实验五连续时间信号的采样与恢复；一、实验目的；1．验证采样定理；2．熟悉信号的采样和恢复过程；二、实验原理；信号的采样和恢复示意图如图5-1所示；(t)；……；-TsTs2Tst；smms；图5-1信号的采样和恢复示意图；采样定理指出，一个有限频宽的连续时间信号x(t)；x(t)的幅度频谱为|X(jω)|；观察采样信号的频谱|Xs(jω)|，可发现利用低；信
连续时间信号的采样与恢复
一、 实验目的
1．验证采样定理。
2．熟悉信号的采样和恢复过程。 3．掌握采样频率的确定方法。 4．通过实验观察欠采样时信号频谱的混叠现象，以及恢复出的信号与原信号的差别。 5．观察采样前后信号频谱的变换，加深对采样定理的理解。
二、 实验原理
信号的采样和恢复示意图如图5-1所示。
信号的采样和恢复示意图
采样定理指出，一个有限频宽的连续时间信号x(t)，其最高频率为ωm，经过等间隔采样后，只要采样频率ωs不小于信号最高频率的两倍，即满足ωs ≥ 2ωm，就能从采样信号xs(t)中恢复原信号，得到xr(t)。xr(t)与相比x(t)，没有失真，只有幅度和相位的差异。一般把最低的采样频率ωsmin = 2ωm称为奈奎斯特采样频率。当ωs& 2ωm时，xs(t)的频谱将产生混叠，此时将无法恢复原信号。
x(t)的幅度频谱为|X(jω)|。开关信号s(t)为周期矩形脉冲，其脉宽τ相对于周期T非常小，故将其视为冲激序列，所以s(t)的幅度频谱|S(jω)|亦为冲激序列；采样信号xs(t)的幅度频谱为|Xs(jω)|。
观察采样信号的频谱|Xs(jω)|，可发现利用低通滤波器（其截止频率满足ωm&ωc &ωs -ωm）就能恢复原信号。
信号采样与恢复的原理框图如图5-2所示。
图5-2 信号采样与恢复的原理框图
通过原理框图可以看出，A/D转换环节可以实现采样、量化、编码的过程；数字信号处理环节对得到的数字信号进行必要的处理；D/ A转换环节实现数/模转换，得到连续时间信号；低通滤波器的作用是滤除截止频率以外的频率，恢复与原信号相比无失真的信号xr(t)。
本实验中，采样频率fs始终保持2Hz，可通过改变原始信号的最高频率来进行实验。低通滤波器的截止频率fc =fs / 2，即1 Hz。
连续时间信号的采样与恢复实验界面
三。实验内容及步骤
1．实验步骤：
（1）在主界面下单击“采样与恢复”按钮，进入该子实验界面，如图5-3所示； （2）选择原始信号；（本实验提供两种信号：抽样函数和余弦函数） （3）输入参数的值，注意：输入不同的值就决定了信号的不同最高频率； （4）单击“X(t)”按钮，观察原始信号的时域波形和频谱波形； （5）单击“Xp(t)”按钮，观察采样信号的时域波形和频谱波形；
（6）单击“Y(t)”按钮，观察低通滤波器输出信号的时域波形和频谱波形； （7）重复（2）至（6）步，可进行另一次实验；
（8）单击“返回”按钮，关闭连续时间信号的采样与恢复实验，返回主界面。
2．程序设计实验
（1）设计一模拟信号x?t??2sin?2?ft?。采样频率fs为5120Hz，取信号频率f=150 Hz（正常采样）和f=3000 Hz（欠采样）两种情况进行采样分析。
四．实验报告要求
1．简述实验目的和实验原理。
2．按照实验步骤进行实验，记录实验结果，并与理论计算结果进行比较，验证实验结果。
3．说明采样频率的变化会对信号时域和频域特性产生哪些影响？ 4．对于设计性实验，可自行选做。
5．总结实验中的主要结论，收获和体会。
系统的频域分析
一、 实验目的
1．掌握由系统函数确定系统频率特性的方法。
2．理解系统的频率特性及其幅度特性、相位特性的物理意义。
3．深入理解离散系统频率特性和对称性和周期性。 4．通过本实验了解低通、高通、带通、全通滤波器以及最小相移网络的性能及特点。
二、 实验原理
频域分析法与时域分析法的不同之处主要在于信号分解的单元函数不同。在频域分析法中，信号分解成一系列不同幅度、不同频率的等幅正弦函数，通过求取对每一单元激励所产生的响应，并将响应叠加，再转换到时域以得到系统的总响应。所以说，频域分析法是一种变域分析法。它把时域中求解响应的问题通过傅里叶级数或傅里叶变换转换成频域中的问题；在频域中求解后再转换回时域从而得到最终结果。在实际应用中，多使用另一种变域分析法：对于连续时间系统而言，就是所谓的复频域分析法，即拉普拉斯变换分析法；对于离散时间系统而言，就是所谓的z变换分析法。
系统的频域分析是指通过系统的频率响应函数研究系统的频域特性。所谓频率特性，也称频率响应特性，是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括幅度随频率变化的响应和相位随频率变化的响应两个方面。频率特性完全反映了系统自身的频域特性，它是系统单位冲激响应(单位函数响应)的傅里叶变换。利用系统函数可以确定系统频率特性，二者关系如下：
连续时间系统：
H?j???H?s?s?j??H?j??ej???? 离散时间系统：
Hej??H?z?z?ej??Hej?ej????
幅度响应用H?j??或Hej?表示，相位响应用????或????表示。
注意Hej?是频率的周期函数，且周期为2?，因此Hej?和????均为周期函数，且研究离散系统的频率特性只需要研究??????（或者0???2?）范围内就可以了。又由于当单位函数响应h[n]为实函数时，Hej?是?的实偶函数，
??????是?的实奇函数，所以实际上研究H?ej??和????特性只要在0????范围
内即可。深入理解离散系统的频率特性的对称性和周期性十分重要。
本实验所研究的系统函数H(s)（或H(z)）是有理函数，也就是说分子、分母分别是m、n阶多项式。一般形式如下：
连续时间系统：
?bisi?ajsj
离散时间系统：
?bizi?ajzj
要计算频率特性，可以写出
连续时间系统：
H?j???H?s?s?j??
离散时间系统：
Hej??H?z?z?ej??
可以用代数的方法计算出H?j?（或Hej?）和????（或????）值，利用棣莫佛公式：
?co?s?jsin???cons??jsinn?
???n?n?????n
且j????cos?jsin?，则?j????n?cos。 ?jsin?22?22???
利用这些公式可以化简高次幂，因此分子和分母的复数多项式就可以转化为分别对实部与虚部的实数运算，算出分子、分母的实部、虚部值后，最后就可以计算出幅度和相位的值了。
也可以借助几何方法，利用系统函数零、极点分布图确定系统的频率特性，具体方法在信号与系统教材中有详细讨论，这里不再叙述。
下面几种连续滤波系统的系统函数，实验者可以实验验证。
(1) 一阶高通滤波器 H?s??
(2) 二阶带通滤波器 H?s??
(3) 一阶全通滤波器 H?s??
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1引言频率测量分为硬件和软件测量,使用整形电路和计数器的硬件测量法发展成熟,能满足绝大多数场合要求,且精度将随硬件功能改善而提高。软件测量方法伴随着计算机用于测试发展起来的,基本原理是利用算法提取采样时间序列的时间幅值关系包含的频率信息,优点是对硬件性能要求不高,精度可以通过算法改进来提高。本文对三种典型的软件测量法进行了比较研究:时域中的三点法[1],频域的能量矩平衡法[2]和Buneman算法[3]。2算法原理根据正弦信号的特性,在时域和频域可以找到许多算法。本文研究了几种比较典型的算法。2.1三点法它是一种建立在三角函数变换基础上时域中的数据拟合方法。设信号为u(t)=Umsin(ωt+φ),令ωt+φ=α,则相邻的3个数据样本可表示为ui=Umsinαiui+1=Umsin(αi+θ)ui+2=Umsin(αi+2θ)式中:θ=2πf/Fs—相邻采样点的相位差;使用三角变换有:ui+ui+2=U[msinαi+sin(α...&
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1引言数字叠栅移相干涉技术是随着计算机技术的广泛应用发展起来的一种综合移相技术。它将数字移相技术与叠栅条纹技术相结合[1~4],用计算机生成的四幅移相虚拟标准干涉图分别与采集的单帧实际干涉图叠加,生成数字叠栅移相干涉图,再对其进行滤波和相位解算,得到被测波面面形误差分布。数字叠栅移相技术的应用,只需采集单帧干涉图,避免了因机械移相而造成的各种误差,提高了检测系统的抗干扰能力,降低了对环境的要求,增强了实用性,并简化了系统,提高了测试速度和精度。该技术不仅在光学表面的宏观面形检测和光学系统的像质检测中得到广泛应用,而且在光学表面的微观粗糙度测量中发挥了关键作用。在应用叠栅条纹技术时,为便于差频信息的提取和分离,通常要求相叠加的两个干涉图的条纹空间频率尽可能高[5],从而扩大动态测量范围。在采集高密度干涉条纹时,CCD接收并记录的光强分布并不能真实反映原空间光场的光强分布[6~8]。例如,使用非零检测法对大动态范围...&
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电力系统频率是电能质量的重要指标,其准确测量有助于客观反映电力系统的运行状态,具有重要的理论和实际意义。同步采样情况下,采用快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)可以获得高准确度的频率测量结果。然而,在电力系统中,信号频率往往存在一定波动,且受到谐波等干扰的影响,使严格的同步采样很难实现。在非同步采样条件下,FFT固有的频谱泄漏和栅栏效应影响了频率测量的准确度。因此,如何克服非同步采样偏差对频率测量结果的影响,一直是国内外学者研究的重点。本文提出并研究改进准同步采样电力系统频率测量方法,提高了非同步采样情况下的频率测量精度,为电力系统频率测量方法的发展与应用提供了新思路。本文首先综述了常用频率测量方法的优缺点,介绍了准同步采样算法的基本原理。准同步采样算法通过积分和迭代运算实现局部信号的频谱计算,且允许信号存在一定的非同步采样偏差,但该方法也存在计算量较大、准确度不高等不足。其次,本文根据准同步采...&
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1引言ADCP是一种利用声学多普勒原理测量水流剖面速度的仪器。在ADCP测量系统中,主要采用的信号形式有三种,即用于底跟踪的单频脉冲(CWP),用于测量水深的线性调频信号(Chirp)和用于流速测量的二进制编码调相信号(BPSK)[1]。在对ADCP的测流准确度进行检测时,需要对ADCP的载波频率进行测量和估计,也就是对二进制编码调相信号进行测量。目前所采用的频率估计算法中,常用的算法有傅里叶算法、最小二乘法、卡尔曼滤波、小波分析法等多种算法[2-8]。其中采用较多的是傅里叶算法,该算法要求有足够的采样数据,且要求采样频率是所估计频率的整数倍,否则会产生频谱泄漏,但是ADCP用于测流的调相信号为短时脉冲信号。使用固定采样频率下的数据进行频率计算必会有一定偏差,不能保证每周期所采样点数为整数,使相应的傅里叶算法产生一定误差。因此,可以根据上次估计结果和所要求的估计误差,自适应调整采样率,使得采样频率接近真实频率的整数倍,从而减小估...&
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0引言离散傅里叶变换(DFT)获得精确计算结果的前提之一是采样频率和系统频率同步,否则,就会因频率泄漏而导致较大的计算误差。但事实上,电网频率总会在工频(50Hz)附近波动,所以实际采样是非同步采样[1]。克服非同步采样误差的方法可分为硬件和软件两种。前者是采用硬件频率跟踪电路[2-4],后者是在时域或频域通过插值进行数据修正[5-9]。随着智能电子装置处理能力的不断增强以及数字化电气量测系统的广泛采用,在保护装置中集成测控、录波甚至PMU等功能就成为必然趋势。为此,就要求上述多种功能可以共用软、硬件平台。在这种情况下,若平台采用硬件频率跟踪方法会导致硬件复杂、成本太高。而采用软件方法则又有数据窗长(一般为3~10个周波)、计算量大,或者精度不够等问题。对于保护而言,过长的数据窗还会严重影响保护动作速度。本文提出一种固定采样频率条件下的基波及谐波计算修正算法。该算法基于DFT的梯形积分原理,将系统频率偏移时一个周期内的采样点数分...&
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大家知道,采样频率是数字音频技术中的一个重要概念,它表示模数转换时每秒钟抽取样值的个数。采样频率越高,其模拟原值的精度越高,保真度也就越高。当然,采样频率越高,AD转换时所需空间越大,硬件的投入也就越高。因此,只有在条件允许的情况下,采样频率越高越好。现代数字电路的采样频率已经达到了98kHz。我们日常使用的音频工作站的声卡的采样频率大多定在48kHz,量化精度一般为20bit,这就是我们通常所说的广播级声卡的技术规格,它优于普通CD机,具有较高的技术指标和性价比。现在的数字音频文件具有许多格式,例如,WAV文件、MPEG文件、MP3文件、WMA文件、RM文件、.S48文件等等。各种数字音频文件又根据各自需要,具有各自不同的采样频率:广播用的.S48文件使用的是48kHz,而电信的语音、手机用的彩铃所使用的WAV文件使用的则是8kHz。现在比较高档的AD、DA转换器、数字调音台及各种DSP的采样频率都能达到48kHz,并且有多种...&
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3~6倍信号频率,亦无充分的科学根据,本文针对此间题分析如下。一、,官 在电测信号采集、统计、处理中,无论采用单板机、通用机,还是专用信号分析仪,都必须对数据进行采样,即把连续的模拟量转变为离散的数字量。如何选取采样频率是涉及到统计精度的一个关键问题。在随机信号分析中,采样定理定为: fs》Zf 即采样频率为信号频率的两倍以上,fs又叫奈奎斯特频率。该定理推导的出发点是频率不混淆。利用该定理并通过一定的数学运算,可以确定原信号的频率结构。但是,对于电测信号的统计分析,不仅在频域内进行,而且大量的统计参数是在幅值域内进行的,而后者必须是直接利用采样数据而不加任何推导。那么,所采数据能否唯一恢复原信号呢?观察图1不同采样频率所得的波形,其中a)为原始信号波形,频率为f,b)~e)为不同采样频率所连线得到波形。可以看到,当fs=Zf时的波形,不仅幅值误差很大,而且相位亦产生很大变化,而采样频率愈高,其波形失真便愈小。但采样频率太高,亦...&
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传真：010-学习信号时域和频域、快速傅立叶变换(FFT)、加窗，以及如何通过这些操作来加深对信号的认识。...
学习信号时域和频域、快速傅立叶变换(FFT)、加窗，以及如何通过这些操作来加深对信号的认识。理解时域、频域、FFT傅立叶变换有助于理解常见的信号，以及如何辨别信号中的错误。尽管傅立叶变换是一个复杂的数学函数，但是通过一个测量信号来理解傅立叶变换的概念并不复杂。从根本上说，傅立叶变换将一个信号分解为不同幅值和频率的正弦波。我们继续来分析这句话的意义所在。
所有信号都是若干正弦波的和
我们通常把一个实际信号看作是根据时间变化的电压值。这是从时域的角度来观察信号。
傅立叶定律指出，任意波形在时域中都可以由若干个正弦波和余弦波的加权和来表示。例如，有两个正弦波，其中一个的频率是另一个的3倍。将两个正弦波相加，就得到了一个不同的信号。图1 两个信号相加，得到一个新的信号假设第二号波形幅值也是第一个波形的1/3。此时，只有波峰受影响。
图2 信号相加时调整幅值影响波峰
假加上一个幅值和频率只有原信号1/5的信号。按这种方式一直加，直到触碰到噪声边界，您可能会认出结果波形。
图3 方波是若干正弦波的和
您创建了一个方波。通过这种方法，所有时域中的信号都可表示为一组正弦波。
即使可以通过这种方法构造信号，那意味着什么呢? 因为可以通过正弦波构造信号，同理也可以将信号分解为正弦波。
一旦信号被分解，可查看和分析原信号中不同频率的信号。请参考信号分解的下列使用实例：
分解广播信号，可选择要收听的特定频率(电台)。将声频信号分解为不同频率的信号(例如，低音、高音)，可增强特定频段，移除噪声。根据速度和强度分解地震波形，可优化楼宇设计，避免强烈震动。分解计算机数据时，可忽略频率重要性最低的数据，这样就能更紧凑地利用内存。这就是文件压缩的原理。使用FFT分解信号
傅立叶变换将一个时域信号转换为频域信号。频域信号显示了不同频率对应的电压。 频域是另一种观察信号的角度。
数字化仪对波形进行采样，然后将采样转换为离散的值。因为发生了转换，傅立叶转换在这些数据上无法进行。 可使用离散傅立叶变换(DFT)，其结果是离散形式的频域信号。FFT是DFT的一种优化实现，计算量较少，但是本质上是对信号的分解。
请查看上图1中的信号。有两个频率不同的信号。在该情况下，频域中就会显示两条表示不同频率的竖线。
图4 当相同幅值的两个正弦波相加，在频域中就显示为两条频率竖线原信号的幅值在竖轴上表示。图2中有个不同幅值的信号。频域中最高的竖线对应于最高电压的正弦信号。在频域里观察信号，可直观地看出最高电压发生在哪个频率上。
图5 最高的竖线是幅值最大的频率在频域里也可观察到信号的形状。例如，频域中方波信号的形状。使用不同频率的正弦波创建一个方波。即可预见，在频域中，这些信号都会被表示为一根竖线，每一根竖线都表示组成方波的正弦波。如频域中，竖线显示为一个梯度，就可知道原信号是一个方波信号。
图6 频域中表示正弦波的竖线呈现为一个梯度现实生活中，情况是怎样的呢? 许多混合信号示波器(MSO)都有FFT功能。下图中，你可以观察到混合信号图中，方波FFT是如何显示的。放大后可观察到频域中的尖峰。图7 上图为原正弦波和FFT，下图是放大的FFT，可观察到表示频率的尖峰在频域中观察信号有助于验证和发现信号中的问题。例如，假设有一个输出正弦波的电路。可在示波器上查看时域输出信号，如图8所示。看上去没有任何问题!
图8 如果将两个很相似的波形相加，仍然会得到一个完美的正弦波在频域中查看信号时，如果输出的正弦波频率稳定，应该只在频率中显示为一条竖线。但是，可以看到在更高的频率上仍然有一条竖线，表示正弦波并不如观察到的那么完美。可尝试优化电路，去除特定频率的噪声。在频域中显示信号有助于发现信号中的干扰、噪声和抖动。
图9 查看图8中看似完美的正弦波，可以看出波形中有一个抖动信号加窗
FFT提供了观察信号的新视角，但是FFT也有各种限制，可通过加窗增加信号的清晰度。
什么是加窗?
使用FFT分析信号的频率成分时，分析的是有限的数据集合。FFT认为波形是一组有限数据的集合，一个连续的波形是由若干段小波形组成的。对于FFT而言，时域和频域都是环形的拓扑结构。时间上，波形的前后两个端点是相连的。如测量的信号是周期信号，采集时间内刚好有整数个周期，那么FFT的上述假设合理。
图10 测量整数个周期(上图)可以得到理想的FFT(下图)
在很多情况下，并不能测量到整数个周期。因此，测量到的信号就会被从周期中间切断，与时间连续的原信号显示出不同的特征。有限数据采样会使测量信号产生剧烈的变化。 这种剧烈的变化称为不连续性。
采集到的周期为非整数时，端点是不连续的。这些不连续片段在FFT中显示为高频成分。这些高频成分不存在于原信号中。这些频率可能远高于奈奎斯特频率，在0～采样率的一半的频率区间内产生混叠。使用FFT获得的频率，不是原信号的实际频率，而是一个改变过的频率。类似于某个频率的能量泄漏至其他频率。这种现象叫做频谱泄漏。频率泄漏使好的频谱线扩散到更宽的信号范围中。
图11 测量非整数个周期(上图)将频谱泄漏添加至FFT(下图)
可通过加窗来尽可能减少在非整数个周期上进行FFT产生的误差。数字化仪采集到的有限序列的边界会呈现不连续性。加窗可减少这些不连续部分的幅值。加窗包括将时间记录乘以有限长度的窗，窗的幅值逐渐变小，在边沿处为0。加窗的结果是尽可能呈现出一个连续的波形，减少剧烈的变化。这种方法也叫应用一个加窗。
图12 加窗可尽可能减少频谱泄漏
根据信号的不同，可选择不同类型的加窗函数。要理解窗对信号频率产生怎样的影响，就要先理解窗的频率特性。
窗的波形图显示了窗本身为一个连续的频谱，有一个主瓣，若干旁瓣。主瓣是时域信号频率成分的中央，旁瓣接近于0。旁瓣的高度显示了加窗函数对于主瓣周围频率的影响。对强正弦信号的旁瓣响应可能会超过对较近的弱正弦信号主瓣响应。
一般而言，低旁瓣会减少FFT的泄漏，但是增加主瓣的带宽。旁瓣的跌落速率是旁瓣峰值的渐进衰减速率。增加旁瓣的跌落速率，可减少频谱泄漏。
选择加窗函数并非易事。每一种加窗函数都有其特征和适用范围。要选择加窗函数，必须先估计信号的频率成分。
如果您的信号具有强干扰频率分量，与感兴趣分量相距较远，那么就应选择具有高旁瓣下降率的平滑窗。如果您的信号具有强干扰频率分量，与感兴趣分量相距较近，那么就应选择具有低最大旁瓣的窗。如果感兴趣频率包含两种或多种很距离很近的信号，这时频谱分辨率就非常重要。 在这种情况下，最好选用具有窄主瓣的平滑窗。如果一个频率成分的幅值精度比信号成分在某个频率区间内精确位置更重要，选择宽主瓣的窗。如信号频谱较平或频率成分较宽，使用统一窗，或不使用窗。总之，Hanning窗适用于95%的情况。 它不仅具有较好的频率分辨率，还可减少频谱泄露。如果您不知道信号特征但是又想使用平滑窗，那么就选择Hanning窗。
即使不使用任何窗，信号也会与高度一致的长方形窗进行卷积运算。本质上相当于对时域输入信号进行截屏，对离散信号也有效。该卷积有一个正弦波函数特性的频谱。基于该原因，没有窗叫做统一窗或长方形窗。
Hamming窗和Hanning窗都有正弦波的外形。两个窗都会产生宽波峰低旁瓣的结果。Hanning窗在窗口的两端都为0，杜绝了所有不连续性。Hamming窗的窗口两端不为0，信号中仍然会呈现不连续性。Hamming窗擅长减少最近的旁瓣，但是不擅长减少其他旁瓣。Hamming窗和Hanning适用于对频率精度要求较高对旁瓣要求较低的噪声测量。
图13 Hamming和Hanning都会产生宽波峰低旁瓣的结果
Blackman-Harris窗类似于Hamming和Hanning窗。得到的频谱有较宽的波峰，旁瓣有压缩。该窗主要有两种类型。4阶Blackman-Harris是一种通用窗，在高90s dB处具有旁瓣抑制功能，有较宽的主瓣。7阶Blackman-Harris窗函数有宽广的动态范围，有较宽的主瓣。
图14 Blackman-Harris窗的结果是较宽的波峰，旁瓣有压缩
Kaiser-Bessel窗在幅值精度、旁瓣距离和旁瓣高度之间取得了较好的平衡。Kaiser-Bessel窗与Blackman-Harris窗类似，对于相同的主瓣宽度而言，较近的旁瓣更高，较远的旁瓣更低。选择该窗通常会将信号泄漏至离噪声较近的位置。
Flat top窗也是一个正弦波，穿过0线。Flat top窗的结果是在频域中产生一个显著宽广的波峰，与其他窗相比离信号的实际幅值更近。
图15 Flat top窗具有更精确的幅值信息
上面列举了几种常见的窗函数。 选择窗函数并没有一个通行的方法。下表可帮助您做出初步选择。请始终比较窗函数的性能，从而找到最适合的一种窗函数。总结
所有时域中的信号都可表示为一组正弦波。FFT变换将一个时域信号分解为在频域中表示，并分析信号中的不同频率成分。在频域中显示信号有助于发现信号中的干扰、噪声和抖动。信号中如果包含非整数个周期，会发生频率泄漏。可通过加窗来改善该情况。数字化仪采集到的有限序列的边界会呈现不连续性。加窗可减少这些不连续部分的幅值。没有窗叫做统一窗或长方形窗，因为加窗效果仍然存在。一般情况下，Hanning窗适用于95%的情况。它不仅具有较好的频率分辨率，还可减少频谱泄露。请始终比较窗函数的性能，从而找到最适合的一种窗函数。
本文来源于National Instruments网站（ni.com）技术白皮书栏目。
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