转载：线性方程组（可惜欠定问题没详解）
线性方程组
维基百科，自由的百科全书
跳转到： 、
显示▼隐藏▲向量
显示▼隐藏▲矩阵与行列式
· 线性方程组 ·
显示▼隐藏▲线性空间与线性变换
三变量的线性系统确定了一组。交点就是解。
在数学中，线性方程组是的一种，它符合以下的形式：
其中的以及等等是已知的常数，而等等则是要求的未知数。
如果用中的概念来表达，则线性方程组可以写成：
这里的A 是m&n ，x
是含有n 个元素，b
是含有m 个元素列向量。
这是线性方程组的另一种记录方法。在已知矩阵
的情况求得未知向量
是的基本问题之一。
以下是一个由两个方程构成的线性方程组：
方程组中有两个未知数。用线性代数中的表示方法，这个方程组可以记录为：
这个线性方程组有一组解：。可以直接验证：
可以证明，这组解也是方程组唯一的解。
不是所有的线性方程组都有解。以下是一个没有解的例子：
显然，如果有
和满足了第一行的式子的话，它们的和等于2。而第二行则要求它们的和等于0.5，这不可能。
也有的线性方程组有不止一组解。例如：
是一组解，而也是一组解。事实上，解的个数有无限个。
线性方程组的解
方程组的解是所有直线的公共点
如果有一组数x1、x2、……xn使得方程组两边的等号都成立，那么这组数就叫做方程组的解。一个线性方程组的所有的解的会被简称为解集。根据解的存在情况，线性方程组可以分为三类:
有唯一解的恰定方程组，
解不存在的超定方程组，
有无穷多解的欠定方程组（也被通俗地称为不定方程组）。
当未知数只有两个（x和y）的时候，方程组里面的每一个方程可以看成Oxy（正交直角坐标系）上的一条的方程。直线上的的坐标就是满足这个方程的一组数。从这个角度看来，方程组的解就是所有这种直线的。而若干条直线的公共部分要么是一条直线，要么是一个点，要么是，因此对应的，线性方程组的解要么有无穷个，要么恰好有一个，要么不存在。
如果未知数有三个，那么每一个方程则代表了里面的一个平面，而方程组的解集也就是一些平面的共同部分。所有解的集合可以对应一个平面，一条直线，一个点或空集。
这个问题的一般情况可以从线性空间的角度去分析，即我们可以将线性方程组的求解问题看成向量
所张成的里面的投影的问题。未知数的个数如果是一般的n
个的话，可以想象每个方程代表了里面的一个。而方程组的解就是所有超平面的公共点。
齐次线性方程组
齐次的线性方程组是指向量的情况。这时候方程变成：
这个方程肯定会有一组解：。实际上，方程的解就是矩阵对应的的。一般来说，当方程的个数小于未知数的个数时，方程组会有除以外的解。当方程组个数变多时，则要看其中“有效”的方程的个数。有时候某一个方程可以表示成另外几个方程的线性组合。比如方程组：
之中，第三个方程就可以表示为前两个方程的线性组合：
这时第三个方程组就可以不必考虑了。用线性代数的词汇表达，“有效”的方程的个数就是矩阵中线性无关的行向量的个数，或者说行向量线性张成的空间的维数。这个数也被称为。当矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组的解会有无穷多个，构成一个维的线性空间。而当等于未知数的个数时，方程组有唯一解，而当大于未知数的个数时，方程组只会有零解。
在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。这时常常需要退一步，将线性方程组的求解问题改变为求最小误差的问题。形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。比较常用的方法是。最小二乘法求解超定问题等价于一个，或者说最小值问题，即，在不存在
的情况下，我们试图找到这样的
最小， 其中
克莱姆法则
基于线性方程组的解空间理论，线性方程组有唯一解当且仅当有效方程数等于未知数的个数。这时，可以运用各种方法具体求出唯一存在的解。是一种求解线性方程组的方法，大多数教材都会提到。例如对于如下的线性方程组：
运用克莱姆法则，这个方程组的解可以如下:
分别是如下三个：
对于更一般的情况：
解可以由同样的公式给出：
是将矩阵的第i纵列换成向量b之后得到的矩阵。
可以看出，这些表达式只有在存在并且不等于0的时候才是有意义的，这点只有在有效方程数等于未知数的个数的时候才能得到保证。
在实际运算中，当矩阵的维数较高时，计算是非常困难的。
也就是说，计算行列式的随维数的增长非常快，对于一个的矩阵，用初等的方法计算其行列式，需要的计算时间是
（n的阶乘）。 因此，克莱姆法则在实际计算中并未被采用。其意义仅仅在于出现在教材上，用以说明好的数值方法的重要性。
经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。前者例如,
等，后者的例子包括等。这些方法的计算复杂度在可以接受的范围内，因此被广泛采用。
例如，高斯消去法的复杂度为.
一般来说，直接法对于阶数比较低的方程组（少于2个未知数）比较有效；
而后者对于比较大的方程组更有效。在实际计算中，几十万甚至几百万个未知数的方程组并不少见。
在这些情况下，迭代法有无可比拟的优势。另外，使用迭代法可以根据不同的精度要求选择终止时间，因此比较灵活。
在问题特别大的时候，计算机内存可能无法容纳被操作的矩阵，
这给直接法带来很大的挑战。而对于迭代法，则可以将矩阵的某一部分读入内存进行操作，然后再操作另外部分。
现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动。这些现象大多是用若干个描述。用求解微分方程（组），不论是还是，
通常都是通过对微分方程（连续的问题， 未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，
因为未知数的维数是有限的）。因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常广泛。
许多具体的应用会得到结构比较特别的线性方程组，
比如用差分方法和有限元方法离散微分方程后通常会得到三对角或五对角的方程组，网络问题有时会得到对称的线性方程组（）,
因此除了通用的线性方程组求解器，在一些专业领域， 研究人员们也开发了适用于特定问题的求解器， 比如适用于的求解器，适用于三对角矩阵的求解器，
适用于对称矩阵的求解器等。
由于线性方程组的求解是一个非常普遍的问题，在多年的科学与工程实践中，科学家和工程师们积累了很多高效率的线性方程组求解器，例如：LAPACK,
BLAS等。这些软件中，许多可以可以在
免费获得。LAPACK 和
BLAS 在大多数
的发行版本中都已经预装。 目前
(包括90和77版本）, C,
和 C++ 等几个语言的版本。 利用 LAPACK 和 BLAS 中的子程序，
对这些线性方程组求解器进行了封装。用户不需要选择求解器的类型和问题的类型，
根据对矩阵的分析自动选择合适的求解器，为初学者和其他不愿意深究这些算法的其他专业人员提供了很大便利。
其他方法与软件
上面讲的是线性方程组的数值解法。对于比较小的线性方程组，求得符号解是可能的。常用的软件有 Mathematica, Maple
等。在某些领域的研究中，这种需要并且可能求符号解（精确解）的情况偶尔会遇到。未知数的个数一般限制在几十个左右。显然，符号解在对于实际中遇到的有几百万个未知数的问题是无能为力的，
比如，大型结构，天气预报，湍流模拟等问题中得到的线性方程组。
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
关于齐次线性方程组同解的问题设AX=0与BX=0为两个齐次线性方程组,如何证明若AX=0的解都是BX=0的解,且R(A)=R(B),则AX=0与BX=0同解
给我温暖0346
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
AX=0的解都是BX=0的解,∴A,B的列数相等﹙例如都是n﹚,且R(A)=R(B)＝rAX=0,BX=0的基础解系的容量都是n-r.AX=0的基础解系 ,都是BX=0的解,正好构成BX=0的基础解系,即BX=0的任何解,都是AX=0的基础解系的线性组合,从而也是AX=0的解 .∴两个方程组同解.
为您推荐：
其他类似问题
线性性质就是满足两个内容：齐次性和可加性。齐次性就是等号左边（我们一般称为激励）增大a倍，等号右边（成为响应）也增大a倍。。可加性不用说了吧。
扫描下载二维码第四节 线性方程组解的结构
第四节 线性方程组解的结构
& Ax=b&& b ≠ 0
原理，公式和法则
1. nAx=0的充分必要条件是R(A)&n
2. nAx=b是系数矩阵A等于增广矩阵B。且当R(A)=R(B)=nR(A)=R(B)=r&n
的集合SR(A)=rn-r
重点，难点分析
结构；齐次线性方程组Ax=0Ax=b的关系；如何求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的通解；真正理解向量组的线性相关性与其所对应的齐次线性方程组有什么样解的关系；一个向量是否能由一组向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组是否有解的关系。难点是如何理解这些关系，和正确解出齐次线性方程组和非齐次线性方程组的通解。
的齐次线性方程组的基础解系；
R(A)=R(B)=2&4
矩阵中首非零元1(R(A)向量的个数)
法不唯一，并写出表示试。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
R(A)=2R(B)=3B
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
R(A)= R(B)=1&3
&&&&&&&&&&&&
Distant Education College, Jilin University您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
第四节 线性方程组解结构(讲稿) .doc 14页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
需要金币：250 &&
你可能关注的文档：
··········
··········
第四节线性方程组解的结构教学目的：1.掌握齐次与非齐次线性方程组解的性质；掌握齐次与非齐次线性方程组解的结构.2.能正确运用解的性质与解的结构原理求出方程组的通解，证明相关问题.教学方法：讲授与指导练习相结合教学过程：一、齐次线性方程组解性质与解的结构1.齐次线性方程组(1)方程组(2)矩阵形式:其中:,.2.方程组的解集──的全体解组成的集合,即.显然,故非空.3.性质【性质1】若是的解，则也是的解.【性质2】若是的解,为常数也是的解.4.方程组的基础解系──齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.基础解系不一定惟一.但各个基础解析间是等价的.其中所含向量个数是确定的.5.【定理7】设,则方程组的秩为.6.方程组的解结构──设，则有基础解系；称为方程组的通解，其中为任意常数.解集为任意常数.例1求下列齐次线性方程组的基础解系与通解解,得最简同解方程组有两个自由未知量，取为取，则【对应有】得基础解系:,那么通解为:，其中:为任意常数.若取，则得基础解系.因为与等价，所以通解形式虽然不一样，但都表示方程组的解.另解：取，则得基础解系.的通解为，其中为任意常数.例2求元齐次线性方程组的一个基础解系与通解.解取，为自由未知量，令分别为，则得是原方程组的一个基础解系.通解为.例3求4元齐次线性方程组的一个基础解系解：，取为自由未知量，所以是原方程组的一个基础解系，通解为.例4若,则.证明记，则可化为，从而的列向量均为的解,设为的解集，由知若,则只有解,那么,于是；若,则,即,故.例5设矩阵A为型矩阵，并且，B为n阶方阵，求证：如果AB=A，则B=E证明：AB=A可化为设其中则矩阵方程可化为从而，所以为齐次线性方程组的解向量又∵型矩阵，∴仅有零解=0，从而故B=E证法二：AB=A可化为，且由知为列满秩矩阵，从而.提问：1.设的系数矩阵A的秩等于其列数,则齐次线性方程组无解.(×)2．设，则线性方程组的基础解系中只含有4个线性无关的解．（×）3.为齐次线性方程组解,则为的解.（√）4.已知是方程组的一个基础解系，是方程组的一个基础解系，则下列（C）为方程组的一个基础解系.A．；B.；C.；D..二、非齐次方程组解的结构1.非齐次线性方程组(1)方程组(2)矩阵形式:（）其中:,,.2.方程组的解集──的全体解组成的集合,即.3.【性质3】若是的解，则是的解.证明:,.【性质4】是的解,是的解，则是的解.证明:,,.4.线性方程组的──设的特解,，则有基础解系,且的解集为任意常数,称为方程组的通解.是非齐次线性方程组的解，则是对应的解.（√）6.8个未知数，6个方程的非齐次线性方程组有解，且4，则对应的基础解系中含有2个解．（×）7.如果向量组是线性方程组的一个基础解系,则向量组,也是的一个基础解系.(√)8.如果向量组是线性方程组的一个基础解系,则向量组,也是的一个基础解系.(×)例5求解方程组：,，有无穷解，取为自由未知量，得同解方程组：得的特解为：,分别取得的基础解系为：,为的通解，其中:为任意常数.例6设为4×5矩阵的秩，已知非齐次线性方程组有解，且，，，求的通解.解依题意知对应齐次方程组的基础解系中含有2个解，由线性方程组解的性质知，为对应齐次方程组的解，且，所以为导出组的一个基础解系，故的通解为.例7设.问为何值时，向量可以由向量组线性表示，在表达式惟一时，求其表达式.解令，则（1）当时,可由线性表示且表示法不唯一.(2)当时,不可由线性表示.（3）当时，，可由惟一线性表示.表达式为.例8为何值时,下面方程组有唯一解、无穷解、无解?若当时,方程组无解.当,由于当时,方程组有唯一解,其解为；⑶当即时,,由于,此时方程组有个自由未知量且同解方程组为,所以,当时,方程组有无穷解,其解为或；其中,是任意常数.例9设矩阵，其中线性无关，，向量，求方程组的通解.解依题意，所以对应齐次方程组的基础解系中含有1个解向量.由知为的非零解，也是的一个基础解系；再由知为的一个解；故方程组的通解为.例10已知，证明.证因为，所以，且；从而，且；由的列向量为方程组的解向量，所以，故.例11(07-08(一)期末考试)设A,B都是n阶方阵,且.如果,试证明A的伴随矩阵A*为零矩阵.证明:设,则的解向量的列向量为的解,由于,所以的解空间的秩,所以.由伴随矩阵的定义知A*的元素由A的各个元素的代数余子式的值,所以A*的元素全为零,故A的伴随矩阵A*为零矩阵.另证:由矩阵的秩不等式知又,从而,所以A*的元素全为零,故A的伴随矩阵A*为零矩阵.小结：1.熟练掌握线性方程组的解性质与解结构.求解线性方程组时一般可以用初等变换法求解，但注意变换的基本技巧和要求；当未知数个数与方程个数相同时也可用克莱姆法则求解.2.对于线性方程组的证明问题应注意
正在加载中，请稍后...