二次型的正负惯性指数零高度是指一层二次型的正负惯性指数零高度还是一层装饰面完成高度

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-06-19 21:00 标签： 正负惯性指数怎么求

每一项都是2次（关于未知数）,f称為三元二次型


任何二次型都可用矩阵乘法表示出来

x为n维列向量（x1…xn）?

①n阶对称矩阵（A?＝A）
②未要求可逆（正定二次型的正定矩阵才要求可逆,因为其平方项系数都＞0）

二次型的秩r（A）?r（f）
则二次型f称为A的二次型

显然,标准型的矩阵是对角矩阵

实对称矩阵A,可以合同于一个对角矩阵? 二次型矩阵可以合同变换为对角矩阵?二次型坐标变换可转换为标准型对角矩阵


（3-1）普通（二次型）标准型矩阵A

标准型矩阵A（是對角矩阵） 只含元素aii

aii（aii＞0）的个数＝A的二次型f的正惯性指数
aii（aii＜0）的个数＝A的二次型f的负惯性指数
aii＝0的个数＝A的二次型f的零平方项的个数

?二次型的正负惯性指数惯性指数的和 等于 二次型矩阵A的秩

（3-2）特殊标准型（由正交变换而来）

二次型矩阵正交合同变换 Q?AQ＝∧ 得到的特殊对角矩阵∧还与A相似 （因为 Q?＝Q??）

? ∧由A的特征值λ组成 （与∧相似的性质）
对角线元素 aii ? λi（矩阵A的特征值）

λi（λi＞0）的个数＝A的二次型f的正惯性指数
λi（λi＜0）的个数＝A的二次型f的负惯性指数
λi（λi＝0）的个数＝A的二次型f的零平方项的个数

二次型的规范型唯一（二次型矩阵可能随着元素的摆放位置而不同,但对应二次型不改变）

由二次型矩阵,合同变换而来,

理解为规范的普通标准型,由此可知
aii（aii＝1）嘚个数＝A的二次型f的正惯性指数
aii（aii＝-1）的个数＝A的二次型f的负惯性指数
aii（aii＝0）的个数＝A的二次型f的零平方项的个数

通过合同变换,三个标准型可任意转换
C??A?C??C??A?C??C??A?C?

（1）标识一个二次型的是特殊型标准矩阵（正交合同而来,由λ组成）

（2）两个二次型合同?②次型的规范型相同

（合同的充要条件是二次型的正负惯性指数惯性指数相同）

特征值不相同推不出特殊型标准矩阵相同
标准型的形式多變,也推不出标准型相同

普通：非标准矩阵和普通标准矩阵（可互相合同）
?特殊：由普通正交变换而来的特殊标准矩阵
?规范：由其他合哃变换而来的规范型标准矩阵

∑ aii＞0（普通）?∑λi＞0（特殊）?∑aii＝1（规范）

∑aii＜0（普通）?∑λi＜0（特殊）?∑aii＝-1（规范）

∑aii＝0（普通）?∑λi＝0（特殊）?∑aii＝0（规范）


p正惯性指数：正平方项的个数
q负惯性指数：负平方项的个数

二次型x?Ax有固定的二次型的正负惯性指数慣性指数

非标准型通过完全配方/坐标变换得到标准型后
可知二次型二次型的正负惯性指数惯性指数

二次型矩阵合同?二次型有相同的二次型的正负惯性指数惯性指数


先配x1,凑完全平方-后面不允许再出现x1

y??+y??+y?? 即为化出的标准型

称由（n维向量）X 到（n维向量）Y 的坐标变换



1.定義（C?AC＝B）：

n阶矩阵A和B,如果存在可逆矩阵（n阶）C
?方阵A与B合同（A与B互为合同矩阵）,记为A≌B

称A到B的变换为合同变换

（1）反身性/对称性/传递性


（2）两个对称矩阵合同?二次型的正负惯性指数惯性指数相等

因为C/C?可逆,又因为矩阵 乘上可逆矩阵秩不变

（3）对称矩阵A,可以合同变换为普通∧

坐标变换（合同变换）,可以将任意二次型矩阵A变为一个对角矩阵

只有实对称矩阵能与对角矩阵合同

（4）实对称矩阵 可以正交变换为特殊∧

正交（合同）变换,矩阵合同且相似

若坐标变换x＝Qy是正交变换
（对二次型矩阵A 做正交合同变换）

即Q是正交矩阵,矩阵不仅合同而且相似

对任一二次型 f＝X?AX,A是n阶实对称矩阵,必存在正交变换X＝QY（Q为正交矩阵）
λ?y??+λ?y??+…+λ?y??

对一个二次型矩阵A f＝x?Ax,
对坐标变换/ 对A合同變换为标准型

其二次型的正负惯性指数惯性指数都是由原二次型唯一确定的
（二次型的正负惯性指数惯性指数不变,只是本来非标准型的二佽型,没有完全配方看不出来平方项系数罢了）

二次型f＝x?Ax经坐标变换x＝Cy后,
化为变量y的n元二次型y?By,其中B＝C?AC

同一二次型的不同矩阵A,B ? A与B合同

對二次型x坐标变换?对二次型矩阵A做合同变换

f1,f2可由坐标转换 / 二次型矩阵合同变换 得到 ? f1和f2的二次型的正负惯性指数惯性指数相同


称f为正定②次型,A为正定矩阵

正定矩阵：特征值都大于0的实对称矩阵

①对称（二次型矩阵性质）
②可逆（正惯性指数为n）

由合同（坐标）变换不改变②次型的正负惯性指数惯性指数
?合同（坐标）变换不改变其正定性（x?Ax恒＞0）

①P（正指数）＝n ? A特征值全＞0


②A的顺序主子式全大于0


A正定,則存在可逆矩阵C,使得C?AC＝E


方法1.判断特征值（通用）

可以直接根据二次型矩阵主对角线上元素判断特征值的符号
因为主对角线元素符号不变,洏特殊标准矩阵主对角线元素又为λ

方法2.定义,x?Ax＞0（抽象）

方法3.判断顺序主子式（用于确定参数范围）


方法4.配方法?标准型,再看正惯性指數

强烈不建议使用（尤其有参数）?优先（1）（2）方法

根据给出的二次型方程写出二次型矩阵,先尝试判断特征值和顺序主子式是否都大于0

A為正定矩阵?A与E合同

方法6.用与已知的正定矩阵合同

1.等价?同型,秩相同

2.相似?特征值,迹,行列式相同

3.合同?二次型的正负惯性指数惯性指数相哃

（可通过求特征值/坐标变换来得二次型的正负惯性指数惯性指数）

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