高等数学（29）
§1.0&&序&&论
一、极限思想的起源以及它的大意
极限是高等数学中一个起着基础作用的重要概念，整个高等数学的体系都建立在这一概念基础之上。
【例1】中国古代有句古语：一尺之槌，日截其半，永世不竭。
设原槌之长为一个单位长，用&&表示第&n&次截取之后所剩下的长度，则。
显然，当无限地增大时，&趋近于零。所谓“永世不竭”，意指它可以无限地接近于零，但总不会等于零。对&&的这一变化趋势，我们一般采用记号来表示。
这便是极限雏型，它描述地是当&&时，的变化过程。
由于极限是描述变量无限渐进某个量的变化过程，使得对这一概念的理解十分困难，容易走入一些奇怪的。
二、认识误区
【例2】讨论当时，函数趋近于多少？
因为，但。因此，在求极限时，可以约去非零因子，而得到&&&&&&&。
而对于，很容易觉察出它的结果为2，这似乎又让了，岂不是产生了矛盾?
【例3】(&芝诺悖论&)龟兔相距一个单位长，设乌龟的爬行速度为1，而兔子的奔跑速度是乌龟速度的2倍，则兔子永远也追不上乌龟。其理由是：当兔子追到乌龟的第一个出发点时，乌龟爬行了的距离；当兔子追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了距离，…，如此下去。
这一悖论十分地迷惑人，但如果是考虑龟兔赛跑的时间，不难发现这一悖论的错误。
最初龟兔之间的相距
第一段路程兔子所用时间为，龟兔之间还相距
第二段路程兔子所用时间为，龟兔之间还相距
第n段路程兔子所用的时间为，龟兔之间还相距
前n段路程兔子所用时间的总和为
显然，当时，，这表明兔子追不上乌龟是指在单位时间内追不上，并非永远追不上。
在这一悖论中，正是由于存在着“龟兔之间的距离&&无限地趋近于零，但总达不到零”这一认识上的难点，使得它容易迷惑人。
三、极限思想在数学史上所取得的成就
在初等数学中，往往只研究变量的状态性质（静态的性质），而极限是研究变量变化过程中的一种变化趋势（动态的性质）。因此，极限思想帮助我们解决了许多初等数学无法解决的问题，获得了一些令人激动不已的结果，使数学进入了一个辉煌的时期。
下面我们仅举两例，展示极限的应用方法及应用成就。
【例4】(&刘徽割圆术&)求半径为&r&的圆面积A。
正多边形的面积公式为&，&是正多边形的周长，&是边心距。
如下图所示，考虑圆的内接与外接正多边形的面积，n表示正多边形的边数。
显然有：&，而
直观上，当n无限地增大时，正多边形的面积无限地趋近于圆的面积。利用著名数学软件Matlab，编写了动画程序gs0101.m，运行该程序，可更直观地了解到这一点。
由著名的极限
我们可得到圆的面积公式
【例5】(&阿基米德穷竭法&)&求由抛物线&轴及直线&&所围成的图形的面积。
在&x&轴上从0到1的那一段区间上插入n+1个等分点
过这些点作平行于&y&轴的直线段，它们将图形划分成了n个“狭窄”的竖条，把这些“狭窄竖条”近似地看作“矩形竖条”，可求出它们面积的近似值
原图形面积可以用阶梯形的面积之和来近似地表示
显然，当&n&愈来愈大时（即：图形分划出的竖条越来越狭窄），这个近似值就越来越接近原图形面积的真实值。也就是说，原图形面积值为
§1.3&&数列极限
一、数列极限
1、数列概念
若按某一法则，对任意自然数&&有一个确定的数与之对应，那么，这列有序数
称之为数列，且第&&项称之为该数列的一般项。
用函数的观点来看，数列可看作自变量为正整数的函数：
在几何上，数列是数轴上的一个动点。
2、数列极限的语言
【例1】讨论数列&&的极限。
数列一般项为&，观察易知
当&n&愈来愈大，的值愈来愈接近于0，的值愈来愈接近于1。因此，我们可以讲，数列的极限为&1&。
上面的讨论，很大程度上依赖于观察，诸如“愈来愈大”，“愈来愈接近”这类语言也显得含糊不清，因此，我们有必要弄精楚极限的准确数学含义。
在数学上，两个数与之间的接近程度可以用来度量，越小，与就越接近。与1&的接近程度为&。
所谓&“当&n&愈来愈大时，的值愈来愈接近于&1”，意指
当&n&取得足够大时，&可以小于任意给定的正数。
如:给定&，只要&，那么数列从第101项起后的一切项
均使不等式&&&&成立。
如:给定&，只要&，那么数列从第1001项起后的一切项
均使不等式&&&成立。
对于任意给定的充分小正数，总可找到一个正整数，使得对于的一切时的，不等式
这就是数列极限的精确数学含义！由此，我们给出数列极限的一般定义：
给定数列，若对于任意给定的正数（无论多么小），总存在一个正整数，当时，不等式
总成立，则称常数是数列的极限，或称收敛于。记作
或（当时）
如果数列无极限，则称数列发散。
在这一定义中，数值是核心，通常也称此定义为语言，用以下符号来加以简述。
,,&当&&时，总有
成立，则称数列以为极限，记作。
对极限的精确语言我们给出几点注解:
(1)、正数是任意给定的，因为只有这样不等式才能表达与愈来愈接近的含义，但一经给定就不变了。
(2)、正整数&N&与有关的，一般地讲，越小就越大。但通常&N&的选取不唯一，只要找一个就行了。
(3)、数列极限具有非常明显的几何特征
,,&当&&时，有
这表明：数列有无限多项&落入区间内，至多只有有限项(至多&N&项)在此区间之外。
这种现象可以用下图来进行直观解释：
数列有无穷多项凝聚在点的邻域内，点象一个吸力非常大的黑洞，在它的附近吸引了数列中的无穷多项。
(4)、语言只能用来判定数列是否以极限，而不能用它来求数列的极限。
3、用语言证明数列极限举例
【例2】试证明极限
解：，欲使
只需，因此可取，当时，有不等式
成立，故&&。
【例3】设，试证明等比数列的极限为0。
解：，欲使
只需，即&&(&注意到：&)
因此可取，当时，有不等式
成立，故&&。
【例4】设，试证明它的极限为0。
二、收敛数列的两个性质
【定理一】(极限的唯一性)&数列&不能收敛于两个不同的极限。
这一定理所陈述的事实显然。据数列极限的几何意义，收敛的数列不可能有两个凝聚点。
【定理二】(收敛数列的有界性)&设数列收敛，则数列一定有界。
若数列收敛于，则它的各项&&在数轴上的分布如下图所示
很明显， 数列是有界的。
定理二表明：收敛的数列一定是有界的，那么，有界的数列是否一定收敛呢?
请看一个著名的反例&&
几何上，该数列取值只是-1、+1两点，显然，它们不可能有什么唯一的凝聚点，但它们却是有界的。这表明：有界数列不一定收敛。
§1.4&&函数极限
函数极限有如下两种形式
1、自变量趋近于有限值(记作)时，对应的函数值的变化情况。
2、自变量的绝对值趋于无穷大(&记作)时，对应的函数值的变化情况。
一、自变量趋向于有限值时的函数极限
数列极限可用函数观点来重新加以解释：
当自变量取正整数&&且无限增大时，对应函数值无限地接近于常数。
据此，&我们不难给出一种新极限的描述性定义:
当自变量任意地趋近于有限值时，对应的函数值无限地趋近于确定常数，&那么就称&&是函数在时的极限。
为获得这类新极限的精确定义，参照数列极限定义，作适当的移植工作。
在的过程中，&函数值无限趋近于，&意指：
可任意小，&即：（其中任意给定）。
而无限趋近于，是在条件下实现的，也就是说
需要充分地接近于，即：（其中是某个正数）。
函数极限的语言
若对于任意给定的正数&，总存在一个正数&，使得对于一切适合不等式&的，对应的函数值，&都适合不等式
那么常数称之为函数当时的极限，并记作
(1)、定义中表示。这是因为，但达不到，因此函数在点处的极限，与函数在该点处是否有定义无关。
(2)、是任意给定的正数，而依赖于，通常是的函数，但与无关。
(3)、函数极限语言可简述成下列形式
（4）、&的几何意义
当属于，但&&时，的图形上点的纵坐标&落入两直线&&与&&之间。
2、运用语言证明函数极限
【例1】设为常数，试证：
证明：，欲使
只要取等于任意正实数，如&，当&时，有
【例2】试证：
证明：，欲使
只要取，当&时，有
【例3】设，证明：。
证明：，欲使
因，只要即可，(因)
另一方面，条件，因此，可取；
结合上述两点，应取，当时，有
只要取，当时，有
3、两个定理
【定理一】(函数的保号性)如果，且(或)，则存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，恒有(或)。
由函数极限的几何意义，&这一结论比较明显。
【定理二】(函数极限的保号性)如果在的某一去心邻域内(或)，&而且，&那未&(或&)。
证明:反证法
假设，而上述结论不成立，即。
据定理一，存在一个的去心邻域，在该邻域内，这与的假定相矛盾。所以&。
类似地可证明的情形。
4、左右极限
上述时函数的极限，是既从的左侧也从的右侧趋向于，因此，我们也称它为双侧极限。
有时，我们仅考虑从的左侧趋向于的情形(记作)，或仅从的右侧趋向于的情形(记作)，也就是所谓单侧极限。
很显然， 单侧极限只是双侧极限的一个特殊形式。
由函数双侧极限的语言，不难给出函数的左右极限定义。
类似地，可给出函数的右极限定义。
函数的左右极限有一个十分重要的性质：
当时极限存在的充要条件是左极限、右极限均存在且相等。
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那末叫做函数当时的极限。
这类极限也可用精确语言来描述。
对这一定义我们特别给出几点注解，它对理解语言是非常有帮助的。
(1)、如果且无限增大，(&记作&)，&则只要将上述定义中的
&&&&&改为，&就得到的定义。
&&&&同样，&而无限增大&(记作:&)，则只要将上述定义中
改为&就得到&的定义。
(2)、的几何意义
作直线，则总存在正数，使得当时，函数的图形位于这两条直线之间。
【例4】试证明:&
必须指出，该函数极限具有十分鲜明的几何特性:
直线&是曲线的图形的水平渐近线。一般地，我们有结论：
如果&，则直线是曲线的一条水平渐近线。
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----------Math----------无穷积分的收敛与被积函数极限之间关系的探讨--《南昌教育学院学报》2015年06期
无穷积分的收敛与被积函数极限之间关系的探讨
【摘要】：文章讨论无穷积分∫_a~(+∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→+∞时的极限情况。方法:利用函数f(x)在[a,+∞)上一致连续的一些性质、结论和一些新颖的实例。结果:给出了无穷积分∫_a~(+∞)f(x)dx的被积函数极限limf(x)x→+∞的一些条件及其证明。结论:若无穷积分∫_a~(+∞)f(x)dx收敛时被积函数极限为零,必须附加一定的条件才能成立,这与数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是有差别的。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O172.2-4;G642【正文快照】：
引言定积分的积分区间是有界区间[a,b],因为许多实际问题和理论问题涉及到无限积分区间,所以对无穷限反常积分的研究是具有实际意义的。我们主要研究无穷限反常积分敛散性的判别以及在收敛时所具有的性质。在收敛时,无穷限反常积分被积函数在无穷远处的极限是我们主要讨论的问
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京公网安备75号收敛函数一定有极限,有极限的函数一定收敛吗?
风飘飘on54
函数一般不说收敛,只说当x有某种变化趋势时,f(x)是否有极限.数列或者级数,才喜欢说收敛.“收敛”和“有极限”是一个意思,完全等价.你想问的是不是：“收敛一定有界,有界是不是一定收敛呢?”回答是：收敛一定有界,有界不一定收敛.
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另外&&tanx（x&π/2）的极限&&不收敛于某一个常数谈什么极限 ？？好好复习下极限吧。虽然我也是菜逼
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