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高等数学第7章微分方程解答
可分离变量的微分方程
1求下列微分方程的通解：
22（1）-x y '=-y ；
两端积分得 =arcsin y =arcsin x +C ，（C 为任意常数）
即为原方程的通解。
（2）sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0；
sec 2y sec 2x 解 将原方程分离变量，得 dy =-dx
tan y tan x
两端积分得ln tan y =-ln tan x +ln C
或ln tan x tan y =ln C
故原方程的通解为tan x tan y =C （C 为任意常数）。
2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）y 'sin x =y ln y , y π
解 将原方程分离变量，得 dy dx
=y ln y sin x
tan ?d (ln y )x 2?两端积分得?， 即ln ln y =ln tan +ln C
2ln y tan 2
故原方程的通解为ln y =C tan x π, 代入初始条件x =, y =e , 得C =1. 于是, 所求之特解为22
y =e tan x
x =2（2）xdy +2ydx =0, y =1.
dy dx =-2 y x 解 将原方程分离变量，得
两端积分得dy dx =-2?y ?x ， 即ln y =-2ln x +ln C
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高等数学第7章微分方程解答_理学_高等教育_教育专区。习题 7-2 可分离变量的微分方程 1 求下列微分方程的通解: 2 2 (1) 1 ? x y ? ? 1 ? 解...高等数学 第七章 常微分方程_理学_高等教育_教育专区。高等数学系列课件常...2x 是微分方程 y ?? ? 4 y ? 0 思考题解答 ? y? ? 6e 2 x , y...高等数学第七章微分方程试题及答案_理学_高等教育_教育专区。3.伯努利方程 第七章一.变量可分离方程及其推广 1.变量可分离的方程 (1)方程形式: 常微分方程 dy ...章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §...变量微分方程的解法 相关 参考 资料 《高等数学(第...求这条 曲线方程 解答:设所求曲线的方程为 y=y(...同济大学高等数学第六版第七章第八节常系数非齐次线性微分方程_理学_高等教育_教育专区。同济大学高等数学第六版第七章第八节常系数非齐次线性微分方程第...微分方程 第一节 微分方程的基本概念 1.填空题 (1) 微分方程 x 2 y' ' '?( y' ) 4 ? y 2 ? 0 的阶是 车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设...GCT高等数学第七章微分方程_研究生入学考试_高等教育_教育专区。高等数学教案 § 微分方程 12 第七章:微分方程 主讲---姜进进 教学目的: 1.了解微分方程及其解...高数上第7章 隐藏&& 第七章 微分方程已知 y? ? f ( x) , 求 y — 积分问题推广 已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题 第一节 ...高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第7章 微分方程_理学_高等教育_教育专区。第...课外例题及习题解答★★★ 1.求解微分方程 dy 3x 2 ? y 2 ? 6 x ? 3 ...《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案_理学_高等教育_教育专区。《高等数学(同济 6 版)》练习题参考答案--第七章 微分方程 第七章 微分方程—练习...十二章习题解答-博泰典藏网
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十二章习题解答
导读：第十二章习题解答，习题12-1，习题12-2，第十二章习题解答习题12-11．指出下列微分方程的阶数：（1）x?y??2?2yy??x?0;（2）x?y??2?x2y???x3?0;（3）x3?2x2y??xy???y????0;（4）x?x?y?2dx?(2y?x)dy?0;（5）Ld2QdQQd?dt2?Rdt?C?0;（6）d????sin2?.解1、（1）1；（2）2；（3）3；（4）第十二章习题解答 习题 12-1 1．指出下列微分方程的阶数： （1）x?y??2?2yy??x?0;
（2）x?y??2?x2y???x3?0; （3）x3?2x2y??xy???y????0;
（4）x?x?y?2dx?(2y?x)dy?0; （5）Ld2QdQQd?dt2?Rdt?C?0;
（6）d????sin2?. 解1、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）2；（6）1。
2.指出下列各题中所给的函数是否为所给微分方程的解：
（1）xy??2y,y?5x2；
（2）y???y?0,y?3sinx?4cosx；
（3）y?????1??2?y???1?2y?0,y?C1e?1x?C2e?2x；
（4）(x?2y)y??2x?y,x2?xy?y2?C；
（5）(xy?x)y???xy?2?yy??2y??0,y?ln(xy). 解：（1）因为y??10x?xy??10x2,故y?5x2是xy??2y的特解； （2）因为y??3cosx?4sinx,y????3sinx?4sinx， 所以y?3sinx?4cosx是y???y?0的一个解； （3）因为
y??C?1x?1?1e?C2?2e2x,??y?C?2?111xe??C2?x222 e所以
y?????1??2?y???1?2y?0. 即y?C?1e1x?C2e?2x是y?????1??2?y???1?2y?0的通解； （4）由x2?xy?y2?C知2x?y?xy??2yy??0,?y??2x?yx?2y 从而(x?2y)y??2x?y,x2?xy?y2?C是(x?2y)y??2x?y的通解； （5）由y??1xy(y?xy?),y??yxy?x,又由xyy??y?xy?得
1 yy??xy?2?xyy???2y??xy??，
故(xy?x)y???xy?2?yy??2y??0. 即y?ln(xy)是(xy?x)y???xy?2?yy??2y??0的一个解。
d2x2?kx?0 3.验证函数x?C1coskt?C2sinkt是微分方程
2dt的解. 并求满足初始条件x|t?0?A,dx?0的特解.
dtt?0解：由x?C1coskt?C2sinkt
得 x???C1ksinkt?C2kcoskt,x????C1k2coskt?C2k2sinkt. d2xdx2所以2?kx?0。由x|t?0?A,?0得C1?A,C2?0， dtdtt?0故所求的特解为x?Acoskt.
4.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
（1）曲线在点P?x,y?处的斜率等于该点横坐标的平方；
（2）曲线在点P?x,y?处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分；
（3）某种气体的气压P对于温度的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。 解：（1）y??x；
（2）曲线在点P?x,y?处的法线方程为Y?y??21?X?x?，其与x轴的交点为Q坐标y?为(x?yy?,0)，由线段PQ被y轴平分知yy??2x?0;
（3）dPP?k2,k为比例常数。 dTT 习题 12-2 1.求下列微分方程的通解： 22x?y（1）1?xdy?1?ydx；
（2）e?exdx?ex?y?eydy?0； ????（3）cosxsinydx?sinxcosydy?0；
（4）ydx?x?4xdy?0. 解 （1） 方程是可分离变量的，分离变量后得
dy1?y2?dx1?x2
两边积分得
?dy1?y2??11?x2dx，
从而 便得到方程的通解为arcsiny?arcsinx?C. （2）方程是可分离变量的，分离变量后得
exdxeydx?y?0
两边积分得
xe?1e?1d(ex?1)1y?de?1??lnC，
??ex?1?ey?1 从而便得到方程的通解为ex?1ey?1?C; （3）方程是可分离变量的，分离变量后得
????cosxdxcosydy1dsiny??0
两边积分得
?dsinx???lCn，
sinxsiynsinxsiyn 从而便得到方程的通解为sinysinx?C; （4）方程是可分离变量的，分离变量后得
dxdy1?11dy???0
两边积分得
?dx????y?lnC，
x2?4xy4??x?4x?从而便得到方程的通解为?x?4?y4?Cx.
2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：
（1）y??e2x?y,y??x；
（2）cosydx?(1?e)sinydy?0,y?. ?0x?0x?0412xe?C，
代入初值得 2解：（1）方程是可分离变量的，分离变量后得
edy?edx y2x 两边积分便得到方程的通解为
e?yC?112x1y，故所求特解为e?e?.；
222d?ex?1?ex?1dcosy?lnC，
（2）方程是可分离变量的，分离变量后得
exdxsinydy
两边积分得
e?1coys???x便得到方程的通解为1?esecy?C. ??代入初值得
C?22， 故所求特解为1?exsecy?22.
3 ??3. 求下列微分方程的通解：
（1）sec2xtanydx?sec2ytanxdy?0;
(2) ydx?(x2?4x)dy?0； 22
(3) x?ydx?xydy?0;
(4) xdy?y?lny?lnx? ??解：（1）方程是可分离变量的，分离变量后得
sec2xdxsec2ydy
两边积分得
1dtanydtanx????lnC，
tanxtanytanxtany从而便得到方程的通解为tanxtany?C。 (2) 方程是可分离变量的，分离变量后得
dxx2?4x?dyy?0
两边积分得
1?14???x?4?1?x??dx??dyy?lnC，
从而便得到方程的通解为?x?4?y4?Cx.
(3) 若令u?y1dux 得y?ux，两边对x求导得：u?u?u?xdx. 由此得到可分离变量微分方程：udu?dx12x，积分后得： 2u?lnx?lnc. 即y2?x2?2lnx?C?为所求方程的通解。
(4) 若令u?yx 得y?ux，两边对x求导得：ulnu?u?xdudx. 由此得到可分离变量微分方程：1u(lnu?1)du?dxx， 积分后得： lnln(u?1)?lnx?lnc. 即lny?lnx?Cx?1为所求方程的通解。
4.方程?x?0??2y(t)?t2?y2(t)???dt?xy(x)能否化为齐次方程? 解：方程?x?0??2y(t)?t2?y2(t)???dt?xy(x)能化为齐次方程。因为两边对x求导得 22y?x2?y2?y?xy? ，即y??y?y?x?1???x??.
5. 求下列微分方程的通解或特解： （1）y??ycosx?e?sinx；
（2）xy??y?x2?3x?2； 4
（3）?x2?1?y??2xy?cosx?0；
（4）?x?2?y??y?2?x?2?3； （5）dyysinxdx?x?x；yx???1；
（6）ylnydx?(x?lny)dy?0. 解：（1）对应的齐次方程为 y??ycosx?0，其通解为 y?Ce?sinx.
用常数变易法，设原方程的通解为 y?C?x?e?sinx，对x求导得： y??C?e?sinx?Ccosx?e?sinx. 将y,y?代入原方程有 C??1, 故 C?x??x?C， 从而
原方程的通解为
y??x?C?e? 2）对应的齐次方程为 y??1xy?0，其通解为 y?Cx.
用常数变易法，设原方程的通解为 y?C?x??1x，对x求导得： y??C??11x?C?x2. 将y,y?代入原方程有 C??x2?3x?2, 故 C?x??1x?C， 从而
原方程的通解为
y?13x2?32x?2?Cx; 3）对应的齐次方程为 dydx?2x?1x2?1y?0，其通解为 y?C?x2?1?.
用常数变易法，设原方程的通解为 y?C?x??x2?1??1，对x求导得： y??C?1x2?1?2Cx?x2?1?2. 将y,y?代入原方程有 C??cosx, 故 C?x??sinx?C， 从而
原方程的通解为
y?sinx?Cx2?1; 4）对应的齐次方程为 dydx?yx?2?0，其通解为 y?C?x?2?.
用常数变易法，设原方程的通解为 y?C?x??x?2?，对x求导得： y??C??x?2??C. 将y,y?代入原方程有 C??2?x?2?, 故 C?x??x2?4x?C， 从而
原方程的通解为
y??x?2?3?C?x?2?; 5
（（（ 包含总结汇报、经管营销、行业论文、教学研究、计划方案、旅游景点、农林牧渔、自然科学、人文社科以及十二章习题解答等内容。本文共5页
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