数的开方、二次根式的乘除法 直角三角形
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二次根式的运算
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
二次根式的运算
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文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m 第七讲&& 二次根式的运算&&& 式子& ( ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．&&& (1)& ( ≥0)；&&& (2)& ( )；&&& (3)& ( )；&&& (4) ( 0)．&&& 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解 相约等．例题求解【例1】 已知 ，则 =&&&&&&& ．&&& (重庆市竞赛题)&&& 思路点拨& 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．&& 注： 二次根式有如下重要性质：& (1) ，说明了 与 、 一样都是非负数；& (2)&&& ( 0)，解二次根式问题的途径――通过平方，去掉根号有理化；& (3)& ，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解 题． 【例2】 化简 ，所得的结果为（&& ）&&& A．& B．& C． D． &&& (武汉市选拔赛试题)&&& 思路点拔& 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．&&& 注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．&
【例3】计算：& （1） ；& （2） ；& （3） ；&．&& 思路点拨& 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．【例4】 (1)化简 ；& (北京市竞赛题)(2)计算&&& (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算 ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)&&& 思路点拨& （1）把4+2 万与4―2 分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2 与4―2 是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数 ，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．&& 【例5】 已知 ，求 的值．&&& (山东省竞赛题)思路点拨& 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．学历训练1．如果 ，那么 =&&&&& ．&&& (四川省竞赛题)2．已知 ，那么 的值为&&&&& ． (成都市中考题)3．计算 =&&&&& ．(天津市选拔赛试题)4．若 ab≠ 0，则等式 飞成立的条件是&&&&& ．(淄博市中考题)5．如果式子& 化简的结果为 ，则x的取值范围是(&&& )&&& A．x≤1&&& B．x≥2&&& C．1≤x≤2&& D．x& &0&& (徐州市中考题)6．如果式子& 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（&&&& ）& A．&&&&&&& B．&&&&&& C．&&&&&& D． 7．已知 ，则 的值为(&&& ) A．&&&&&& B．&&&& C．&&&&&& D． 8．已知 ，那么 的值等于（&&& ）A．&&& B．&&&& C．&&&&&& D．3 9．计算：& (1) ； （2） ； (北京市数学竞赛题)（3） ；（4） &&& (“希望杯”邀请赛试题)& 10．(1)已知 与 的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；& (2)设 ， ，n为自然数，如果 成立，求n．11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边 界)均会受到影响．& （1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据： ， )&& (贵阳市中考题)
12． 已知 ， ，那么 =&&&&&& ．(T1杯全国 初中数学联赛题)13．若有理数x、y、z满足 ，则 =&&&&& ．(北京市竞赛题)14．设 ，其中a为正整数，b在0，1之间，则 =&&&&& ．15．正数m、n满足 ，则 =&&&&& ．(北京市竞赛题)16．化简 等于(&&& )&&& A．5―4&&& B．4 一1&&& C． 5&& D．－1& (全国初中数学联赛题)17．若 ，则 等于(&&& )&&& A&&& B ．&& C．1&&& D．－1& (2004年武汉市选拔赛试题)18．若 都是有理数，那么 和 面(&&&& )&&& A．都是有理数& B．一个是有理数，另一个是无理数&&& C．都是无理数& D．有理数还是无理数不能确定&&& (第13届“希望杯”邀请赛试题)19．下列三个命题：&&& ①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+ α－β是无理数；&&& ②若α，β是互不相等的无理数，则 是无理数； ③若α，β是互不相等的无理数，则 是无理数．其中正确命题的个数是(&&& ) A． 0&&& B．1&&& C．2&&& D．3& (全国初中数学联赛试题)20．计算：（1） ；&& （ “希望杯”竞赛题）（2） ；&&& （山东省竞赛题）（3） ；（四川 省选拔赛题）(4) ； (5) ．& (新加坡中学生数学竞赛题)21．(1)求证 ；(2)计算 ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）22． (1)定义 ，求 的值；(2)设x、y都是正整数，且使 ，求y的最大值．&&& (上海市竞赛题 )23．试将实数 改写成三个正整数的算术根之和．&&& (2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)24．求比 大的最小整数．& (西安交通大学少年班入学试题) 文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m
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*二次根式的乘法：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.能力提高题两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数例４：计算解：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数练习一：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。例４：化简解：例５：计算解：把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分母有理化。1.被开方数不含分母2.被开方数不含开的尽方的因数或因式练习：把下列各式的分母有理化：1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。练习二：2.把下列各式的分母有理化：3.化简：（）（）＝a－1（）＝10（）＝44、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，AC=2cm,求斜边AB的长ABC思考题：(3)(4)1、化简(1)(2)2、比较下列各组数的大小：
正在加载中，请稍后...反思一：二次根式的乘除本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，学习商的算术平方根的性质，同时为分母有理化作准备。所以在教学中更应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质。在此，过程中给予适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向。这一部分的教学我主要是从以下几点进行的： 1、注意了对平方根和算术平方根的复习，从而引入了二次根式的乘除法则，得到了二次根式乘除法的计算方法，和计算公式。公式就是工具，工具顺手了工作就快就有效率。因此，在这里让学生进行了大量的练习，熟练公式，打好基础。 2、注意了二次根式乘除法的计算公式的逆用。了乘法公式的逆用就是用来使“被开方数中不含能开的尽方的因数或因式”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”，从而了结果是最简二次根式。注重方法的传授。 3、教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用，反映了数学理论的一贯性，使学生在学习中感到所学并不难。在教学中，充分利用教材内容，结合实际问题提高学生的学习积极性。 4、教学中不仅要抓整体，更要注意一些重要细节。在学生做题过程中让学生用心总结一些简单值和特殊值的乘除和化简的方法。教材中淡化计算过程，这里也透露出教材的一个特点：很重视学生思维上的培养，却忽视了基本计算能力的训练,似乎认为每个学生都能达到一学就会的理想境界。基础好和反应快的学生没有问题，但并不是都是这样，教师就要让学生了解计算过程每一步的由来。反思二：本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，要求学生能熟练运用乘法法则和除法法则进行化简和计算。在教学过程中，通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则，学生比较容易接受。但是在具体进行化简和计算的过程中，学生对二次根式乘法法则和除法法则理解上问题不大，但常常忘记计算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出现错误，对分母有理化还不够熟练。因此还要加强训练，否则，在下一节二次根式的加减和混合运算时出现的错误会更多。总之，二次根式的乘除运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学方法，提高学生的思维品质和学习兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方#from 本文来自 end#法激发学生创造性的思维。反思三：这节课教学困难重重，因为经过一个星期的了解，整个班学生八年级升九年级的期末考试数学科目最高分56分，于是五十几分的就成了本班的数学宝贝了，可五十几分包括56分只有四人，三十几分也没几个，其他了都是二十几以下了，学生已有的的数学基础少得可怜，所以学生学习起来很困难，教学也寸步难行，虽然本节课的重点是二次根式的乘除法法则，难点是灵活运用法则进行计算和化简，但是学生难明白只能放慢进度，学生学会一点点，极少数的人掌握了都成了我坚持的理由。文章出自，转载请保留此链接！教学的开始从小学的口诀复习引入，进入两个相同的数相乘用某数的平方表示的学习，才真正进入九年级探究将二次根式的性质反过来就是二次根式的乘除法法则，利用这个法则进行二次根式的乘法和除法运算。有了事先复习有关知识学生就比较容易理解这两个法则，下面课本例2，主要是让学生通过看课本来理解法则的应用，在学生理解例题的基础上，让学生思考还有没有其他方法来解决这些题目，以此来增加学生解题的思路与方法。在这里增加多一些简单的题目，从中可以拿出一两个题目来点拨。如 ，可以有两种解法：法一：一种是课本上的方法，是直接利用了二次根式的乘法法则。法二：利用了二次根式的性质。通过这个题目的讲解，可让学生灵活掌握二次根式的计算方法。二次根式的乘除法混合运算，课本上的习题21.2综合运用第6题的第（4）小题 ，通过这个例子本想引出一个混合运算的公式，但学生接受不了，只好趋向特别简单的。本节课中的难点是对计算中化简，特别是分母中含有根号的式子不会化简，还有被开方数是小数的，这应该牵涉到分母有理化，分母有理化这个概念本章课本中没有提及，但是课后练习和习题中也有涉及，又得多利用一个课时处理。剩下的时间我主要让学生进行了重复课堂中学习的内容的练习，让学生上黑板展示自己的作法，不正确的进行点评，到下课时，少数学生基本掌握了二次根式的乘除法的计算。本节课发现学生依赖性很强，明明本节课需要七、八年级的有关知识忘了，从不课前预习，就算老师提醒了课本也在眼前就是懒得翻，甚至不知道在课本的什么地方，基本是教师的帮助学生才能得以往下学，因此教学互动环节进行很艰难，二十几分钟左右一般只能解决一个小题，进度很慢。因此要让基础如此差的孩子们学生不依赖老师，能自觉学习数学，是今后要挑战的问题。教学反思：看完本文，记得打分哦：很好下载Doc格式文档马上分享给朋友：?知道苹果代表什么吗实用文章，深受网友追捧比较有用，值得网友借鉴没有价值，写作仍需努力相关教学反思：网友评论本类热门48小时热门　　二次根式乘除法 　　二次根式有以下两个特点: 　　(1)不含分母; 　　(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 　　（3）分母中不含根式 　　我们把满足上述三个条件的二次根式,叫做. 　　若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分. 　　定义：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0） √a/b=√a /√b（a≥0，b&0）
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