2017考研数学：行列式计算方法大放送
行列式是线性代数的基础，行列式的计算方法掌握不好，将会影响很多题的解答。在此给大家介绍行列式的计算方法，希望对大家的复习有所帮助。
行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能为更好的复习2017考研数学线性代数打好基础，大家切莫忽视。
（一）首先，行列式的性质要熟练掌握
性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行（列），行列式的值变号。
推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行（列）各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行（列）。
推论2若行列式有两行（列）元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行（列）的元素，其余各行（列）与原行列式相同。
性质5将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。
行列式展开法：行列式按某行（列）展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：
定理1：n阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
（二）几种特殊行列式的值
在计算高阶行列式前，一般都要先利用行列式的性质将原行列式化简。至于用哪几条性质、采用什么方法化简以及采用哪条途径来计算，要根据行列式的元素及其构成的特点而定，常用的方法有：提取公因子（数）法、其他所有行（列）都加到某一行（列）、箭头形行列式、递推公式法等。
抽象行列式的计算：
抽象行列式是指行列式中并没有给出具体的（数字或文字）元素，而这时的行列式常用矩阵或向量组的形式来标记，因此抽象行列式的计算往往要综合运用行列式的性质、矩阵或向量的运算性质，有些题还会用到行列式与矩阵特征值的关系。
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ACM矩阵行列式计算
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ACM行列式计算 计算行列式的基本方法就是把矩阵化成上三角或下三角，然后观察对角线的元素，如果其中有个一元素为0则整体为0，否则行列式的值就是对角线上各个元素的乘积。 & & &先说明一下行列式的几个性质：
& & 举个例子 & &&
& && 要将此行列式转化成上三角，根据以上行列式的性质，要将2,3,4行的第一列数字转化成0时，分别要加上第一列的-2/3倍,-3/4倍,-2/3倍； 但是我们不想乘上分数，因为计算机计算的时候会造成一定的精度误差。所以我们采用另一种方式，利用最大公约数（gcd）来讲行列式装换成上三角行列式 & & & & 以第一行和第二行为例 3=2*1+1 & ------& &2=1*2+0 第一步： & & & &
如上图前两行，第一步讲3,2根据gcd的3=2*1+1 & ------& &&2=1*2+0 &转化成1,2，此时还没有化成0，继续转化2=1*2+1 & ------& &&1=1*1+0 讲1,2转化成1，0，转化完成； 检查变化次数，根据上面行列式的性质，如果为偶数次，行列式D=D'，如果是奇数次D=-D'& 一二行的第一个数转化好之后，就转化1,3行的，一次类推 给出行列式代码以供参考：
#include&iostream&
#include&cstdio&
#include&cmath&
typedef __int64
lld a[205][205];
lld N,MOD;
void solved()
lld ans=1;
for(int i=0;i&N;i++)//当前行
for(int j=i+1;j&N;j++)//当前之后的每一行，因为每一行的当前第一个数要转化成0（想想线性代数中行列式的计算）
int x=i,y=j;
while(a[y][i])//利用gcd的方法，不停地进行辗转相除
lld t=a[x][i]/a[y][i];
for(int k=i;k&N;k++)
a[x][k]=(a[x][k]-a[y][k]*t)%MOD;
swap(x,y);
if(x!=i)//奇数次交换，则D=-D'整行交换
for(int k=0;k&N;k++)
swap(a[i][k],a[x][k]);
if(a[i][i]==0)//斜对角中有一个0，则结果为0
ans=ans*a[i][i]%MOD;
if(sign!=0)
printf(&%I64d\n&,ans);
int main()
scanf(&%d&,&t);
while(t--)
scanf(&%I64d%I64d&,&N,&MOD);
for(int i=0;i&N;i++)
for(int j=0;j&N;j++)
scanf(&%I64d&,&a[i][j]);
贴上一个题目：
Game 时间限制(普通/Java) : 5000 MS/ 10000 MS & & & && 运行内存限制 : 65536 KByte
总提交 : 23 & & & && & 测试通过 : 6&
&& lxhgww feels quite bored these days,so he invented some weird game to kill time.&Counting is Easy& is undoubtedly the weirdest,it's played on a N*N chess board.You are supposed to put N rooks on the chess board,and there shouldn't be two these are in the same row or column.There are many different assignment,and it's clear that the exact number is N!,so this is not your task.In this game,there is a positive integer number on each cell of the board,an assignment's value is the product of all the numbers whose cells are occupied by rooks.To make the game more interesting,an assignment may be nagetive or possitive,the sign is decided by the number of &Z Pairs&.If there is a pair of rooks in the assignment,and one is on the right-top direction(any angle is accepted) to another,this pair is a Z Pair.If there are odd number of Z Pairs,this assignment is negative,otherwise is positive.The goal of this game is to summarize all the N! assignment's value,don't forget to use minus operation while the assignment is negative.The final answer S is too large to write down,so your task is just to calculate S%P's value.
The first line of input contains an integer T, indicate the number of test cases in the input.Each test case begins with two integer numbers N(where 2&=N&=200) and P(2&=P&=).The next N lines each contains N integer numbers,which describes the value of each chess board cell,all the numbers are in the range of [0,].The input is terminated by an invalid test case with N = P = 0, which should not be processed.
For each test case,output one single line contains the answer S%P.
1 2&10 4&9 2&8
&&&&There are two assignments(# means Rook):
&&&&&&&&*#
&&&&&&&&#*
&&&&&&&&#*
&&&&&&&&*# &&&
First assignment's value is 2*9=18,and there are one Z-Pair,so it's negative. &&&
Second assignment's value is 4*8=32,and there are no Z-pair,so it's positive. &&&
So the total value S= -18 + 32 =14,and S%P=14%10=4
So the total value S= -18 + 32 =14,and S%P=14%10=4
08年四川省省赛
ACM行列式计算 计算行列式的基本方法就是把矩阵化成上三角或下三角，然后观察对角线的元素，如果其中有个一元素为0则整体为0，否则行列式的值就是对角线上各个元素的乘积。
先说明一下行列
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行列式计算开题报告(共10篇)
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3秒自动关闭窗口概述/行列式
行列式行列式在中，是一个函数，其定义域为det的A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性、多项式，还是在学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“”的。
历史/行列式
行列式的最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念1545年，卡当在著作《大术》（Ars Magna）中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”（regula de modo）。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。
1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次。
1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i 行第j 列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。
任意阶数的行列式
1730年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版。
1750年，瑞士的加布里尔·克莱姆首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n 元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在奇置换和偶置换上的。
此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安·裴蜀的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。同是法国人的亚历山德·勒·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）则在1771年的论著中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端。
1772年，皮埃尔-在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。一年后，约瑟夫·路易斯·拉格朗日发现了的行列式与空间中体积的联系。他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。
行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡尔·弗里德里希·高斯在他的《算术研究》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。在同一本著作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法。
行列式的现代概念进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奥古斯丁·路易·柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是在1841年率先使用的）。柯西还证明了行列式的乘法定理（实际上是），这个定理曾经在雅克·菲利普·玛利·比内（Jacque Philippe Marie Binet）的书中出现过，但没有证明。
十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中[18]。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。
与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。之后，和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了λ-矩阵的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。1832年至1833年间卡尔·雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·查尔·卡塔兰（Eugène Charles Catalan）发现了所谓的雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的，讨论的线性相关性与雅可比行列式的关系。
定义方式/行列式
重要的数学和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n2 个（数）αij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成
的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：
① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个组成的，可记为
式中p1,p2,…,pn是1,2,…,n的一个排列。
② 每项应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p1p2…pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α12α23α31排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前,所以α12α23α31应带正号；而α12α21α33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在 1之前，所以应带负号。
(1)称为n阶行列式,有时简记为｜αij｜，其中αij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即αii,称为主(α11α22…αnn)上的元。
因为n个元的所有排列共有n！个,所以｜αij｜共有n！个项。由此可知，
式中是对1,2,…,n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如，
行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有和公理化定义等。
基本性质/行列式
任一行列式都有以下性质:
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则｜αij｜是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与｜αij｜的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
行列式的计算/行列式
简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。 一般方法是把它按行（或列）展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行（或列）展开：
是从|αij|中划去第i行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式,称为αij的余子式；Aij称为αij的代数余子式。在上式中把Ait(或Ati)换成Ajt(或Atj)，i≠j,即第i行(或列)中各元与第j行（或列）中各元的代数余子式相乘，其结果为零。以上结果可综合写成：
式中δ是克罗内克符号。δ表示当i=j时,δij=1,i≠j时，δij＝0。上面是按某一行(或列)展开，还可以按某几行（或列）展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行（或列），则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由A.-L.柯西于1812年首先证明。k阶子式的代数余子式是上述1阶子式αij的代数余子式Aij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式,M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的（n-k）阶子式,则M称为N的余子式。如果N所在的行是i1,i2,…,ik,所在的列分别是j1，j2,…,jk，那么行列式称为N的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N所在行的序数与所在列的序数相同,则N称为主子式。某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如，2n阶行列式
范德蒙德行列式/行列式
用数学归纳法 可以证明范德蒙行列式
显然,一个范德蒙德行列式为零的充分必要条件是x1,x2,…,xn中至少有两个相等。
行列式的乘积/行列式
，两个n阶行列式｜αij｜与｜bij｜的乘积是n阶行列式｜сij｜,即 行列式
式中 行列式
设A＝｜αij｜是一n阶行列式，则A的伴随行列式是
式中Aij是αij的代数余子式。
行列式的应用/行列式
是用行列式求解
的一种方法。设有线性方程组 (2)
那么它有惟一解 xi=Di/D (i=1,2,…,n)， (3)
式中Di是将D中第i列中元素αi1,αi2,…,αin分别用b1，b2,…,bn替换得到的行列式。
中过两点(x1，y1)和(x2,y2)的
可用行列式表达如下：
两两互异,交于一点的充分必要条件是
以(x1,y1)、(x2,y2)和(x3 ,y3)三点为顶点的的
的绝对值。特别地，以(0,0)、(x1,y1)、(x2,y2)为顶点的三角形的面积是
的绝对值。因此以向量(x1,y1)、(x2,y2)为边的的面积是
的绝对值。这一结论可以推广为:n阶行列式(1)的绝对值可以看作是n维欧几里得空间中以n个向量(αi1,αi2,…,αin)(i=1,2,…,n)为边所张成的超平行六面体的
。此亦即行列式(1)的几何意义。 设n维欧几里得空间中有一个变换
函数行列式
。 当J≠0时，则下面的积分变量变换公式成立：
式中G是n维欧几里得空间内有确定面积的有界域，B是G的像。雅可比行列式给出了
之间的联系
它在隐论的研究中也是不可缺少的。
上面行列式|αij|中的元 αij假定都是数；如果αij都在一个域中，上面得到的结果仍能成立。1943年，迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文，在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论，大致具备上述行列式基本性质，并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。 历史上，最早使用行列式是在17世纪G.W.莱布尼茨与G.-F.-A.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式
，但他的某些思想却来自C.F.
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行列式计算专题行列式计算相关贴子请先不要插楼，一共总结了8种方法，各配一题，相信全部看完定会有所收获。 1，定义法 2，化三角形 3，按行列展开（降阶） 4，加边升阶法 5，递推 6，行列式计算的，有没有大神帮帮忙如果三角形有一点在原点怎么计算。要算三角形面积的目标函数有大佬能告诉我以下这个行列式怎么变换成方程么？？怎样求解？？跪求！！ ┃x 1 0 0 0 0 1┃ ┃1 x 1 0 0 0 0行列式为:
| a b c d|
|-b a d -c|
|-c -d a b|
|-d c -b a|
这道题目想了好久亦不得解法...12,0001四个一行的行列式用对角线等于一，但是把第三列，第四列交换，用那三阶的方式展开怎么直接变成0了。求帮助，手机码字，见谅。立体几何中求法向量时老师教我们用行列式算法向量，请问各位大神，行列式计算的原理是什么，为什么用行列式就能算出法向量？求大神解疑啊，参数法到底怎么回事儿啊，没弄明白，（1）式结果怎么得出来的？？？？？？？ 能用三阶那样对角线加减么？求更好的方法，最近我们刚刚学了线性代数，然后我发现那个行列式计算可不是一般的麻烦。。然后我回宿舍做了一个计算n阶的计算器，从此再也不用怕计算行列式了，， 考研冲刺复习阶段，沈阳新东方网考研频道带大家来梳理数学各科核心考点，把重要知识点进行巩固，我做行列式化简计算的时候老是会乱七八糟的加减乘除等等，想问问大家都有什么技巧吗，我每次做题都求大佬告诉一下这道题的详细步骤 谢谢！周末就要考试了！1，任意交换两行（列），行列式变号，这个我知道。但是我们寝室三个人意见不统一。比如说第一行跟第三行交换，在交换的过程中，到底是第一行跟第三行RT凌乱的夏天因为线代。。。刚学了行列式和向量积，对其计算方法真心无语，行列式算法到底是怎么产生的？为什么要这样算啊？还有就是向量积到底该怎么乘啊，为什么i×j=k?真心不第一题就把我难住了 求解！求解！求n阶行列式的值。 不想用模块。。输入n*n个数能不能用a（i）（j）这样的含i，j变量的变量表示啊比如 for i,j in range(n): a(i)(j) =input 这样能不能把每个数都对应到就是算那个特征值，一般是个三阶的，不知道怎麽化简，求好方法。看图这个例子。谢谢1 1 1 1
a2 b2 c2 d2
a4 b4 c4 d4
第三行是a的平方 b的平方 c的平方 d的平方
第四行是a的4次方 b的四次方 c的四次方 d的四次如图，宇哥的答案直接就写出来了，除了用公式强算还有没有其他办法，求大神支招谢谢！！！第一个答案是1＋x?＋…xn?。第二个是0，非常感谢！！！求大神教两个行列式的题目，第一题答案是1＋x?＋…＋xn?，第二题是0，麻烦了！！！谢谢大神！急求老哥们救命啊 让这个行列式等于0的话 为什么我用对角线法则和先化简再求的结果不一样啊 直接用对角线求下列 行列式！有没有大佬为我解答 好象是箭头型行列式。。不会求解 学渣求助！下列行列式 小白小白，刚学线代，发现行列式的性质有些与运算有冲突啊！！这是怎么回事哦？？多复变函数里的一个证明，行列式里有复数怎么计算啊？为什么有det(B+Ci)det(B-Ci)=|detA|?啊 所谓升级版就是按了电路板上的P4，原本界面上有3个项增至8个项，可以进行矩阵和行列式计算吗，谢谢用行列式解系数矩阵为方阵的方程组简直是神器，比如这样的方程组： ， 但遇到未知量数不等于方程数的知道就麻烦告诉我，谢谢。萌新求问各位大佬，要证明逆序数决定行列式每一项的正负应该怎么推？如果用展开可以证但是展开的公求帮忙啊！！！！！！详细点步骤！！！！！RTRTRTRTRT为什么分母一定是D（r，θ ） 如果变成D（θ，r ）为什么不行 。。。求助！这儿为什么x3是自由变量啊？万分感谢！李大帝用的什么行列式不为0是什么鬼！ rt首页上一页12345下一页尾页行列式计算相关最新回复贴子热门贴子贴吧热议榜1191.03万2134.25万3132.23万4132.11万5131.86万6131.66万7131.55万8131.52万9131.51万10131.51万专题推荐最新专题贴吧推荐行列式计算专题频道，为您提供优质的行列式计算帖子，在这里您可以找到关于行列式计算非常实用的相关信息及问题，您还可以在行列式计算专题频道进行讨论及网友间的互动。
