如图1,在三角形ABC边BC上一点D作如图已知de平行bcC交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-04-12 05:31 标签： 已知de平行bc
小题1:问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=DF，则的值为_____． 小题2:拓展问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．小题3:推广问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论． - 跟谁学
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1小题2:证明：如图9．∵CB=CA， ∴∠CAB=∠CBA． ∵∠MAC=∠MBC， ∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，即∠MAB=∠MBA． ∴MA=MB． ∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F， ∴∠AFM=∠BEM=90°．在△AFM与△BEM中，
∠AFM=∠BEM， ∠MAF =∠MBE，
MA=MB，∴△AFM≌△BEM． ∵点D是AB边的中点，∴BD = AD．在△BDE与△ADF中，
BD = AD， ∠DBE =∠DAF，BE = AF，∴△BDE≌△ADF．
∴DE=DF． 小题3:解：DE=DF．证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH．（如图10）∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．∴四边形DHMG是平行四边形．∴∠DHM =∠DGM，∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，∴∠AFM=∠BEM=90°．∴FG=AM= AG，EH=BM= BH． ∴FG= DH，DG= EH，
∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．∵∠FAM=∠EBM，∴∠FGM =∠EHM．∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．在△EHD与△DGF中，
EH = DG， ∠EHD =∠DGF，HD = GF，∴△EHD≌△DGF．
∴DE=DF． 解析
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1）如图①,点D是△ABC边AC上的一定点,取BC的中点M,连接DM,过点A作AE//DM交BC于点E,作直线DE.求证：直线DE平分△ABC的面积.（2）如图②,四边形ABCD是某商业用地示意图,现准备过点A修一条笔直的道路（其占地面积不计）,使其平分四边形ABCD的面积.请你在图②中作出这条路所在的直线,写出做法,并说明理由.
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连AM,则三角形ABM为ABC的一半,由三角形AED 与AEM面积相等,得四边形ABED(ABE+ADE=ABE+AEM)为三角形ABC的一半,故三角形BED为ABC 的一半,所以,DE 平分ABC.
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