[6] 熊祝华,刘子廷.弹性力学变分原理：1988年
[7] 罗建辉.弹性力学求解体系研究.湖南大学博士学位论文：2003年 [8] 龙驭球，变分原理?有限元?壳体分析，辽宁科技出版社，1987。 [9] 彭旭麟，罗汝梅，变分法及其应用，华中工学院出版社，1983。
第一章 变分原理的基本概念
-------能量原理与泛函变分原理的对应关系、泛函、变分的概念
从数学角度看，能量原理属于泛函变分原理。前者是典型的力学范例，后者是一般的数学形式。
为了说明数学概念的物理背景，我们结合梁的最小势能原理这个简例，引出泛函、变分和变分方法等概念。
一个简例DD梁的最小势能原理
例1―1梁的最小势能原理
图1―1所示为一等截面简支梁，其抗弯刚度EI为常数，梁上有分布荷载q(x)作用。按位移法求解。以挠度函数v(x)作为基本变量，求v(x)的真解。
首先介绍通常作法。
由基本变量v(x)可导出曲率?和弯矩M表示式
利用平衡微分方程，可得到关于v的控制微分方程：
边界条件分为两类，位移边界条件为
力的边界条件为
x?0,v?0x?l,v?0
根据微分方程(13)以及边界条件(14)和(15)即可求出v(x)。
其次介绍能量法。
这里按最小势能原理来叙述。
按照位移法思路，仍以挠度v(x)作为基本变量。令v(x)事先满足位移边界条件(14)。隐含了位移的连续性。这种位移称为可能位移。
写出弹性系统的势能?p的表达式，?p由梁的应变能U和荷载的势能Up两部分组成：
(17b) (17c)
?EI??2???qv?dx
在各种可能位移中，真实位移使势能为极小值
真实位移即由势能极值条件求出。
由能量引出泛函的概念
力学中的能量驻值原理，在数学中概括为泛函变分原理。 首先介绍泛函的概念，并与函数的概念加以比较。 式(17)中的三个能量U，UP和?p有一个共同特点，它们的值都依赖于所选取的函数v(x)。每给定一个函数v(x)，就可确定它们的一个对应值，这是一种函数与变量之间的对应关系，自变量是函数，因变量是变量。这种对应关系叫做泛函关系，而称U,Up和?p为泛函，即以函数集{v(x)}为定义域的三个泛函，分别记为和?p[v(x)]。
一般来说，设{v(x)}是已给的函数集。如果对其中任一函数v(x)，?恒有某个确定的值与之对应，则称?是依赖于{v(x)}的一个泛函，记为?[v(x)]。换句话说，泛函?是依赖于函数v(x)的函数，简言之，是函数的函数。其中的函数v(x)称为自变函数。
在上例中，挠度v扮演了两个角色：在同一个挠度曲线上，v是坐标x的函数，v因x而变。对于能量?来说，v(x)是?的自变函数，?因v(x)而变。v(x)兼备了函
U[v(x)],Up[v(x)]
数和自变函数的双重性质。
要注意泛函与函数的区别。泛函关系是函数与数之间的对应关系，而函数关系则是变量与变量之间的对应关系。泛函是函数的广义化。
在能量原理中，能量泛函都是用积分形式表达的。例如式(17)中的三个能量泛函都是如此。但是根据泛函的定义，有的泛函则不是用积分形式表达的。例如给定一组挠度函数{v(x)}，对其中每个v(x)，都可确定与它对应的最大挠度w：
w?max[v(x)]
这里，w是v(x)的一个泛函，但不是用积分形式表达的。
自变函数的变分
前已指出，自变函数v(x)具有双重关系，v随x而变，泛函?随v(x)而变。
现在考虑x,v(x)和?各有微小变化时的双重关系。
一种情况是在同一曲线v(x)上x有微小变化的情况。x的微小变化用dx表示。与之相应，函数v的相应变化为dv?v?dx。这里讲的是微分运算或求导运算。
另一种情况是在不同曲线之间v(x)有微小变化的情况。设由曲线v(x)变到相邻曲线v1(x)，两个相邻曲线上的自变函数之差称为自变函数的变分，记为?v或?v(x)：
?v??v(x)?v1(x)?v(x)
这里着眼于相邻曲线之间的变化，而不着眼于x的变化(设x的作用不变)。同此，两个相邻曲线上导数v?(x)的变分，记为?v?或?v?(x)
?(x)?v?(x)?v???v?(x)?v1
这里讲的是变分运算。
还可以考虑求导与变分的混合运算。这里有两种不同的顺序，一种是先变分再求导：
?(x)?v?(x) (?v)??(v1?v)??v1
另一种是先求导再变分，即由式(20)表示。将式(20)与式(21)加以比较，可知
上式表明：变分与求导这两个运算的顺序是可以交换的。
泛函数的变分
式(16)中的三种能量泛函都是用积分的形式表达的。现考虑泛函较为一般的形式，并用下列积分形式来表达：
?F(x,v,v?,v??)dx
其中被积函数F含有自变函数v(x)及其一次和二次导数。对于更一般的情况，被积函数F还可包含更高次的导数。
现在考虑曲线v(x)变到另一相邻曲线v??v，同时，一次导数由v?变到v???v?，二次导数由v??变到v????v??，泛函?[v]变到?[v??v]：
?F(x,v??v,v???v?,v????v??)dx
这里x仍旧是在o与l之间的坐标，x的性质没有变。 由式(24)减去式(23)，得到泛函增量??如下：
????[v??v]??[v]
[F(x,v??v,v???v?,v????v??)?F(x,v,v?,v??)]dx
对两个高阶接近的相邻曲线来讲，?v,?v?,?v??都是微量。因此泛函增量??也是微量，它由不同阶的微量组成，记为
其中：??称为泛函?的一阶变分（有时简称为泛函?的变分），由增量??中的一阶微量组成。
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1)&&large deflection equation
大挠度方程
The large deflection equation and boundary conditions are derived by thr principle of minimum potential energy.
应用最小势能原理建立了具有不同质不等厚薄表层和软夹心的一般夹层旋转壳在轴对称变形下的非线性理论,得到了一组相对简单的夹层壳大挠度方程和边界条件。
2)&&deflection equation
It deals with the deflection equation and absolute maximum deflection of simply supported beam subjected to any finite parallel moving loads.
利用能量原理中的最小势能原理以及多元函数的极值原理,得到了简支梁在任意有限个平行移动荷载作用下的挠度方程与绝对最大挠度的解析算式。
3)&&large deflection equations
大挠度微分方程组
Based on the product rule of the fourier series and some relevant results in references[1,2],a method on solving the large deflection equations of plates and shells by means of the fourier series is proposed in the present paper.
文中导出了简支边界条件下正交异性矩底双曲扁壳大挠度微分方程组的解析解。
4)&&differential equations of large deflection bending
大挠度弯曲微分方程组
Based on the differential equations of large deflection bending of thin plates,with the boundary condition that the local measuring membrane can slip in the plane without any out-of-plane deflection,the deflection and pressure corresponding proportion of different membrane are derived.
以薄板的大挠度弯曲微分方程组为基础,以平面内可自由滑动、平面外无位移的局部测量范围内膜材为边界条件,推导出不同材性膜材的位移与张力对应比例关系。
5)&&Large deflection square plates
大挠度方板
6)&&slope deflection equation
坡度挠度方程
补充资料：泊松方程和拉普拉斯方程
&&&&　　势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。　　　　简史 　1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk除以它们到任意观察点P的距离rk,并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：,叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果观察点P在充满引力物质的区域内部,则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用,并指出导体表面为等热面。　　　　静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 　若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：　　　　
，　　式中ρ为自由电荷密度，纯数 εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程　　　　
。　　在各分区的公共界面上，V满足边值关系　　　　
　　式中i，j指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。　　　　边界条件和解的唯一性 　为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷,叫做诺埃曼边界条件。　　　　边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。　　　　除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。　　　　静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程 　在SI制中，静磁场满足的方程为　　　　　　式中j为传导电流密度。第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：　　　　　　　　在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j0的区域里，磁矢势满足的方程为　　　　
　　选用库仑规范，墷·r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程　　　　　　式中纯数μr 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μo=1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里,上式简化为拉普拉斯方程　　　　　　静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势方程的解。　　　　参考书目　　　郭硕鸿著:《电动力学》,人民教育出版社,北京,1979。　　　J.D.杰克逊著,朱培豫译：《经典电动力学》下册,人民教育出版社,北京,1980。(J.D. Jackson,Classical Electrodynamics,John Wilye & Sons,New York,1976.)　　
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一类挠度函数及其应用
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&&利用最小势能原理得到了简支粱在任意有限个平行移动荷载作用下的挠度函数的解析算式。它既可以用于固定荷载作用下粱的挠度计算,也可以用于移动荷载作用下梁的挠度计算,特别是给出的绝对最大挠度解析算式填补了现行工程结构计算手册该项内容的研究空白。
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武 汉 工 程 大 学
《弹性力学》报告
学院：机电工程学院
专业：理论与应用力学
班级：01班
姓名：包世刚
悬臂梁在均布载荷下的挠度计算
摘要：悬臂梁在现实生活中很常见。先通过对悬臂梁的分析研究，用最小势能原理求梁的挠度微分方程和边界条件，再用能量法近似求出挠度结果，同时与材料力学得出的结果进行对比分析。
关键词：悬臂梁、挠度、弹性力学、能量法、材料力学
如图所示，一端固定，另一端有弹性支承的梁，跨度为L,抗弯刚度为EI，弹簧的刚度为K，梁上作用有分布载荷q(x)，试用最小势能原理导出梁的挠度微分方程和边界条件。并用能量法近似求出挠度结果，且与材料力学结果相比较。
图1 均布载荷作用下的悬臂梁
最小势能原理导出梁的挠度微分方程和边界条件
下面以悬臂梁为例,证明最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。如图1所示悬臂梁,其跨度为l,抗弯刚度EI为常数,承受分布荷载q(x)作用。
梁的外力功W=vdx，此处只考虑横向荷载q(x),若还有集中力或梁端外力作用,则应将相应的外力功计入。
梁的外力势能V=-W=- vdx
梁的总势能为:
由最小势能原理=0,得:
对(11)式左端运用分部积分,得:
代入（3）式得：
由于变分的任意性,上式成立的条件为:
（6）式就是以挠度表示的平衡微分方程。下面讨
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