如何用矩阵法求对角线全为0的二次型化为标准型的标准型呢？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-01-13 04:54 标签： 二次型的标准型
刘老师,在用配方法求二次型的标准型的时候做的可逆线性变换怎么确定?就是X=CY中的矩阵C怎么确定
厚渺酥1316
这不好说, 要看具体情况,正常情况下, f 表示成 一些 平方项的和 k1(
)^2 则令 y1,y2 分别等于两个括号中的xi的线性组合. 若有3个变元, 令 y3=x3.要保证C可逆.
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1 对于任一实系数n元二次型X'AX,要化为标准型,实际上就是要找一个可逆变换X=CY,将它化为Y'BY的形式,其中B为对角阵.则C'AC=B,B就是A的一个合同矩阵了.2 如果你想要的是将A经合同变换化为B时的变换矩阵C,常用的方法有3种,即配方法、初等变换法和正交变换法.（1）配方法：如果二次型中含变量xi的平方项,则先将含xi的项集中,按xi配成完全平方,直至都配成平方项；如果二次型不含平方项,但某混合项系数aij不为0,可先通过xi=yi+yj,xj=yi-yj,xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后,按前一方法配方.例,f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.将上述变换求出逆变换x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,写成矩阵形式X=CY形式,其中C=（1,-2,-5/3；0,1,-1/3；0,0,1）（分号表示矩阵行结束）就是合同变换中的变换矩阵.例,f=2x1x2-6x1x3,无平方项,则先作变换x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;再作变换z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆变换y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成f=2z1^2-2z2^2这种标准二次型.最后将再次用的变换写成矩阵形式,X=C1*Y,Y=C2*Z的形式,X=C1*C2*Z,则C=C1*C2就是所求（具体计算略）.（2）初等变换法：将二次型的矩阵A与同阶单位阵I合并成n_2n的矩阵（A|I）,在这个矩阵中作初等行变换并对子块A再作同样的初等列变换,当将A化为对角阵时,子块I将会变为C’.（3）正交变换法：先写出二次型f的tdbl,它是实对称矩阵,求出全部特征值λi（i=1,2,……,n）；再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量（特征值相同的不同特征向量注意正交化）；把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T,那么正交变换X=TY将会把二次型X'AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2
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