中国?包头职大学报２００９年第４期
独立样本平均数差异的显著性检验方法与应用
（阜新高等专科学校，辽宁省阜新市１２３０００）
摘要：独立样本均数差异检验分大小样本，本文从样本容量大于３０或小于３０的独立大小样本两个方面阐述了样本平均数差异显著性检验的方法和步骤；对不同试验结果差异的显著性的各种检验进行统计决断，并结合实例对实际应用问题进行了论证。
关键词：独立样本；均数差异；显著性检验；统计决断
中图分类号：０２１２文献标识码：Ａ文章编号：１６７ｌ—１４４０（２００９）０４—００３４一０３
相关关系是日常生活和生产实际中经常存在的变量之独立大样本平均数差异的显著性检验可不作方差的齐问的关系。在对相关关系的有关研究中，对同一组被试对象性检验。即：虽然两个总体方差未知，但因相关样本是成对在试验前后进行同－－Ｎ验，有时会产生两次测验结果，将测数据，每对数据都可求出差数，可将平均数差异显著性检验验的结果进行平均，并对总体均数差异的显著性进行检验。转化成差数的显著性检验，不需汇合方差，所以就不需用方在实际应用中，经常利用独立样本对总体平均数的差异进差齐性检验来考察两个总体方差是否相等。
行检验。１．提出假设
所谓独立样本是指两个样本内的个体是随机抽取它们Ｈｏ：胁２雕Ｈｊ：肛ｌ≠脾
之间不存在一一对应关系（是一种非确定性关系），这样的２．构造统计量ｚ并计算
两个样本称为独立样本。两个独立样本平均数之间差异的Ｚ＝五一五（１．２．１）
显著性检验可以分独立大样本和独立小样本两种情况进
一、独立大样本平均数差异的显著性检验３．确定检验形式
独立样本容量ｎ，和ｎ。都大于３０的独立样本称为独立根据所给数据确定采取双侧还是单侧进行检验。
大样本。（１）双侧检验
（一）两个独立大样本平均数之差的标准误双侧检验备择假设为肛，≠肛。。
１．两个独立大样本平均数之差的标准误，在两个相应检验时相互比较的总体均数肛，与肛：没有一方不可能总体标准差已知时，用下列公式估计：大于（不可能小于）另一方的信息，那么原假设肛，＿ｐ。被否
定时，也就是可能是肛，＜肛。（肛，＞肛。），检验的拒绝会分布在
％。Ｖ百十百瓯：两侧，此时就需计算两侧的概率，称为双侧检验。
（２）单侧检验
其中盯｝，盯ｉ表示第一个与第二个变量的总体方差，¨ｎ２表单侧检验备择假设为肛，＜肛。（肛，＞ｐｚ）。
示第一个与第二个样本的容量。根据已有资料和信息，相互比较的总体均数“，不可能
２．两个独立大样本平均数之差的标准误，在两个相应大于肛。，那么在总体均数相同的原假设肛，＝肛。被否定时，总体标准差未知时，用下列公式估计：只能ｐ，＜肛。，统计量只可能出现在分布的一侧，检测的拒绝
腰—万区域也只可能在分布的一侧，此时只需计算一侧概率，称为
％＝１』１＋土Ｖ丹１（１．１．２）单侧检验。
４．统计决断
其中矿§－，盯；。分别表示第一个与第二个样本的方差，‰ｎ。表（１）双侧检验统计决断
示第一个与第二个样本的容量。表１．１双侧ｚ检验统计决断规则
（二）显著性检验步骤
收稿日期：２００９一０７—２０作者简介：孙立宏（１９６１一），女，辽宁人，阜新高等专科学校副教授，研究方向：计算数学与数值分析等。万方数据
ｌｚｌ与临界值的比较＿Ｐ僵
显著性不显著显著（勺
方差中的自由度之和。
由（２．１．２）与（Ｉ．ｉ．２）得两个独立小样本平均数之差的标准误的公式：
ＺｏＤ５＝ｌ
９６一ｚｏ∞
接受／＇／ｏ拒绝风
９６－＜ｌｚｉ＜２
５８：‰ｏ
０１‘尸圳５
０ｊ显著性水平上
拒绝风接受局
在０叭显著性７Ｋ平上
ｆｚｆｚ２
５８一Ｚｏｍ
拒绝碥接受ｑ
极其显著Ｐ’
（五～置）２＋∑，（与一丘）２
坤ｌ＋糟２—２
（２．１．３）
表１．１各项指标的具体含义：
如果实际算出的ＩｚＩ＜ｌ。９６，表明样本统计量的值未落人拒绝区域，就是等于或大于样本统计量的概率大于０．０５，Ｐ＞０．０５，检验结果接受Ｈ。拒绝日，，指样本所属的总体平均数与假设的总体平均数无显著性差异；如果实际算出的
Ｚ。。，＝１．９６兰ｌ
利用不同的已知数据有以下三种计算公式１．利用原始数据
霹一（∑置）２肛＋∑霹一（∑五）２加
坤ｌ＋朋２—２
抬１＋刀２
ｚｌ＜２．５８＝Ｚ。。．，表明样本统计的值在０．０５
２．利用总体标准差
（２．１．４）
显著性水平上落入了拒绝区域，而在０．０１显著性水平上未落入拒绝区域，就是等于或大于样本统计量的概率等于或小于０．０５，而大于０．０１，０．０１＜Ｐ≤０．０５，其检验结果是在
３．利用样本标准差
（２．１．５）
０．０５显著性水平上拒绝矾而接受Ｈ，，指样本所属的总体平
均数与假设的总体平均数有显著性差异，可靠度９５％，在ｚ值右上角用“＊”表示；如果实际算出的Ｉｚｌ≥２．５８＝Ｚ。。．，表明样本统计量的值在０．叭显著性水平上落入拒绝区域，就是等于或大于样本统计量的概率等于或小于０．０１，Ｐ－－ｚＯ．ｏｌ，其检验结果是在０．０１显著性水平上拒绝日。而接受日．，指样本所属的总体平均数与假设的总体平均数有极其显著性差异，可靠度９９％，在ｚ值右上角用“ｔ。”表示。
（２）单侧检验统计决断表１．２
Ｊｚｌ与临界值的ｔＥ较
（二）样本平均数差异的显著性检验１．两个总体方差的齐性检验
（２．１．６）
汇合方差是以两个相应总体方差相等为前提的，所以在进行独立小样本平均数差异的显著性检验之前，首先要对两个总体方差是否进行齐性检验。
显著性不要著显著（’
单侧检验统计决断规则
Ｐ＞００５
检验结集接受珂。拒绝Ⅳ１
（１）提出假设
日矿盯ｆ＝盯；ＨＪ？盯｝≠盯！
ＺｏＤ５＝１
６５＝ｚｏＤｊ
６５』ＩＺＩ＜２．３３ｚ
００１＜尸蔓０
在００５显著性术乎上拒绝Ｈｏ接受日１在００１显著性水平上
（２）构造检验统计量并计算ａ）用原始数据计算
极其显著（＋勺
２．３３＝Ｚ００１
ＰＳ００ｌ
拒绝Ｈｏ接受胃ｌ
表１．２各项指标的具体含义与双侧决断解释相仿。二、独立小样本平均数差异的显著性检验
独立样本容量ｎ，和ｎ。都小于３０，或者其中一个小于３０的独立样本称为独立小样本。
（一）两个独立小样本平均数之差的标准误
由公式（１．１．１）知，两个总样本标准差已知，且盯２＿盯ｌ时，得两个独立样本平均数之差标准误公式为：
肚面甄甄穰Ｑ?２?¨
．［∑研一匹五）。加?］石一１
ｂ）用Ｓ计算
（２．２．２）…“…
（２．１．１）
（３）统计决断：表２．１
，与临界值的比较
亿２．ｓ，
若盯２未知，此时用Ｓ；，Ｓ；都可以分别作为它的无偏估计量。若用加权平均法将Ｊｓ；及５；合起来共同求它的估计量Ｓ（称为汇合方差）为最佳，汇合方差计算公式为：
ｓ：：—Ｚ（ｘ，－ｘｇ＇＋—Ｚ（＆－ｘｂ
（甩１—１）＋（悔一１）
方差齐性Ｆ检验统计决断规则
尸＞００５
尸＜，（蛳，胡）ｏＤｊ
，‘烈，或）ｏ脚！Ｆ＜，（硝，矾）ｏｍ
（２．】．２）
ｉｆ，≥，（晰，嵌）ｏ
接受执拒绝胃１
在ｏ０５显著性水平上
不显著显著（’
００ｌ＜尸Ｓ００５
拒绝岛接受Ⅳ１
在０叫显著性水平上
尸兰０Ｏｌ
拒绝凰接受Ⅳｌ
极其显著Ｐ’
上式含义就是两个样本方差中的离差平方和除以两个样本
分子自由度够，－ｒ｛／一』，分母自由度矽。＝／２２一Ｊ。
２．样本平均数差异的显著性检验步骤
在上目中讨论中两个总体方差的齐性检验结果是在两个总体方差相等Ｓ；＝．ｓ；条件下
（１）提出假设
Ｈｏ：／ｓ，／≤／ｓ，２
Ａ、Ｂ两所小学学生身高测量结果
人数（”）
平均身高（霄）
１３６１２８
标准差（Ｄｊ】
ＨＩ：肛ｌ≥心
对这两所小学二年级的学生平均身高的差异进行显著
又．一叉、
（２．２．４）
检验步骤：（一）提出假设
（２）构造统计量并计算：ｆ＝＿七?三
ａ）用原始数据计算
（２．２．５）
Ｈｏ：ｌｕｌ２胁ＨＩ：／ｓ，／－≠／．ｓ，２
（二）构造统计量并计算
两所小学学生身高是从两个相应总体随机抽出的独立
ｂ）用Ｓ计算样本，两个总体标准差未知，两个样本容量较高，即凡ｔ兰
（２．２．６）
１００＞３０，ｎ：＝１２０＞３０，是属于独立大样本检验。其统计量为：
ｃ）用计算
（２．２．７）
五一五一１３６—１２８
＝３９９７６（３．２．１）
（三）确定检验形式
（３）确定检验形式：根据实际问题和所给数据进行判断进行单侧还是双侧检验。
因所给资料中不能反映出两所小学二年级学生身高的优劣，故采用双侧检验。
（四）统计决断
ｔ检验统计决断规则
Ｐ＞００５
（４）统计决断：
ｐｌ与临界值的比较蚓（ｆ‘毫，）ｏｍ
ｆ（《００∞ｓＨｔ（ｆ（茜００ｍ
根据表１．１得：Ｉ
显著性不显著显著（々
ｚｌ＝３．９９７６＞２．５８＝ｚ
００。，Ｐ＜０．０１，故
在０．Ｏｌ水平上拒绝日。，接受日。。即：Ａ、Ｂ两个小学二年级学生身高有极其显著性差异（＊。）。
接受风拒绝％
００１＜户≤０
在００５显著性水平上
拒匏‰接受乩
０１显著性水平上
极其显著（ｍ’
（１）欧贵兵，刘清国等．概率统计及其应用［Ｍ］．北京：科学出版社２００７年．
（２）梅国平，袁捷敏，毛小兵，李杰等．概率论与数理统计［Ｍ】．北京：科学出版社２００７年．
（３）王松桂，陈敏，陈立萍等．线性统计模型［Ｍ］．北京：高等教
｝ｆ≥ｔ‘ＺｎⅢ
Ｐ』００１
拒绝％接受４
自由度ｄｆ＝ｎ，＋ｎ２—２
三、样本均数差异的显著性检验应用
综上所述，通过对样本容量在３０以上的大独立样本和样本容量在３０以下的小独立样本的平均数差异的显著性检验，可以对样本容量不同的试验结果差异的显著性作出结论。下面以实例对其应用加以说明。
测得有Ａ、Ｂ两所小学二年级学生身高（厘米）及标准差
育出版社１９９９年．
（４）王孝玲编著．教育统计学（修订二版）［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社２００１年．
（５）戴明强，李卫军，杨鹏飞等．数学模型极其应用【Ｍ】．北京：科学出版社２００７：１—９．
（上接第５４页）
四、钢筋密集。间距不符合规范规定
在梁柱节点区，柱、梁的上下纵筋集中在同一位置，非常密集，其间距达不到规范规定的２５ｒａｍ的最小要求。因此，易产生劈裂裂缝，影响构件的承载能力。所以制配钢筋时，应考虑相互错开的问题。
框架梁或连续梁中间层的端节点处，柱、梁的上下钢筋的弯折部分，都集中在柱外侧面２５ｒａｍ处，钢筋之间非常拥挤，违反规范的要求。假若框架梁、柱的纵向钢筋均为直径２５的钢筋，柱的外纵筋应在柱外侧面２５ｒａｍ处；梁的下部纵筋伸入柱内的锚固长度为ＬａＥ，仅平直部分满足不了ＬａＥ
应在柱外侧面保护层７５ｍｍ处弯折，避开柱筋，弯折长度不限，使伸入柱内水平长度和弯折长度之和达到ＬａＥ即可；梁的上部钢筋，进入柱内的水平长度为０．４５ＬａＥ，直径２５的钢筋，混凝土的强度等级Ｃ３０以上，则ＬａＥ＝３５ｄ，０．４５ＬａＥ＝１６ｄ，弯折长度不小于１５ｄ，若柱断面较大，可在大于０．４５ＬａＥ的范围调整水平长度，和下部的弯起筋错开。总的原则是要保证受力钢筋的间距，必须在配筋过程中引起重视。
钢筋工程是混凝土结构工程的关键，处理不好，将造成不可弥补的结构隐患，严重影响工程的安全可靠性。因此，必须严格贯彻有关规范，确保工程质量。
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三、测量数据的转换
由于每次测验的参照点不同，原始分数没有绝对零点，不同测验的每“1”分互不相等，因此不同次、不同学科的考试成绩不能直接用原始分数比较，也不具加和性。为了使原始分数具有意义并有可比性，必须将它们转换成具有一定参照点和单位量表的分数。通常转换成下面几种标准分：　
（一）Z标准分　
Z标准分是一种以平均数为参照点、以标准差为单位的导出分数：
Xi——原始分数；
σ——总体标准差
Z标准分具有下列性质：
（1）一组数据中，各Z标准分的平均数为零，标准差（σz）等于1。因此它有固定零点位置，有相等单位，可进行四则运算。
（2）Z标准分的分布形状同原始分数。为了两组数据的Z分数可进行比较，原始分数最好是正态分布或近似于正态分布。若是非正态分布，可将原始分数转换成百分等级，然后从正态曲线面积表找到百分等级对应的Z分数，这个Z分数叫做正态化的Z分数，这样就能较准确地比较。
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Z标准分在教学测量中有广泛的：
（1）确定考生在团体中的相对地位：
正态分布的原始分数一经转换成Z分数，就可以通过查正态分布表得知此原始分数的百分等级，知道在它之下的分数个数占全体分数个数的百分之几，确定考生的相对地位。
例：某学生化学分数Z=1，也就是说他的分数比平均分多一个标准差，查表可知正态曲线下的面积P=0.3413（如下图阴影部分）。这样Z＜1的曲线面积为P＋P＇=0.5＋0.3
占全部曲线下面积的84.13％，也就是说比该学生分数低的学生占84.13％，比他高的占15.87％。若考生总数为100，则该学生在其中处于第16名。
（2）比较学生考试成绩的优劣：
Z分数由于有可比性和加和性，可以用于比较同一考生同一学科不同次考试的成绩、同一考生不同学科的成绩，或不同学生多学科的总成绩。
例1：一个学生期中、期末化学成绩的比较。　
从原始分数看，考生期末成绩低于期中考试，似乎退步准分Z看，期中时他处于全班平均分之下，而期末却在其上进步。
例2：两名学生高考时三门学科总分的比较。
从原始总分看，两名学生学习水平无差别，但若以标准总分看，乙的成绩比甲好。　
（3）在学生学习质量中的应用。
根据标准分作出学习质量的Z管理图，可真实反映学生的学习进步情况。
平处于全班平均分之上，折线总趋势是左下右上，说明高一阶段该生化学成绩在进步。　
（二） T标准分　
由于Z分数常出现小数、负数，不仅带来运算上的麻烦，也不易为人们所接受。中又常将Z分数转换成T分数：
这种T分数的平均分为50。
国外标准化学考试中还常采用C分数，它以平均分为500分，标准差为100，其通式为：
C=100Z＋500
（四）总体平均数的区间估计
在数理统计中，一般把研究对象的全体称为总体，其中每一研究对象称为个体，从总体中随机抽取的一部分个体称为样本。
S；总体的各种特征量叫做总体参数，通常用希腊字母表示，如μ、σ。
根据样本统计量的值去推断总体参数的值称为总体参数估计。为了使统计推断正确可靠，样本应该有较好的代表性。为此，要求抽样方法合理、样本容量尽可能大些。通常把样本容量≥30的称为大样本（≥50更具代表性），＜30的称为小样本，它们往往采用不同的推断方法。
当样本容量一定时，从总体中随机抽取样本有多种可能，存在抽样误差，各可能样本的某一统计量的分布称为抽样分布。各统计量抽样分布的标准差常称为该统计量的标准误，用SE并下标该统计量的符号来表示（例如用于总体参数值，样本的代表性好，由此作出的总体参数估计比较可靠。
抽样分布及其规律是统计推断的基础。
对总体参数的估计一般采取确定总体参数有多大可能性（置信度P）出现在某一区间（置信区间内的方式。置信度P=1-α，α为风险度，又称显著性水平，通常取α=0.05或α=0.01）。置信区间以对应的样本统计量为中心，上、下限对称地距此中心距离为样本统计量标准误的若干倍。
对于大样本，总体平均数μ按下式估计
对于小样本，总体平均数μ按下式估计
例：从1990年某省高考化学试卷中随机抽取400份的平均成绩是75.5分，标准差是10分，试估计全省高考化学平均成绩。
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靠性要以降低精度（扩大置信区间）为代价。
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利用样本信息，根据概率理论对其总体参数的假设作出拒绝或保留的决断，称为假设检验。
假设检验时要作两个相互对立的假设，即零假设（或称虚无假设）和备择假设（或称择一假设）。所谓零假设就是假设当前样本所属总体与原设总体无区别，用H0表示，记如μ＝μ0。备择假设则假设样本所属总体与原设总体不同，用H1表示，记如μ≠μ0。
假设检验是在假定零假设真实的前提下，考察样本统计量的值在以假设总体参数值为中心的抽样分布上出现的概率，如果出现的概率很大，则接受零假设、拒绝备择假设；如出现的概率很小，由于小概率事件很难发生，则拒绝零假设而接受备择假设。
通常把概率α≤0.05（或0.01）的事件看成小概率事件，这个概率标准也称为显著性水平。显著性水平越高（α值越小），越不容易拒绝零假设，推断的可靠性越大，反之亦然。
拒绝性概率分置于理论抽样分布的两侧时称为两侧检验。拒绝性概率置于一侧（右侧或左侧）时称为单侧检验（如下图所示）。运用何种检验形式须视具体问题而定。
通常假设检验按以下四步进行：
①提出假设；
②选择适当的检验统计量并加以计算；
③确定检验形式，规定显著性水平，并确定临界值；
④将算得的检验统计量与临界值比较，作出拒绝或接受检验假设。
例：某校高一年级进行化学教改实验，实验班共50人，学年末参加统一考试平均得分为79.5分。全年级平均分数为75分，标准差为10.3分。问实验班的平均分与全年级的平均分有无显著差异？
①提出假设：
H0∶μ=75；H1∶μ≠75
②选择检验统计量：这是一个大样本平均数假设检验问题，选用Z统计量：
③规定显著性水平 并确定临界值：
由于没有资料能够说明该班学生的考试成绩必然高于年级平均分，故采用双侧检验。
如果取显著性水平α=0.01，正态分布两尾面积各为0.005，查正态曲线
④统计决断：
假设而接受备择假设。我们可以在99％的可靠性上作出实验班的平均分与全年级平均分有显著差异的结论。增大样本容量可以减少拒绝真实假设和接受错误假设两类错误的发生。　
六、平均数差异的显著性检验
比较两个班、两个学校或不同地区的某些指标是否有差异时，研究的是来自不同总体的两个样本的信息，希望通过这两个样本的数据来比较它们所代表总体间的关系。由于平均数是一组数据的代表量，因此经常通过样本平均数的差异分析它们各自所代表的总体间的差异，这种方法称为双样本平均数差异的假设检验。下面介绍独立大样本和相关样本的平均数差异的显著性检验。　
（一）独立大样本平均数差异的显著性检验：　
随机抽取的不存在相关的两个样本称独立样本。独立大样本的显著性检验，采用Z检验：
n——样本容量，σ——总体方差。
问两个班的成绩有无显著差异？
①提出假设：
H0∶μ1=μ2；H1∶μ1≠μ2
②因为是独立的大样本，选Z检验：
③没有资料说明两个班谁优谁劣，故采用双侧检验：
④统计决断：
实验班与对比班的平均分有显著差异。　
（二）相关样本平均数差异的显著性检验
对同一样本（如班级、学校）的两次测验作出评价时，由于在同一群体中进行，两次测验的分数是相关的。相关样本平均数差异检验的统计量t为：
D为两组样本差，Di=Xi-Yi
t服从自由度df为n-1的t分布。　
例：随机抽取10名学生作被试，并编制好两套测试“复份”，实验前随机抽取一份对学生进行测验，实验后用另一份测试。
问实验是否取得显著效果？
①提出假设：
H0∶μx=μy； H1：μx≠μy
②同一群体两次测试，总体正态，采用t检验。
③没有资料说明实验一定有效，采用双侧检验。取a=0.01，df=n-1=9，查表，临界值t（9）0.005＝3.25
④统计判断：
t＞t（9）0.005，故拒绝H0，接受H1，有99％的可靠性推断此次实验取得明显效果。转贴于论文联盟
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