f(x+2a)=f[(x+a)+a]=1/f(x+a)=1/[1/f(x)]=f(x) 为什么啊

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-28 17:15 标签： f x ax 2 2a 1 x 3
已知函数f(x)=(ax-a-x)/(ax+a-x)(a>0且a≠1)（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）讨论函数f(x)的奇偶性；（3）讨论函数f(x)的单调性
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(1)f(x)=(ax-a-x)/(ax+a-x)=1-2a/(ax+a-x)ax+a-x≠0,得x≠a/(1-a)又因为a>0且a≠1所以x∈(-∞,1]（当a在（0,1）时,最大值为1)f'(x)=(a+1)/(ax+a-x)^2>0,故原函数为单调增函数.当x=1是,f(x)max=f(1)=1/(1-2a)故f(x)∈(-∞,1/(1-2a)]所以原函数的函数f(x)的定义域和值域分别是(-∞,1/(1-2a)],(-∞,1].（2）当x=0时,f(0)=-1≠0,故不为奇函数.f(-x)=(-ax-a+x)/(-ax+a+x)=(ax+a-x)/(ax-a-x)=1/f(x)故原函数也不为偶函数所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.（3）单调性在（1）里面已经说了,为单调增函数.
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扫描下载二维码证明f（x+a）=-f(x)和f(x+a)=1/f(x)的周期都为2a大概步骤是f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以f(x+2a)=f(x),所以周期为2a.f(x+2a)=f[(x+a)+a]=1/f(x+a)=f(x),所以f(x+2a)=f(x),所以周期为2a.这些是老师的步骤,可是我现在看不太懂了,
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觉得老师的做法还是很标准的其实就是换元法：设x+a=t,则f(x+2a)=f(t+a)
——这一步是换元=-f(t)
——这一步是用到了f(x+a)=-f(x)的性质=-f(x+a)
——这一步是将换元的部分还原回来=-[-f(x)]
——这里再次用到f(x+a)=-f(x)的性质=f(x)老师不过是省略没写中间的换元步骤,本质是一样的.另一题的解答方法也是这样,你要是还是不懂,可以追问
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＞＞＞已知函数f（x）=x|x|．当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，..
已知函数f（x）=x|x|．当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，则实数a的取值范围是______．
题型：填空题难度：中档来源：宝山区二模
∵y=|x|为偶函数，y=x为奇函数∴f（x）=x|x|奇函数当x≥0时，f（x）=x2为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数f（x）在R上增函数又∵不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|＞4xo|x|=2xo|2x|=f（2x）故当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，即当x∈[a，a+1]时，不等式x+2a＞2x恒成立即x＜2a恒成立即a+1＜2a解得a＞1故实数a的取值范围是（1，+∞）故答案为：（1，+∞）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x|x|．当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“已知函数f（x）=x|x|．当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，..”考查相似的试题有：
810553566313462771619632407174401131周期函数周期性的几个结论怎么证明啊1.f(x+a)=f(x+b) (a≠b)周期2.f(x+a)=-f(x) (a≠0)的周期3.f(x+a)=1/f(x) (a≠0,f（x）≠0）的周期虽然我知道这几个周期分别是lb-al 2a 2a,可是在看别人证明的时候第一个是设x+a=y,而第二个是设x+a=x.然后得出f(x+2a)=f(x),为什么第一个是换成y代入,而第二个换了之后还要将原来的x算上去,第一个就不用
你的问题就是说要化成显性的周期定义2,多一个负号,怎样把这个负号去掉呢,f(x+2a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x)所以T=2a3,位置不正确f(x) 跑到分母上去了,f(x+2a)=1/[f(x+a)]=1/[1/f(x)]=f(x)2与3的条件是给出一个f的法则,而这种法则不是周期函数定义的源法则,怎么把它化成标准的呢要根据所给的形式进行化成标准的定义；
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1、将x看成x-a代入得.f(x-a+a)=f(x-a+b) 即f(x)=f(x+b-a) 故周期为|b-a|2、f(x+a)=-f(x)
将x看成x+a代入得f(x+a+a)=-f(x+a)即f(x+2a)=-f(x+a)的f(x)=f(x+2a)故周期为|2a|3、同2类似，周期也为|2a|
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