概率&统计（72）
如果忽略分布是离散还是连续的前提（二项分布和泊松分布一样都是离散型概率分布，正态分布是连续型概率分布），二项分布与泊松分布以及正态分布至少在形状上是十分接近的，也即两边低中部高。
由 可知，当 n 足够大，p 足够小（还记得泊松分布的事件间的三个条件吗，彼此独立，事件发生的概率不算太大，事件发生的概率是稳定的），二项分布逼近泊松分布，λ=np，一个被广泛接受的经验法则是如果 n≥20,p≤0.05，可以用泊松分布来估计二项分布值。
至于正态分布是一个连续分布 当实验次数 n 再变大，几乎可以看成连续时二项分布和泊松分布都可以用正态分布来代替。
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第七章二项分布与泊松分布(Binomial Distribution and
第七章 二项分布与泊松分布 （Binomial Distribution and Poisson Distribution ）本讲的内容?二项分布概念、性质、应用 ?泊松分布概念、性质、应用复习中学数学概念? ①、组合（Combination）:从个n元素中抽取x个元
素组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记 为?n? n! ? ?? ? k ? k !(n ? k )!?n? k 或Cn ? ? ?k ??1? ? 0? ? ? ? ? ? ?1 ? 0? ? 0?? 3? 3! (3)(2)(1) ? ?3 ? ?? ? 2 ? 2!(3 ? 2)! (2)(1)(1)?10 ? 10! (10)(9)(8)(7)(6)5! ? ? 252 ? ?? ? 5 ? 5!(10 ? 5)! 5!(5)(4)(3)(2)(1)(n! 为的阶乘, n!=1*2*……*n, 0!=1)? ②、牛顿二项展开式：(a ? b) ? a ? 2ab ? b2 23 3 2 223(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? bn( a ? b) ? ? ? a b ? ? ? a b ? ? ? a bn n 0 0 n n n n 1 1 n ?1 n 2(a ? b) ? ?? ?? ?? ?.......... ...2 n ?2? ...??n n ?1??n n k ?0 k?a b ?? ?a b ? ?a bn ?1 1 k n?kn 0
第一节 二项分布的概念一、Bernoulli试验毒性试验：白鼠 临床试验：病人 临床化验：血清 事件 死亡――生存 治愈――未愈 阳性――阴性成功（A）――失败（非A）这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试 验。二、Bernoulli试验序列n次Bernoulli试验构成了Bernoulli试验序列。 其特点（如抛硬币）： (1)每次试验结果，只能是两个互斥的结果之 一(A或非A)。 (2)每次试验的条件不变。即每次试验中，结 果A发生的概率不变，均为 π 。 (3)各次试验独立。即一次试验出现什么样的 结果与前面已出现的结果无关。三、成功次数的概率分布─二项分布? 例7-1 设某毒理试验采用白鼠共3只，它 们有相同的死亡概率π，相应不死亡概率 为1－π 。记试验后白鼠死亡的例数为X， 分别求X＝0、1、2和3的概率P( X ? k ) ? (n )? k (1 ? ? )n?k k 右侧(n )? k (1 ? ? )n?k 为二项式[? ? (1 ? ? )]n 展开式的各项 k表 7-1 死 亡 数 存 活 数3 只 白 鼠 各 种 试 验 结 果 及 其 发 生 概 率试 验 结 果 甲 生 死 生 生 乙 生 生 死 生 死 生 死 死 丙 生 生 生 死 生 死 死 死 试 验 结 果 的 概 率X取值 概 率X0 13? X3 2P( X ) ? ( 3 )? k (1 ? ? ) 3?k kP( X ? 0) ? ( 3 )? 0 (1 ? ? ) 3 03 P( X ? 1) ? (1 )? 1 (1 ? ? ) 2(1 ? ? )(1 ? ? )(1 ? ? )? (1 ? ? )(1 ? ? )(1 ? ? )? (1 ? ? ) (1 ? ? )(1 ? ? )?21死 死 生?? (1 ? ? )P( X ? 2) ? ( 3 )? 2 (1 ? ? )1 2? (1 ? ? )?(1 ? ? )??30死???P( X ? 3) ? ( 3 )? 3 (1 ? ? ) 0 33 (? ? (1 ? ? ))3 ? ? 3 ? ? 0 (1 ? ? )3 ? ? 1 ? ? 1 (1 ? ? )2 ? ? 3 ? ? 2 (1 ? ? )1 ? ? 3 ? ? 3 (1 ? ? )0 0 2 3? ?3 ?0 ? 3 ? ? k (1 ? ? )3? k k k若一个随机变量 X的可能取值是k = 0,1,? , n， 且 相 应 的 取 值 的 概 率 为 ：X = k ) = ( n )? k (1 ? ? ) n?k P( k则 称 此 随 机 变 量 X 服 从 以 n、 ? 为 参 数 的 二 项 分 布 ， 记 为 X～ B( n, ? )。四、二项分布的概率计算例 7-2 如 果 例 7-1 中 的 ? =0.4， 则 3 只白鼠中死亡白鼠数 X 服从以 n=3、 ? =0.4 的 二 项 分 布 ， 即 X～ B(3,0.4)， P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=3 0 0X 各取值的概率：3?0( )0.4 (1 ? 0.4)( )0.4 (1 ? 0.4)3 1 1=0.216 =0.432=CRITBINOM(3,0.4,0.217) =BINOMDIST(1,3,0.4,0)3?1( 3 )0.42 (1 ? 0.4)3?2 = 0 . 2 8 8 2( 3 )0.43 (1 ? 0.4)3?3 = 0 . 0 6 4 3第二节 二项分布的性质一、二项分布的均数与方差 若 X ～ B( n, ? )， 则X 的 均 数 ?X = n ?2 X 的 方 差 ?X = n ? (1- ? )(7-2) (7-3) (7-4)X 的 标 准 差 ?X=n? ?1 ? ? ?例 7-3例 7-1 B( n, ? )=B(3,0.4)的 鼠 死 亡 数 X 的总体均数 总体方差 总体标准差?X = 3 × 0 . 4 = 1 . 2 ( 只 )2 ?X =3×0.4×0.6=0.72(只 )? X = 3 ? 0.4 ? 0.6 = 0 . 8 5 ( 只 )二、二项分布的正态近似 1. 当 ? =0.5 时 ， 图 形 对 称 ； 当 ? ≠ 0.5 时 ， 图 形 呈 偏 态 ， 但 随 n 的 增大，图形逐渐对称。 2 . n? ? 5, 且n(1 ? ? ) ? 5 ( n 大 ， ? 不 接 近 0 、 1 ) 时 ， 近似正态分布。
三、样本率的均数和标准差 样 本 率 p的 总 体 均 数1 1 ? ? ? X ? (n? ) ? ? n n(7-5)样 本 率 p的 总 体 标 准 差? (1 ? ? ) 1 ?p ? ?X ? n n(7-6)总 体 率 ? 通 常 未 知 ， 采 用 样 本 率 p 代 替 总 体 率 ? ， 有 Sp 为 ：Sp ?例 7-5p?1 ? p ? n(7-7)抽 居 民 3 0 0 人 的 粪 便 ， 检 出 蛔 虫 阳 性 6 0 人 ， 求 Sp60 240 ? S p ? 300 300 = 0 . 0 2 3 1 = 2 . 3 1 % 300第三节 二项分布的应用一、总体率的区间估计二、样本率与总体率的比较三、两样本率的比较（一）总体率区间估计（参见p42）1. 查表法 对于n ? 50的小样本资料，根据n与X，直接查附表7。 2. 正态分布法当 n 较大、 和 1-p 均不太小， p 如满足 np 和 n(1-p) 均大于 5 时， 可假定样本率 p 的分布近似服从正态分 布，由此来估计总体率的 1 ? ? 置信区间。计算公式：( p ? Z? 2 S p , p ? Z? 2 S p )Sp ?p(1 ? p) / n式中：? ? 0.05 时， Z0.05 2 ? 1.96 ；? ? 0.01 时， Z0.01 2 ? 2.58（二）样本率与总体率的比较1. 直接法（1）出现“阳性”的次数 X 至多为 k 次的概率为 P(X ? k) ? ? P( X ) ? ?X ?0 k kX ?0n! ? X (1 ? ? ) n? X X !(n ? X )!（2）出现“阳性”的次数 X 至少为 k 次的概率为 P(X ? k) ? ? P( X ) ? ?X ?k X ?k n nn! ? X (1 ? ? ) n? X X !(n ? X )!显然，P(X ? k)+ P(X ? k)=1+ P(X=k)。例 7-6据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01， 某 研 究 者 想 了解 当 地 新 生 儿 染 色 体 异 常 是 否 低 于 一 般 ， 他 随 机 抽 查 当 地 400 名 新 生 儿，结果 1 名染色体异常，请作统计推断。 H0: ? =0.01, H1： ? &0.01 ?=0.05 P(X≤ 1)= P(X=0)+ P(X=1) =(0.99)400+400 ! (0.99)399(0.01)1 1!(400? 1)!=0.5=0.0905 因 为 P(X≤ 1)=0.0905& ?， 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该地新生儿染色体异常率低于一般新生儿。例 7-6据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01，某 研 究 者 随 机 抽 查 当 地 400 名 新 生 儿 ， 结 果 1 名 染 色 体异常，问是否该地染色体异常率与以往有所不同。 H0: ? =0.01, H1： ? ≠ 0.01 ?=0.05 双 侧 P=2*P(X≤ 1) =0.181〉 0.05 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该 地 新 生 儿 染 色体异常率与一般新生儿不同。2.正态近似法当 n 较大、 和 1-p 均不太小， np 和 n(1-p) p 如均大于 5 时，样本率的分布近似正态分布，可采用检验统计量Z? p ??0 ，作样本率 p 与已知总体率π 0 的比较。 ? 0 (1 ? ? 0 ) n例新治疗方法治疗 180 人，117 人治愈。常规治疗方法的治愈率π 0=0.45。新治疗方法是否更好。 检验假设为 H0：π =0.45；H1：π &0.45； ? =0.05。 本例 n=180，p=117/180=0.65， Z ?0.65 ? 0.45 ? 5.394 0.45(1 ? 0.45) 180查 Z 界值表得单侧 P ? 0.0005 。按 ? =0.05 水准，拒绝 H0，接受 H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。（三）两样本率的比较设两样本率分别为p1 和p2，当n1 与n2均较大，且p1 、 1-p1 及p2 、1-p2 均不太小 ，如n1p1 、n1(1-p1) 及n2p2 、 n2(1-p2)均大于5时，可采用正态近似法对两总体率作 统计推断。检验统计量u的计算公式为p1 ? p2 Z? S p1 ? p2S p1 ? p2 X1 ? X 2 X1 ? X 2 1 1 ? (1 ? )( ? ) n1 ? n2 n1 ? n2 n1 n2例 7-7为 研 究 A 、B 两 地 学 生 的 肺 吸 虫 感 染 率 是 否 相 同 ，某 研 究者 随 机 抽 取 8 0 名 A 地 学 生 和 8 5 名 B 地 学 生 ，查 得 感 染 人 数 A 地 2 3 ， B 地 13。 请 作 统 计 推 断 。 本 例 n1 = 8 0 ， n1 p1 = 2 3 ， n1 (1 ? p1 ) = 5 7 ； n2 = 8 5 ， n2 p 2 = 1 3 ， n2 (1 ? p 2 ) = 7 2 ， 可认为两地学生的肺吸虫感染样本率近似正态分布，故可用 Z 检验。 记 A 地 学 生 肺 吸 虫 感 染 率 为 ?1 ， B 地 学 生 肺 吸 虫 感 染 率 为 ? 2H 0 ： ?1 ? ? 2S p1 ? p2 ? (H1 ： ?1 ? ? 2? ? 0.0523 13 ? 80 85 ? 2.0915 Z? 0.064323 ? 13 23 ? 13 1 1 )(1 ? )( ? ) ? 0.0643 80 ? 85 80 ? 85 80 85因 为 本 例 Z ? 2.0915 ? Z0.05 ? 1.96 ， 故 P ? 0.05 ， 拒 绝 H 0 ， 即 据 这 两 个 样 本 资 料 可 认 为 A、 B 两 地 学 生 肺 吸 虫 感 染 率 不 同 。Z 检验的条件： n1p1 和n1(1- p1)与 n2p2 和n2(1- p2)均 &5?Poisson(泊松)分布?取名于法国数学家SD Poisson()第四节 泊松分布的概念? 当二项分布中n很大，p很小时,二项分布就 变成为Poisson分布，所以Poisson分布实际 上是二项分布的极限分布。 ? 由二项分布的概率函数可得到泊松分布的 概率函数为：e ? P{ X ? x} ? x ? 0,1, 2,? x! ?为大于0的常数，X 服从以?为x??参数的Poisson分布 X ~ P( ? )在?处的概率最大在?处的概率最大Poisson分布主要用于描述在单位 时间(空间)中稀有事件的发生数例如： 1. 放射性物质在单位时间内的放射次数； 2. 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 3. 野外单位空间中的某种昆虫数等。Poisson分布概率的计算例 7-8 若 随 机 变 量 X 服 从 以 3.6 为 均 数 的 泊 松 分 布 ， 即 X ～ P(3.6)， 则 X 的 取 值 概 率 可 按 公 式 P ?X ? x? ??xx!e ?? 计 算 如 下 ：P(X =0)=0.0273 P(X =1)=0.0984 P(X =2)=0.1771 P(X =3)=0.2125 P( X =4)=0.1912“=POISSON(0,3.6,0)”………第五节 Poisson分布的性质（1）? 一、Poisson分布的均数与方差相等 即σ2=? ? 二、Poisson分布的可加性如 果 X1, X2 , ? , Xk 相 互 独 立 ， 且 它 们 分 别 服 从 以 ?1 ， ? 2 ， ? ， ? k 为 参 数 的 Poisson 分 布 ，则 T=X1+X2+? + Xk 也 服 从 Poisson 分 布 ，? 其 参 数 为 ?1 + ? 2 + ? + k 。第五节 Poisson分布的性质（2）? 三、Poisson分布的正态近似 ?相当大时，近似服从正态分布： N（?， ? ） 见图7-2 ? 四、二项分布的Poisson分布近似设 X i ～ B ( ni ? i ) ， 则 当 ni → ∞ ， ? i 很 小 ， 且 ni ? i = ? 保 持 不 变 时 ， 可 以 证 明 X i 的 极 限 分 布 是 以 ?为 参 数 的 Poisson 分 布 。例 7 - 11n=500 人 ， X=6 人 。 作 统 计 推 断 。H0: 该 地 食 管 癌 患 病 率 与 一 般 人 群 相 同 ， 即 ? =0.0003 H1: 该 地 食 管 癌 患 病 率 高 于 一 般 人 群 ， 即 ? &0.0003 X～ B(500,0.0003)， 故 可 利 用 公 式 (7-1)计 算P( X ? 6) = “ = 1 - B I N O M D I S T ( 5 , 5 0 0 , 0 . 0 0 0 3 , 1 ) ” = 1 . 3 5 2 2 E - 0 8?=0.05因 为 n=500 相 当 大 ， 且 ? =0.000 3 相 当 小 ， 所 以 X 近 似 服 从 以 ? =500×0. 为 参 数 的 Poisson 分 布 ， 故? ?0.15?0 ?0.15 ?0.15?1 ?0.15 ?0.15?2 ?0.15 ?0.15?3 ?0.15 ?0.15?4 ?0.15 ?0.15?5 ?0.15 ? P(X≥ 6)≈ 1- ? e ? e ? e ? e ? e ? e ? 1! 2! 3! 4! 5! ? 0! ?=1.3914E-08=“ =1-POISSON(5,0.15,1)” 因 为 P(X≥ 6)＜ 0.05， 故 拒 绝 H0， 认 为 该 地 人 群 食 管 癌 患 病 率 高 于一般。第六节 Poisson分布的应用? 一、Poisson总体均数的区间估计 ? 二、样本均数与总体均数的比较 ? 三、两个样本的总体均数的比较一、Poisson总体均数的区间估计1. 查 表 法当 X≤ 50 时 ， 可 以 很 方 便 地 从 附 表 8 查 得 到 总 体 均 数 的 95%或 99 %可 信 区 间 。 例 7-12 将 一 个 面 积 为 100cm2 的 培 养皿 置 于 某 病 室 中 ， 1 小 时 后 取 出 ， 培 养 24 小时，查得 8 个菌落，求该病室平均 1 小时 100c m2 细 菌 数 的 95%可 信 区 间 。 本 例 X=8， 查 附 表 8 样 本 计 数 8 的 一 行 得 ? 的 95 %可 信 区 间 为 (3.4， 15.8)。2. 正 态 近 似 法当 X&50 时 ， 总 体 均 数 ( 1?? )可 信 区 间 如 下 ：?X ?Z? /2X , X ? Z? / 2 X?(7-12)例 7-13 用 计 数 器 测 得 某 放 射 性 物 质 半 小 时 内 发 出 的 脉 冲 数 为 360 个 ， 试 估 计 该 放 射 性 物 质 平 均 每 10 分 钟 脉 冲 计 数 。 本 例 ， X=360， 平 均 每 半 小 时 脉 冲 计 数 的 95%可 信 区 间 ( 3 6 0 - 1 . 9 6 3 6 0 , 3 6 0 + 1 . 9 6 360 ) = ( 3 2 2 . 8 , 3 9 7 . 2 ) 则 平 均 每 10 分 钟 脉 冲 计 数 的 95%可 信 区 间 为 ： (322.8/3,397.2/3)=(107.6,132.4)二、样本均数与总体均数的比较1. 直 接 计 算 概 率 法 例 7-14 据 以 往 大 量 观 察 得 某 溶 液 中 平 均 每 毫 升 有 细 菌 3 个 。 某 研 究 者 将 该 溶 液 放 在 5℃ 冰 箱 中 3 天 ， 测 得 每 毫 升 细 菌 5 个 ， 问 放 在 5℃ 冰 箱 中 3 天 ， 溶液中细菌数是否有增长。 H0： ? =3， H1： ? &3 ?=0.05 P(X≥ 5)=1-[P (X=0)+ P(X=1)+?+ P(X=4)]? 30 ?3 31 ?3 32 ?3 33 ?3 34 ?3 ? =1― ? e ? e ? e ? e? e? = 1 - 0 . 8 1 5 3 = 0 . 1 8 4 7 1! 2! 3! 4! ?0 ! ?因 为 P(X≥ 5)&?， 故 无 理 由 拒 绝 H02. 正 态 近 似 法当 总 体 均 数 ?0 相 当 大 ， 可 采 用 统 计 量 Z ? 例 7-15X ? ?0 (7-13) ?0原 溶 液 每 1 毫 升 有 1 0 0 个 细 菌 ， 即 ?0 ? 100 ，现 采 用 低 剂 量 辐 射 该 溶 液 后 ， 得 到 每 1 毫 升 40 个 细 菌 ， 请 问低剂量辐射杀菌是否有效。 H 0 ： ? = ?0 ? 100 ， H 1 ： ? & 1 0 0 ， ? = 0 . 0 5 按 H0， X～ P(100)近 似 N(100, 故 Z=X ? 100 1001 0 0)40 ? 100 100～ N(0, 1)； 本 例 Z == -6.00因 为 Z = 6.00〉 1.64， 故 拒 绝 H0三、两样本均数的比较（1）1. 两 个 样 本 观 察 单 位 相 同 时Z=X1 ? X 2 X1 ? X 2例 7-15(7-14) 某车间在生产工艺改革前后各测 1 次粉尘浓度 ， 每 次 测 一 升 空 气 ， 分 别 测 得 39 和 25 颗 粉 尘 。 请 据 此 推断改革前后粉尘浓度是否相同。 H 0 ： ?1 = ?2 ，Z=H 1 ： ?1 ? ?2 =1.75， ，所以?=0.0539 ? 25 39 ? 25因 为 | Z |& Z0.05/2=1.96P&0.05， 无 理 由 拒 绝 H0三、两样本均数的比较（21）设 两 个 样 本 观 察 单 位 分 别 为 n1 和 n2 ， 则 ，Z=X 1 / n1 ? X 2 / n2 X1 X 2 ? 2 2 n1 n2例 7-15(7-15)某车间在生产工艺改革前测三次粉尘浓度， 36 颗 粉 尘 ； 改 革每 次 测 一 升 空 气 ， 分 别 测 得 38, 29 和后 测 取 两 次 ， 分 别 有 25， 18 颗 粉 尘 。 请 据 此 推 断 改 革 前 后粉尘浓度是否相同。?1 ： 改 革 前 平 均 每 升 空 气 中 粉 尘 的 颗 粒 数 ?2 ： 改 革 后 平 均 每 升 空 气 中 粉 尘 的 颗 粒 数三、两样本均数的比较（22）2. 两 个 样 本 观 察 单 位 不 相 同 时H 0 ： ?1 = ?2 ， H 1 ： ?1 ? ?2 ， ? = 0 . 0 5 改 革 前 共 测 3 升 ， 即 n1 = 3 ， 得 粉 尘 颗 粒 X1=38+29+36=103 改 革 后 共 测 2 升 ， 即 n2 = 2 ， 得 粉 尘 颗 粒X2=25+18=4103 43 ? 2 ? Z? 3 103 43 ? 2 2 3 2拒 绝12.83 =2.72〉 Z0.05/2 =1.96 22.1944H0， 认 为 该 车 间 改 革 前 后 粉 尘 浓 度 不 同 。
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