讨论级数收敛的必要条件敛

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-02-28 12:55 标签： 幂级数收敛域
幂级数的发散点与收敛点什么关系
幂级数的发散点与收敛点什么关系
09-07-03 &匿名提问
幂级数　　函数项级数的概念　　定义1 函数列 ，　　则称为函数项级数。　　定义2取 ，则成为常数项级数，　　若收敛，则称为的收敛点；　　若发散，则称为的发散点。　　定义3 函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域，记为D。　　定义4 对于任意一点，有收敛，因而有一个确定的和，该和是关于 的函数，称为 和函数，记为S（x）。　　定义5 若用 表示 的前n项的和，　　则在收敛域上有记称为的余项，且在收敛域上有 。[编辑本段]幂级数　　1．幂级数的有关概念　　定义6 具有下列形式的函数项级数　　（1）称为幂级数。　　特别地，在中令即上述形式化为　　（2）称为 的幂级数。　　取为常数项级数，如收敛，其和为 　　取为常数项级数，如收敛，其和为 　　取为和函数项级数，总收敛，其和为　　对幂级数主要讨论两个问题：　　（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数。　　幂级数的收敛域具有特别的结构　　定理1：（i）如 在 收敛，则对于满足 的一切 ， 都绝对收敛；　　（ii）如 在 发散，则对于满足 的一切 ， 发散。　　证：（1）∵ 收敛 　　∴ （收敛数列必有界）　　而 为几何级数，当 即收　　∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛　　（2）反证：如存在一点 使 收　　则由（1） 收，矛盾。　　由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使 收敛； 发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。　　2．幂级数的收敛域及其求法　　定理2：如幂级数 系数满足 ，　　则（1收敛区间为（-R，R）；　　（2）收敛区间为（－∞，＋∞）；　　（3）幂级数 仅在一点x=0处收敛。　　注意：当时， 的敛散性不能确定，要讨论 的敛散性，从而求得收敛域。　　例1：求下列幂级数的收敛域。　　（1） （2） （3） 　　解：（1） ， 故 ，　　当 时， 原级数为 为交错级数，满足　　& ， ∴ 收敛；　　当 时， 原级数为 发散，　　∴ 收敛域为 　　解（2）由于 ∴ 故收敛域为 。　　解（3） 　　令 ∴ 。　　当 时，　　原级数为 　　∴ 发散；　　同理 时， 级数也发散 ， 　　∴收敛域 　　三、 幂级数的性质 　　定理3　　定理　　求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：
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讨论下列级数的敛散性：
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提问人：匿名网友
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关于函数项级数一致收敛性判定的讨论
【摘 要】利用数列对函数项级数定义进行推广，对比数项级数和函数项级数及判别法，给出了类似数项级数的函数项级数一致收敛判别法——式判别法和根式判别法，同时举例验证判别法的有效性。（剩余41字）
（ &&&欢迎：，，）
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