【概率论】有哪些违背直觉的数学问题？a year ago赞赏还没有人赞赏，快来当第一个赞赏的人吧！151收藏分享举报文章被以下专栏收录通信专业在读博士{&debug&:false,&apiRoot&:&&,&paySDK&:&https:\u002F\u002Fpay.zhihu.com\u002Fapi\u002Fjs&,&wechatConfigAPI&:&\u002Fapi\u002Fwechat\u002Fjssdkconfig&,&name&:&production&,&instance&:&column&,&tokens&:{&X-XSRF-TOKEN&:null,&X-UDID&:null,&Authorization&:&oauth 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Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。 \u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F550b3efac6a28ab4e51047_b.png\&\u003Ehttps:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F550b3efac6a28ab4e51047_b.png\u003C\u002Fa\u003E\& class=\&origin_image 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\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Fol\u003E\u003Cbr\u003E那我们可以按照日常直觉分析如下：\u003Cbr\u003E\u003Col\u003E\u003Cli\u003E参赛者在做出最开始的决定时，对三扇门后面的事情一无所知，因此他选择正确的概率是1\u002F3，这个非常直观，合乎直觉。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E然后，主持人排除掉了一个错误答案（有羊的门），于是剩下的两扇门必然是一扇是羊，一扇是跑车，那么此时无论选择哪一扇门，胜率都是1\u002F2，依然合乎直觉。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E所以感觉上，参赛者换不换都无必要，获胜概率均为1\u002F2。\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Fol\u003E\u003Cbr\u003E但事情并没有这么简单，其实在历史上，这个“三门问题”刚被提出的时候却引起了相当大的关注，自然而言也引发了一些学者的关注。\u003Cbr\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Ffd2f9fe93cf767dea4e520_b.jpg\& class=\& external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ehttps:\u002F\u002F\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&visible\&\u003Epic1.zhimg.com\u002Ff3C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003E6e1d2f9fe93cf767dea4e520_b.jpg\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&ellipsis\&\u003E\u003C\u002Fspan\u003E\u003C\u002Fa\u003E\& data-rawwidth=\&300\& data-rawheight=\&373\& class=\&content_image\& width=\&300\&&\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Ffd2f9fe93cf767dea4e520_b.jpg\& data-rawwidth=\&300\& data-rawheight=\&373\& class=\&content_image\& width=\&300\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='300'%20height='373'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&300\& data-rawheight=\&373\& class=\&content_image lazy\& width=\&300\& 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The first door has a 1\u002F3 chance of winning, but the second door has a 2\u002F3 chance. Here’s a good way to visualize what happened. Suppose there are a million doors, and you pick door #1. Then the host, who knows what’s behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door #777,777. You’d switch to that door pretty fast, wouldn’t you?\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E是的，你应该换。你第一次选的门只有1\u002F3胜率，但是剩下的另一扇门却有2\u002F3的机会。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E但是，这个结论好像和直觉有点不一样，难道换不换不应该都是1\u002F2吗？\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F85dfcf7dcabc7_b.jpg\& class=\& external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ehttps:\u002F\u002F\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&visible\&\u003Epic4.zhimg.com\u002F85dfcf7d\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ecabc7_b.jpg\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&ellipsis\&\u003E\u003C\u002Fspan\u003E\u003C\u002Fa\u003E\& data-rawwidth=\&435\& data-rawheight=\&395\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&435\& data-original=\&\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F85dfcf7dcabc7_r.jpg\& class=\& external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ehttps:\u002F\u002F\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&visible\&\u003Epic4.zhimg.com\u002F85dfcf7d\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ecabc7_r.jpg\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&ellipsis\&\u003E\u003C\u002Fspan\u003E\u003C\u002Fa\u003E\&&\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic6.zhimg.com\u002F85dfcf7dcabc7_b.jpg\& data-rawwidth=\&435\& data-rawheight=\&395\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&435\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic6.zhimg.com\u002F85dfcf7dcabc7_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='435'%20height='395'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&435\& data-rawheight=\&395\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&435\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic6.zhimg.com\u002F85dfcf7dcabc7_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic6.zhimg.com\u002F85dfcf7dcabc7_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E其时不仅仅有些读者会觉得这个答案奇怪且荒谬，当时\u003Cb\u003E莎凡特的\u003C\u002Fb\u003E回答在美国也引起了激烈的争议：\u003Cbr\u003E\u003Cblockquote\u003E人们寄来了数千封抱怨信，很多寄信人是科学老师或学者。一位来自佛罗里达大学的读者写道：“\u003Cb\u003E这个国家已经有够多的数学文盲了，我们不想再有个世界上智商最高的人来充数！真让人羞愧\u003C\u002Fb\u003E！”另一个人写道：“我看你就是那只山羊！”美国陆军研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)写道，“\u003Cb\u003E如果连博士都要出错，我看这个国家马上要陷入严重的麻烦了。\u003C\u002Fb\u003E”\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E因为直觉告诉人们：如果被打开的门后什么都没有，这个信息会改变剩余的两种选择的概率，哪一种都只能是1\u002F2。\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E持有这种观点的大约有十分之一是来自数学或科学研究机构，有的人甚至有博士学位。还有大批报纸专栏作家也加入了声讨\u003Cb\u003E莎凡特\u003C\u002Fb\u003E的行列。在这种情况下，\u003Cb\u003E莎凡特\u003C\u002Fb\u003E向全国的读者求救，有数万名学生进行了模拟试验。一个星期后，实验结果从全国各地飞来，是2\u002F3和1\u002F3。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E随后，MIT的数学家和阿拉莫斯国家实验室的程序员都宣布，他们用计算机进行模拟实验的结果，支持了\u003Cb\u003E莎凡特\u003C\u002Fb\u003E的答案。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E后来的著名节目《流言终结者》也做实验，印证了\u003Cb\u003E莎凡特\u003C\u002Fb\u003E的答案。\u003Cbr\u003E节目链接：\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=http%3A\u002F\u002Fwww.acfun.tv\u002Fv\u002Fac669267\& class=\& wrap external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E【概率论基础】流言终结者验证三门问题\u003C\u002Fa\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E可以看出，这是一个概率论和人的直觉不太符合的例子，这告诉我们在做基于量化的判断的时候，要以事实和数据为依据，而不要凭主观和直觉来决定。下面是正确的分析，记得我第一次看这道题目是中学，当时我也是坚信换不换都是1\u002F2。\u003Cbr\u003E==========================================================================\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E那么1\u002F3和2\u002F3是怎么来的呢？\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E那就是有一个十分重要隐藏条件：\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E显然，作为知道答案的主持人，不可能选择开启有车的门。所以他永远都会挑一扇有山羊的门，也就是说主持人选择开启其中一扇门时，他的选择并不是一个纯随机事件。\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E那么有以下推论。 \u003Cbr\u003E\u003Cul\u003E\u003Cli\u003E如果参赛者选择了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。 \u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E如果参赛者选择了一扇有跑车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。 \u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Ful\u003E我们可以遍历所有可能性，那么假设参赛者选择1号门，那么如下图所示，存在3中等可能情形：\u003Cbr\u003E\u003Col\u003E\u003Cli\u003E参赛者选择汽车 主持人选择山羊甲 转换失败\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E参赛者选择山羊甲 主持人选择山羊乙转换成功\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E参赛者选择山羊乙 主持人选择山羊甲 转换成功\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Fol\u003E可见转换选择后的成功概率为2\u002F3.\u003Cbr\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fbdefed81a7ab9bd3a51e_b.png\& class=\& external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ehttps:\u002F\u002F\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&visible\&\u003Epic3.zhimg.com\u002Fbdefed50\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003E80bd20bebd3a51e_b.png\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&ellipsis\&\u003E\u003C\u002Fspan\u003E\u003C\u002Fa\u003E\& data-rawwidth=\&841\& data-rawheight=\&385\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&841\& data-original=\&\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fbdefed81a7ab9bd3a51e_r.png\& class=\& external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ehttps:\u002F\u002F\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&visible\&\u003Epic3.zhimg.com\u002Fbdefed50\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003E80bd20bebd3a51e_r.png\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&ellipsis\&\u003E\u003C\u002Fspan\u003E\u003C\u002Fa\u003E\&&我还想跟大家介绍一个非常有用的数学工具——贝叶斯公式，可以很简单的解决这个问题。\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fbdefed81a7ab9bd3a51e_b.jpg\& data-rawwidth=\&841\& data-rawheight=\&385\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&841\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fbdefed81a7ab9bd3a51e_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='841'%20height='385'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&841\& data-rawheight=\&385\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&841\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fbdefed81a7ab9bd3a51e_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fbdefed81a7ab9bd3a51e_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E我还想跟大家介绍一个非常有用的数学工具——贝叶斯公式，可以很简单的解决这个问题。\u003Cbr\u003E我们用事A代表你第一次选择的门后是跑车，B代表主持人翻开的门后是山羊。\u003Cbr\u003E那么已知B的情况下，A发生的条件概率P{A|B}用贝叶斯公式可得：\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E显然，第一次选对的概率，即但是由于不知道主持人的行为，所以无法计算和那么我们具体分析：\u003Cb\u003E因为主持人【知道】门后对应的东西，所以只选择开启有羊的门，于是\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cul\u003E\u003Cli\u003E主持人一定选择山羊，事件B一定发生，即：\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E主持人一定选择山羊，事件B一定发生：那么所以不换的胜率是1\u002F3，因此一定要换。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Ful\u003E\u003Cbr\u003E但如果改变条件，主持人并【不知道】门后有什么东西，那么：\u003Cbr\u003E得到也就是是说，换与不换无所谓。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E附加题：\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E开心辞典比赛中，每道题目有4个选项，其中1个选项正确，另外3个选项错误。那么你作为参赛者，面对一道完全不会的题目，于是先随机选了一个答案。之后使用锦囊去除了一个错误答案。其原则是如果逆选择正确，那么在剩下3个错误答案中任意去处1个；如果你的选择错误，则在剩下2个没被选择的错误答案中任意去处1个。\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E那么之后要不要换选项？换和不换概率分别是多少？\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E提示：用贝叶斯公式非常简单哦~\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E聪明的小朋友们，你们知道答案了吗？\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F6f5cee67b17bab0774298_b.jpg\& class=\& external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ehttps:\u002F\u002F\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&visible\&\u003Epic1.zhimg.com\u002F6f5cee67\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Eb17bab0774298_b.jpg\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&ellipsis\&\u003E\u003C\u002Fspan\u003E\u003C\u002Fa\u003E\& data-rawwidth=\&640\& data-rawheight=\&400\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&640\& data-original=\&\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F6f5cee67b17bab0774298_r.jpg\& class=\& external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Ehttps:\u002F\u002F\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&visible\&\u003Epic1.zhimg.com\u002F6f5cee67\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&invisible\&\u003Eb17bab0774298_r.jpg\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&ellipsis\&\u003E\u003C\u002Fspan\u003E\u003C\u002Fa\u003E\&&\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F6f5cee67b17bab0774298_b.jpg\& data-rawwidth=\&640\& data-rawheight=\&400\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&640\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F6f5cee67b17bab0774298_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='640'%20height='400'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&640\& data-rawheight=\&400\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&640\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F6f5cee67b17bab0774298_r.jpg\& 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Date(&T07:37:06.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&anyone&,&commentCount&:19,&collapsedCount&:0,&likeCount&:151,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&lastestTipjarors&:[],&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F5901d8ea982fe9d5e360f_r.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&reviewers&:[],&topics&:[{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&数学&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&概率论&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&信息&}],&adminClosedComment&:false,&titleImageSize&:{&width&:396,&height&:220},&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&excerptTitle&:&&,&column&:{&slug&:&communication&,&name&:&话说通信&},&tipjarState&:&activated&,&tipjarTagLine&:&真诚赞赏，手留余香&,&sourceUrl&:&&,&pageCommentsCount&:19,&tipjarorCount&:0,&annotationAction&:[],&hasPublishingDraft&:false,&snapshotUrl&:&&,&publishedTime&:&T15:37:06+08:00&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&lastestLikers&:[{&bio&:&这不是知乎蓝，它比知乎蓝明亮26.77%&,&isFollowing&:false,&hash&:&e1b9babcdc17d69a8a1285&,&uid&:64,&isOrg&:false,&slug&:&lan-se-wei-xiao&,&isFollowed&:false,&description&:&注销&,&name&:&蓝色微笑&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Flan-se-wei-xiao&,&avatar&:{&id&:&v2-091a1bd930da5af0cbee47&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&趣果有间孤独无解&,&isFollowing&:false,&hash&:&aa553ef36ab028ccd17497b&,&uid&:958200,&isOrg&:false,&slug&:&niu-fei-65-10&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&Olive&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fniu-fei-65-10&,&avatar&:{&id&:&v2-f9327492eacf3a8a967d080&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&渴望自定义自己的生活&,&isFollowing&:false,&hash&:&2ed75014f0dae100d3bbe&,&uid&:685200,&isOrg&:false,&slug&:&polaris-44-20&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&JayE&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fpolaris-44-20&,&avatar&:{&id&:&v2-7fe139fcc0bd8&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&工程师&,&isFollowing&:false,&hash&:&85dab0f4b1e9d8b6ac698b2&,&uid&:527900,&isOrg&:false,&slug&:&wei-yang-4-13&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&危阳&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fwei-yang-4-13&,&avatar&:{&id&:&f8cd52f43ebb3b141d756&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&财税&,&isFollowing&:false,&hash&:&9bee00aba413caa14b5cc&,&uid&:398300,&isOrg&:false,&slug&:&dou-bi-dou-bi-er-hao&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&逗逼逗逼二号&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fdou-bi-dou-bi-er-hao&,&avatar&:{&id&:&da8e974dc&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false}],&summary&:&\u003Cimg data-rawwidth=\&2000\& data-rawheight=\&1111\& src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F550b3efac6a28ab4e2.jpg\& class=\&origin_image inline-img zh-lightbox-thumb\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F550b3efac6a28ab4e51047_r.jpg\&\u003E说到违反直觉，那么这个必须要提著名的“三门问题”，亦称为蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的一档电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。 \u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F550b3efac6a28ab4e51047_b.png\&\u003Ehttps:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F550b3efac6a28ab4e51047_b.png\u003C\u002Fa\u003E\& class=\&origin_image zh-lightbox-…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:{&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F50\u002Fd5fc882c5dacc3f1ebfd5d_xl.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&topics&:[{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&数学&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&密码&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&博弈论&}],&adminClosedComment&:false,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&excerptTitle&:&&,&author&:{&bio&:&&,&isFollowing&:false,&hash&:&ea85c9f8f7f88dd85d5bc6&,&uid&:48,&isOrg&:false,&slug&:&han-di-63&,&isFollowed&:false,&description&:&人生就是一场马拉松，不求跑得最快，只求跑的最稳。\n\n个人咨询请去值乎，或邀请我回答问题。\n\n本人已授权“维权骑士”网站（http:\u002F\u002Fwww.rightknights.com）对我在知乎发布的文章的版权侵权行为进行追究与维权。\n\n如需转载前往https:\u002F\u002Frightknights.com\u002Fmaterial\u002Fauthor?id=607 获取合法授权&,&name&:&韩迪&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fhan-di-63&,&avatar&:{&id&:&v2-39dbc2d5fcc4&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},&column&:{&slug&:&communication&,&name&:&话说通信&},&content&:&考虑一个问题，如果A和B需要就某件事抛硬币决定，但是二人不方便见面，只能通过电话沟通。那么A和B该如何通过电话完成一次公平的抛硬币游戏呢？\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E有人或许会想到最简单的方式，那就是由A抛硬币，然后B猜测正反，然后把结果告诉A。但显然这种方式下，A占有太多的优势和先机，比如即使B猜测正确，A也完全可以说谎。所以如果A和B不是绝对信任对方的话，这种方法很难令双方同时信服。 但我们可以同利用数学的基本现象，完成一次让双方同时信服的公平抛硬币游戏。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E在数学中，有一个非常典型的“正则易、逆则难”的现象：那就是\u003Cb\u003E很容易算出两个素数的乘积是多少，却没法快速找出一个大数等于哪些素数的乘积\u003C\u002Fb\u003E。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E有些数能够表示成更小的数的乘积，比如 8 可以写成 2×4，35 可以写成5×7，这样的数就被称为“\u003Cb\u003E合数\u003C\u002Fb\u003E”。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E而另一些数则比较特殊，并不能写成更小的数的乘积，而只能被1或自己本身整除，比如2、3、5、 7、23、67、191 等等，这样的数就叫做“\u003Cb\u003E素数\u003C\u002Fb\u003E”。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E如果我们选取两个素数，比方说67和71，然后把它们乘在一起，能够得到一个新的数4757。但是反过来，除非我们一个数一个数地去遍历尝试，否则是没办法判断出4757可以分成哪两个素数的乘积形式。换句话说，对于\u003Cb\u003E“\u003C\u002Fb\u003E\u003Cb\u003E4757能分成哪两个数的乘积”这个问题，回答起来相当困难，验证答案的正确性却很容易。\u003C\u002Fb\u003E从计算复杂度的角度很容易理解，把67和71相乘的复杂度为O(1)，而现有的Pollard Rho快速因数分解算法的复杂度为O(n^(1\u002F4))。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E利用这个思路，我们能得到很多公平的电话抛币方案。比如：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E我们规定由A 先抛掷一枚硬币，如果正面朝上，A就选择两个 1000 左右的素数；否则就选择三个 100 左右的素数。然后 A 把所选素数乘起来，只把乘积告诉B，并让B回答这个乘积是两个数的乘积还是三个数的乘积。要想获得正确答案，B没有什么高明手段，因为对于普通人而言，这个计算量绝对是难以达到的，所以B只能随便猜一个，并把猜的结果告知A。最后，A向B揭晓答案，并告诉B，自己刚才选了哪几个素数，让B验证答案的真实性。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E举个例子，我告诉大家一个素数乘积结果1011811，大家能否在不借助计算机的情况下，通过心算在10秒内告诉我答案呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E即使有人说，B完全可以作弊，比如他直接借助计算机来分解乘积。不过，若A怀疑B会通过计算机作弊，A完全可以设定各大的乘积位数，例如0位的素数乘积，即使是超级计算机也没办法在10秒内完成。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E理论上说，这种电话抛硬币方案是公平可靠的，但是其执行过程却有点太麻烦，所以在实际中应该不会有人这么做。然而，这种思想在计算机科学中已经得到了广泛应用。利用计算机，我们可以轻松得到几十上百位的素数，并能迅速算出这些大素数的乘积，但要想把乘积快速分解开来是一件几乎不可能完成的任务。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E值得一提的是，这也是当今最有影响力的公钥加密算法——RSA算法的原理，利用该算法可以快速对文件进行加密，但是暴力解密却需要花费很长的时间。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E【参考文献】果壳网：\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=http%3A\u002F\u002Fwww.guokr.com\u002Farticle\u002F974\u002F\& class=\& wrap external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E两个人能在电话中抛掷硬币吗？\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E【Tips】现已开启微信公众号：科研学徒(kystudent)，欢迎大家关注，会不定期分享一些趣事杂谈和科研路上的心得体会。欢迎大家与我交流。\u003C\u002Fp\u003E&,&state&:&published&,&sourceUrl&:&&,&pageCommentsCount&:0,&canComment&:false,&snapshotUrl&:&&,&slug&:,&publishedTime&:&T19:27:16+08:00&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&title&:&如何通过电话完成一次公平的抛硬币游戏？&,&summary&:&考虑一个问题，如果A和B需要就某件事抛硬币决定，但是二人不方便见面，只能通过电话沟通。那么A和B该如何通过电话完成一次公平的抛硬币游戏呢？ 有人或许会想到最简单的方式，那就是由A抛硬币，然后B猜测正反，然后把结果告诉A。但显然这种方式下，A占有太…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&commentPermission&:&anyone&,&commentsCount&:193,&likesCount&:813},&next&:{&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F50\u002Fv2-27b6c04efecd7e7236cb_xl.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&topics&:[{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&时间&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&天文学&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&科普&}],&adminClosedComment&:false,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&excerptTitle&:&&,&author&:{&bio&:&&,&isFollowing&:false,&hash&:&ea85c9f8f7f88dd85d5bc6&,&uid&:48,&isOrg&:false,&slug&:&han-di-63&,&isFollowed&:false,&description&:&人生就是一场马拉松，不求跑得最快，只求跑的最稳。\n\n个人咨询请去值乎，或邀请我回答问题。\n\n本人已授权“维权骑士”网站（http:\u002F\u002Fwww.rightknights.com）对我在知乎发布的文章的版权侵权行为进行追究与维权。\n\n如需转载前往https:\u002F\u002Frightknights.com\u002Fmaterial\u002Fauthor?id=607 获取合法授权&,&name&:&韩迪&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fhan-di-63&,&avatar&:{&id&:&v2-39dbc2d5fcc4&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},&column&:{&slug&:&communication&,&name&:&话说通信&},&content&:&\u003Cp\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002F53fa7c2fb1fcade1f2eb8e25e10e0f84\& data-hash=\&53fa7c2fb1fcade1f2eb8e25e10e0f84\& class=\&member_mention\& data-hovercard=\&p$b$53fa7c2fb1fcade1f2eb8e25e10e0f84\&\u003E@共青团中央\u003C\u002Fa\u003E 感谢官方钦定~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fv2-6b1d02ce2f62ef87a3ce_b.jpg\& data-rawwidth=\&585\& data-rawheight=\&441\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&585\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fv2-6b1d02ce2f62ef87a3ce_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fquestion\u002F2Fanswer\u002F\& class=\&internal\&\u003E本文中基于我之前的答案：哪些冷知识让你忍俊不禁？ - 韩迪的回答 - 知乎\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E 人类从很早开始，就开始遵从日出而起，日落而居的生活规律。于是自然会使用天体的运行周期作为时间单位，最具代表性的便是把地球自转一周的时间设定为1天。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E那么一天究竟是多长呢？ \u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E 1天等于24小时，转算下来就是86400秒。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E 秒作为一个时间单位，在日常生活中更加常见。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E但许多人不一定注意到的是的是，1天并不严格等于86400秒，这是为什么呢？\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E那先来简单介绍一下两者的区别和各自衡量方法吧。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E【1天】\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E太阳两次通过同一子午圈所历之时间。\u003C\u002Fb\u003E是太阳视位置所经过的时间，名为一视太阳日，把周年视太阳日的长度取个平均，名为平太阳日。即钟表所表示的二十四小时。简称为1天。\u003Cbr\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fv2-27b6c04efecd7e7236cb_b.jpg\& 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data-original=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F80e91a0a0d3ab8aa6e1da43bb1fe6a7a_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cbr\u003E铯原子的振荡周期十分稳定，精度达到2000年内的误差不超过1秒。因此对于人类而言，原子秒的长度可以认为是绝对固定的。因此根据原子秒计算出来的1天的长度，即86400原子秒，也是固定不变的。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E所以总结一下：\u003Cbr\u003E\u003Cul\u003E\u003Cli\u003E一天：1天是地球自转一周，或昼夜交替一次的时间，这个时间并非固定不变的。因为地球的自转并不稳定，会受到轨道位置，潮汐，以及地震，风速的影响，而且从长期来看，地球的自转速度是越来越慢的。也就是说，地球自转一周所需的时间会变得越来越长。\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E一秒：根据铯133原子基态的能级跃迁辐射周期长度定义，可以认为是绝对固定的。\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Ful\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E因以自转为标准的世界时就会和原子时之间产生误差，这个误差在过去43年中已经积累了25秒。按照这个趋势推算，大概在七八千年后，太阳升起的时间可能就会与现在相差2个小时了，本来中午12点太阳当头照，而七八千年后就要下午2点太阳才当头照了。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E为了应对这个问题，1972年国际计量大会决定，当“世界时”与“原子时” 之间时刻相差超过0.9秒时，就在“协调世界时”上加上或减去1秒，以尽量接近“世界时”，这就是闰秒。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E下图是自的世界时与原子时之差，从中可以看出，通过闰秒调整的方式，控制误差不超过1秒。\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg data-rawheight=\&360\& data-rawwidth=\&450\& src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F7b211fff67fadf85c634_b.jpg\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&450\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F7b211fff67fadf85c634_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E最近一次调整时间为日最后一分钟，北京时间日上午7:59分将会有61秒，这次调整是第26次在世界协调时间中加入“闰秒”，下面是当时的新闻报道，也算得上一个大新闻了。\u003Cbr\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg data-rawheight=\&780\& data-rawwidth=\&1408\& src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fad1cc23fa147a4f3f6f9_b.jpg\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&1408\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fad1cc23fa147a4f3f6f9_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Ca class=\& wrap external\& 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data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fb347f9acdd32b1d2b9503_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cbr\u003E但可以理解，全世界有那么多对时间精度要求极高的定位卫星，还有数不胜数的基于时间提供服务的机构，要让世界各国一起+1s，绝非易事。稍有疏忽就会因时间误差而导致混乱，这会增加许多人力财力成本。更难的是，随着全球化的深入，一旦有一两个国家拒绝采用闰秒、或者没有精确完成置闰，许多高精度系统就无法在全世界范围内兼容。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E因此，有国家建议，以后统一改用原子时，摒弃传统的太阳日。此外还有一些折中方案，比如有人建议用“闰分”替代“闰秒”，改成+1min，这样大概100年才会调整一次。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cu\u003E\u003Cb\u003E今夜零时，全宇宙为你+1S！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fu\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E\u003Cbr\u003E【Tips：韩迪】\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=http%3A\u002F\u002Fmp.weixin.qq.com\u002Fs%3F__biz%3DMzA3MDM0MjgzMw%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dd96f1870dca2ab868cbdc55%26chksm%3D84d9bb62b3ae3211e575c09ae0ab41c524de1b06e%26mpshare%3D1%26scene%3D1%26srcid%3D1230stUFAC62E3tka3UfpBdt%23rd\& class=\& wrap external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E投票｜“电子之星”线上投票开始了！\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fb\u003E&,&state&:&published&,&sourceUrl&:&&,&pageCommentsCount&:0,&canComment&:false,&snapshotUrl&:&&,&slug&:,&publishedTime&:&T14:00:38+08:00&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&title&:&【年末大新闻】你的生命即将+1s&,&summary&:&\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002F53fa7c2fb1fcade1f2eb8e25e10e0f84\& data-hash=\&53fa7c2fb1fcade1f2eb8e25e10e0f84\& class=\&member_mention\& data-hovercard=\&p$b$53fa7c2fb1fcade1f2eb8e25e10e0f84\&\u003E@共青团中央\u003C\u002Fa\u003E 感谢官方钦定~\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fquestion\u002F2Fanswer\u002F\& class=\&internal\&\u003E本文中基于我之前的答案：哪些冷知识让你忍俊不禁？ - 韩迪的回答 - 知乎\u003C\u002Fa\u003E 人类从很早开始，就开始遵从日出而起，日落而居的生活规律。于是自然会使用天体的运行周期作为时间单位，最具代表性的便是把地球自转一周的时间设定为1天…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&commentPermission&:&anyone&,&commentsCount&:66,&likesCount&:243}},&annotationDetail&:null,&commentsCount&:19,&likesCount&:151,&FULLINFO&:true}},&User&:{&han-di-63&:{&isFollowed&:false,&name&:&韩迪&,&headline&:&人生就是一场马拉松，不求跑得最快，只求跑的最稳。\n\n个人咨询请去值乎，或邀请我回答问题。\n\n本人已授权“维权骑士”网站（http:\u002F\u002Fwww.rightknights.com）对我在知乎发布的文章的版权侵权行为进行追究与维权。\n\n如需转载前往https:\u002F\u002Frightknights.com\u002Fmaterial\u002Fauthor?id=607 获取合法授权&,&avatarUrl&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fv2-39dbc2d5fcc4_s.jpg&,&isFollowing&:false,&type&:&people&,&slug&:&han-di-63&,&bio&:&&,&hash&:&ea85c9f8f7f88dd85d5bc6&,&uid&:48,&isOrg&:false,&description&:&人生就是一场马拉松，不求跑得最快，只求跑的最稳。\n\n个人咨询请去值乎，或邀请我回答问题。\n\n本人已授权“维权骑士”网站（http:\u002F\u002Fwww.rightknights.com）对我在知乎发布的文章的版权侵权行为进行追究与维权。\n\n如需转载前往https:\u002F\u002Frightknights.com\u002Fmaterial\u002Fauthor?id=607 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