有关洛必达法则的使用条件问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-05 03:05 标签： 洛必达法则的证明过程
关于洛必达法则的题目,&&
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洛必达法则 洛必达法则解决高考问题
洛必达法则简介：法则1
若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf?x??0 及limg?x??0；
x?ax?a(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；f??x??l，
(3)limx?ag?x那么 limx?af?x?gx=limx?af??x??l。（wwW.NIubb.NEt）
?gxx??x??法则2
若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)limf?x??0 及limg?x??0；(2)?A0，f(x) 和g(x)在???,A?与?A,???上可导，且g'(x)≠0；(3)limx??f??x??l， ?gxf??x??l。
那么 lim=limx??gxx??g?x法则3
若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf?x???及limg?x???；
x?ax?af?x?(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；f??x??l，
(3)limx?ag?x那么 limx?af?x?gx=limx?af??x??l。 g?x??利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x?○成立。 a，x?a洛必达法则也0?00?，，0??，1，?，0，???型。 0?0?00?3在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，0??，1，?，0，???型○0?2洛必达法则可处理○定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ○二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f(x)?e?1?x?ax。（1） 若a?0，求f(x)的单调区间； x2洛必达法则 洛必达法则解决高考问题（2） 若当x?0时f(x)?0，求a的取值范围原解：（1）a?0时，f(x)?ex?1?x，f'(x)?ex?1.当x?(??,0)时，f'(x)?0；当x?(0,??)时，f'(x)?0.故f(x)在(??,0)单调减少，在(0,??)单调增加（II）f'(x)?ex?1?2ax由（I）知e?1?x，当且仅当x?0时等号成立.故xf'(x)?x?2ax?(1?2a)x，1时，f'(x)?0 (x?0)，而f(0)?0， 2从而当1?2a?0，即a?于是当x?0时，f(x)?0.由e?1?x(x?0)可得e x?x?1?x(x?0).从而当a?1时， 2f'(x)?ex?1?2a(e?x?1)?e?x(ex?1)(ex?2a)，故当x?(0,ln2a)时，f'(x)?0，而f(0)?0，于是当x?(0,ln2a)时，f(x)?0.
综合得a的取值范围为???,??1?? 2?原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当x?0时，f(x)?0，对任意实数a,均在f(x)?0；当x?0时，f(x)?0等价于a?x?x?1x2令g?x??xx?x?1xx2(x&0),则g?(x)?xx?2?x?2xxxx3，x令h?x??xe?2e?x???x??xe?e??，则h0?x2?1，h???x??xe?0，知h??x?在?0,???上为增函数，h??x??h??0??0；知h?x?在?0,???上为增函数，h?x??h?0??0；?g??x??0，g(x)在?0,???上为增函数。（WWW.niuBB.NEt）洛必达法则 洛必达法则解决高考问题由洛必达法则知，limx?0?x?x?1x??21?lim?lim?， 2x?0?2xx?0?2xx故a?1 2综上，知a的取值范围为???,1??。[wWw.NIUbB.NeT] 2?2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?lnxk?，求k的取值范围。 x?1x?(原解：（Ⅰ）f'(x)?x?1?lnx)b? 22(x?1)x?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?，且过点(1,1)，故?1即 2f'(1)??,??2?b?1,??a1 ?b??,??22
解得a?1，b?1。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx1?，所以 x?1xlnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?)。 2x?1x1?xx(k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x(x?0)，则h'(x)?考虑函数h(x)?2lnx?。 2xxk(x2?1)?(x?1)2（i）设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0，h（x）递减。而x2h(1)?0故当x?(0,1)时， h(x)?0，可得1h(x)?0； 1?x21当x?（1，+?）时，h（x）&0，可得 h（x）&0 1?x2lnxklnxk从而当x&0,且x?1时，f（x）-（+）&0，即f（x）&+. x?1xx?1x洛必达法则 洛必达法则解决高考问题（ii）设0&k&1.由于(k?1)(x2?1)?2x=(k?1)x2?2x?k?1的图像开口向下，且??4?4(k?1)2?0，对称轴x='11?1当x?（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x&0,1?k1?k.11）时，h（x）&0，可得h1?k1?x2'故h （x）&0,而h（1）=0，故当x?（1（x）&0,与题设矛盾。(wWW.nIUBb.Net） （iii）设k?1.此时x?1?2x，(k?1)(x2?1)?2x?0?h（x）&0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）&0，可得21 h（x）&0,与题设矛盾。 21?x综合得，k的取值范围为（-?，0]原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当x?0,x?1时，k&2xlnx?1恒成立。 21?xx2?1lnx?x2?12xlnx?1(x?0,x?1),则g??x??2?令g (x)= ， 2221?x1?x????22再令h?x??x?1lnx?x?1(x?0,x?1)，则h??x??2??1xlnx?，xh???x??2lnx?1?11??hx?2lnx??1，易知在?0,???上为增函数，且??x2x2h???1??0；故当x?(0,1)时，h???x??0，当x?（1，+?）时，h???x??0； ?h??x?在?0,1?上为减函数，在?1,???上为增函数；故h??x?&h??1?=0?h?x?在?0,???上为增函数h?1?=0?当x?(0,1)时，h?x??0，当x?（1，+?）时，h?x??0?当x?(0,1)时，g??x??0，当x?（1，+?）时，g??x??0?g?x?在?0,1?上为减函数，在?1,???上为增函数由洛必达法则知limg?x??2limx?1x?1xlnx1?lnx?1??1?2?1?2?????1?0 lim?2x1?x2?2?x?1?k?0，即k的取值范围为（-?，0]规律：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题洛必达法则 洛必达法则解决高考问题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。（Www.niUBb.NET］欢迎您转载分享：关于洛必达法则求极限的问题圈着的地方为什么不能用洛必达法则?&求大神指导谢谢.
神水盟1631
　　不能用!因为如果要用洛必达法则,需要　　　lim(x→0)f'(x)存在,而这并不能由条件 “f(x) 在 x=0的某邻域内可导” 得到保证,所以…….实际上,你已经做得差不多了,　　　lim(x→0)[f(x)-1]/x =lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x = ……,看出来了吗?
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