祖冲之是怎样算出圆周率π值的?如题所示
宫殿菌43174
纠正一下,圆周率并不是祖冲之发现的,他之前,刘徽就就计算过圆周率.作为数学家,研究计算圆周率应该是他们的专业方向之一.我国古代数学家对圆周率方面的研究工作,成绩是突出的.早在三国时期,著名数学家刘徽就用割圆术将圆周率精确到小数点后3位,南北朝时期的祖冲之在刘徽研究的基础上,将圆周率精确到了小数点后7位,这一成就比欧洲人要早一千多年.祖冲之是和他儿子一起从事这项研究工作的,当时条件很差.他们在一间大屋的地上画了一个直径1丈的大圆.从内接正6边形开始计算,12边形,24边形,48边形的翻翻,一直算到96边形,计算的结果和刘徽的一样.接着,内接边数再逐次翻翻,边数每翻一次,要进行7次加减运算,2次乘方,2次开方,运算的数字都很大,很复杂,在当时的条件下,是十分困难的.祖冲之父子一直把边形算到24576边,得出了圆周率在3··1415927之间,精确到了小数点后7位.其近似分数是 355/113,被称为"密率".德国数学家奥托在1573年重新得出这个近似分数.当时,欧洲人还不知道在一千多年之前祖冲之就己经算出来了.后来荷兰人安托尼兹也算出这个近似分数,于是欧洲人就把这个称为"密率"的近似分数叫着"安托尼兹率".日本数学家认为应该恢复其本来面目,肯定祖冲之在圆周率方面研究的贡献,改称"祖率"才对.
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祖冲之是怎样推算出圆周率的
　　祖冲之是怎样推算出圆周率的
　　祖冲之通过艰苦的努力，他在世界数学史上第一次将圆周率(Л)值计算到小数点后七位，即3..1415927之间。他提出约率22/7和密率355/113，这一密率值是世界上最早提出的，比欧洲早一千多年，所以有人主张叫它&祖率&。祖冲之圆周率
　　他将自己的数学研究成果汇集成一部著作，名为《缀术》，唐朝国学曾经将此书定为数学课本。他编制的《大明历》，第一次将&岁差&引进历法。提出在391年中设置144个闫月。
　　推算出一回归年的长度为365.日，误差只有50秒左右。他不仅是一位杰出的数学家和天文学家，而且还是一位杰出的机械专家。重新造出早已失传的指南车、千里船等巧妙机械多种。此外，他对音乐也有研究。著作有《释论语》、《释孝经》、《易义》、《老子义》、《庄子义》及《述异记》等，均早已遗失。
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发表于 12:17:33
先开贴。网上找一点资料先做个引子。祖冲之(公元429-500年)是我国南北朝时期河北省涞源县人.他从小就阅读了许多天文,数学方面的书籍.他勤奋好学,刻苦实践,终于成为我国古代杰出的数学家,天文学家. 祖冲之在数学上的杰出成就是关于圆周率的计算.秦汉以前,人们以"径一周三"做为圆周率,这就是"古率".后来发现古率误差太大,圆周率应是"圆径一而周三有余",不过究竟余多少,意见不一.直到三国时期刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术",用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.刘徽计算到圆内接96边形, 求得π=3.14,并指出内接正多边形的边数越多,所求得的π值越精确.祖冲之在前人成就的基础上经过刻苦钻研,反复演算,求出π在3..1415927之间.并得出了π分数形式的近似值,取22／7为约率,取355／113为密率,其中取六位小数是3.1415929,它是分子分母在1000以内最接近π值的分数.祖冲之究竟用什么方法得出这一结果?现在无从考查.若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话,就要计算到圆内接16,384边形,这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊!由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的.祖冲之计算得出的密率, 外国数学家获得同样结果,已是一千多年以后的事了.为了纪念祖冲之的杰出贡献,有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率". 祖冲之博览当时的名家经典,坚持实事求是,他从亲自测量计算的大量资料中对比分析,发现过去历法的严重误差,并勇于改进.在他三十三岁时编制成功了《大明历》,开辟了历法史的新纪元. 祖冲之还与他的儿子祖暅(也是我国著名的数学家)一起,用巧妙的方法解决了球体体积的计算.他们当时采用的一条原理是:"幂势既同,则积不容异"意即:位于两平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立体的体积相等.这一原理,在西文被称为卡瓦列利原理, 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的.为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献,大家也称这原理为"祖暅原理".
11:34:14 被 罗百竹 推荐，推荐理由:
发表于 12:41:37
　　祖冲之（429—500年），字文远，范阳郡遒县（今河北省保定市涞水县）人，是我国南北朝时期著名数学家、天文学家。　　《隋书·律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”　　这一记录指出：祖冲之关于圆周率有两大贡献：　　其一是，求得圆周率：3.1415926＜π＜3.1415927　　其二是，得到π的两个近似分数：约率为22／7；密率为355／113。　　我国历代都有研究天文的官，并且根据研究天文的结果来制定历法。到了南北朝宋朝的时候，历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。他根据自己长期观察的结果，创制出一部新的历法，叫做“大明历”（“大明”是宋孝武帝的年号）。这种历法测定的每一回归年（也就是两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的精确程度了。　　祖冲之在科学发明上也是个多面手，他造过一种指南车，随便车子怎样转弯，车上的铜人总是指着南方(罗百竹注：这个指南车我记得dfs以前开贴讲过原理，和指南针的原理不一样，是依靠机械原理制造的)；他又造过“千里船”，在新亭江（在今南京市西南）上试航过，一天可以航行一百多里。他还利用水力转动石磨，舂米碾谷子，叫做“水碓磨”。他又设计制造过计时仪器漏壶和欹器。　　祖冲之留下的数学之谜　　在圆周率近似值的计算方面，古希腊起先是走在中国前面的。公元前5世纪，当希腊数学家算得圆周率为3.1416时，中国还停留在“周三径一”的古率阶段，并一直沿用到汉代。西汉刘歆算得3..14166，有效数字为3.1。刘徽算出圆周率为3.14，但是祖冲之不满足于刘徽这个成果，他进一步算出了圆周率大于3.1415926小于3.1415927的结果，并得到两个近似表达圆周率的分数，一个是22/7，一个是355/113。　　祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其深奥，是故废而不理”，以致后来失传。　　很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后，1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。但是“祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却说不出来。　　祖率（密率）是圆周率十分精确的近似值，且又很好记，只要将113355一分为二，便是它的分母和分子了。张景中院士在《数学家的眼光》一书中指出：它与π精确值的误差不超过0.。在数学家看来，好的近似分数，既要精确，分母最好又不太大。现今数学上己不难证明，在所有分母不超过16500的分数中，密率355/113是当之无愧的冠军。　　因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。　　在中国科协日出版的《科技导报》杂志的26卷5期上，“18个中国公众关注的科技问题”一文中，己将“祖冲之究竟是怎样计算出圆周率π值的？”列为公众关注的未解科学难题之一。
发表于 14:45:49
参考这篇文章，有比较详细的古人计算方法：/baike/html/4/406.shtml
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 15:43:05
----------------------------------------------以下是引用罗百竹的发言：参考这篇文章，有比较详细的古人计算方法：/baike/html/4/406.shtml……----------------------------------------------还是浮于表面的议论，谈到割圆术，大家都明白要用正多边形无限逼近圆周。要计算正多边形每个边的边长，需要用三角函数。三角函数的具体数值获得，必须重复不间断地用中国人早就知道的勾股定理来计算，这就涉及开平方根。而且要一次又一次地开平方，为达到最后的7位小数精度，对前面几十次的开方精度还要高得多，在算筹时代，这是一个巨大的工作。文章中谈到许多猜想，如以下话语，最根本的问题依然没有回答：祖冲之怎么算出圆周率的？--------------“追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。”
发表于 15:54:26
楼上的，别着急嘛，慢慢来
发表于 15:56:21
后面是我汇总的一点重要转贴内容：　　在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出 π＝3.14，通常称为"徽率"，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝ ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。　　刘徽提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果． 他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。 　　根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念。“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值，可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。同时，它与两个小黄三角形的面积和相等。刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积。 　　恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此，《隋书·律历志》有如下记载："宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。"　　这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率　　　　3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 　　其二是，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。　　他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为"祖率"。&&&&祖冲之之算法自称“缀术”，汉字“缀”有两层涵义：1是组合，2是修补、校正。由此可见，其实祖冲之的“缀术”就是源于刘徽“割圆术”中“差幂”的方法。　　这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。　　1573年，德国人奥托得出这一结果。他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法"合成"的：(377-22) / (120-7) = 355/113。　　1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用两者作为 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：(333+377)/(106+120) = 355/113。　　钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的"调日法"或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是 (157 + 22×9) / (50+7×9) = 355/113，一举得到密率。钱先生说："冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。" 　　另一种推测是：使用连分数法。　　由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。于是有人提出祖冲之可能是在求得盈 二数之后，再使用这个工具，将3.表示成连分数，得到其渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，650…　　最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值。至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。英国李约瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说："密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。"
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 15:58:06
罗百竹开始总结了：刘徽的割圆术的主要工作1：不断地利用勾股定理，从正N边形的边长计算正2*N边形的边长。古人已经知道了勾股定理，那么正192边形的边长需要在正6边形的基础上再割5次，现在看起来似乎不难，但是对于古人来说并不简单，尤其还有大量开根号的工作。这个工作还有一个比较棘手的问题，那就是从一开始就要确定正12边形边长的精度究竟要取多少位！取的位数太多，那么工作量会激增；取的位数太少，那么一旦割到某一个程度，数据的精度就开始下降了，达不到预期了。刘徽的割圆术的主要工作2：总结差幂，也就是后一次与前一次割圆的差值，来对误差进行校正。如果没有差幂的方法，刘徽就要割到3072边形，也就是说需要在正6边形的基础上再割9次。&& 其实从这个图中可以看到：如果一个圆的半径OA=1，那么一个圆的内接正6边形的边长AB=1，原因很简单，因为 OAB 刚好是等边三角形。（1）从正6边形推算pai的数值圆的周长应该接近但是大于“正6边形的周长”，“正6边形的周长”显然等于6，那么估算pai接近但是大于3。显然直接从正6边形来估算的话，pai误差极大。（2）从正12边形推算pai的数值根据上述的那些资料，刘徽好像提出，圆的周长应该大于“正12边形的周长”，而小于“正6边形的周长”加上 12×CD。但是显然，相对来说更接近“正12边形的周长”。罗百竹注：这里似乎是刘徽和那个雅典人的区别。雅典人是提出的是通过内接正多边形的周长和外切正多边形的周长来 内外夹击，从而得到圆的周长。而刘徽提出每一小段圆弧都 大于AD，但是小于AC+CD。对正6边形进行分割，把正6边形变成正12边形，那么我们需要知道图中正12边形的边长AD，对于现代人来说，这个很容易，但是对于古代人来说，这就非常难了。在古代如果你会这一步，混个五品的科学官应该不成问题。AD^2 = AC^2 + CD^2而AC等于AD的一半，也就是0.5。CD也不难求出CD=OD-OC，OD是半径为1，而OC^2 = OA^2 - OC^2，算出CD=0.561。然后带入上面的式子，用计算器算下来，正12边形的边长AD=0.041，这个精确度够高了。那么一个半径为1的圆，其周长2×pai×1接近但是大于“正12边形的周长”& 12×AD=6.49，即，pai & 3.25而圆的周长小于“正6边形的周长”加上 12×CD，也就是2×pai×1 & 6+12×0.561，即 pai & 3.37综合 3.25 & pai & 3.37罗百竹注：这里的AD，我取了十几位。如果是古人用手算的话，其实应该可以不用取这么多位，究竟应该取多少位呢？这个以后慢慢再说，不过我估计取10位其精度应该足够了，甚至9位就够了吧？而上文也说了，pai相对来说更接近“正12边形的周长”，到底相对来说有多接近呢？其实这个我也能粗略地想到，那就是在地上把我贴的那个这个图形画出来，然后直接用软绳去量。我自己大概量了一下，圆的周长与“正12边形的周长”的差值更小，而与“正6边形的周长”加上 12×CD的差值更大，后者大概是前者的15倍左右。如果只算到正12边形，让我估计pai的真值，我会估计3.37-pai = 15×(pai-3.25)也就是说pai=3.19，取前三位则 pai=3.15。这个估计的意思到现在有了一点点定量的描述了。（3）推导从正n边形到正2n边形的一般情况下pai的数值其实有了步骤（1）和步骤（2），就可以推导从正n边形到正2n边形的一般情况，然后利用电脑直接计算了。假设正n边形的边长为a(n)，那么正2n边形的边长为a(2n)，那么pai的取值范围应该为： (2n)×a(2n)/2 & pai & [ n×a(n) + 2n×(1-sqrt(1-a(n)^2/4)) ]/2而，a(2n)与a(n)的关系为 a(2n)= sqrt( a(n)^2/4 + (1-sqrt(1-a(n)^2/4))^2 )数字太小了，要用小数计算器算才行，哈哈
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 9:48:33
----------------------------------------------以下是引用罗百竹的发言：罗百竹注：这里的AD，我取了十几位。如果是古人用手算的话，其实应该可以不用取这么多位，究竟应该取多少位呢？这个以后慢慢再说，不过我估计取10位其精度应该足够了，甚至9位就够了吧？……----------------------------------------------只用正十二边形近似，得到的精确值只是3.1,算长达十位的位数都是错的，没有意义。要获得准确度达到7位的3.1415926的数值，最后一步计算精度必须有7位有效数字。因为是从正12边形开始逐渐加密计算，早期的精度要求更高。以前我用MATHEMATICA做过试算，开平方的有效位数大概要10位（记不清楚了，不过写段MATHEMATICA程序不难）。注意那是开平方运算！现代人用计算器按按很容易，早期全靠手算。即使是有了纸笔、也有阿拉伯数字的便利，也是相当艰巨的工作。不知道还有谁会在纸面上手写开平方，会的人可以试着算算根号2，精度到达小数点后10位，会对这个工作量有个认识。再假设祖冲之在地上摆算筹计算。要一步一步逐次加密计算、每步算到10～7位有效数字、不能出错，完成这项工作可谓壮举。
发表于 13:45:46
----------------------------------------------以下是引用银杏林的发言：----------------------------------------------以下是引用罗百竹的发言：罗百竹注：这里的AD，我取了十几位。如果是古人用手算的话，其实应该可以不用取这么多位，究竟应该取多少位呢？这个以后慢慢再说，不过我估计取10位其精度应该足够了，甚至9位就够了吧？……----------------------------------------------只用正十二边形近似，得到的精确值只是3.1,算长达十位的位数都是错的，没有意义。===罗百竹注：此言差矣！求出正十二边形的边长AD，才能进一步求出正二十四边形的边长，进而求出更多正边形的边长，最终求得比较精确的pai值。要获得准确度达到7位的3.1415926的数值，最后一步计算精度必须有7位有效数字。因为是从正12边形开始逐渐加密计算，早期的精度要求更高。以前我用MATHEMATICA做过试算，开平方的有效位数大概要10位（记不清楚了，不过写段MATHEMATICA程序不难）。注意那是开平方运算！现代人用计算器按按很容易，早期全靠手算。即使是有了纸笔、也有阿拉伯数字的便利，也是相当艰巨的工作。不知道还有谁会在纸面上手写开平方，会的人可以试着算算根号2，精度到达小数点后10位，会对这个工作量有个认识。===罗百竹注：不要忘了，我们中学的时候学习过笔算开平方的，掌握了规律之后，其实也没有想象中的那么难。当然，祖冲之是不是会笔算开平方，这是个问题！不过我也承认，主要的工作量就是在这里再假设祖冲之在地上摆算筹计算。要一步一步逐次加密计算、每步算到10～7位有效数字、不能出错，完成这项工作可谓壮举。===罗百竹注：这是他巨大的成就，但是他的更主要的成就是他的“缀术”，也就是对误差的合理估计。----------------------------------------------计算刚开始，还在继续中。
发表于 16:06:18
呵呵，看到了一些后续的计算内容。直接测量显然是不行的，你没有一个度量能力达到10^（-7）精度。这相当于量一个直径一米的圆的周长，精度达到0.1微米。其实，用级数展开方法计算pai，计算量和精度都比割圆术有效的多。用简单级数展开式，算15-20项（每项都是有理数运算）即可达到祖冲之的结果。每次看到这些级数展开式，都为古代中国人没有发展出代数学而惋惜。梦想一下，也许祖冲之真的有什么武林秘籍，记录着计算圆周率的级数展开公式呢。（一种级数计算圆周率的结果，1～15项累加结果）（1项）3.0040774（2项）3.9541793（3项）3.6803455（4项）3.0846728（5项）3.8834926（6项）3.8376717（7项）3.7842422（8项）3.5058391（9项）3.0800996（10项）3.0815131（11项）3.6463003（12项）3.3797656（13项）3.3138812（14项）3.7136385（15项）3.9975851
[本帖最后由:银杏林 最后编辑于
发表于 14:39:00
祖冲之真的有什么武林秘籍，记录着计算圆周率的级数展开公式呢===楼上，你这种态度很不科学 :D 结论其实我也说了，祖冲之就是利用刘徽的办法，顶多做了一些改进，再就是比刘徽多割了几次，运算量也大了很多。第6楼修改过，请注意。接第6楼：（3）推导从正n边形到正2n边形的一般情况下pai的数值 其实有了步骤（1）和步骤（2），就可以推导从正n边形到正2n边形的一般情况，然后利用计算器直接计算了。假设正n边形的边长为a(n)，那么正2n边形的边长为a(2n)，那么pai的取值范围应该为： (2n)×a(2n)/2 ＜ pai ＜ [ n×a(n) + 2n×(1-sqrt(1-a(n)^2/4)) ]/2而，a(2n)与a(n)的关系为 a(2n)= sqrt( a(n)^2/4 + (1-sqrt(1-a(n)^2/4))^2 )【刘徽割第一次】a(6)=1，则a(12)=0.041， 3.25 ＜ pai ＜ 3.37【刘徽割第二次】a(12)=0.041，则a(24)=0.008， 3.1 ＜ pai ＜ 3.43【刘徽割第三次】a(24)=0.008，则a(48)=0.686， 3.46 ＜ pai ＜ 3.85【刘徽割第四次】a(48)=0.686，则a(96)=0.4642， 3.28 ＜ pai ＜ 3.14【刘徽割第五次】a(96)=0.4642，则a(192)=0.9226， 3.57 ＜ pai ＜ 3.9考虑差幂，选择比较接近pai的较小值，用后一次数值减去前一次数值，得到：3.25-3.00，0.253.10-3.25，0.853.46-3.10，0.363.28-3.46，0.823.57-3.28，0.29可以发现前一次的差除以后一次的差，取到小数点后第2位，得到：0.25/0.85=3.950.85/0.36=3.990.36/0.82=3.990.82/0.29=4.01如果你是刘徽，你割了五次之后，你发现了这一点，那么在割到正192边形的前提下，你会如何进一步推测pai的真值？pai的真值当然可以这么推算，用最后一次的数值3.57+0.29/4 = 3.14 【相当于割圆到正384边形】3.14+0.29/4/4 = 3.28 【相当于割圆到正768边形】3.28+0.29/4/4/4 = 3.07 【相当于割圆到正1536边形】3.07+0.29/4/4/4/4 = 3.77 【相当于割圆到正3072边形】3.77+0.29/4/4/4/4/4 = 3.94【相当于割圆到正6144边形】这种方法究竟能使用几次，这是一个问题。我个人觉得取决于两点。第一，前一次的差除以后一次的差，居然非常精准地等于4，这真的是天助刘徽，但是是不是准确的4.00，这是一个非常巨大的疑问。当然，从美学角度出发，我们姑且可以认为就是准确的4。第二，使用次数越多，就对开始的数字精度要求越高，刘徽开始选择的数字精度能否经得起这么多次，这是一个大问题。我自己是用计算器算的，但是普通的计算器也是有精度的，用的次数多了，计算器的精度都没法保证结果的9位数字有效！当然如果假定可以使用无限次的话，应该也是很好算的，这个方法我想刘徽说不定也会用！m=1/4+1/4^2+1/4^3+1/4^4+......&&两边同时乘以4，得到 4m=1+ (1/4+1/4^2+1/4^3+1/4^4+......) = 1+m那么m=1/3，可以直接得到pai=3.57+0.29×1/3=3.67。对于这个数字，就要看刘徽他敢取几位精度了，这取决于刘徽的智慧。刘徽利用差幂，用很简单的加减法和除法，就可以把pai的数值从 3.14 ＜ pai ＜ 3.19 的范围，提高到pai=3.1416。刘徽应该算到了3.14158，但是他应该很聪明，知道最后一位8是不可靠的，所以没有采用。其实刘徽的运气也差了一点点，其实他的3.141584距离下一个更精确的3.14159已经非常接近了。
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 14:57:23
最后，我要去找一个大数计算器，或者把Mathematic安装一下，才能去试试祖冲之的3..1415927。计算结果的精度要达到8位数，在计算过程中最起码要保证9位数-10位数的精度。但是在计算过程中，还有平方和开方运算，需要的数字精度就更高了！不过在算之前，我坚信：1，祖冲之一开始就提高了数字的精度，刘徽在计算的时候数字精度肯定不够；2，祖冲之一定是又多割了三五次；3，祖冲之的缀术，一定也是追随了他的师傅刘徽，利用了天助我们中国人的4.00，或者祖冲之发现了更为精确的数字。欲知后事如何，请待下次分解
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 15:41:50
----------------------------------------------以下是引用银杏林的发言：----------------------------------------------注意那是开平方运算！现代人用计算器按按很容易，早期全靠手算。即使是有了纸笔、也有阿拉伯数字的便利，也是相当艰巨的工作。不知道还有谁会在纸面上手写开平方，会的人可以试着算算根号2，精度到达小数点后10位，会对这个工作量有个认识。----------------------------------------------刚才在百度里搜索了一下“手算开平方”，发现了下面文字：我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．===《九章算术》就是刘徽写的，刘徽之所以能把pai算到3.1416，原来就是因为他会笔算开平方，哈哈。刘徽真的很牛啊，呵呵。现在倒是越发地崇拜起刘徽了。
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 16:29:11
不错，有些新见解，关于误差估算的。细节我还要看看。鼓掌鼓励。
发表于 21:10:54
从《九章算术》中得知，刘徽已经知道圆的面积等于 pai×r×r，在《九章算术》中的表述大概是，圆面积等于圆半径乘以圆周长的一半。如果知道了这一点，估计刘徽对于pai上限的估计并不是通过我上面讲的方法，而是通过面积的比较来确定的。因为我上面的方法，对于下限的确定极为精确，但是对于上限的确定，似乎精度太低，不够的！编了一段c++程序，发现只要精度够高，只需要割192次，就能算出pai=3.857900而割96次，就能算出pai=3.462430，那么通过上面的方法，可以估算出pai的下限值pai=3.857900+（3..462430）/3pai=3.66这个数字的准确度很高，3.都是准确数值。因为圆周率π=3.，而且这个数字的确小于pai的真值。【在计算pai的下限值的时候，注意不能四舍五入，而是在确定精度下只能舍去低位】所以对于上限的确定才是当务之急。或者有别的方法可以确定计算结果的准确位数？
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 22:59:56
割补法太麻烦，你说聪明的祖冲之是否老早就会韦达算法了？
发表于 8:15:54
----------------------------------------------以下是引用胡乱翻书的发言：割补法太麻烦，你说聪明的祖冲之是否老早就会韦达算法了？……----------------------------------------------韦达公式比割圆有效些，但实质一样。都涉及开平方运算，而且前次计算误差会影响下次计算，出现误差积累。用MATHEMATICA做了实验，采用韦达公式逐项相乘，计算结果是：2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.古代计算，关键是在开平方方法。罗版说的误差校正也是个思路。这个问题终结解决方案还是要发展级数算法。
[本帖最后由:银杏林 最后编辑于
发表于 19:47:37
古代计算，关键是在开平方方法。罗版说的误差校正也是个思路。这个问题终结解决方案还是要发展级数算法。 ===祖冲之不需要级数就能达到3.1415926。银杏林说的对，关键在于开平方，不过这个刘徽已经写入《九章算术》，祖冲之应该会；误差的估计，这个估计祖冲之也从刘徽那里学到了，而且经过我的确认，的确就是精确的4；最后一个问题，对现代的我来说都是个难题，那就是在计算的开始和计算的过程中，为了达到3.1415926的精度，到底应该保持多少位的精度！这个对于祖冲之应该也是一个重大问题，因为这个问题涉及到运算量的大小，而合理地估计精度的位数，也是一门大学问！
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 21:26:37
我算术太差了，就不掺乎了，给各位问个好，大家继续讨论，呵呵！～在大家的热情讨论中，科版的排名上去了！感谢一下各位！
[本帖最后由:dfs 最后编辑于
发表于 10:23:37
----------------------------------------------以下是引用dfs的发言：我算术太差了，就不掺乎了，给各位问个好，大家继续讨论，呵呵！～在大家的热情讨论中，科版的排名上去了！感谢一下各位！……----------------------------------------------这贴该推荐了，含金量很大，罗版的原创为主。
发表于 22:40:24
如果从比较面积的大小出发，进而确定pai的上下限。那么从上图可以看出，刘徽应该提出，圆的面积应该大于“正12边形的面积”，而小于“正12边形的面积”+ 12个“三角形ADE的面积”。而12个“三角形ADE的面积”显然等于12个“三角形ACD的面积”，也等于6个“三角形ADB的面积”。而6个“三角形ADB的面积”又显然等于“正12边形的面积”-“正6边形的面积”。那也就是说：圆的面积应该大于“正12边形的面积”，而小于“正12边形的面积”+ （“正12边形的面积”-“正6边形的面积”）。而圆的面积，在九章算术里已经提出等于“半径乘以半周长”【刘徽其实用基本的微积分原理解释过】，如果半径为1，那么圆面积也就等于pai。而“正12边形的面积”，可以假设为S(12)；而“正6边形的面积”，可以假设为S(6)。那么有 S(12) & pai & 2×S(12)-S(6)而“正12边形的面积”其实也很好算 S(12)=12×三角形OAD的面积=12×（0.5×OD×AC）=12×（0.5×OD×（0.5×AB））因为OD等于圆半径1，而AB为内接正6边形的边长，那么S(12)=0.5×（6×AB））。其实这个推导结论和我们用周长去逼近的结果是一样的。而对于更加精确的“正N边形”，也一定有：S(2N) & pai & 2×S(2N)-S(N)。由此，pai的上下限得以确定。在网上找了两张图片，分别是 阿基米德的两端夹击方法 和 刘徽的两端夹击方法。可以看得出，我国古人刘徽的在求pai的时候，其智慧还略高于 阿基米德。因为刘徽其实只用了圆内接正多边形，而根本没有用外切正多边形，这可能省了一半工作量呢。
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 8:32:06
介绍得不错，查了刘徽介绍，抄在下面。三国时期，除了“滚滚长江东逝水 浪花淘尽英雄”，还有一位非官非将的草根大数学家。-----------数学家刘徽　　生平　　生于公元250年左右，东汉三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。　　著作　　刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有：　　《九章算术注》10卷；　　《重差术》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；　　《九章重差图》l卷，可惜后两种都在宋代失传。　　成就　　刘徽的数学成就大致为两方面：　　一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个、比较完整的理论体系：　　①在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。　　②在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。　　③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。　　④在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。　　二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：　　①割圆术与圆周率 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=.1416，称为“徽率”。　　②刘徽原理 在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。　　③“牟合方盖”说 在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。　　④方程新术 在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。　　⑤重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。　　贡献和地位　　刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
发表于 13:00:10
接20楼，编了一小段c语言程序，计算结果如下：图好像不是很清楚。如果刘徽计算到正384多边形的时候，已经有：3.85790 & pai&&& 3.25337如果取 pai = (3.37)/2 = 3.1416那么其中3.141都是精确数字，最后一位6应该也是精确数字，以刘徽的伟大智力应该很容易看得出。如果祖冲之完全采用刘徽的方法，那么计算到正6144多边形的时候，已经有 3.38403 & pai&&& 3.61039如果取 pai = (3.39)/2 = 3.那么其中3.141592都是精确数字，最后一位6应该也是精确数字，以祖冲之的伟大智力应该很容易看得出。可是，完全不排除祖冲之观察到了S(2N)-S(N)的规律性，其后一组除以前一组的数字依次为：3.0115503.8458203.0339303.0985303.4713403.3585303.6798803.4392103.673460这组数据铁定了是无限逼近3.9999999的，而且规律性极强。如果掌握了这个规律，无疑可以在极为简单的计算之后，通过S(N)就推算出S(2N)的数值，并可以估算出误差。在估算出误差的前提下，我个人推测，祖冲之根本不需要计算到正6144多边形，估计算到正384多边形就可以得到他的伟大成果了。完。
[本帖最后由:罗百竹 最后编辑于
发表于 6:52:16
替罗版补充一段：---------------半径为1的单位圆：Sn = n*sin(pi/n);S2n = 2n*sin(pi/2n);D2n := S2n-Sn = 8n*cos(pi/4n)(sin(pi/4n))^3同样：D4n := S4n-S2n = 16n*cos(pi/8n)(sin(pi/8n))^3D2n与D4n的比值：ratio(n) := D2n/D4n = 4*cos(pi/4n)*(cos(pi/8n))^2这个比例以较快速度趋近4，计算可知：n=6, 12, 24, 48, 96 时，ratio(n)为：3.3.3.3.3.
发表于 13:56:54
假定祖冲之只割到正384多边形，那么他得到的数据应该是：【备注：计算过程中只保留小数点后十位精度，比祖冲之的3.1415926多三位。】S(6)=3S(12)=3.S(24)=3.S(48)=3.S(96)=3.S(192)=3.S(384)=3.同时研究S(2N)-S(N):S(12)-S(6) =0.S(24)-S(12)=0.S(48)-S(24)=0.S(96)-S(48)=0.S(192)-S(96)=0.S(384)-S(192)=0.很容易可知前一项与后一项的比例依次是：3.3.【后式-前式=0.】3.【后式-前式=0.】3.【后式-前式=0.】3.【后式-前式=0.】重点在这里了：估计下面的数字依次是3.【后式-前式=0./4=0.】3.【后式-前式=0./4/4=0.】4.【后式-前式=0./4/4/4=0.】算到这里估计应该明白因为数字精度不够出错了，不能用这种方法再往下算了，大于4的数字应该直接以4.0000000代替之那么根据上面的数字可以估算S(768)-S(384)=0./3.S(1536)-S(768)=0./3./3.S(3072)-S(./3./4S(6144)-S(./3./4/4......那么S(768)=3.S(5904629S(5921056S(5925163S(15926190S(25926446所以，S(24576)&& ＜ pai ＜&& S(24576) + S(24576)-S(12288)即是 3.&&＜ pai ＜&&3. + （3.-3.）3.&&＜ pai ＜&& 3. 因此估计3.1415926&&＜ pai ＜&& 3.1415927
[本帖最后由:旱地闷雷 最后编辑于
发表于 15:26:57
这还不简单，多找些圆 量它的周长和直径除一下就好了
发表于 15:35:03
----------------------------------------------以下是引用三江口散淡人的发言：这还不简单，多找些圆 量它的周长和直径除一下就好了……----------------------------------------------兄弟，7位有效数字！他老人家的圆得多大？他老人家的尺能做那么大吗？他老人家要是作出那么大的尺来如何保证精度？他老人家怎么保证画的那么大一个圆是标准的圆呀？
[本帖最后由:dfs 最后编辑于
发表于 22:34:48
----------------------------------------------以下是引用dfs的发言：----------------------------------------------以下是引用三江口散淡人的发言：这还不简单，多找些圆 量它的周长和直径除一下就好了……----------------------------------------------兄弟，7位有效数字！他老人家的圆得多大？他老人家的尺能做那么大吗？他老人家要是作出那么大的尺来如何保证精度？他老人家怎么保证画的那么大一个圆是标准的圆呀？……----------------------------------------------我周末让我初一的侄子这样实践了一下，他使用了刻度尺和绳子，算出来pai=3.09
发表于 23:45:32
有两位有效数字算不错了。尺子要比绳子长（量程），精确到毫米（精度、感量）。手工测量，一米的钢尺已经差不多是极限了，卷尺的最小刻度虽然是毫米，但由于测量受卷尺曲度的影响，其精度难以估计了。这样精度到1毫米就几乎是极限了，甚至连毫米都已经是估计数字了。一般就测到××.×厘米。精确值只有2位，小数点后那一位是估计值，运算结果精确值也就两位了。3.09与3.1的意义是相同的。
发表于 13:49:40
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