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整除数的性质及规律.doc 10页
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整除数的规律整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；如果数a能同时被数bc整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。能被2整除末位是0,2,4,6或8,都能被2整除能被5整除一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除能被10整除能被3或9整除的数一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。例如：判断能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。检验：……2又如：判能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余数。即：……6能被9整除的数，一定能被3整除。能被3整除的数，却不一定能被9整除。能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。这就符合了能被6整除的第一个条件。如果这个数不是偶数，那就排除了能被6整除的可能。然后按照能被3整除的数的特征，即：这个数各位数字的和是不是3的倍数，如果是3的倍数，这个数就能被6整除。例如：判断654能不能被6整除654是偶数，能被2整除；654各位数字的和是6+5+4=15，15是3的倍数，因此，654能被6整除。又如：判断274能不能被6整除274是偶数，但它各位数字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此274不能被6整除。能被4或25整除的数一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就一定能被4或25整除。例如：0+0+×100因为25与4相乘的积是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的数（100的倍数）可以不考虑，只要这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。由此可以得出：凡是一个数的末两位数都是0（必然是100的倍数），这个数就一定能被4或25整除。4750的末两位数是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。928的末两位数是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而不能被25整除。3800的末两位数都是0，说明的倍数，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。能被7整除的数差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。×2＝308，30-8×2＝14因为14是7的倍数，所以3164能被7整除。检验：对于数字不大的数，使用割减法判断能不能被7整除是比较方便的。如判断133是否能被7整除13-3×2=7,所以133是7的倍数能被11整除的数①.割减法：判断被11整除的割减法与判断被7整除的割减法不同。即：一个数割去末尾数字，再从留下来的数中减去这个末位数字，这样一次一次地减下去，如果最后结果是11的倍数（包括得0），那么这个数就能被11整除；如果最后结果不是11的倍数，那么这个数就不能被11整除。例如：4708……割去末位2，46-2＝44∵44是11的倍数，∴4708能被11整除。又如：判断891和1007能否被11整除89-1＝88，88是11的倍数100-7＝93，93不是11的倍数通过口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。在判断时，对于数目不大的数，用口算就可以看出结果。②.奇偶位差法：把一个整（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。）奇位上的数之和：位上的数之和：因此，283679能被11整除。例2：判断480637能不能被11整除。奇位上的数之和：位上的数之和：因此，480637不能被11整除。上述这种方法叫做奇偶位差法，算理可通过下列算式说明。9÷9=19÷11（不能
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【精华】.联考行测备考：数的整除性质
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官方公共微信怎样判断一个数能否被百以内的质数整除
怎么判断一个数能否被百以内的质数整除
　　一、能被百以内质数整除的数，应该具备的条件(不唯一)
　　除数&&&&&&&&&　　　被除数应具备的条件
&&　　　　　　2&&&&末位数是0、2、4、6、8。
&　　&　　　　3&&&&数字和能被3整除。
&&　　　　　　5　　末位数是0、5。
&&　　　　　　7　　去掉末位数后，与末位数的2倍之差能被7整除。
&　　　　11&　&去掉末三位数后，与末三位数的差能被11整除。
　　&　　13　　去掉末三位数后，与末三位数的差能被13整除。
&　　　　　　17　　去掉末位数后，与末位数的5倍之差能被17整除。
&　　　　　　19　　去掉末两位数后，与末两位数的4倍之和能被19整除。
&　　　　　　23　　去掉末三位数后，与末三位数的2倍之差能被23整除。
&　　　　　　29　　去掉末三位数后，与末三位数的2倍之差能被29整除。
&　　　　　　31　　去掉末三位数后，与末三位数的4倍之和能被31整除。
&　　　　　　37　　去掉末三位数后，与末三位数的和能被37整除。
&　　　　　　41　　去掉末位数后，与末位数的4倍之差能被41整除。
&　　　　　　43　　去掉末三位数后，与末三位数的4倍之和能被43整除。
&　　　　　　47　　去掉末两位数后，与末两位数的8倍之和能被47整除。
&　　　　　　53　　去掉末两位数后，与末两位数的9倍之差能被53整除。
　　　　　　&59　　去掉末四位数后，与末四位数的2倍之差能被59整除。
&　　　　　　61　　去掉末位数后，与末位数的6倍之差能被61整除。
&　　　　　　67　　去掉末两位数后，与末两位数的2倍之差能被67整除。
&　　　　　　71　　去掉末位数后，与末位数的7倍之差能被71整除。
&　　　　　　73　　去掉末四位数后，与末四位数的差能被73整除。
&　　　　　　79　　去掉末位数后，与末位数的8倍之和能被79整除。
&　　　　　　83　　去掉末三位数后的4倍，与末三位数的和能被83整除。
&　　　　　　89　　去掉末两位数后，与末两位数的8倍之差能被89整除。
&　　　　　　97　　去掉末两位数后的3倍，与末两位数的和能被97整除。
　　二、整除条件的用法
　　1、除数是2、3、5(略)
　　2、除数是7
条件：去掉末位数后，与末位数的2倍之差能被7整除。
末位数是6，去掉末位数后是257。257－6&2＝245，245&7＝35，符合条件，2576能被7整除。
　　3、除数是11
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的差能被11整除。
末三位数是206，去掉末三位数后是8。206－8＝198，198&11＝18，符合条件，8206能被11整除。
　　4、除数是13
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的差能被13整除。
末三位数是274，去掉末三位数后是1。274－1＝273，273&13＝21，符合条件，1274能被13整除。
　　5、除数是17
　　条件：去掉末位数后，与末位数的5倍之差能被17整除。
末位数是3，去掉末位数后是406。406－3&5＝391，391&17＝23，符合条件，4063能被17整除。
　　6、除数是19
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的4倍之和能被19整除。
末两位数是24，去掉末两位数后是18。18＋24&4＝114，114&19＝6，符合条件，1824能被19整除。
　　7、除数是23
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的2倍之差能被23整除。
末三位数是047，即47，去掉末三位数后是2。47&2－2＝92，92&23＝4，符合条件，2047能被23整除。
　　8、除数是29
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的2倍之差能被29整除。
末三位数是871，去掉末三位数后是2。871&2－2＝&29＝60，符合条件，2871能被29整除。
　　9、除数是31
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的4倍之和能被31整除。
末三位数是759，去掉末三位数后是2。2＋759&4＝比原数2759还大，对3038再进行一次判断。3038的末三位数是038，即38，去掉末三位数后是3。3＋38&4＝155，155&31＝5，符合条件，3038能被29整除，从而2759能被31整除。
　　10、除数是37
条件：去掉末三位数后，与末三位数的和能被37整除。
末三位数是219，去掉末三位数后是3。3＋219＝222，222&37＝6，符合条件，3219能被37整除。
　　11、除数是41
　　条件：去掉末位数后，与末位数的4倍之差能被41整除。
末位数是8，去掉末位数后是401。401－8&4＝369，369&41＝9，符合条件，4016能被41整除。
　　12、除数是43
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的4倍之和能被41整除。
末三位数是752，去掉末三位数后是2。2＋752&4＝3010，3010比2752还大，对3010再进行一次判断。3010的末三位数是010，即10，去掉末三位数后是3。3＋10&4＝43，43&43＝1，符合条件，3010能被43整除，从而2752能被43整除。
　　13、除数是47
条件：去掉末两位数后，与末两位数的8倍之和能被47整除。
末两位数是65，去掉末两位数后是44。44＋65&8＝564，564&47＝12，符合条件，4465能被47整除。
　　14、除数是53
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的9倍之差能被53整除。
末两位数是88，去掉末两位数后是50。88&9－50＝742，742&53＝14，符合条件，5088能被53整除。
　　15、除数是59
条件：去掉末四位数后，与末四位数的2倍之差能被59整除。
　　末四位数是1684，去掉末四位数后是5。＝&59＝57，符合条件，51684能被59整除。
　　16、除数是61
　　条件：去掉末位数后，与末位数的6倍之差能被61整除。
末位数是4，去掉末位数是390。390－4&6＝366，366&61＝6，符合条件，3904能被61整除。
　　17、除数是67
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的2倍之差能被67整除。
末两位数是43，去掉末两位数是19。43&2－19＝67，67&67＝1，符合条件，1943能被67整除。
　　18、除数是71
　　条件：去掉末位数后，与末位数的7倍之差能被71整除。
末位数是8，去掉末位数后是553。553－8&7＝497，497&71＝7，符合条件，5538能被71整除。
　　19、除数是73
　　条件：去掉末四位数后，与末四位数的差能被73整除。
末四位数是7157，去掉末四位数后是3。54，，符合条件，37157能被73整除。
　　20、除数是79
　　条件：去掉末位数后，与末位数的8倍之和能被79整除。
末位数是4，去掉末位数后是679。679＋4&8＝711，711&79＝9，符合条件，6794能被79整除。
　　21、除数是83
　　条件：去掉末三位数后的4倍，与末三位数的和能被83整除。
末三位数是727，去掉末三位数后是5。5&4＋727＝747，747&83＝9，符合条件，5727能被83整除。　　
　　22、除数是89
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的8倍之差能被89整除。
末两位数是21，去掉末两位数后是79。21&8－79＝89，89&89＝1，符合条件，7921能被89整除。
　　23、除数是97
　　条件：去掉末两位数后的3倍，与末两位数的和能被97整除。
末两位数是06，即6，去掉末两位数后是95。95&3＋6＝291，291&97＝3，符合条件，9506能被97整除。
三、整除条件的道理
　　1、除数是2、3、5　(略)
2、除数是7
条件：去掉末位数后，与末位数的2倍之差能被7整除。
设末位数为a，去掉末位数后为b，根据条件，b－2a＝7c，c为整数，b＝7c＋2a，原数＝10b＋a＝10(7c＋2a)＋a＝70c＋21a。70和21都能被7整除，所以原数能被7整除。
　　3、除数是11
&　&条件：去掉末三位数后，与末三位数的差能被11整除。
设末三位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b－a＝11c，b＝11c＋a，原数＝1000b＋a＝1000(11c＋a)＋a＝11000c＋1001a，1都能被11整除，所以原数能被11整除。
　　4、除数是13
条件：去掉末三位数后，与末三位数的差能被13整除。
设末三位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b－a＝13c，c为整数，b＝13c＋a，原数＝1000b＋a＝1000(13c＋a)＋a＝13000c＋1001a。1都能被13整除，所以原数能被13整除。
　　5、除数是17
　　条件：去掉末位数后，与末位数的5倍之差能被17整除。
设末位数为a，去掉末位数后为b，根据条件，b－5a＝17c，c为整数，b＝17c＋5a，原数＝10b＋a＝10(17c＋5a)＋a＝170c＋51a。170和51都能被17整除，所以原数能被17整除。
　　6、除数是19
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的4倍之和能被19整除。
设末两数为a，去掉末两位数后为b，根据条件，b＋4a＝19c，c为整数，b＝19c－4a，原数＝100b＋a＝100(19c－4a)＋a＝1900c－399a。都能被19整除，所以原数能被19整除。
　　7、除数是23
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的2倍之差能被23整除。
设末三位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b－2a＝23c，c为整数，b＝23c＋2a，原数＝1000b＋a＝1000(23c＋2a)＋a＝23000c＋2001a。2都能被23整除，所以原数能被23整除。
　　8、除数是29
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的2倍之差能被29整除。
设末三位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b－2a＝29c，c为整数，b＝29c＋2a，原数＝1000b＋a＝1000(29c＋2a)＋a＝29000c＋2001a。2都能被29整除，所以原数能被29整除。
　　9、除数是31
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的4倍之和能被31整除。
设末三位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b＋4a＝31c，c为整数，b＝31c－4a，原数＝1000b＋a＝1000(31c－4a)＋a＝31000c－3999a，3都能被31整除，所以原数能被31整除。
　　10、除数是37
　　条件：去掉末三位数后，与末三位数的和能被37整除。
设末三位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b＋a＝37c，c为整数，b＝37c－a，原数＝1000b＋a＝1000(37c－a)＋a＝37000c－999a。3都能被37整除，所以原数能被37整除。
11、除数是41
条件：去掉末位数后，与末位数的4倍之差能被41整除。
设末位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b－4a＝41c，c为整数，b＝41c＋4a，原数＝10b＋a＝10(41c＋4a)＋a＝410c＋41a。410和41都能被41整除，所以原数能被41整除。
　　12、除数是43
条件：去掉末三位数后，与末三位数的4倍之和能被43整除。
设末三位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b＋4a＝43c，c为整数，b＝43c－4a，原数＝1000b＋a＝1000(43c－4a)＋a＝43000c－3999a。4都能被43整除，所以原数能被43整除。
　　13、除数是47
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的8倍之和能被47整除。
设末两数为a，去掉末两位数后为b，根据条件，b＋8a＝47c，c为整数，b＝47c－8a，原数＝100b＋a＝100(47c－8a)＋a＝4700c－799a。都能被47整除，所以原数能被47整除。
　　14、除数是53
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的9倍之差能被53整除。
设末两数为a，去掉末两位数后为b，根据条件，b－9a＝53c，c为整数，b＝53c＋9a，原数＝100b＋a＝100(53c＋9a)＋a＝5300c＋901a。5300和901都能被47整除，所以原数能被53整除。
　　15、除数是59
　　条件：去掉末四位数后，与末四位数的2倍之差能被59整除。
设末四数为a，去掉末四位数后为b，根据条件，b－2a＝59c，c为整数，b＝59c＋2a，原数＝10000b＋a＝10000(59c＋2a)＋a＝590000c＋20001a。590000和20001都能被59整除，所以原数能被59整除。
　　16、除数是61
　　条件：去掉末位数后，与末位数的6倍之差能被61整除。
设末位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，b－6a＝61c，c为整数，b＝61c＋6a，原数＝10b＋a＝10(61c＋6a)＋a＝610c＋61a。610和61都能被61整除，所以原数能被61整除。
　　17、除数是67
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的2倍之差能被67整除。
　　设末位数为a，去掉末位数后为b，根据条件，b－2a＝67c，c为整数，b＝67c＋2a，原数＝100b＋a＝100(67c＋2a)＋a＝6700c＋201a。6700和201都能被67整除，所以原数能被67整除。
　　18、除数是71
　　条件：去掉末位数后，与末位数的7倍之差能被71整除。
设末位数为a，去掉末位数后为b，根据条件，b－7a＝71c，c为整数，b＝71c＋7a，原数＝10b＋a＝10(71c＋7a)＋a＝710c＋71a。710和71都能被71整除，所以原数能被71整除。
　　19、除数是73
　　条件：去掉末四位数后，与末四位数的差能被73整除。
设末两数为a，去掉末四位数后为b，根据条件，b－a＝73c，c为整数，b＝73c＋a，原数＝10000b＋a＝10000(73c＋a)＋a＝730000c＋10001a。001都能被73整除，所以原数能被73整除。
　　20、除数是79
　　条件：去掉末位数后，与末位数的8倍之和能被79整除。
设末两数为a，去掉末位数后为b，根据条件，b＋8a＝79c，c为整数，b＝79c－8a，原数＝10b＋a＝10(79c－8a)＋a＝790c－79a。790和79都能被79整除，所以原数能被79整除。
　　21、除数是83
　　条件：去掉末三位数后的4倍，与末三位数的和能被83整除。
设末三位数为a，去掉末三位数后为b，根据条件，4b＋a＝83c，c为整数，b＝(83c－a)/4，原数＝1000b＋a＝1000(83c－a)/4＋a＝20750c－249a。20750和249都能被83整除，所以原数能被83整除。
　　22、除数是89
　　条件：去掉末两位数后，与末两位数的8倍之差能被89整除。
设末两数为a，去掉末两位数后为b，根据条件，b－8a＝89c，c为整数，b＝89c＋8a，原数＝100b＋a＝100(89c＋8a)＋a＝8900c＋801a。都能被89整除，所以原数能被89整除。
　　23、除数是97
　　条件：去掉末两位数后的3倍，与末两位数的和能被97整除。
设末两位数为a，去掉末两位数后为b，根据条件，3b＋a＝97c，c为整数，b＝(97c－a)/3，
原数＝100b＋a。由于后面的变换过程比较复杂，改为递等形式：
　　原数＝100b＋a
　　＝100(97c－a)/3＋a　　　　(b＝(97c－a)/3)
　　＝9700c/3－100a/3＋a
　　＝9700c/3－97a/3&&&&&&&&&&(100a＝97a＋3a)
　　＝97(100c－a)/3
　　＝97[(97c－a)＋3c]/3&&&&&&(100c＝97c＋3c)
　　＝97[(97c－a)/3＋c]
&&&&＝97(b＋c)　　　　　　　　(为b＝(97c－a)/3)
因为b＋c是整数，所以原数能被97整除。
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