个 垂直平分面的所有点的集合称为第n布里渊区。 第一布里渊区―倒格子空间中的WS原胞。1 2.布里渊区的特点(1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。3 ? ? ? ?2? ? ? ? ＝b1 ? b2 ? b3 ? ???(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：? ? 2 ? ? ? ?2? ?3 1 3 b1 ? ? b2 ? b3 ? ? ?N N1 N 3 ? N? ? 2 ?(3)第一布里渊区又称为简约布里渊区。简约布里渊区所包含的波矢的数目(即状态数)为晶体中的原胞数N。?2? ??3?2? ? ＝N3N?2 二、二维正方格子的布里渊区分布 ? ? ? ? ? ? 正格子基矢: a1 ? ai , a2 ? aj , a3 ?? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? 倒格子基矢: b1 ? i , b2 ? j , b3 ? a a a ? ? ? 倒格矢 : K h ? n1b1 ? n2b21.布里渊区的画法 (1)利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图;(2)分别找出近邻的倒格点、次近邻倒格点……做所有倒格矢的垂直平分面;(3)确定相应的布里渊区。3 ky2? ? j a? b1 ? b22? ? i a2? ? i aOkx2? ? j a4 ?ⅠⅡⅢ? ????简约布里渊区?的中心； ?：表示第一布里渊区?：表示布里渊区边界线 的中点； ? ：表示布里渊区角顶点 ； ?：表示布里渊区中心 到边界线的中点 的连线； ? ? ?：表示布里渊区中心 到角顶点? 的连线。 ?5 2.第一布里渊区? ? ? ? 倒格子空间离原点最近的四个倒格点 ?b1 , ? b1 , ? b2 , ? b2垂直平分线方程kx ? ? ky ? ??a?a第一布里渊区大小2? 2 ( ) a6 3.第二布里渊区 由4个倒格点? ? ?(b1 ? b2 ) ? ? ?(b1 ? b2 ) ? ? ?(b1 ? b2 ) ? ? ?(b1 ? b2 )垂直平分线和第一布里渊区边界所围成第二布里渊区大小2? 2 ( ) a7 4.第三布里渊区由4个倒格点? ? ?2b1 , ? 2b2 ? ? ?2b1 , ? 2b2垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第三布里渊区大小2? 2 ( ) a8 第一、第二和第三布里渊区9 5.正方格子其它布里渊区的形状10 每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合11 6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上 能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。12 二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别―不同能带在能量上不 一定分隔开而可以发生能带之间的 交叠。第一布里渊区和第二布里渊 区能带的重叠。13 7.二维斜格子的第一布里渊区14 8.二维六角格子其它布里渊区的形成15 9.二维六角格子其它布里渊区的形状每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里 渊区重合16 10.二维格子布里渊区的特点(1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干 小区, 但是,实际上能量是连续的。属于一个布里渊区的能级 构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒 格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。(4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。17 三、简单立方格子的布里渊区正格子基矢 倒格子基矢? ? ? ? ? ? a1 ? ai , a2 ? aj , a3 ? ak? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? b1 ? i , b2 ? j , b3 ? k a a a简单立方格子的倒格子也是简立方，其第一布里渊区是边长为2?/a的立方体。第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。? ? ? ? b1 , ? b2 , ? b318 第一布里渊区19 四、体心立方格子的布里渊区1.体心立方正格子基矢a a a a1 ? ( ? i ? j ? k )；2 ? ( i ? j ? k )；3 ? ( i ? j ? k )； a a 2 2 22.体心立方对应的倒格子基矢和倒格矢? 2? ? ? 2? ? ? 2? b1 ? j ? k , b2 ? k ＋ , b3 ? i i? j a a a ? ? ? ? K n ? n1b1 ? n2 b2 ? n3 b3 ? 2? ?n2 ? n3 ?i ? ?n1 ? n3 ? j ? ?n1 ? n2 ?k ? a??? ?????20 ? b14? a? b3? b221 3.离原点最近的倒格点体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格 点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:2? 2? 2? 2? ?1,1,0? ?1,1 ,0? ?1 ,1,0? ?1 ,1 ,0? a a a a 2? 2? 2? 2? ?1,0 ,1? ?1,0 ,1 ? ?1 ,0 ,1? ?1 ,0 ,1 ? a a a a 2? 2? 2? 2? ?0 ,1,1? ?0 ,1 ,1? ?0 ,1,1 ? ?0 ,1 ,1 ? a a a a倒格矢的长度(基矢的长度)为:? 2 2? Kn ? a22 4.体心立方第一布里渊区离原点最近的十二个倒格点的中垂面围成一个菱形十二面体。其体积等于倒格子原胞的体积。23 24 5.对称点和对称轴? kΔH? j? iΓΗΡΝ? 2? 2? 2? ? 1 1 1 ? 2? ? 1 1 ? ?0 ,0 ,0? ?1,0 ,0? 波矢k ? , , ? ? , ,0 ? a a a ? 2 2 2? a ? 2 2 ? 25 五、面心立方格子的布里渊区1.面心立方正格子基矢a a a a1 ? ( j ? k ) ; a2 ? ( k ? i ) ; a3 ? ( i ? j ) 2 2 22.面心立方对应的倒格子基矢和倒格矢? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? b1 ? － ? j ? k , b2 ? i i－j ? k , b3 ? i ? j－k a a a ? ? ? ? K n ? n1b1 ? n2 b2 ? n3 b3 ? 2? ?- n1 ? n2 ? n3 ?i ? ?n1 - n2 ? n3 ? j ? ?n1 ? n2 - n3 ?k ? a????????26 4? a27 3.离原点最近的倒格点面心立方的倒格子是体心立方，离原点最近的倒格 点有八个。在直角坐标系中的坐标分别为:2? 2? 2? 2? ?1,1,1? ?1,1,1 ? ?1,1 ,1? ?1 ,1,1? a a a a 2? 2? 2? 2? ?1,1 ,1 ? ?1 ,1 ,1? ?1 ,1,1 ? ?1 ,1 ,1 ? a a a a倒格矢的长度(基矢)为:? 2 3? Kn ? a离原点最近的八个倒格点中垂面所围成的八面体的体积大 于倒格子原胞得体积，必须考虑次近邻的六个倒格点。28 4. 次近邻的倒格点2? 2? 2? ?? 2 ,0 ,0? ?0， 2 ,0? ?0， ? 2? ? 0， a a a倒格矢的长度为:? 4? K n? ? a次近邻的六个倒格矢的中垂面将截去原正八面体的 六个角，形成一个截角八面体(实际是十四面体)29 八个面是正六边形,六个面是正四边形30 ? 2 3? Kn ? a? 4? K n? ? aΓΧΚL? 2? 2? 2? ? 3 3 ? 2? ? 1 1 1 ? ?0 ,0 ,0? ?1,0 ,0? 波矢k ? , ,0 ? ? , , ? a a a ? 4 4 ? a ? 2 2 2? 31 32 二维长方晶格的布里渊区33 六角密积结构的第一和第二布里渊区六角密积结构的第一布里渊区是上下底面为正六边形 的多面体。图(a)即是第一布里渊区； 图(b)是第二布里渊区的外表面。它与其内的第一布里渊区边界之间的区域是第二布里渊区。34
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