学好概率论，赌博稳赚不赔 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
学好概率论，赌博稳赚不赔
学会概率，轻松设计稳赚不赔的赌局
本文作者:pondering
我们知道赌博就是概率的游戏，也正是一些奇特的赌博结果引起了数学家帕斯卡（Pascal）和大数学家费马（Fermat）的兴趣，他们通过信件交流，提出了一些概率论的原理，从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个赌博中的概率趣题，告诉我们的道理就是，就算打赌，也要精“打”细算。
完美的赌博
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛，两个队都有的忠实粉丝，就叫他们“人族”和“牛族”吧。粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球，所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概率为 p，“牛族”认为小牛赢的概率为 q ，p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了，我们总能很轻易就设计一个方法，分别与“人族”和“牛族”打赌，但不管结果如何，我们都稳赚不赔！
方法是这样的：我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌，如果我们赢了就得到 y 元，输了就失去 x 元，只要 y&x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式，“人族“和”牛族“的期望收益为正，就会跟我们打赌：
p * x - ( 1-p ) * y & 0
q * x - ( 1-q ) * y & 0
加上 y&x 的限制，画出的图像就是三条直线所包围的区域，对于里面的任意一点的坐标值（x,y）就是一个必胜方案。如果p&q， 解就是下图中的蓝色部分：
看来这个问题是完美地解决了，可是还有一个疑点，相信读者很快就能发现它的荒谬所在：不管“人族”还是“牛族”，他们的期望收益都是正的，也就是说，长久地看，他们都会赚钱，而我们又是稳赚不亏的，那么多出来的钱是哪里来的呢，怎么可能每个人都赚钱呢？
三张卡片的骗局
这是另一个巧妙的赌局，我们先准备有三张卡片，1号卡片正反面都是黑色，2号卡片正反面都是红色，3号卡片一面是黑色，一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里，摇一摇，让对手抽一张平放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的，比如抽到一张表面是黑色的卡片，那么卡片不是1号就是3号，反面的颜色不是黑色就是红色，直觉上概率各占1/2。
事实上我们赢的概率不是1/2，而是2/3，这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不是3张牌，而是6个面：3个黑面，3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F：
当玩家抽到黑面时，也就是A、C、D三种等可能的情况，它们的背面则分别是D、F、A，黑色的情形占了2/3。
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳（Joseph Louis Fran?ois Bertrand）提出，因为这个问题的结果出人意料，它又被称为“伯特纳箱悖论（Bertrand's box paradox）”。1950年美国数学家沃伦o韦弗（Warren Weaver）介绍了上面的卡片玩法，马丁o加德纳（Martin Gardner）称之为“三张卡片的骗局（three-card swindle）”。
如此不平凡的黑桃A
有时候我们赌博一开始会放水，先让别人赚些小钱，放长线钓大鱼，最后来个一网打尽。下面就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌，我先说：“来打个赌吧，我现在有一张A，你们猜猜我还有没有更多A？”这种情况下你很可能会输，这时你在心里默默指定一个花色的A，比如说黑桃A，当某一轮抓到一张黑桃A后，这时机会就来了：“再打一个赌吧，我现在有一张黑桃A，你们猜猜我还有没有更多的A？”
很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛，加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别，大到令人不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧：
没有A的情形：C（48，13）
至少有1张A的情形：C（52，13）－C（48，13）
恰好有1张A的情形：4＊C（48，12）
至少有2张A的情形：C（52，13）－C（48，13）－4＊C（48，12）
事件X为至少有两张A，事件Y为至少有一张A，那么条件概率为：
P（X｜Y）＝P（XY）／P（Y）=(C（52，13）－C（48，13）－4＊C（48，12）)/(C（52，13）－C（48，13）)≈37%
这个时候我要赌自己还有A，比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后，大家打赌的意愿都被调动起来了，一看第二个赌不就是换了身衣服嘛，纷纷加大赌注，接着赌我没有更多A，正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同：
有黑桃A的情形：C（51，12）
没有其它A的情形：C（48，12）
还有其它A的情形：C（51，12）－C（48，12）
事件X为还有其它A，事件Y为有黑桃A，条件概率为：
P（X｜Y）＝P（XY）／P（Y）＝（C（51，12）－C（48，12））／C（51，12）≈56%。
掌握了概率论，赌博就只是概率游戏了，当然我们是反对欺骗的，以上各种游戏只建议在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键，打赌的时候，演得逼真点，别让他们知道你是传说中的死理性派！
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全部评论(156)
三张卡片的那个……不就是Monty Hall的另外版本么……
太深奥了~数学不太行的我看不懂那不等式
五星级航空飞行员
我是冲着插图来的
我是黑桃控+ACES控
呵呵,我也一直覺得"賭博"就是玩概率的遊戲
数学很差滴淫表示貌似看明白了……好吧 只是貌似啦！
第一个问题：两个人只是自己的期望是正的，但实际上因为赢的概率固定，所以他们与实际概率误差越大输得越多，没有悖论；第二个问题：该问题是对的；第三个问题：概率算错啦。
概率加线性规划。。。。
个人觉得吧，生活中的事件都是一半一半，是还是不是，么有那么复杂，一切随缘吧
我只是觉得，第一题提出来的时候就有个悖论，首先只讨论了p大于q的情况，那q&p呢？？？？第二题，一开始是跟别人说有3张牌的吧？那一般人的思维是不是应该觉得是*/3？应该第一直觉觉得是3分只几的吧？第一眼我就没觉得可能会有二分之一这种概率~~第三题- -我概率论没学好~~飘过
引用mailwjl的回应：第一个问题：两个人只是自己的期望是正的，但实际上因为赢的概率固定，所以他们与实际概率误差越大输得越多，没有悖论；第二个问题：该问题是对的；第三个问题：概率算错啦。这才是真正的 “死理”
正确的应用了 “概率论”
概率与统计；
我觉得嘛 ，第三个问题的 第一个 P（XY）！=P（X）
，（P（X）| Y） 即
Y成立后 X成立的概率，这是一个概率理比较饶人的一个地方。
引用非仁非贤的回应：这才是真正的 “死理”
正确的应用了 “概率论”
概率与统计；我觉得嘛 ，第三个问题的 第一个 P（XY）！=P（X）
，（P（X）| Y） 即
Y成立后 X成立的概率，这是一个概率理比较饶人的一个地方。第一个问题还没搞懂。第二个问题可以从条件概率考虑，也可以写出基本事件。P(黑|黑)=P(黑，黑) / P(黑)=(1/3)/(1/2)=2/3.或者：正面黑，反面黑，正面黑，反面红，正面红，反面红。基本事件就是 正面黑，反面黑；反面黑，正面黑；正面黑，反面红；反面红，正面黑；正面红，反面红；反面红，正面红。抽到一面是黑色的基本事件有“正面黑，反面黑；反面黑，正面黑；正面黑，反面红”，显然另一面也是黑色的概率是2/3.古典概型的基本事件必须是等概率的。第三题有点晕了。
引用mailwjl的回应：第一个问题：两个人只是自己的期望是正的，但实际上因为赢的概率固定，所以他们与实际概率误差越大输得越多，没有悖论；第二个问题：该问题是对的；第三个问题：概率算错啦。额，第三题我认为是“黑桃”的问题，还是不很明白。请问哪里算错了？
第一题没懂凭什么说人牛期望收益都是正的。他们心中赢的概率都大于50%。但是事实不可楞啊。第二题没叙述好。。应该强调让对方看到一面的颜色后再开始猜。我一开始也没想到哪来的1/2.第三题果断认为算错了
"赌博稳赚不赔"
这话说得像是没学过概率
引用akwang的回应："赌博稳赚不赔"
这话说得像是没学过概率这里讲的是自己坐庄当然稳赚不赔啦……另第三题的“你我我你”把我绕晕了……能换个甲乙丙丁么……
引用非仁非贤的回应：这才是真正的 “死理”
正确的应用了 “概率论”
概率与统计；我觉得嘛 ，第三个问题的 第一个 P（XY）！=P（X）
，（P（X）| Y） 即
Y成立后 X成立的概率，这是一个概率理比较饶人的一个地方。自己 再修正一下
P（XY）= （P（X）| Y）*（P(Y)）
如果我们赢了就得到 y 元，输了就失去 x 元，只要 y&x 我们就赚了。原文地址：本文版权属于果壳网（），转载请注明出处。商业使用请联系果壳网。别人又不傻，你赢赚两元，你输亏一元
第一个题目应该有问题。p * x - ( 1-p ) * y & 0q * x - ( 1-q ) * y & 0x&y三直线不可能围成一个区域，因为三直线都过原点。
引用mailwjl的回应：第一个问题：两个人只是自己的期望是正的，但实际上因为赢的概率固定，所以他们与实际概率误差越大输得越多，没有悖论；第二个问题：该问题是对的；第三个问题：概率算错啦。引用非仁非贤的回应：这才是真正的 “死理”
正确的应用了 “概率论”
概率与统计；我觉得嘛 ，第三个问题的 第一个 P（XY）！=P（X）
，（P（X）| Y） 即
Y成立后 X成立的概率，这是一个概率理比较饶人的一个地方。引用非仁非贤的回应：自己 再修正一下
P（XY）= （P（X）| Y）*（P(Y)）吐血了
这个地方消耗了我一下午的时间； 终于 发现问题所在 是前一次打赌 将事件弄错的关系？引用 LZ
：“来打个赌吧，我现在有一张A，你们猜猜我还有没有更多A？”指的是：你有一个A了 再有更多A 的概率。引用 LZ
：事件X为至少有两张A，事件Y为至少有一张A，那么条件概率为：P（X|Y）=。。。而P(XY) 是指当 13张牌中有1以上个A
且 13张中有两个以上A的概率 ,是不是混淆了呢？XY 包括摸到A后，再多摸到一个以上A 以及、没摸到A再摸到两个以上A。让我们来分析下：假设 你摸到一个牌
1+12 表格如下 ------------这张牌--------------------是A --------------------------------不是A ---------------分布----------------------4/52--------------------------48/52上述成立下X成立的情况----------12中有 1+的A -----------12中有 2+的A------ P1=C(51,12)－C(48,12))/C(51,12)≈56%------- P2=C(51,12)-C(47,11)*4-C(47,12))/( C(51,12) )P(XY)=4/52*P1+48/52*P2=25.73%P(XY)/P(Y)=36.96%
这里 忽略了给出的已知条件 你有一张A; 注意上面的分析 你会发现 其实 P1 才是 你有一张A 后 再有更多A的概率 无论你这A是什么颜色的。所以说在认死理的时候，一定要以最基本的原理去验算： 条件一样的情况下 结果是一样的。我个人认为：“Y：当你手中有个A，Y1：你手里这个是黑桃A
,Y2：你手里这个是红桃A
,Y3：你手里这个是梅花A
,Y4：你手里这个是方块A
，X：还有更多的A”这里 Y1.。。Y4 互不相容：Y1+Y2+Y3+Y4==Y；P(X|Y1)==P(X|Y2)==P(X|Y3)==P(X|Y4);P(X|Y)=P(X|Y1)*P(Y1|Y)+P(X|Y2)*P(Y2|Y)+P(X|Y3)*P(Y3|Y)+P(X|Y4)*P(Y4|Y);推出P(X|Y)=P(X|Y1)*(P(Y1|Y)+P(Y2|Y)+P(Y3|Y)+P(Y4|Y))=P(X|Y1)PS:这里面有很多都没讲的很清楚，主要是条理不清，但大方向是没错的，抛砖引玉。。。
我不认同非仁非贤的说法中P1才是第一种的情况的概率。我认为第三题目的现象是有可能的。可以做一个较少牌数的相似情况：共有6张牌，分别是A1、A2、A3，B1、B2、B3。从中抽3张牌。总可能情况有C(3,6)=20种所有可能情况如下（A1分开讨论），不列出计算，完全可以枚举验证：1、无A，
共1种2、一张A，但没有A1，共6种。3、一张A，且是A1，
共3种。4、两张A，但没有A1，共3种。5、两张A，且有A1，
共6种。6、三张A，肯定有A1，共1种。共计20种情况，古典概型概率相同。问题1：X=有两张A。Y=有一张A或以上。P(XY)=情况4+5+6=10种P(Y)=情况2+3+4+5+6=19种。故P(X|Y)=10/19。问题2：X=有两张A。Y=有一张A1或以上。P(XY)=情况5+6=7种P(Y)=情况3+5+6=10种。故P(X|Y)=7/10这个少数试验应该是与原题目相似的。应该可以说明概率不等情况的确会发生。
晕！@" ……
欺诈游戏里见过
引用Dr Question的回应：三张卡片的那个……不就是Monty Hall的另外版本么……MHD跟这个不太一样。MHD实质是贝叶斯推理问题，之前的处理（主持人开门）影响之后的概率。而这个不是，只是利用了人没有想到其实应该考虑一张牌的两面的颜色。
表示 太难了
数学永远是我的痛
第一题哪有打赌赢的多输的少的，都应该是输赢一样，所以应该是x=y才对，那么。。。后面的额假设就不成立了第二题那抽红色的概率不也是2/3吗？第三题算了半天，觉得56%赢得概率也不是很大啊，至少80%以上啊
高人出来指正下？？？？？？？？？文章看来需要更理性派了~~~~~···
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> 什么样的人才能成功，而且是大获成功？
我觉得到目前为止，大家都应该达成一个共识，那就是移动互联网的时代已经过去了。
网易、腾讯、携程、盛大、阿里巴巴、百度，这些公司分别于1997年到2000年扎堆成立，这是互联网时代的机遇，在2000年到2005年间，还陆续有几家公司跑出来，但年之间崛起的大公司还有哪些？
小米、美团、蘑菇街、聚美优品、豌豆荚、陌陌、今日头条、滴滴，这些公司都是在2010年到2012年之间成立的，这是移动互联网的机遇，再之后直到今天，偶尔还有几家公司崛起，但基本和年间的情况类似，那么年之间，整个市场会是一个什么样的景象？时代的机遇就是这么弄人，今天和大家一起探讨什么样的人才能大获成功？
发展的纵横理论
如果要复盘过去几年市场的发展，回头看，从战略布局和预测分析的角度，有两个人给我留下的印象最深。
第一个人是。
他在创新工场提出了“纵横合力的产业链式”投资方法论。
上图是2011年发布在微博上的。他第一时间看清了移动互联网的大机遇，并且从基础工具、娱乐和本地商务这三个大阶段来进行投资布局，而且在之后还遥遥领先同行，最早敏锐觉察到娱乐内容消费的机会。
汪华的方法论看起来是绝对正确的，如果未来有任何新的平台型的机遇，我相信都会重复这三个阶段的发展。至于创新工场最终投资的成绩如何甚至都已经不重要了，这就好像打德扑一样，高手能做的是在精准计算下做出最正确的选择，而结果最后还是要交给运气。
第二个人是。
以前有一个叫做季琦的人，他创立了三家上市公司，分别是携程、如家和汉庭，这是一种在纵向领域延伸的传奇。而在我看来则是另一种传奇，他缔造了人人网、饭否和美团三家非常不同类型公司的成功（或几近成功）。
巧合的是，和汪华提出的纵横理论一样，也分享过他创立美团时的“四纵三横”理论。美团就像是基于这个理论的精准制导导弹下炮轰出来的产物。
这个视频是王兴在极客公园上的分享，详细讲解了他的四纵三横理论。
“四纵”为娱乐、信息、通信、商务四大领域，而“三横”是说每五年左右，会有一个大的技术变革，逐渐影响这四个领域，四纵三横的交汇处就会有不同的机会。（王兴最后又在自己的总结上加了一个预测，也就是未来的“物联网”发展，所以图示其实是凑成了四纵四横，其他的三横分别是搜索、社交、移动）
这就是市场发展的必然规律，是顺势而为的力量。人总是要等待市场的机会，这就是“横”的机遇，而每个人在机遇来临之前又要在各自的领域做好准备，这就是“纵”的累积。
在最开始提到的那十多家最成功的创业公司里，所有的创始人在创立最终那个成功的公司前，平均下来都有5-7年左右的工作经历，而凑巧在他们积累的差不多的时候，遇到了技术变革的大机遇。所以说，历来的成功，靠的都是机遇和累积这两个事情而已。
薛定谔的势
我曾经问过《财经》杂志的小晚一个问题（她采访过非常多成功公司的创始人，比如最近的李彦宏专访《百度的冬天》），我问她说“你采访过这么多成功的创业者，是否发现他们身上有什么共同点？”
我以为她会给出“机遇”之类的这种答案，但她回答说，这些人共同的特点就是“持续地赌小概率事件”。我想了一下，这当然合理，赌注越大，成功的概率越小，潜在收益就越大。
但是赌小概率是“逆势”，而跟随时代的机遇强调的又是“顺势”。怎样才能赌中小概率事件呢？
我觉得要明确这个答案，必须要能回答两个问题。
第一个问题是：Why now?
为什么2010年要 all in 移动互联网？为什么2014年会有这么多人出来做O2O？为什么生鲜电商过去十年不断地有人进入、有人阵亡、再有人进入？为什么二手车市场说了十多年，今年又开始激烈厮杀？
机遇都是在大势的变化下产生，透彻了解机遇产生的原因和背景，才知道到底什么地方不一样了，才能有针对性的去决策、去行动、去把握机遇。
一切事情的发生都是有时代背景和原因的，如果答不出这个问题，就说明你还没有真正想清楚该如何把握这个机遇（甚至可能这根本就不是一个机会）。这就像选择进入股市的时机一样，进早了要等很多年，进晚了要套很多年，只有掌握对了 timing 才是赢家。
第二个问题是：Why us？
哪怕看准了机遇和发生的原因，这个机遇也不一定是属于你的。所以回答完“Why now”的问题之后，一定要找到能够明确说服自己“Why us”的理由。
你在纵向的积累是否足够来支撑横向的这个机遇？你是否是最适合做这件事情的人？这个纵向的积累不只是某个纵深行业的理解，也有人脉、金钱、个人能力等等。如果是靠流量的生意，你为什么不会被巨头干掉？如果是靠技术的生意，你为什么不会被Google出来的技术大牛干掉？
总结来说，逆势是拼一个未知的小概率事件，当结果被验证了以后，反过来看就是顺势（这其实就是薛定谔的势），而成功率如何就取决于Why now和Why us这两个问题的答案。对于能够完美解答这两个问题的人，全天下的逆势就是你最大的顺势。（就像雷军2010年开始做小米的时候一样，在那个时间点下，我相信他是最好的诠释了这两个问题答案的人。）
而反过来说，如果未来几年暂时还没有大的横向的机遇，那么最稳妥的选择是找到一个纵向去继续积累，并时刻保持敏锐，观察和等待机遇的到来。相当于先用实际行动更好地为“Why us”这个问题积累答案，同时也时刻警惕着“Why now”答案的出现。
最后，我想说，一开始我觉得人生不能着急，要慢慢来。后来一想还是不行，大势际遇对人生的决定性作用太强，但谁也不知道下一个横向的大机遇会在什么时候到来（而且目前看来，一个人一辈子最可能抓住的机遇就是那么一到两个），所以要抓紧一切时间提升自己，积累一切可以积累的资源才是。要稳，更要快。（来源：42章经）
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末尾一段作者提到要抓紧一切时间提升自己，Mac来说说如何提升自己吧！
1.大量阅读知名的理论著作。先随便找一本入手，不断提问使之为大量。
2.把自己的阅读理解向别人讲述、分享，达到巩固记忆。
3.如果遇到高手就要与其辩论，过滤误解，吸纳新的观点。
4.和志同道合的人循环上述三件事。
最后，收藏分享本站。
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