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证明：简谐运动关于时间的图像是正弦函数(非高数证法)
为什么弹簧振子关于时间的图像是正弦函数？物理选修 3-4 中对弹簧振子关于时间的图像的性质进行了详细的分析， 但如何从理论上 证明弹簧振子关于时间的图像是正弦函数呢？ 正弦函数与圆关系紧密， 而匀速圆周运动在 x 轴上的运动与简谐运动十分相似，本次证 明将以此为切入点。设有点 P 在 x 轴上在简谐运动，平衡位置为原点，劲度系数为 k ，振幅为
l ，最大速度 为 v 0 。点 Q 在以 l 为半径的圆上，以 v 0 的速度做匀速圆周运动。 （以下均为代数式）F p ? k ? OPQ 的向心力为F向 ? mv0 l2Q 的向心力在 x 轴上的分力为 F x ? mv0 l2sinv0t lOP ? l sin 1 2 mv 0 ?2v0t l 1 2 kl2Fx OPm ?v0 l2sinv0t l ? mv 0 l22l sinv0t l? k可知点 Q 在 x 轴上的投影就是点 P又已知 OP ? l sinkl m2v0t lv0 ?可知 OP ? l sinv0t l? l sink mt可知弹簧振子关于时间的图像为正弦函数。振幅为 l ，周期为 T ? 2 ?m k孙腾编辑
(其图像见图 1.4,1.5), 其中正弦、余弦函数的周期...即速度关于时间的变化率,在物理上称为加速度.由于...3. 计算举例 (1) (2)证明:积分 证设 ,则 当...运动,其路程 fi(x)(i=1,2, 3,4},关于时间 ...的部分图象求解析式,正弦函数的单调性,不 等式的...并说明函数的单调性、奇偶性(无需证明);(2)设...t ? 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t (时...1)三角函数中的恒等变换应用; (2)正弦函数的图象....试题解析:( 1 )证明:在梯形 ABCD 中,因为 AB ?...2、对于振动与波,应掌握简谐运动图象是质点振动位移关于时间的正弦变化图像,而波 的图象则是反映在波传播方向上无数质点(集合)在某一时刻的位移情况,应特别注意...“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(...质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始...关于时间 t 的函数图像大致为 【答案】C 解析:...振源 S 在 O 点做竖直方向的简谐运动,频率为 ...随时间按图乙所示 规律变化,其中图示磁场方向(即...G ①他按图 l 所示电路、用半偏法测定电流表○...
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9.3简谐运动的图像
文章编辑：吴老师
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第3讲 简谐运动的图像和公式[目标定位] 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．一、简谐运动的图像1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x随时间t变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线．3.由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．想一想 在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？答案 匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x＝vt，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．二、简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)其中ω＝，f＝，综合可得x＝Asin(t＋φ)＝Asin(2πft＋φ)．式中A表示振动的振幅，T和f分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同．三、简谐运动的相位、相位差1．相位在式x＝Asin(2πft＋φ)中，“2πft＋φ”这个量叫做简谐运动的相位．t＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．2．相位差指两振动的相位之差．一、对简谐运动图像的认识1．形状：正(余)弦曲线2．物理意义表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．3．获取信息(1)简谐运动的振幅A和周期T，再根据f＝求出频率．(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1－3－1所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.图1－3－1图1－3－2(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－2中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻质点向x轴正方向振动．(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小．注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．图1－3－3【例1】 如图1－3－3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )A．由P→Q，位移在增大B．由P→Q，速度在增大C．由M→N，位移先减小后增大D．由M→N，加速度先增大后减小解析 由P→Q，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，选项B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a＝＝－可知，加速度先减小后增大，选项C正确，选项D错误．答案 AC借题发挥 简谐运动图像的应用(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．针对训练1 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图1－3－4所示，由图可知( )图1－3－4A．质点振动的频率是4HzB．质点振动的振幅是2cmC．t＝3s时，质点的速度最大D．在t＝3s时，质点的振幅为零解析 由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以选项A错误，B正确；t＝3s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t＝3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以选项D错误．答案 BC二、简谐运动的表达式与相位、相位差做简谐运动的物体位移随时间t变化的表达式x＝Asin(2πft＋φ)1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A，频率f和初相φ.可根据T＝求周期，可以求某一时刻质点的位移x.2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解(1)取值范围：－π≤Δφ≤π.(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相．(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前．Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．【例2】 一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1＝5sincm的规律振动．(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．(2)另一简谐运动的表达式为x2＝5sincm，求它们的相位差．解析 (1)已知ω＝8πrad/s，由ω＝得T＝s，f＝＝4Hz.A＝5cm，φ1＝.(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝π－＝π.答案 (1)s 4Hz 5cm (2)π针对训练2 有两个振动，其表达式分别是x1＝4sincm，x2＝5sincm，下列说法正确的是( )A．它们的振幅相同B．它们的周期相同C．它们的相位差恒定D．它们的振动步调一致解析 由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4cm、5cm，故不同；ω都是100πrad/s，所以周期(T＝)都是s；由Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝得相位差(为)恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致．答案 BC简谐运动的图像 图1－3－51．如图1－3－5表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是( )A．t1、t2时刻的速度相同B．从t1到t2这段时间内，速度与位移同向C．从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小D．t1、t3时刻的回复力方向相反解析 t1时刻振子速度最大，t2时刻振子速度为零，故A不正确；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度、位移均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误．答案 BC图1－3－62．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图1－3－6所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是( )解析 试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D.答案 D简谐运动的表达式3．一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s.则( )A．弹簧振子的振幅为0.2mB．弹簧振子的周期为1.25sC．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零D．若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2sin，则振动A滞后B解析 由振动方程为y＝0.1sin2.5πt，可读出振幅A＝0.1m，圆频率ω＝2.5π，故周期T＝＝＝0.8s，故A、B错误；在t＝0.2s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A，或说A滞后B，选项D正确．答案 CD4．物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sinm，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sinm．比较A、B的运动( )A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB．周期是标量，A、B周期相等，都为100sC．A振动的频率fA等于B振动的频率fBD．A的相位始终超前B的相位解析 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m,10m，但振幅分别为3m,5m，A错；A、B的周期均为T＝＝s＝6.28×10－2s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝，为定值，D对．答案 CD题组一 简谐运动的图像1．关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )A．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向C．表示质点的位移随时间变化的规律D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向解析 振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B、D正确．答案 BCD2．如图1－3－7所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )图1－3－7A．振动周期是2×10－2sB．第2个10－2s内物体的位移是－10cmC．物体的振动频率为25HzD．物体的振幅是10cm解析 振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2s．又f＝，所以f＝25Hz，则A项错误，C项正确；正、负最大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10cm，则D项正确；第2个10－2s的初位置是10cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10cm，则B项正确．答案 BCD图1－3－83．一质点做简谐运动的振动图像如图1－3－8所示，则该质点( )A．在0～0.01s内，速度与加速度同向B．在0.01s～0.02s内，速度与回复力同向C．在0.025s时，速度为正，加速度为正D．在0.04s时，速度最大，回复力为零解析 F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负．在x－t图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确．答案 AC4．图1－3－9甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是( )图1－3－9A．在t＝0.2s时，弹簧振子可能运动到B位置B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同答案 A图1－3－105．如图1－3－10所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )A．在第1s内，质点速度逐渐增大B．在第1s内，质点加速度逐渐增大C．在第1s内，质点的回复力逐渐增大D．在第4s内质点的动能逐渐增大E．在第4s内质点的势能逐渐增大F．在第4s内质点的机械能逐渐增大解析 在第1s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒，选项B、C、D正确．答案 BCD6．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是( )解析 根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．答案 A图1－3－117．图1－3－11为甲、乙两单摆的振动图像，则( )A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4解析 由图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.答案 BD8．如图1－3－12甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图回答：图1－3－12(1)单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移x最大的时刻为____________．(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中的________点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________．势能增加且速度为正的时间范围是________．解析 (1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动的时间即周期T＝2s，进而算出频率f＝＝0.5Hz，算出摆长l＝＝1m.从题图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5s末和1.5s末．(2)题图中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O点对应E点，A点对应G点．A点到B点的过程分析方法相同，因而O、A、B、C点对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，靠近平衡位置过程中速度逐渐减小且加速度与速度方向相同，即从F到E的运动过程对应题图中C到D的过程，时间范围是1.5s～2s．摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，又因速度为正，显然是从E到G的过程．对应题图中为O到A的过程，时间范围是0～0.5s.答案 (1)3cm 0.5Hz 1m 0.5s末和1.5s末(2)E、G、E、F 1.5s～2s 0～0.5s题组二 简谐运动的表达式与相位、相位差9．有一个弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时具有负方向最大加速度，则它的振动方程是( )A．x＝8×10－3sinmB．x＝8×10－3sinmC．x＝8×10－1sinmD．x＝8×10－1sinm解析 ω＝＝4π，当t＝0时，具有负向最大加速度，则x＝A，所以初相φ＝，表达式为x＝8×10－3?sinm，A对．答案 A10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，，则质点( )A．第1s末与第3s末的位移相同B．第1s末与第3s末的速度相同C．第3s末与第5s末的位移方向相同D．第3s末与第5s末的速度方向相同解析 根据x＝Asint可求得该质点振动周期为T＝8s，则该质点振动图像如右图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．答案 AD11．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－13所示，下列叙述中正确的是( )图1－3－13A．质点的振动频率为4HzB．在10s内质点经过的路程为20cmC．在5s末，质点做简谐运动的相位为πD．t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是cm解析 由振动图像可直接得到周期T＝4s，频率f＝＝0.25Hz，故选项A错误；一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8cm,10s为2.5个周期，故质点经过的路程为20cm，选项B正确；由图像知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sinm.当t＝5s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝π，故选项C错误；在1.5s和4.5s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x＝Asin135°＝A＝cm，故D正确．答案 BD图1－3－1412．如图1－3－14所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝8cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2s，则小球的振动周期为________s，振动方程为x＝________cm.解析 从N点到O点刚好为，则有＝0.2s，故T＝0.8s；由于ω＝＝，而振幅为4cm，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x＝4costcm.答案 0.8 4cost13.图1－3－15如图1－3－15所示为A、B两个简谐运动的位移－时间图像．请根据图像写出：(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________cm，周期是________s.(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在时间t＝0.05s时两质点的位移分别是多少？解析 (1)由图像知：A的振幅是0.5cm，周期是0.4s；B的振幅是0.2cm，周期是0.8s.(2)由图像知：t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φ＝π，由T＝0.4s，得ω＝＝5π.则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π)cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8s得ω＝＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm.(3)将t＝0.05s分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin(5π×0.05＋π)cm＝－0.5×cm＝－cm，xB＝0.2sincm＝0.2sinπcm.答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)xA＝0.5sin(5πt＋π)cm，xB＝0.2sincm (3)xA＝－cm，xB＝0.2sinπcm.14．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度．图1－3－16(1)求振子的振幅和周期；(2)在图1－3－16中作出该振子的位移―时间图像；(3)写出振子的振动方程．解析 (1)xBC＝20cm，t＝2s，n＝10，由题意可知：A＝＝＝10cm，T＝＝＝0.2s.(2)由振子经过平衡位置开始计时经过周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向最大位移处．所以位移―时间图像如图所示．(3)由A＝10cm，T＝0.2s，ω＝＝10πrad/s，故振子的振动方程为x＝10sin(10πt＋π)cm.答案 (1)10cm 0.2s(2)如解析图所示(3)x＝10sin(10πt＋π)cm
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