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如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）2+m交直线y=x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不重合） （1）请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示） （2）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图2），求线段AC与OF的比值； （3）当点A运动到使点F的位置最低时（如图3），求线段AC与OF的比值．　&
本题难度：
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）2+m交直线y=x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不重合） （...”的分析与解答如下所示：
（1）根据点A在直线y=kx上，即可得出h，m的关系式． （2）当EF∥x轴时，根据抛物线的对称性可知：FC=CE即C是EF的中点，那么AC就是三角形OEF的中位线，因此AC=12OF． （也可通过联立直线OA的解析式和抛物线的解析式得出E点的坐标，当EF∥x轴时，E、F纵坐标相同，以此来求出h，k的关系，进而表示出A、C、E、F四点坐标以此来求出AC与OF的比例关系）． （3）先求出F到最低位置时，函数的解析式（F位置最低时，纵坐标值最小）．联立两函数的解析式求出A、E的坐标，然后根据相似三角形OEF和AEC求出OF，AC的比例关系．
（1）∵抛物线顶点（h，m）在直线y=kx上， ∴m=kh；
（2）方法一：解方程组\left\right.， 将（2）代入（1）得到：（x-h）2+kh=kx， 整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0， 解得：x1=h，x2=k+h， 代入到方程（2）y1=hy2=k2+hk， 所以点E坐标是（k+h，k2+hk）， 当x=0时，y=（x-h）2+m=h2+kh， ∴点F坐标是（0，h2+kh）， 当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等， 即k2+kh=h2+kh， 解得：h=k（h=-k舍去，否则E，F，O重合）， 此时点E（2k，2k2），F（0，2k2），C（k，2k2），A（k，k2）， ∴AC：OF=k2：2k2=1：2．（3分） 方法二：当x=0时，y=（x-h）2+m=h2+kh，即F（0，h2+kh）， 当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等， 即点E的纵坐标为h2+kh， 当y=h2+kh时，代入y=（x-h）2+kh， 解得x=2h（0舍去，否则E，F，O重合）， 即点E坐标为（2h，h2+kh），（1分） 将此点横纵坐标代入y=kx得到h=k（h=0舍去，否则点E，F，O重合）， 此时点E（2k，2k2），F（0，2k2），C（k，2k2），A（k，k2）， ∴AC：OF=k2：2k2=1：2． 方法三：∵EF与x轴平行， 根据抛物线对称性得到FC=EC， ∵AC∥FO， ∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE， ∴△OFE∽△ACE， ∴AC：OF=EC：EF=1：2．
（3）当点F的位置处于最低时，其纵坐标h2+kh最小， ∵h2+kh=[h2+kh+（k2）2]-k24， 当h=-k2，点F的位置最低，此时F（0，-k^24）， 解方程组\left\right. 得E（k2，k^22），A． 方法一：设直线EF的解析式为y=px+q， 将点E（k2，k^22），F（0，-k^24）的横纵坐标分别代入得\left\right.， 解得：p=32k，q=-14， ∴直线EF的解析式为y=32kx-14， 当x=-k2时，y=-k2，即点C的坐标为， ∵点A， ∴AC=k^22，而OF=14， ∴AC=2OF，即AC：OF=2． 方法二：∵E（k2，k^22），A， ∴点A，E关于点O对称， ∴AO=OE， ∵AC∥FO， ∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE， ∴△OFE∽△ACE， ∴AC：OF=EF：EC=2：1．
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如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）2+m交直线y=x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不...
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经过分析，习题“如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）2+m交直线y=x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不重合） （...”主要考察你对“26.3 实际问题与二次函数”
等考点的理解。
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26.3 实际问题与二次函数
与“如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）2+m交直线y=x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不重合） （...”相似的题目：
欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把，如果零售单价每降价0.1元，月销售量就要增加5把．现在该公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部份每把按原批发单价九五折（即95%）付费，但零售单价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额-进货款额）&&&&
如图线段AB在x轴上，以AB为直径的圆交y轴于点C，己知AC=2√5，BC=√5． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）设过A、B、C三点的抛物线的顶点为D，求四边形ABCD的面积： （3）求该抛物线与圆的另一个交点坐标．&&&&
已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x1、x2是方程x2-x-6=0的两个根（x1＜x2），且△ABC的面积为
． （1）求此抛物线的解析式； （2）求直线AC和BC的方程； （3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．&&&&
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关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（　　）
x1=﹣6，x2=﹣1
x1=0，x2=5
x1=﹣3，x2=5
x1=﹣6，x2=2
解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，
所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，
方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，
所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5
解一元二次方程-直接开平方法．
利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．
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All Rights Reserved.分析：要想判断几个数的大小，我们可以根据基本不等式进行证明判断，但花费的时间较多，故可采用特殊值代入法解决．解答：解：若a=b=1，则M=A=G=H=1若a=1，b=2则M=52，A=32，G=2，H=43易得：M＞A＞G＞H故当a，b∈R+，M≥A≥G≥H故选A点评：特殊值代入排除法是解决选择题最常用的方法之一，它不仅能提高解题的速度，也可以提高解题的精度，但使用特殊值代入法时，要注意选择恰当的数代入运算，一是要符合条件，二是要便于运算．
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科目：高中数学
对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．（Ⅰ）判断函数f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；（Ⅲ）若函数g(x)=mx+x2+2x+n是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．
科目：高中数学
已知函数f（x）=ax2+4ax+b-1（a≠0且a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x2+8x-10|恒成立．（Ⅰ）求证：-5和1是函数f（x）的两个零点；并求实数a，b满足的关系式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[a，2]（a＜2）上的最小值g（a）；（Ⅲ）令F（x）=f(x)，&x＞0-f(x)&&x＜0，若mn＜0，m+n＞0，试确定F（m）+F（n）的符号，并说明理由．
科目：高中数学
题型：解答题
已知函数f（x）=ax2+4ax+b-1（a≠0且a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x2+8x-10|恒成立．（Ⅰ）求证：-5和1是函数f（x）的两个零点；并求实数a，b满足的关系式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[a，2]（a＜2）上的最小值g（a）；（Ⅲ）令F（x）=，若mn＜0，m+n＞0，试确定F（m）+F（n）的符号，并说明理由．
科目：高中数学
来源：学年江苏省无锡一中高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）
题型：解答题
已知函数f（x）=ax2+4ax+b-1（a≠0且a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x2+8x-10|恒成立．（Ⅰ）求证：-5和1是函数f（x）的两个零点；并求实数a，b满足的关系式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[a，2]（a＜2）上的最小值g（a）；（Ⅲ）令F（x）=，若mn＜0，m+n＞0，试确定F（m）+F（n）的符号，并说明理由．
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