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例2.在0度到360度的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判断它们是第几象限角（1）650度（2）-150度（3）-990度15分
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（1）650度=360度+290度 所以0度到360度的范围内 290度和650度终边相同 在第四象限（2）-150度=-360度+210度 所以0度到360度的范围内 210度和-150度终边相同 在第三象限（3）-990度15分=-360度×3+89度45分 所以0度到360度的范围内 89度45分和-990度15分终边相同 在第一象限
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高中数学必修四说教材.doc 54页
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高中数学必修四说教材
篇一：高中数学必修4的教材分析与教学建议
高中数学必修4的教材分析与教学建议
数学教育方法的核心是学生的再创造. 教师不应该把数学当作
一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌
输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，
用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识.
一、课堂教学内容组织主要形式为：
问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思
? 三角函数
? 平面上的向量（简称平面向量）
? 三角恒等变换
1.三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，
在数学和其他领域中具有重要的作用．在本模块中，学生将通过实例，
逐步理解三角函数的概念及其基本性质，认识三角函数与实际生活的
联系，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．
2.向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、
几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本模块中，
学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能
用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能
力和解决实际问题的能力．
3.三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的
推理能力和运算能力．在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本
的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换，发展学生的推理和运算能力．
二、人教版的引言
1.提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子． 提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？
明确任务：建构这样的数学模型． 教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）研究． 教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程．
2．教科书的的特点
人教版教材把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，为了保证这个定位的落实，或者说，作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点．
? 采用以问题链为线索的呈现方式．
既然教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始的，思维的过程就是不断地提出问题，解决问题的过程．所以教材采用了以问题链展开的呈现方式．注意提出问题的环节，注意问题间的逻辑联系，强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用．
案例：任意角三角函数
任意角三角函数概念无疑是本部分的核心概念．苏教版的教材和
其它的教材一样是在讲了“任意角”、“弧度制”以后，通过对锐角三角函数的考察后建立起任意角三角函数的概念的．应该指出的，尽管在建立三角函数概念的程序上看起来是相同的，只是在具体的处理方法上有些“微妙“的差异，可是不应该小看了这里的差异，因为这些差异正是对教材不同定位的表现． ? 教材中的
（1）720°是怎样的一个角？
（2）具有相同终边的角彼此之
间有什么关系？
（3）在本章引言中，我们用（r，l）表示点P，那么r，l与α之间具有怎样的关系？
（4）用怎样的数学模型建立(x，y)与(r， α)之间的关系？
（5）怎样将锐角的三角函数推广到任意角？
? 以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容． 实际问题
－建立数学模型
－数学模型进行研究
－利用数学模型解决实际问题
? 为了突出“建构—研究—应用”这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削枝”的处理．如抽出“三角变换”的内容，另立一章；
? 教材充分发挥学习“函数”一章的 经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作用，在结构上尽可能地与“函数”一
? 意图：一方面可以让学生利用已有的经验，掌握学习的主动权，发现数学知识的联系，加深对知识的理解；另一方面又突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法，有利于正确的数学观念的形成．
? 突出周期性
本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，在教材中，突出了周期性，把它看成是教材出发点和归属．
教材P4引言中“日出日落，寒来暑往?等”
生活中的摩天轮的运动?圆周上的点的运动
“周而复始”
“周期现象”
“三角函数的应用”
案例：三角函数的性质
在很多教材中，总是通过作出三角函数的图象，然后再由图象的观察得到三角函数的性质的．对此，苏教版的教材做了不同的处理．
? 根据《课程标准》的要求，教科书降低了对三角变换的要求．特别是不再要求用积化和差、和差化积、半角公式等作复杂的恒等变形，而把推导积化和
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高中数学必修四学案
导读：1.三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域（特别是物理学、地理学）中具有重要的作用，向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，学法指导：学习三角函数、平面向量、三角恒等变换应注意的几个问题1.三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领 学法指导： 学习三角函数、平面向量、三角恒等变换应注意的几个问题 1.三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域（特别是物理学、地理学）中具有重要的作用。本章学习的主要内容是三角函数的概念，图象与性质，以及三角函数模型的简单应用，体会三角函数在解决具有周期性变化规律的问题中的作用。 为解直角三角形而引入锐角三角函数（初中所学内容），为解任意三角形而推广到钝角三角函数，为了刻画一些简单的周期运动而再次推广到任意角的三角函数，任意角的三角函数成为非常重要的函数，是描述一般周期函数的基石。单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以更好地理解三角函数的概念；从定义出发可以很方便地推导同角三角函数的关系式、诱导公式、和（差角公式）而且为公式的记忆提供了图形支持*利用单位圆中的三角函数线和诱导公式可以画出三角函数图象的形状特征；单位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的直观载体，我们可以借助单位圆，直接从定义出发并借助于图象研究，讨论三角函数的性质。 三角函数是数形结合的产物\数形结合思想贯穿了本章内容的始终，利用图象研究性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图象，充分体现了数形结合的思想方法。 2.重视平面向量的工具性作用 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的有力工具，有着及其丰富的实际背景。由于向量来源于物理，并且兼备“数” 和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用。运用“向量方法”可将几何性质的研究转化为向量的运算，把图形的基本性质转化为向量的运算体系，从而使几何问题通过向量运算得到解决，拓展了几何的研究空间。学习本章内容的关键是掌握“双基”、精通课本。在学习过程中需要注意以下三点。 （1）狠抓基础，掌握基本内容。向量的概念多、运算法则多、表示方法也多，因此必须掌握这部分内容的基础知识、基本定理，掌握各种运算法则的几何意义。只有这样才能从容应对课本及高考题中的那些概念性强且运算较为复杂的题目。 （2）加强重点知识、重点方法的学习。 平面向量的数乘运算、数量积运算及其意义是本章的重点内容，也是高考考查的重点，学习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力，要加强平面向量本身综合性题目的适应性练习，同时，要注意向量运算与实数运算的不同。 （3）学习中要时刻记住向量在几何和物理中的背景（有向线段，位移，力等），注重向量和其他知识的综合，如平面向量和三角函数的综合，平面向量和力学问题的结合等。 3.着重掌握三角恒等变换的基本思路和方法 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，在学习中要掌握三角恒等变换的基本思想和方法，体会三角恒等变换的工具性作用，发展学生的推理能力和运算能力。学习过程中需要注意以下两点。 （1）立足教材抓双基! 注意弄清每个公式成立的条件\灵活运用公式间的内在联系及公式的正用、逆用、变形用等，切不可死记硬背，要在“灵、活、巧“ 上下功夫。要重视对于遇到的问题中角、函数名称及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性\有利于缩短运算程序，提高学习效率。 (3)以“变”为主线，做好训练，强化“变换”意识。三角恒等变换的基本思路是仔细观察等式两边结构上的差异，寻求已知条件与所求-或结论.之间的联系，然后分析这些差异和联
系，最后从解决差异入手，实行适当的变换，直到消除差异。具体来说，就是从减少角的种类、减少函数名称的种类、改变运算结构式入手，可简单概括为#变角变名求统一，凑角凑名凑结构。 第一章
三角函数 §1.1任意角和弧度制 §1.1.1任意角
【课标定向】 学习目标 1. 了解任意角的概念。 2. 掌握象限角及终边相同的角的概念及其表示。 3. 通过对各种角表示方法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。 提示与建议 利用图象理解概念及表示。 【互动探究】 自主探究 1. 角的概念：平面内_______绕着______从一个位置________到另一个位置所成的图标。 2. 角的分类 （1） 正角：按_______方向旋转形成的角； （2） 负角：按______方向旋转形成的角； （3） 零角：射线没有作______，称为形成一个零角。 3. 象限角：使______与原点重合，角的______与轴的正半轴重合，角的_______在第几象限就称为第几象限角。若终边落在_______上，认为这个角不属于任何象限。有时称为_______（或非象限角）。 4. 象限角的集合表示如下： 第一象限角的集合{x|___________________}。 第二象限角的集合{x|___________________}。 第三象限角的集合 {x|___________________}。 第四象限角的集合{x|___________________}。 5. 象限界角的集合表示如下： 终边落在x轴上角的集合{x|_____________}。 终边落在y轴上角的集合{x|_____________}。 终边落在坐标轴上角的集合{x|___________}。 6. 终边相同的角：所有与角?终边相同的角，连同角?在内，构成一个集合：S={?|__________} 。 剖例探法 ★讲解点一：任意角的概念
对角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念，一是明确旋转的方向；二要明确旋转的大小。 例1. 下列说法中，正确的是（） A. 终边相同的角一定相等 B. 小于90°的角都是锐角 C. 第二象限角必大于第一象限角 D. 钝角是第二象限角 【思维切入】充分理解角的定义及象限 角，以及正角、负角、零角的概念。直角、锐角、钝角都是定角，而象限角或终边相同的角则是不定角，即随着终边的旋转相应的角也不断变化，相差360°的整数倍。 【解析】根据角的定义知，相等的角终 边一定相同，但终边相同的角不一定相等，如：20°与380°，终边相同，但不相等，故A错。锐角指大于0°且小于90°的角，而B中小于90°的角除 锐角外还有零角及负角，故B错。C中象限角指角的终边落在平面直角坐标系的位置，与角的大小没关系，故C错。钝角是指大于90°且小于180°的角，其终边在第二象限，故钝角是第二象限角，故选D。
【答案】D 【规律技巧总结】根据题中几种角的定义，可利用排除法解决；也可利用角的定义，∴k2180°+90°＜?2＜k2180°+135°（k?Z） ①∴当k=2n（n?Z）即k为偶数时， n2360°+90°＜（n?Z）, 此时?2＜n2360°+135°?2为第二象限角。 ②∴当k=2n（n?Z）即k为奇数时， 直接判断要否定一个命题，只需举出一个反例即可。 ★讲解点二：象限角的表示法 象限角（或非象限角）可以表示终边落在任何位置的角的集合；同时要注意象限角与非象限角的集合的表示形成并不唯一，也还有其他的表示形式。如终边落在y轴的非正半轴上，角的集合为{x|x=k2360°+270°，k?Z}，也可以表示为{x|x=k2360°-90°，k?Z}。
例题2.若角?是锐角，则k2180°+?（k?Z）所在的象限是（）
A.第一象限
B.第一二象限
C.第一三象限
D.第一四象限
【思维切入】利用角的定义来判断角的终边落在哪个象限，因终边旋转一周时相应的角增加或（减小）360°；旋转半周则变化180°，故需分k为奇数和偶数讨论。 【解析】当?为偶数时，??180???表示把?的终边逆时针旋转?2个360°故终边与?的终边相同，故此时为第一象限角；当?为奇数时，如?=1则表示?的终边逆时针旋转180°故其终边在第三象限。故选C. 【答案：C】 【规律技巧总结】分类讨论是关键点，深刻理解象限角，亦可借助图象旋转演示。 例3.若?是第三象限角，问?2，?2是 第几象限角？2?的终边在哪里？ 【思维切入】由??的取值范围，求得?， 和2?的范围即可。 2【解析】3方法一：⑴∵?是第三象限角， ∴k2360°+180°＜?＜k2360°+270°（k?Z），
n2360°-90°＜?2＜n2360°-45°（n?Z）, 此时时?2为第四象限角。 综上①②知为第二或第四象限角。 ⑵∵?是第三象限角， ∴k2360°+180°＜?＜k2360°+270°，∴k2120°+60°＜?3＜k2120°+90°（k?Z）， ①当k=3n（n?Z）时， n2360°+60°＜?3＜n2360°+90°,此时?2为第一象限角。 ②当k=3n+1（n?Z）时，n2360°+180°＜? ＜n2360°+210°,此时?为第三象限角。3 ③当2k=3n+2（n?Z）时， n2?360°+300°＜?＜n2360°+330°,此时3综上①②③知3为第四象限角。? 为第一或第三或第四象限角。 3⑶∵?2720°+360°＜2?＜?2720°+540°（??Z）， ∴（2?+1）2360°＜2?＜（2?+1）2360°+180°（??Z）。
∴2?的终边在第一、第二象限或?轴的非负半轴上。 方法二：对于??一种方法――“八卦图法”2，3的判断，还有另 ⑴?2所在象限的判断方法：
第一步，画出直角坐标系。如右图1.1-1，将每一象限两等分；
第二步，标号。从靠近?轴非负半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，
图1.1-1 在图中依次标上1,2,3,4；1,2,3,4； 第三步，选号。若?为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示； ?第四步，定象限。阴影部分在哪一象限2的终边就落在哪一象限。 ?为第一象限角，则?由以上步骤可知，若为第一、三象限角。2 ⑵?的判断方法：3所在象限 第一步，画出直角坐标系。如右图1.1-2，将每一象限三等分；
图1.1-2 第二步，标号。从靠近?轴非负半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1,2,3,4；1,2,3,4；1,2,3,4； 第三步，选号。若为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示； ?第四步，定象限。阴影部分在哪一象限，的终边就落在哪一象限。由以上步骤可知，3若?为第一象限角，则?为第一、二、三象限角。 3【规律技巧总结】法一为代数法，是通法，关键是将?分类讨论，若已知?求?，则将??分为2n，2n+1（或2n-1）讨论；若已2知求?所在象限，则将?分为3n3n+1,3n+23，讨论，依此类推，而八卦图法简捷直观、方便快捷，其关键是求?n，就将每个象限均分成n部分，按顺序编号“对 号入座”即可。 ★讲解点三：终边相同的角的定义及表示 所有与角?终边相同的角，连同角?在内，可构成一个集合?S={?O?=+?2360°，??Z}，即任一与角中间相同的角，都可以表示成角??与整个周角的和。 例题4.判断下列各角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内与其终边相同的角。 ⑴549°；⑵-60°；⑶-503°36′。 【思维切入】?根据终边相同的角的定义，将角配成?+?2360°（??Z）的形式，其中0°Q＜360°。 【解析】⑴549°=189°+360°，而180°＜189°＜270°，故549°在第三象限，与189°的终边相同。 ⑵-60°=300°-360°，∵270°＜300°＜360°，故-60°为第四象限角，与300°的终边相同。 ⑶-503°36′=216°24′-23360°，∴180°＜216°24′＜270°，故-503°36′为第三象限角，且与216°24′的终边相同。 【规律技巧总结】?关 键 是 把 角 表 示 成+?2360°（???Z）的形式，必须满足两个要求：①0°Q＜360°；②整数?可正、可负、可零，因为?+?2360°（???Z）的终边与?的终边相同，所以若?=+?2360°（???Z），则?与??的终边相同，又由于0°QQ360°，故所在象限可确定。 ★讲解点四：任意角的综合应用 例题5.如图1.1-3， ⑴写出终边在阴影部分的角的集合（包括边界）。
⑵写出终边在直线y=-3x上的解的集合S，并写出在-360°～0°范围内的角。3 【思维切入】⑴先确定终边为OA、OB的角，按逆时针方向，用终边相同的角，写出所要求的角的集合；⑵写出终边在直线上的角的两个集合，再求并集。 【解析】⑴在0°～360°内终边为OA的角是240°，终边为OB的角是315°，根据终边相同的角的表示方法，得阴影部分的角的集合为{?O240°+?2360°Q?Q315°+?2360°，??Z }。 ⑵在0°～y=-3360°范围内，终边在直线x上的角有两个：150以终边在直线3y=-3°，330°，所x上的角的集合是S={?|?=150°+?32360°，??Z}?{?|?=330°+?2360°，??Z}={?|?=150°+?2180°，??Z}。 S中在-360°～0°范围内的角是150°-180°=-30°，150°-23180°=-210°。 【规律技巧总结】写出终边在阴影部分的角的集合，关键是写出终边是边界的角的集合；写出终边在某条直线上的角的集合，要注意0°～360°范围内有两个角。 精彩反思 1. ?为任意角。 2. ??2360°与?之间是“+”号，?2360°-可理解为?2360°+（-?）。 3.
相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4.
??Z这一条件不可少。 5.
要区分开易混的概念，如锐角一定是第一象限的角，而第一象限角不一定是锐角；小于90°的角的集合是{?|?＜90°}，显然包括锐角、零角、负角。 【自我测评】
1.下列命题中正确的是（） A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角必相等 C.相等的角终边必相同 D. 不相等的角其终边位置必不相同 2.与120°终边相同的角是（）
A. -600°+?2360°，??Z
B. -120°+?2360°，??Z
C. 120°+（?+1）2180°
D. 660°+?2360° 3.若?是第四象限角，则180°-?在（）
A. 第一象限
B.第二象限
C. 第三象限
D.第四象限 4.经过2时，钟表上的时针旋转了（）
A. 60°B. -60°C. 30°D. -30° 5. ?与?的终边关于y轴对称，则?与?的关系为（）
A. ?+?=?2360°，??Z
B. ?+?=?2360°+180°，??Z
C. ?-?=?2360°+180°，??Z
D. ?-?=?2360°，??Z 6.若180°＜?＜?360°，且?与-70°角的终边相同，求。
7. 已知-90°＜?＜?＜90°，求?-? 包含总结汇报、计划方案、经管营销、出国留学、自然科学、工程科技、外语学习、行业论文以及高中数学必修四学案等内容。本文共10页
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