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函数方程的几种解法
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初中数学 解方程 教案
教学建议　　一、重点、难点分析　　本节教学的重点是掌握三元一次方程组的解法，教学难点是解法的灵活运用．能够熟练的解三元一次方程组是进一步学习一次方程组的应用，以及一次不等式组的解法的基础．　　1．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组就是三元一次方程组．　　2．三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．　　3．如何消元，首先要认真观察方程组中各方程系数的特点，然后选择最好的解法．　　4．有些特殊方程组，可用特殊的消元方法，有时一下子可消去两个未知数，直接求出一个未知数值来．　　5．解一次方程组的消元“转化”基本思想，可以推广到“四元”、“五元”等多元方程组，这是今后要学习的内容．　　二、知识结构& 　　三、教法建议　　1. 解三元一次方程组时，由于方程较多，学生容易出错．因此，应提醒学生注意，在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次．　　2. 消元时，先要考虑好消去哪一个未知数．开始练习时，可以先把要消去的未知数写出来（如教科书在分析中所写的那样），然后再进行消元．　　在例2中，如果先确定消去 ，那么这三个方程两两分组的方法有3种；①与②，①与③，②与③．我们可以从中任选2种消去 ．这里特别要注意选定2种后，必须消去同一个未知数．如果违背了这一点，所得的两个新方程虽然各含两个未知数，但由它们组成的方程组仍然含有三个未知数，这在实际上没有消元．&教学设计示例　　一、素质教育目标　　（一）知识教学点　　1．知道什么是三元一次方程．　　2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．　　3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．　　（二）能力训练点　　1．培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象．　　2．培养学生的计算能力、训练解题技巧．　　（三）德育渗透点　　渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知．　　（四）美育渗透点　　通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美．　　二、学法引导　　1．教学方法：观察法、讨论法、练习法．　　2．学生学法：三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键．一般来说应先消去系数最简单的未知数．　　三、重点·难点·疑点及解决办法　　（一）重点　　使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．　　（二）难点　　针对方程组的特点，选择最好的解法．　　（三）疑点　　如何进行消元．　　（四）解决办法　　加强理解二元及三元一次方程组的解题思想是“消元”，故在求解中为便于计算应选择系数较简单的未知数将它消去．　　四、课时安排　　一课时．　　五、教具学具准备　　投影仪、自制胶片．　　六、师生互动活动设计　　1．教师先复习解二元一次方程组的解题思想及办法，让学生充分理解方程组的消元思想及方法．　　2．教师由引例引出三元一次方程组，由学生思考、讨论后解决如何消三元变二元，教师讲解、小结．　　3．由学生尝试，解决例题．　　4．学生练习，教师小结、讲评．　　七、教学步骤　　（一）明确目标　　本节课将学习如何求三元一次方程组的解．　　（二）整体感知　　通过复习二元一次方程组的解题思想，从而类推出三元一次方程组的解题思想及解题方法，让学生牢牢抓住利用消元的思想化三元为二元，再化二元为一元的办法来求解．　　（三）教学过程　　1．复习导入、探索新知　　（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？　　甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．　　题目中有几个未知数？含有几个相等关系?你能根据题意列出几个方程？　　学生活动：回答问题、设未知数、列方程．　　这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：　 　　这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．　　怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？　　学生活动：思考、讨论后说出消元方案．　　教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得 　④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去 ，得到只含 、 的二元一次方程组．　　解：由②，得 　　　　④　　把④代入①，得 　　⑤　　把④代入③，得 　　　⑥　　⑤与⑥组成方程组 　　解这个方程组得 　　把 代入④，得 　　∴ 　　∴ 　　注意：a．得二元一次方程组后，解二元一次方程的过程在练习本上完成．　　b．得 ， 后，求 ，要代入前面最简单的方程④．　　c．检验．　　这道题也可以用加减法解，②中不含 ，那么可以考虑将①与③结合消去，与②组成二元一次方程组．　　学生活动：在练习本上用加减法解方程组．　　【教法说明】通过一题多解，不仅能开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且，可以巩固解方程组时通过“消元”把未知转化为已知的基本思想．　　2．学生尝试解决例题　　例1& 解方程组 　　学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．　　解：②×3＋③，得&
　　④　　①与④组成方程组 　　解这个方程组，得 　　把 ， 代入②，得 　　∴ 　　∴ 　　归纳：这个方程组的特点是方程①不含 ，而②、③中 的系数绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②、③中消去 后，再与①组成只含 、 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③较繁．　　【教法说明】有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点为，点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．　　3．尝试反馈，巩固知识　　练习：P30　（1）．　　学生活动：独立完成练习后，同桌、前后桌之间按不同解法的同学交换，看哪种方法最简单．　　4．变式训练要，培养能力　　补例：解方程组 　　学生活动：独立完成．　　【教法说明】此方程组中方程①、③中 、 的系数完全相同，用③－①可直接得到 ，再把 代入②可求 ，代入①可求 ．这道题直接化三元为一元，能使学生体会到解法技巧的重要性，觉得数学问题真是奥妙无穷!　　（四）总结、扩展　　1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？ 　　2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．　　3．注意检验．　　【教法说明】这样总结，既突出了本课重点，又突出了本节内容中例题、习题的特点—某个方程只含两元，使学生在以后解题时有很强的针对性．　　八、布置作业　　（一）必做题：P31　　A组1．　　（二）选做题：解方程组 　　（三）思考题：课本第32页“想一想”．　　【教法说明】作业（一）是为了巩固本节所学知识；作业（二）有很强的技巧性，可培养学生兴趣；作业（三）培养学生分析问题、解决问题的能力．列方程解应用题的几种常见的思想方法；一、以总量为等量关系建立方程；例题两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，；解法一：快车4小时行的+慢车4小时行的=总路程；解设：快车小时行X千米；4X+60×4=536；4X+240=536；4X=296；X=74；解法二：(X+60)×4=536；X+60=536÷4；X=134一60；X=74；答：快车每小时行驶
列方程解应用题的几种常见的思想方法
一、以总量为等量关系建立方程
两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少小时？
解法一： 快车 4小时行的+慢车4小时行的=总路程
解设：快车小时行X千米
4X+60×4=536
4X+240=536
解法二：(X+60)×4=536
X+60=536÷4
答：快车每小时行驶74千米。
①降落伞以每秒10米的速度从18000米高空下落，与此同时有一热汽球从地面升起，20分钟后伞球在空中相遇，热汽球每秒上升多少米？
②甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水，甲管每分钟注水400千克，要想在8分钟注满水池，乙管每分钟注水多少千克？
③两城相距600千米，客货两车同时从两地相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行80千米，几小时两车相遇？
④两地相距249千米，一列火车从甲地开往乙地，每小时行55。5千米，行了多少小时还离乙地有27千米？
⑤买5个本子和3支铅笔一共用去10.4元，已知铅笔每支0.9元，每本子多少元？
⑥服装厂要做984套衣服，已经做了120套，剩下的要在12天内完成平均每天做多少套？
⑦某生产小组9个工人要生产1926个零件，每人每小时可生产20个，工作5.5小时后，要求剩下的任务必须在4小时内完成，每人每小时必须生产多少？
⑧ 电机厂计划生产1980台电动机，已经生产了4天，每天生产45台，由于改进了技术，以后每天比原来增产15台，实际完成任务需几天？
二、以总量为等量关系建立方程
甲、乙两个粮仓一共有粮6800包，甲是乙的3倍，两仓各有多少包？
解设：乙仓有粮X包，那么甲仓有粮3X包
甲粮仓的包数+乙粮仓的包数=总共的包数
检验：00包(甲乙两仓总共的包数)
或=3(甲仓是乙仓的3倍)
答：甲原有粮5100包，乙原有粮1700包。
练一练①学校买来乒乓球和蓝球一共135个，买来的乒乓球是蓝球的8倍，两种球各多少个？
②有一个上下两层的书架一共放了240书，上层放的书是下层的2倍，两层书架各放书多少本？
③图书馆买来文艺科技书共235本，文艺书的本数比科技书的2倍多25本，两种书各买了多少本？
④甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的两倍，三人各捐多少元？
⑤A、B两个码头相距379.4千米，甲船比乙船每小时快3.6千米，两船同时在这两个码头相向而行，出发后经过三小时两船 还相距48.2千米，求两船 的速度各是多少？
三、以相差数为等量关系建立方程
例题：化肥厂三月份用水420吨，四月份用水380吨，四月份比三月份节约水费60元，这两个月各付水费多少元？
解设：每吨水费X元
三月份的水费一四月份的水费=节约的水费
420X一380X=60
三月份付水费1.5×420=630(元)
四月份付水费1.5×380=570(元)
答：三月份付水费630元，四月份付水费570元。
①新华书店发售甲种书90包，乙种书68包，甲种书比乙种快餐我1100本，每包有多少本？
②一篮苹果比一篮梨子重30千克，苹果的千克数是梨子的2.5倍，求苹果和梨子各多少千克？
③两块正方形的地，第一块地的边长比第二块地的边长的2倍多2米，而它们的周长相差56厘米，两块地边长是多少？
④小亮购买每支0.5元和每支1.2元的笔共20支，付20元找回404元，两种笔各买了多少支？
⑤超市运来20筐鸡蛋和230千克鸭蛋，鸡蛋比鸭蛋重多少千克？
⑥甲、乙两数之差为100，甲数比乙数的3倍还多4，求甲、乙两数？
⑦两个水池共贮水60吨，甲池用去6吨，乙池又注入8吨水后，乙池的水比甲池的水少4吨，原来两池各贮水多少吨？
⑧师徒两人共同加工一批零件，徒弟每天做30个，师傅因有事只做了6天，比徒弟少做了3天还比徒弟多做12个零件，师傅每天做几个？
⑨食堂买的白菜比萝卜的3倍少20千克，萝卜比白菜少70千克，白菜、萝卜食堂各买了多少千克？
四、以题中的等量为等量关系建立方程
有两桶油，甲桶油重量是乙桶油的2倍，现在从甲桶中取出25.8千克，从乙桶中取出剩下的两桶油重量相等，两桶油原来各有多少千克？
解设：乙桶油为X千克，那么甲桶油为2X千克
甲桶剩下的油=乙桶剩下的油
2X一25.8=X一5.2
2X一X=25.8一5.2
2X=20.6×2=41.2
答：甲桶油重4102千克，乙桶油重20.6千克，
①甲厂有钢材148吨，乙厂有112吨，如果甲厂每天用18吨，乙厂每天用12吨，多少天后两厂剩下的钢材相等？
②一个两层的书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书放90本到下层，则两层的书相等，原来上下层各有书多少本？
③甲车间有54人，乙车间有48人，在式作时，为了使两车间人数相等，甲车间应调多少人去乙车间？
④超市存有大米的袋数是面粉的3倍，大米买掉180袋，面粉买掉50袋后，大米、面粉剩下的袋数相等，大米、面粉原各多少袋？
⑤某校有苦于人住校。若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每一间宿舍住7人，则多出4间宿舍。问有多少人住校？有几间宿舍？
⑥甲仓所存的面粉是乙仓的3倍，如果从甲仓运走900千克，从乙仓运出80千克，则两仓所存的面粉相等，两仓原有面粉各多少千克？
⑦有 箱桔子，甲箱的重量是乙箱的1.8倍，如果从甲箱中取出1.2千克放篱乙箱，那么两箱的重量相等了，原来甲乙两箱各多少千克？
⑧一个通讯员骑自行车要在规定的时间内把信件送到某地，他每小时15千米查以早到24分钟，每小时骑12千米要迟到15分钟，规定时间是多少？他去某地的路程有多远？
⑨一列火车从甲地开往乙地每小时 50千米，一小时后另一列火车也从甲地开往乙 地每小时行60千米，结果两列火车同时到达乙3地，甲、乙两地相距多少千米？
⑩甲级糖每千克16.60元，乙级糖每千克8.80元。商店用80千克甲级糖和若干乙级糖混合后平均每千克售价14.00元，乙级糖要多少千克？
五、以较大的量或几倍数为等量关系建立方程
例题：两筐苹果，每筐的个数相等，从甲筐卖出150个，从乙筐卖出194个后，剩下的苹果甲筐是乙筐的3倍，原来每筐有多少个？
解设：原来每筐X个
甲筐剩下的=乙筐剩下的3倍
X一150=(X一194)×3
X一150=3X一582
答：原来甲筐有苹果216。
①修一条水渠计划需70人挖土，50人运土，而实际上挖土人数是运土人数的3倍，问从运土的人中调多少人去挖土？
②电力公司现有职工1240人，比五年前的6倍不多40人，五年前电力公司有多少人？
③有两堆煤，甲堆有32吨，乙堆有57吨，以后甲堆每天增加4吨，乙堆每天增加9吨，几天后乙堆的煤是甲堆的2倍？
④甲乙两厂用同样的原料生产同样的产品，甲厂有720吨，乙厂有540吨，两厂同时生产并每天都用去20吨，多少天后甲厂所剩的原料是乙厂所剩原料的2倍？
⑤甲乙两个工程队，甲队原有240人，乙队原有168人，因工作需要将甲队的人数调整到乙队的2倍，应由乙队抽调多少人到甲队？
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