您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
北京市西城区第二四章圆课堂练习题及答案1.doc 1页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
需要金币：150 &&
北京市西城区第二四章圆课堂练习题及答案1
你可能关注的文档：
··········
··········
第二十四章圆测试1圆学习要求理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质．课堂学习检测一、基础知识填空1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________．3．由圆的定义可知：1圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．2要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．8．半径相等的两个圆叫做____________．二、填空题9．如下图，1若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．2若∠A40°，则∠ABO______，∠C______，∠ABC______．综合、运用、诊断10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．1求证：∠AOC∠BOD；2试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．11．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB2DE，∠E18°，求∠C及∠AOC的度数．拓广、探究、思考12．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．测试2垂直于弦的直径学习要求1．理解圆是轴对称图形．2．掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．课堂学习检测一、基础知识填空1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．二、填空题4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB______cm．5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE8cm，CE2cm，则AB______cm．5题图6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB______cm，∠AOB______．6题图7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB90°，ABa，则OA______，O点到AB的距离______．7题图8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE3，BE7，且ABCD，则圆心O到CD的距离是______．8题图9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA6，PB2，⊙O的半径为5，则OP______．9题图10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB6cm，AC4cm，则⊙O的半径等于______cm．10题图综合、运用、诊断11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE1，AE5，∠AEC30°，求CD的长．12．已知：如图，试用尺规将它四等分．13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺10寸．14．已知：⊙O的半径OA1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．15．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB40cm，弦CD48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．拓广、探究、思考16．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD80°，B是的中点．1在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；2若CD4cm，求AP＋PB的最小值．17．如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m竹排与水
正在加载中，请稍后...扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
关于圆的奥数题六年级的
赤衣★戟★
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
有两个圆外切,圆心距为7cm,内切时圆心距为1cm,则两圆的半径分别是多少?把一个圆等分后拼成一个近似于长方形,已知拼成后的这个长方形的周长比圆周长长6厘米.求这个圆的周长和面积已知A(0,1)B(2,1)C(3,4)D(-1,2) 四点 问他们是否在一个圆上已知：三角形ABC内接与圆o,点D在OC的延长线上,sinb=1/2,∠D=30° 1.求证：AD是圆O的切线 2.若AC=6,求AD长已知动圆过点F（－5,0）且与圆x*x+y*y-10x-11=0相切,求动圆圆心的轨迹方程．◎ 左面是一个环形.它的内圆半径是10厘米,外圆半径是15厘米.它的面积是多少?想：这个环形的面积实际就是两个圆面积的（ ）.⑴外圆面积：⑵内圆面积：⑶环形的面积：注（x,y后的数位平方） 已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0（a为实数）上任意一点关于直线L：x-y+2=0的对称点都在圆C上则a等于多少已知△ABC内接于○O,点D在OC的延长线上,sinB=½,∠D=30°（1）求证：AD是○O的切线（2）若AC=6,求AD的长已知正六边形的边心距为a,那么它的边长为 .若圆柱的侧面展开图是一个边长为4cm的正方形,则圆柱底面圆的半径= .若一个正方形的内切圆的面积是πcm2,则它的外接圆面积是 .1.已知A（－2,0）,B（0,2）,C是圆X^2+Y^2-2X=0上任意一点,则三角形ABC面积的最大值是?2.若直线2ax－by+2=0(a>0,b>0)始终平分圆x^2+y^+2x-4y+1=0的周长,则1/a+1/b的最小值是cd是圆o的直径,以d为圆心,od的长为半径作弧,交圆o于两点a b 求证弧ac=cb=ab一个圆柱形水桶,底面直径是28厘米,高是60厘米.已知每升水重1千克,这个水桶大约能盛水多少千克1.从圆外一点引两条切线互相垂直,这点与圆心的距离为4,则圆的半径为?2.圆O切三角形ABC的BC边于D,切AB、AC的延长线于E、F,三角形ABC的周长为18,则AE=?3.圆柱的地面半径为3,母线长为3,那么这个圆柱的侧面展开图的面积是?4.一个圆锥的高为3倍根号3,侧面展开图是半圆,求：圆锥的母线与地面半径之比；锥角的大小；圆锥的表面积（此题要过程）Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=2,O,H分别为边AB,AC的重点,将△ABC饶点B顺时针旋转120度到三角形A1BC1处的位置,则整个旋转过程中线段OH扫过部分的面积,(阴影面积)已知点p在线段AB上,点o在线段AB延长线上.以点o为圆心,op为半径做圆,点c史圆o上一点.如果AP=m,m是常数,＞1,BP=1,op是OA OB的比例中项,当点c在圆o上运动时,求AC：BC 用m的式子表示如图：已知矩形ABCD的边AB经过圆心O,点E、F分别是边AB、CD与圆O的交点,AE=3厘米,AD=4厘米,DF=5厘米,求圆O的直径长.已知点A是圆O上的一个六等分点,点B是弧AN的中点,点P是半径ON上的一动点,若圆O的半径长为1,求AP+BP的最小值如图,三角形ABC,角ACB=90°,角B=60°,CD⊥AB,垂足为D,BD=根号3,以C为圆心,2又根号3为半径左圆C,试分别判断A.D.B三点与圆C的位置关系 1.直角三角形两边长分别为5cm和12cm,求它的外接圆周长和内切圆得面积 2等腰直角三角形内切圆得半径与外切圆的半径之比是?已知⊙○1与⊙○2相交于A、B两点,且圆心○1在⊙○2上,过点A作⊙○1的切线AC交B○1的延长线于点P,交⊙○2于点C,BP交⊙○1于点D,PD=1,PA=根号5.（1)求⊙○1的半径；（2)你发现△PBC是什么形状的三角形?请写出发现的结论并进行证明.已知AB是⊙O的直径,AE平分
为您推荐：
其他类似问题
你要说清楚啊
有两个圆外切，圆心距为7cm，内切时圆心距为1cm，则两圆的半径分别是多少？把一个圆等分后拼成一个近似于长方形，已知拼成后的这个长方形的周长比圆周长长6厘米。求这个圆的周长和面积已知A(0,1)B(2,1)C(3,4)D(-1,2) 四点 问他们是否在一个圆上已知：三角形ABC内接与圆o，点D在OC的延长线上，sinb=1/2，∠D=30° 1.求证：AD是...
扫描下载二维码当前位置： >>
中考与圆有关的综合题(含答案)
2011 全国中考真题解析-与圆有关的综合题 一、选择题 1.已知 AC⊥ 于 C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中⊙ 的半径为 BC Oab 的是( a?b)A. B. C. D. 考点:三角形的内切圆与内心;解一元一次方程;正方形的判定与性质;切线的性质;相似三角形的判定与性质. 专题:计算题.
分析:连接 OE、OD,根据 AC、BC 分别切圆 O 于 E、D,得到∠ OEC=∠ ODC=∠ C=90° ,证出正方形 OECD,设 圆 O 的半径是 r,证△ODB∽ AEO,得出 △ab OE AE ? ,代入即可求出 r= ;设圆的半径是 x,圆切 AC 于 E, a?b BD OD切 BC 于 D,且 AB 于 F,同样得到正方形 OECD,根据 ax+bx=c,求出 x 即可;设圆切 AB 于 F,圆的半径是 y,连接 OF,则△BCA∽ OFA 得出 △OF AO ? ,代入求出 y 即可. BC AB解答:解:C、连接 OE、OD,∵ AC、BC 分别切圆 O 于 E、D, ∴ OEC=∠ ∠ ODC=∠ C=90° OE=OD,∴ ,∵ 四边形 OECD 是正方形, ∴ OE=EC=CD=OD,设圆 O 的半径是 r,∵ OE∥ BC,∴ AOE=∠ ∠ ∠ B,∵ AEO=∠ ODB,∴ ODB∽ AEO, △ △ ∴ab OE AE r b?r ? ? , ,解得:r= ,故本选项正确; a?b BD OD a ? r rA、设圆的半径是 x,圆切 AC 于 E,切 BC 于 D,且 AB 于 F,如图(1)同样得到正方形 OECD,AE=AF,BD=BF,则 ax+bx=c,求出 x=a?b?c ,故本选项错误; 2B、设圆切 AB 于 F,圆的半径是 y,连接 OF,如图(2),则△BCA∽ OFA,∴ △OF AO ? , BC AB ab ab y b? y ∴ ? ,解得:y= ,故本选项错误;D、求不出圆的半径等于 ,故本选项错误;故选 C. a?b a?b a c点评:本题主要考查对正方形的性质和判定,切线的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内切圆与内心, 解一元一次方程等知识点的理解和掌握,能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键. 2.如图,△ABC 的外接圆上,AB,BC,CA 三弧的度数比为 12:13:11.自 BC 上取一点 D,过 D 分别作直线 AC,直线 AB 的并行线,且交 于 E,F 两点,则∠ EDF 的度数为( )第1页A、55° B、60° C、65° 考点:圆心角、弧、弦的关系;平行线的性质. 专题:探究型.D、70°分析:先根据 AB,BC,CA 三弧的度数比为 12:13:11 求出、的度数,再根据其度数即可求出∠ ACB 及∠ ABC 的度数,由平行线的性质即可求出∠ FED 及∠ EFD 的度数,由三角形内角和定理即可求出∠ EDF 的度 数. 解答:解:∵ AB,BC,CA 三弧的度数比为 12:13:11,∴ = = × 360° =120° ,× 360° =110° ∠ ,∴ ACB= × 120° =60° ABC= × ,∠ 110° =55° AC∥ ,∵ ED,AB∥ DF,∴ FED=∠ ∠ ABC=55° EFD=∠ ,∠ ACB=60° ∠ ,∴ EDF=180° 60° 55° =65° .故选 C. 点评:本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质,能根据 AB,BC,CA 三弧的度数比为 12:13:11 求 出∠ ABC 及∠ ACB 的度数是解答此题的关键. 3.如图中,CA,CD 分别切圆 O1 于 A,D 两点,CB、CE 分别切圆 O2 于 B,E 两点.若∠ 1=60° 2=65° ,∠ ,判断 AB、 CD、CE 的长度,下列关系何者正确( )A、AB＞CE＞CE B、AB=CE＞CD C、AB＞CD＞CE D、AB=CD=CE 考点:切线长定理;三角形三边关系;三角形内角和定理. 专题:计算题. 分析:根据∠ 1=60° 2=65° ,∠ ,利用三角形内角和定理求出∠ ABC 的度数,然后可得 AB＞BC＞AC,由切线长定 理得 AC=CD,BC=CE,利用等量代换求得 AB＞CE＞CD 即可. 解答:解:∵ 1=60° 2=65° ∠ ,∠ , ∴ ABC=180° 1∠ ∠ ∠ 2=180° 60° 65° =55° , ∴ 2＞∠ ∠ ABC＞∠ 1, ∴ AB＞BC＞AC, ∵ CA,CD 分别切圆 O1 于 A,D 两点,CB、CE 分别切圆 O2 于 B,E 两点, ∴ AC=CD,BC=CE, ∴ AB＞CE＞CD. 故选 A. 点评:此题主要考查切线长定理和三角形三边关系,三角形内角和定理等知识点,解答此题的关键是利用三角 形内角和定理求出∠ ABC 的度数. 4.如图,BD 为圆 O 的直径,直线 ED 为圆 O 的切线,A.C 两点在圆上,AC 平分∠ BAD 且交 BD 于 F 点.若∠ ADE ＝19° ,则∠ AFB 的度数为何?( )A.97° B.104° C.116° D.142° 考点:弦切角定理;圆周角定理. 分析:先根据直径所对的圆周角为直角得出角 BAD 的度数,根据角平分线的定义得出角 BAF 的的度数,再根 据弦切角等于它所夹弧对的圆周角,得出角 ABD 的度数,最后利用三角形内角和定理即可求出角 AFB 的度 数. 解答:解:∵ 是圆 O 的直径, BD第2页∴ BAD＝90° ∠ , 又∵ 平分∠ AC BAD, ∴ BAF＝∠ ∠ DAF＝45° , ∵ 直线 ED 为圆 O 的切线, ∴ ADE＝∠ ∠ ABD＝19° , ∴ AFB＝180° BAF－∠ ∠ －∠ ABD＝180° －45° －19° ＝116° . 故选 C. 点评:此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用,是一道在圆中求角度数的综合题. 5.如图平面上有两个全等的正十边形 ABCDEFGHIJ、A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′,其中 A 点与 A′点重合,C 点与 C′ 点重合.求∠ BAJ′的度数为何?( )A、96 B、108 C、118 D、126 考点:正多边形和圆;多边形内角与外角;菱形的性质. 专题:计算题. 分析:利用正多边形的性质可以得到四边形 ABCB′为菱形,计算其内角后,用多边形的内角减去即可得到答 案. 解答:解题技巧:(1)正 n 边形每一个内角度数= [解析]∵ 两个图形为全等的正十边形, ∴ ABCB′为菱形, 又∠ ABC=∠ AB′C= =144° ,(2)菱形的邻角互补∴ BAB′=180°144° ∠ =36° , ?∠ BAJ′=∠ B′AJ′∠ BAB′ =144° 36° =108° . 故选 B. 点评:本题考查了正多边形与圆的计算,解题的关键是利用正多边形的性质判定菱形. 6.(2011 山东滨州,8,3 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴上,以 AB 为弦的⊙ 与 x 轴相切.若点 A 的坐标为(0,8),则圆心 M 的坐标为( ) M A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5)【考点】垂径定理;坐标与图形性质;勾股定理;正方形的性质. 【专题】证明题. 【分析】过点 M 作 MD⊥ 于 D,连接 AM.设⊙ 的半径为 R,因为四边形 OABC 为正方形,顶点 A,C 在坐 AB M 标轴上,以边 AB 为弦的⊙ 与 x 轴相切,若点 A 的坐标为(0,8),所以 DA= M △ADM 是直角三角形,利用勾股定理即可得到关于 R 的方程,解之即可.1 AB=4,DM=8-R,AM=R,又因 2第3页【解答】解:过点 M 作 MD⊥ 于 D,交 OC 于点 E.连接 AM,设⊙ 的半径为 R. AB M ∵ 以边 AB 为弦的⊙ 与 x 轴相切,AB∥ M OC, ∴ DE⊥ CO, ∴ 是⊙ 直径的一部分; DE M ∵ 四边形 OABC 为正方形,顶点 A,C 在坐标轴上,点 A 的坐标为(0,8), ∴ OA=AB=CB=OC=8,DM=8-R; ∴ AD=BD=4(垂径定理); 在 Rt△ADM 中, 根据勾股定理可得 AM2=DM2+AD2, ∴ 2=(8-R)2+42,∴ R R=5. ∴ M(-4,5). 故选 D. 【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质.解题时,需仔细分析题意及图 形,利用勾股定理来解决问题. 7.如图,直线 y ?3 x ? 3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,圆心 P 的坐标为(1,0),圆 P 与 y 轴相切于点 3)O.若将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相交时,横坐标为整数的点 P 的个数是( A、2 B、3 C、4 D、5考点:直线与圆的位置关系;一次函数综合题. 分析:根据直线与坐标轴的交点,得出 A,B 的坐标,再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标,进而得出 相交时的坐标.解答: 圆心 P 的坐标为(1,0), ∴ 点的坐标为:0= A x=-3,A(-3,0), B 点的坐标为:(0, 3 ),解:∵ 直线 y ?3 x ? 3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点, 33 x+ 33,∴ AB=2 3 , 将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切与 C 1 时,P1C1=1, 根据△AP1C1∽ ABO, △ ∴AP AP 1 1 ? 1? , AB 2 3 3第4页∴ 1=2, AP∴ 1 的坐标为:(-1,0), P 将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切与 C 2 时,P2C2=1, 根据△AP2C2∽ ABO, △ ∴AP AP2 1 , ? 2 ? 3 AB 2 3∴ 2=2, AP P2 的坐标为:(-5,0), 从-1 到-5,整数点有-2,-3,-4,故横坐标为整数的点 P 的个数是 3 个. 故选 B. 点评:此题主要考查了直线与坐标轴的求法,以及相似三角形的判定,题目综合性较强,注意特殊点的求法是 解决问题的关键. 8.如图,A、B、C、D 是⊙ 上的四个点,AB=AC,AD 交 BC 于点 E,AE=3,ED=4,则 AB 的长为 ( O ) A .3 B .2 3 C. 21 D .3 5第 8 题图考点:圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 分析:根据圆周角定理可得∠ ACB=∠ ABC=∠ D,再利用三角形相似△ABD∽ AEB,即可得出答案. △ 解答:解:∵ AB=AC,∴ ACB=∠ ∠ ABC=∠ D, AB AD ∵ BAD=∠ ∠ BAD,∴ ABD∽ AEB,∴ △ △ ,∴ 2=3× AB 7=21,∴ AB= 21 . ? AE AB 故选 C. 点评:此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质,根据题意得出△ABD∽ AEB 是解决问题的 △ 关键. 二、填空题 1.如图,将正六边形 ABCDEF 放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若 A 点的坐标为(-1,0),则点 C 的坐标 为(1,- 3 ). 考点:正多边形和圆;坐标与图形性质. 专题:计算题. 分析:先连接 OE,由于正六边形是轴对称图形,并设 EF 交 Y 轴于 G,那么∠ GOE=30° Rt△GOE 中,则 ;在 GE=1,OG= 3 .E 的坐标为(1, 3 ),和 E 关于 Y 轴对称的 F 点的坐标就是(-1, 3 ),其他坐标类似可求出. 解答:解:连接 OE,由正六边形是轴对称图形知: 在 Rt△OEG 中,∠ GOE=30° ,OE=2.∴ GE=1,OG=3. ∴ A(-2,0)B(-1,- 3 ) C(1,- 3 )D(2,0)第5页E(1, 3 )F(-1, 3 ). 故答案为:(1,- 3 ) 点评:本题利用了正六边形的对称性,直角三角形 30° 的角所对的边等于斜边的一半,勾股定理等知识.3.(2011 广西百色,20,3 分)如图,点 C 是⊙ 优弧 ACB 上的中点,弦 AB=6cm,E 为 OC 上任意一点,动点 F 从点 O A 出发,以每秒 1cm 的速度沿 AB 方向向点 B 匀速运动,若 y=AE2EF2,则 y 与动点 F 的运动时间 x(0≤x≤6)秒 的函数关系式为 _ ____ .考点:垂径定理;勾股定理. 分析:首先延长 CO 交 AB 于 G,根据垂径定理的知识,可得 CO⊥ AB,并可求得 AG 的值,由勾股定理可得 AE2=AG2+EG2,EF2=FG2+EG2,即可求得 y=AG2FG2,即可求得函数关系式. 解答:解:延长 CO 交 AB 于 G, ∵ C 是⊙ 优弧 ACB 上的中点, 点 O ∴ CO⊥ AB,AG=1 1 AB= × 6=3(cm), 2 2∴ 2=AG2+EG2,EF2=FG2+EG2, AE 当 0≤x≤3 时,AF=xcm,FG=(3x)cm, ∴ y=AE2EF2=AG2+EG2FG2EG2=AG2FG2=9(3x)2=6xx2; 当 3＜x≤6 时,AF=xcm,FG=(x3)cm, ∴ y=AE2EF2=AG2+EG2FG2EG2=AG2FG2=9(x3)2=6xx2. 故答案为:y=6xx2.点评:此题考查了垂径定理与勾股定理的应用.此题难度适中,解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思 想,分类讨论思想的应用. 4.(2011 广西防城港 18,3 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,以 OA 为直径的半圆 O′与弦 AC 交于点 D,O′E∥ AC, 并交 OC 于点 E.则下列四个结论: ① D 为 AC 的中点;② △O′OE＝ 点 S 是1 S△AOC;③ 2;④ 四边形 O′DEO 是菱形.其中正确的结论.(把所有正确的结论的序号都填上)C DEAO/OB第6页考点:圆周角定理;平行线的性质;菱形的判定;圆心角、弧、弦的关系 专题:圆的综合题 分析:(1)如图,连接 OD,则由 AO 是⊙ O′的直径,得∠ ADO＝90° OD⊥ AC,故由垂径定理可知点 D 为弦 AC ,即 弦 的中点,从而① 正确.C DEAO/OB(2)由 O′E∥ AC,得△O O′E∽ OAC,从而 △S ?OO?E OO ? 2 1 1 ) ＝ ,从而 S△O′OE＝ S△AOC,故② ＝( 错误. OA 4 4 S ?OACn? ? OA n? ? O ?A , l弧AD ? ,故 180 180.因此③ 正确.(3)如图,连接 OD、O′D,由 OA＝OC,OD⊥ AC,得∠ AOC＝2∠ AOD;又∠ O′D ＝2∠ A AOD,故∠ O′D ＝∠ A AOC ＝n° OA＝2O′A,由弧长公式可知: l弧AC ? ;又(4)易知 O′E∥ AD,O′E＝AD,故四边形 O′DEO 是平行四边形,但 AD≠A O′,从而四边形 O′DEO 不是菱形,故④ 错 误. 解答:① ③ 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质,圆心角、 弧、 弦的关系,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形 内角和定理等知识点的灵活运用,此题步骤繁琐,但相对而言,难易程度适中,很适合学生的训练是一道典型 的题目. 5. 如图,点 E(0,4),O(0,0),C(5,0)在⊙ 上,BE 是⊙ 上的一条弦.则 tan∠ A A OBE=.考点:圆周角定理;坐标与图形性质;锐角三角函数的定义. 分析:根据同弧所对的圆周角相等,可证∠ ECO=∠ OBE.由锐角三角函数可求 tan∠ ECO= 解答:解:连接 EC. 根据圆周角定理∠ ECO=∠ OBE. 在 Rt△EOC 中,OE=4,OC=5,4 4 ,即 tan∠ OBE= . 5 54 . 5 4 故 tan∠ OBE= . 5则 tan∠ ECO=点评:本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识. 注意锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对比斜;余弦等于邻比斜;正切等于对比邻. 6.如图,点 0 为优弧 ACB 所在圆的圆心,∠ AOC＝108° D 在 AB 延长线上,BD＝BC,则∠ ,点 D＝ .第7页考点:圆周角定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质. 专题:计算题. 分析:根据圆周角定理,可得出∠ ABC 的度数,再根据 BD＝BC,即可得出答案. 解答:解:∵ AOC＝108° ∠ ∠ ,∴ ABC＝54° , ∵ BD＝BC,∴ D＝∠ ∠ BCD＝1 ∠ ABC＝27° , 2故答案为 27° . 点评:本题考查了圆周角定理.三角形外角的性质以及等腰三角形的性质,是基础知识比较简单. 7. 2011 黑龙江省黑河, 8,3 分)如图,A、B、C、D 是⊙ 上的四个点,AB=AC,AD 交 BC 于点 E,AE=3,ED=4, O 则 AB 的长为 21 .【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理;相交弦定理. 【专题】计算题. 【分析】可证明△ABE∽ ADB,则 △AB AE = ,则 AB2=AD?AE,由 AE=3,ED=4,即可求得 AB. AD AB【解答】解:∵ AB=AC,∴ ABE=∠ ∠ ADB, ∴ ABE∽ ADB,则 △ △ 即 AB2=AD?AE, ∵ AE=3,ED=4, ∴ AB=AB AE = AD AB? AE ? DE ? ? AE ?7 ? 3 ? 21 .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理以及相交线定理,是基础知识要熟练掌握. 8.如图,一个半径为 2 2 的圆经过一个半径为 4 的圆的圆心,则图中阴影部分的面积为 .考点:相交两圆的性质;扇形面积的计算. 专题:计算题;数形结合. 分析:连接 O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,由勾股定理得逆定理得∠ 2O1A=∠ 2O1B=90° O O ,则点 A、O1、B 在同一条 1 1 直线上,则 AB 是圆 O1 的直径,从的得出阴影部分的面积 S 阴影= S⊙1S 弓形 AO1B= S⊙1(S 扇形 AO2BS△AO2B). 2 2 解答:解:连接 O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,∵ 1O2=O1A=2 2 ,O2A=4,∴ 1O22+O1A2=O2A2,∴ O2O1A=90° O O ∠ ,同理 1 ∠ 2O1B=90° 点 A、O1、B 在同一条直线上,并且∠ 2B=90° AB 是圆 O1 的直径,∴ 阴影= S⊙1S 弓形 O ,∴ AO ,∴ S 2 1 1 1 2 2 1 S⊙1(S 扇形 AO2BS△AO2B)= π(2 2 )
π×4 + × 4=8 4× AO1B= 2 2 4 2 故答案为 8.第8页点评:本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质,解题的关键是发现阴影部分的面积的计算 方法. 9.如图,⊙ 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G,∠ O EOD=40° ,则∠ FCD 的度数为 20° .考点:圆周角定理;垂径定理. 专题:几何图形问题. 分析:根据垂径定理得出弧 DE 等于弧 DF,再利用圆周角定理得出∠ FCD=20° . 解答:解:∵ O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G, ⊙ ? ? ∴DE ? DF , ∴ DCF= ∠1 ∠ EOD, 2∵ EOD=40° ∠ , ∴ FCD=20° ∠ , 故答案为:20° . 点评:此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,灵活应用相关定理是解决问题的关键. 10 2. 【考点】两点间的距离. 【分析】根据 AB=12,AC=8,求出 BC 的长,再根据点 D 是线段 BC 的中点,得出 CD=BD 即可得出答案. 【解答】解:∵ AB=12,AC=8, ∴ BC=4, ∵ C 是线段 AB 上的点,点 D 是线段 BC 的中点, 点 ∴ CD=BD=2, 故答案为:2. 【点评】此题主要考查了两点距离求法,根据已知求出 BC=4 是解决问题的关键.16、如图,△ABC 内接于⊙ O,已知∠ A=55° ,则∠ BOC= 110° . 【考点】圆周角定理. 【分析】直接利用圆周角定理同弧所对的圆周角是圆心角的一半,直接得出答案.【解答】 ∴ BOC=110° ∠ ,解:∵ ABC 内接于⊙ △ O,已知∠ A=55° ,第9页故答案为:110° . 【点评】此题主要考查了圆周角定理,熟练应用圆周角定理是解决问题的关键. 三、解答题 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90° ,AC=6cm,BC=8cm.P 为 BC 的中点,动点 Q 从点 P 出发,沿射线 PC 方向以 2cm/s 的速度运动,以 P 为圆心,PQ 长为半径作圆.设点 Q 运动的时间为 t s. (1)当 t=1.2 时,判断直线 AB 与⊙ 的位置关系,并说明理由; P (2)已知⊙ 为△ABC 的外接圆.若⊙ 与⊙ 相切,求 t 的值. O P O考点:圆与圆的位置关系;勾股定理;直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质. 专题:几何综合题;动点型. 分析:(1)根据已知求出 AB=10cm,进而得出△PBD∽ ABC,利用相似三角形的性质得出圆心 P 到直线 AB 的距 △ 离等于⊙ 的半径,即可得出直线 AB 与⊙ 相切; P P (2)根据 BO=1 AB=5cm,得出⊙ 与⊙ 只能内切,进而求出⊙ 与⊙ 相切时,t 的值. P O P O 2解答:解:(1)直线 AB 与⊙ 相切, P 如图,过 P 作 PD⊥ AB,垂足为 D, 在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90° , ∵ AB=6cm,BC=8cm, ∴ AB=10cm, ∵ 为 BC 中点, P ∴ PB=4cm, ∵ PDB=∠ ∠ ACB=90° , ∠ PBD=∠ ABC, ∴ PBD∽ ABC, △ △PD PB ? , AC AB PD 4 ? , 即 6 10∴ ∴ PD=2.4(cm), 当 t=1.2 时,PQ=2t=2.4(cm),∴ PD=PQ,即圆心 P 到直线 AB 的距离等于⊙ 的半径, P ∴ 直线 AB 与⊙ 相切; P (2)∵ ACB=90° ∠ , ∴ 为△ABC 的外接圆的直径, AB ∴ BO=1 AB=5cm, 2 1 AC=3cm, 2第 10 页连接 OP, ∵ 为 BC 中点,∴ P PO=∵ P 在⊙ 内部,∴ P 与⊙ 只能内切, 点 O ⊙ O∴ 52t=3,或 2t5=3, ∴ 或 4, t=1 ∴ P 与⊙ 相切时,t 的值为 1 或 4. ⊙ O点评:此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,正确判定直 线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习. 2.如图,已知 AB 是⊙ 的弦,OB=2,∠ O B=30° 是弦 AB 上的任意一点 (不与点 A、B 重合),连接 CO 并延长 ,C CO 交⊙ 于点 D,连接 AD. O (1)弦长等于________(结果保留根号); (2)当∠ D=20° 时,求∠ BOD 的度数; (3)当 AC 的长度为多少时,以 A、C、D 为顶点的三角形与以 B、C、0 为顶点的三角形相似?请写出解答过 程.考点:圆周角定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形. 专题:几何综合题;数形结合. 分析:(1)过点 O 作 OE⊥ 于 E,由垂径定理即可求得 AB 的长; AB(2)连接 OA,由 OA=OB,OA=OD,可得∠ BAO=∠ DAO=∠ B,∠ D,则可求得∠ DAB 的度数,又由圆周角等于同弧 所对圆心角的一半,即可求得∠ DOB 的度数; (3)由∠ BCO=∠ A+∠ D,可得要使△DAC 与△BOC 相似,只能∠ DCA=∠ BCO=90° ,然后由相似三角形的性质即 可求得答案. 解答:解:过点 O 作 OE⊥ 于 E, AB1 则 AE=BE= 2 AB,∠ OEB=90° , ∵ OB=2,∠ B=30° , 3 ∴ BE=OB?cos∠ B=2× 2 = ,∴ AB= 2 3 ; 故答案为: 2 3 ; (2)连接 OA,第 11 页∵ OA=OB,OA=OD, ∴ BAO=∠ DAO=∠ ∠ B,∠ D, ∴ DAB=∠ ∠ BAO+∠ DAO=∠ B+∠ D, 又∵ B=30° D=20° ∠ ,∠ , ∴ DAB=50° ∠ , ∴ BOD=2∠ ∠ DAB=100° ; (3)∵ BCO=∠ ∠ A+∠ D, ∴ BCO＞∠ BCO＞∠ ∠ A,∠ D, ∴ 要使△DAC 与△BOC 相似,只能∠ DCA=∠ BCO=90° , 此时∠ BOC=60° BOD=120° ,∠ , ∴ DAC=60° ∠ , ∴ DAC∽ BOC, △ △ ∵ BCO=90° ∠ , 即 OC⊥ AB, 1 ∴ AC= 2 AB= 3 . 点评:此题考查了垂径定理,圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.题目综合性较强,解题时要 注意数形结合思想的应用. 3.如图,以点 O 为圆心的两个同心圆中,矩形 ABCD 的边 BC 为大圆的弦,边 AD 与小圆相切于点 M,OM 的延 长线与 BC 相交于点 N. (1)点 N 是线段 BC 的中点吗?为什么? (2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为 6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.考点:垂径定理;勾股定理;矩形的性质. 专题:几何综合题;探究型. 分析:(1)由 AD 是小圆的切线可知 OM⊥ AD,再由四边形 ABCD 是矩形可知,AD∥ BC,AB=CD,故 ON⊥ BC,由 垂径定理即可得出结论; (2)延长 ON 交大圆于点 E,由于圆环的宽度(两圆半径之差)为 6cm,AB=5cm 可知 ME=6cm,在 Rt△OBE 中,利 用勾股定理即可求出 OM 的长. 解答:解:(1)∵ 是小圆的切线,M 为切点, AD ∴ OM⊥ AD, ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥ BC,AB=CD, ∴ ON⊥ BC,BE=BC=5cm, ∴ 是 BC 的中点; N (2)延长 ON 交大圆于点 E, ∵ 圆环的宽度(两圆半径之差)为 6cm,AB=5cm, ∴ ME=6cm, 在 Rt△OBE 中,设 OM=r OB2=BC2+(OM+MN)2,即(r+6)2=52+(r+5)2,解得 r=7cm,第 12 页故小圆半径为 7cm.点评:本题考查的是垂径定理,涉及到切线的性质及勾股定理、矩形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角 三角形是解答此题的关键. 5.如图,在△ABC 中,∠ C=90° AB 上一点 O 为圆心,OA 长为半径的圆与 BC 相切于点 D,分别交 AC、AB 于 ,以 点 E、F. (1)若 AC=6,AB=10,求⊙ 的半径; O (2)连接 OE、ED、DF、EF.若四边形 BDEF 是平行四边形,试判断四边形 OFDE 的形状,并说明理由.考点:切线的性质;勾股定理;平行四边形的性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 专题:计算题.OD OB ? ,从而求得 AC AB 1 (2)由四边形 BDEF 是平行四边形,得∠ DEF=∠ B,再由圆周角定理可得,∠ B= ∠ DOB,则△ODE 是等边三角形, 2分析:(1)连接 OD,设⊙ 的半径为 r,可证出△BOD∽ BAC,则 O △ 先得出四边形 OFDE 是平行四边形. 再根据 OE=OF,则平行四边形 OFDE 是菱形. 解答:解:(1)连接 OD.设⊙ 的半径为 r.∵ 切⊙ 于点 D,∴ O BC O OD⊥ BC. ∵ C=90° OD∥ ∠ ,∴ AC,∴ OBD∽ ABC.∴ △ △ 解得 r=OD OB ? ,即 10r=6(10r). AC AB15 15 ,∴ O 的半径为 ⊙ . 4 4(2)四边形 OFDE 是菱形. ∵ 四边形 BDEF 是平行四边形,∴ DEF=∠ ∠ B. ∵ DEF= ∠1 1 ∠ DOB,∴ B= ∠ ∠ DOB. 2 2∵ ODB=90° ∠ ∠ ,∴ DOB+∠ B=90° ∠ ,∴ DOB=60° . ∵ DE∥ AB,∴ ODE=60° ∠ . ∵ OD=OE,∴ OD=DE.∵ OD=OF,∴ DE=OF.∴ 四边形 OFDE 是平行四边形. ∵ OE=OF, ∴ 平行四边形 OFDE 是菱形.第 13 页点评:本题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、平行四边形的判定和性质以及相似三角形的判定和 性质,是一个综合题,难度中等. 6.(2011 江苏扬州,26,10 分)已知,如图,在 Rt△ABC 中,∠ C=90? BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D. ,∠ (1)以 AB 边上一点 O 为圆心,过 A,D 两点作⊙ O(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线 BC 与⊙ 的位置关系, O 并说明理由; (2)若(1)中的⊙ 与 AB 边的另一个交点为 E,AB=6,BD=2 3 , O 面积.(结果保留根号和 π) 求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形考点:切线的判定与性质;勾股定理;扇形面积的计算;作图―复杂作图;相似三角形的判定与性质. 分析:(1)根据题意得:O 点应该是 AD 垂直平分线与 AB 的交点;由∠ BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D,与圆 的性质可证得 AC∥ OD,又由∠ C=90° ,则问题得证;(2)过点 D 作 DM⊥ 于 M,由角平分线的性质可证得 AB DM=CD,又由△BDM∽ BAC,根据相似三角形的对应边成比例,即可证得 CD:AC= 3 :3,可得∠ △ DOB=60° ,则 问题得解. 解答:解:(1)如图:连接 OD, ∵ OA=OD, ∴ OAD=∠ ∠ ADO, ∵ BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D, ∠ ∴ CAD=∠ ∠ OAD, ∴ CAD=∠ ∠ ADO, ∴ AC∥ OD, ∵ C=90° ∠ , ∴ ODB=90° ∠ , ∴ OD⊥ BC, 即直线 BC 与⊙ 的切线, O ∴ 直线 BC 与⊙ 的位置关系为相切; O(2)过点 D 作 DM⊥ 于 M, AB ∴ DMB=∠ ∠ C=90° , ∵ B=∠ ∠ B, ∴ BDM∽ BAC, △ △ ∴ ∵ 是∠ AD CAB 的平分线, ∴ CD=DM, ∴ , ,∴ CAD=30° ∠ , ∴ DAB=30° B=30° ∠ ,∠ , ∴ DOB=60° ∠ ,第 14 页∴ OD=2, ∴ 扇形 ODE= S = π,S△ODB=1 1 OD?BD= × 2 2× 2 23 =2 3∴ 线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积为:S△ODBS 扇形 ODE=2 3
π.点评:此题考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质以及扇形面积与三角形面积的求解方法等知 识.此题综合性很强,解题的关键是注意数形结合思想的应用. 7.如图,已知⊙ 的半径为 2,弦 BC 的长为 2 3 ,点 A 为弦 BC 所对优弧上任意一点(B,C 两点除外). O (1)求∠ BAC 的度数; (2)求△ABC 面积的最大值. (参考数据:sin60° =3 3 3 ,cos30° = ,tan30° = .) 2 2 3考点:垂径定理;圆周角定理;解直角三角形. 专题:几何综合题. 分析:(1)连接 OB、OC,作 OE⊥ 于点 E,由垂径定理可得出 BE=EC= 3 ,在 Rt△OBE 中利用锐角三角函数 BC 的定义及特殊角的三角函数值可求出∠ BOE 的度数,再由圆周角定理即可求解; (2)因为△ABC 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最大,此时点 A 应落在优弧 BC 的中点处,过 OE⊥ 与点 E,延长 EO 交⊙ 于点 A,则 A 为优弧 BC 的中点,连接 AB,AC,则 AB=AC,由圆周角 BC O 定理可求出∠ BAE 的度数,在 Rt△ABE 中,利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出 AE 的长, 由三角形的面积公式即可解答.解答:解:(1)解法一:连接 OB,OC,过 O 作 OE⊥ 于点 E.∵ BC OE⊥ BC,BC= 2 3 ,∴BE ? EC ? 3 .在 Rt△OBE 中,OB=2,∵sin ?BOE ?1 BE 3 ? ,∴ BOE=60° ∠ ∠ ,∴ BOC=120° ?BAC ? ?BOC ? 60 ? . ,∴ 2 OB 2第 15 页解法二:连接 BO 并延长,交⊙ 于点 D,连接 CD.∵ 是直径,∴ O BD BD=4,∠ DCB=90° . 在 Rt△DBC 中, sin ?BDC ?BC 2 3 3 ,∴ BDC=60° ∠ ∠ ,∴ BAC=∠ BDC=60° . ? ? BD 4 2(2)解法一:因为△ABC 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最大,此时点 A 落在优弧 BC 的中点处.(5 分) 过 O 作 OE⊥ 于 E,延长 EO 交⊙ 于点 A,则 A 为优弧 BC 的中点.连接 AB,AC,则 BC O1 ?BAC ? 30? .在 Rt△ABE 2 BE 中,∵BE ? 3 , ?BAE ? 30? ,∴ AE ? ? tan30?AB=AC, ?BAE ? 答:△ABC 面积的最大值是 3 3 .1 ? 3 ,∴S△ABC= ? 2 3 ? 3 ? 3 3 . 2 3 33解法二:因为△ABC 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最大,此时点 A 落在优弧 BC 的中点处.(5 分) 过 O 作 OE⊥ 于 E,延长 EO 交⊙ 于点 A,则 A 为优弧 BC 的中点.连接 AB,AC,则 BC O AB=AC.∵ BAC=60° △ ∠ ,∴ ABC 是等边三角形.在 Rt△ABE 中,∵BE ? 3 , ?BAE ? 30? ,1 ? 3 ,∴S△ABC= ? 2 3 ? 3 ? 3 3 . 2 3 3 答:△ABC 面积的最大值是 3 3 .∴ AE ?BE ? tan30?3点评:本题考查的是垂径定理、圆圆周角定理及解直角三角形,能根据题意作出辅助线是解答此题的关键. 8.如图所示.P 是⊙ 外一点.PA 是⊙ 的切线.A 是切点.B 是⊙ 上一点.且 PA＝PB,连接 AO、 O O O BO、 AB,并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q. (1)求证:PB 是⊙ 的切线; O (2)求证: AQ?PQ＝ OQ?BQ; (3)设∠ AOQ＝ ? .若 cos ? ＝4 .OQ＝ 15.求 AB 的长 5第 16 页考点:直线与圆的位置关系,切线,切线长,相似,解直角三角形,综合题. 专题:圆、相似 分析:(1)要证 PB 是⊙ 的切线,只要证明∠ O PBO＝90° 即可,根据已知条件可考虑连接 PO,通过证明 △APO≌ BPO 来说明∠ △ PBO＝∠ PAO＝90° . (2)要证明 AQ?PQ＝ OQ?BQ,只需证明PQ BQ 即可,为此需要证明△QPB∽? QOA. ? OQ AQ(3)根据已知条件解 Rt△AOQ 可得 AQ 与 OA 的长,则 BQ 的长可求,利用(2)中证得的△QPB∽? QOA,根据相 似三角形的性质可求得 PB 的长,利用勾股定理可得 PO 的长,在 Rt△AOB 中,利用面积等积式可求得 AB 的一 半的长,则 AB 的长可知. 解答:(1)证明:如图所示,连结 OP,交 AB 于点 C. ∵ ＝PB,AO＝BO,PO＝PO PA ∴ APO≌ BPO. △ △ ∴ PBO＝∠ ∠ PAO＝90° 又∵ 是⊙ 的切线 PA O ∴ PA⊥ OA,即∠ PAO＝90° . ∴ PBO＝∠ ∠ PAO＝90° . ∴ 是⊙ 的切线. PB O(2)证明:∵ OAQ＝∠ ∠ PBQ＝90° Q 为公共角, ,∠ ∴ QPB∽? QOA. △PQ BQ ,即 AQ?PQ＝ OQ?BQ. ? OQ AQ OA 4 4 4 ? ,∴OA ? OQ ? ?15 ? 12 . (3)在 Rt△AOQ 中, cos ? ? 5 5 OQ 5∴2 2 2 2 ∴ AQ ? OQ ? OA ? 15 ? 12 ? 9 ,BQ＝BO＋OQ＝AO＋OQ＝12＋15＝27.由(2)知△QPB∽? QOA,∴OA QA 12 9 ? ? ,即 ,解得 PB＝36. PB 27 PB QB∵ PA、PB 都是⊙ 的切线,PA＝PB, O ∴ APC＝∠ ∠ BPC,∴ PC⊥ AB,即 OC⊥ AB. ∴ AB＝2BC, PO ? ∵S Rt ?POB ?PB2 ? OB2 ? 362 ?122 ? 12 10 .1 1 PB? ? PO?BC , OB 2 2第 17 页∴BC ?PB? OB 36 ?12 18 10 . ? ? PO 5 12 1036 10 . 5∴ AB ? 2 BC ?点评:(1)要证明一条直线是圆的切线,如果在已知条件中已知直线和圆已有一个公共点,那么常连接这个公 共点和圆心(本题中 OB 已连接),再说明这条半径和直线垂直,简称D连半径证垂直‖. (2)等积式的证明经常需转化成比例式来证明,而证明比例式成立的首选方法是利用相似,根据相似三角形对 应边成比例的性质建立比例式. (3)在直角三角形中,经常利用面积等积式来求有关线段的长. 另外,本题前两问比较简单,易于寻找解题思路,而第(3)问综合性巧强,用到的知识较多,所要求的线段的长较 多,许多同学会不能顺利做解. 11.如图,已知 △ABC ,以 BC 为直径, O 为圆心的半圆交 AC 于点 F ,点 E 为弧 CF 的中点,连接 BE 交 AC 于点 M , AD 为△ABC 的角平分线,且 AD ? BE ,垂足为点 H . (1)求证: AB 是半圆 O 的切线; (2)若 AB ? 3 , BC ? 4 ,求 BE 的长. A F H A B A ME AA C D O A AA 考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 专题:综合题. 分析:(1)连接 EC,AD 为△ABC 的角平分线,得∠ 1＝∠ 2,又 AD⊥ BE,可证∠ 3＝∠ 4,由对顶角相等得∠ 4＝ ∠ 5,即∠ 3＝∠ 5,由 E 为弧 CF 的中点,得∠ 6＝∠ 7,由 BC 为直径得 ∠ E＝90° ,即∠ 5＋∠ 6＝90° AD∥ 可证∠ ,由 CE 2＝∠ 6,从而有∠ 3＋∠ 7＝90° ,证明结论; (2)在 Rt△ABC 中,由勾股定理可求 AC＝5,由∠ 3＝∠ 得 AM＝AB＝3,则 CM＝AC－AM＝2,由(1)可证 4 △CME∽ BCE,利用相似比可得 EB＝2EC,在 Rt△BCE 中,根据 BE2＋CE2＝BC2,得 BE2＋( △ BE. 解答:(1)证明:连接 EC, ∵ AD⊥ 于 H,∠ BE 1＝∠ 2, ∴ 3＝∠ ∴ 4＝∠ ∠ 4 ∠ 5＝∠ 3, 又∵ 为弧 CF 中点, ∴ 6＝∠ E ∠ 7, ∵ 是直径, ∴ E＝90° ∴ 5＋∠ BC ∠ , ∠ 6＝90° , 又∵ AHM＝∠ ∠ E＝90° ∴ , AD∥ CE, ∴ 2＝∠ ∠ 6＝∠ ∴ 3＋∠ 1, ∠ 7＝90° , 又∵ 是直径, ∴ 是半圆 O 的切线; BC AB (2)∵ AB ? 3 , BC ? 4 . 由(1)知, ?ABC ? 90 ,∴ AC ? 5 . 在 △ABM 中, AD ? BM 于 H , AD 平分 ?BAC , ∴ AM ? AB ? 3 ,∴CM ? 2 .?)2＝42,可求由 △CME ∽△BCE ,得 ∴EB ? 2 EC , ∴BE ?EC MC 1 ? ? . EB CB 28 5 5点评:本题考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,勾股定理的运用.关键是由 已知条件推出相等角,构造互余关系的角推出切线,利用相等角推出相似三角形,由相似比得出边长的关系,第 18 页由勾股定理求解. 12.已知 AB 与⊙ 相切于点 C,OA=OB,OA、OB 与⊙ 分别交于点 D、E. O O (I)如图① ,若⊙ 的直径为 8,AB=10,求 OA 的长(结果保留根号); O (II)如图② ,连接 CD、CE,若四边形 ODCE 为菱形,求OD 的 OA值. 考点:切线的性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理;菱形的性质. 专题:几何图形问题. 分析:(1)连接 OC,根据切线的性质得出 OC⊥ AB,再由勾股定理求得 OA 即可; (2)根据菱形的性质,求得 OD=CD,则△ODC 为等边三角形,可得出∠ A=30° ,即可求得 解答:解:(1)如图① ,连接 OC,则 OC=4, ∵ 与⊙ 相切于点 C,∴ AB O OC⊥ AB, ∴ 在△OAB 中,由 AO=OB,AB=10m,得 AC=OD 的值. OA1 AB=5. 2在 Rt△AOC 中,由勾股定理得 OA= OC 2 ? AC2 ?42 ? 52 ? 41(2)如图② ,连接 OC,则 OC=OD, ∵ 四边形 ODCE 为菱形,∴ OD=CD, ∴ ODC 为等边三角形,有∠ △ AOC=60° . 由(1)知,∠ OCA=90° ∠ ,∴ A=30° , ∴ OC=1 OD 1 OA,∴ = . 2 OA 2点评:本题考查了切线的性质和勾股定理以及直角三角形、菱形的性质,是一道综合题,要熟练掌握. 13.如图,BD 是⊙ 的直径,A、C 是⊙ 上的两点,且 AB＝AC,AD 与 BC 的延长线交于点 E. O O (1)求证:△ABD∽ AEB; △第 19 页(2)若 AD＝1,DE＝3,求 BD 的长.考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理. 专题:几何证明和计算题 分析:(1)结合已知条件就可以推出∠ ABC＝∠ ADB,再加上公共角就可以推出结论; (2)由(1)的结论就可以推出 AB 的长度,规矩勾股定理即可推出 BD 的长度. 解答:(1)证明:∵ AB＝AC, ∴ AB＝弧 AC . 弧 ∴ ABC＝∠ ∠ ADB.(2 分) 又∠ BAE＝∠ DAB, ∴ ABD∽ AEB.(4 分) △ △ (2)解:∵ ABD∽ AEB, △ △ ∴AB AD ? . AE AB∵ AD＝1,DE＝3, ∴ AE＝4. ∴ 2＝AD?AE＝1× AB 4＝4. ∴ AB＝2.(6 分) ∵ 是⊙ 的直径, BD O ∴ DAB＝90° ∠ . 在 Rt△ABD 中,BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5, ∴ BD＝ 5 .(8 分) 点评:本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理,解题的关键在于找到∠ ABC＝ ∠ ADB,求证三角形相似. 14. 如图,在圆内接四边形 ABCD 中,CD 为∠ BCA 的外角的平分线,F 为 AD 弧上一点,BC=AF,延长 DF 与 BA 的延长线交于 E.(1)求证:△ABD 为等腰三角形. (2)求证:AC?AF=DF?FE. 考点:圆周角定理;全等三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质. 专题:证明题. 分析:(1)CD 为∠ BCA 的外角的平分线得到∠ MCD=∠ ACD,求出∠ MCD=∠ DAB 推出∠ DBA=∠ DAB 即可; (2)由 BC=AF 推出 CD=DF 和∠ CDB=∠ ADF,证△CDA≌ FDB,得到 AC=BF,根据 C D F B 四点共圆和 A F D △ B 四点共圆,推出∠ FAE=∠ BDF 和∠ EFA=∠ DFB,证△DBF∽ AEF,得到 AFDF= EFBF 即可推出答案. △ 解答:(1)证明:∵ 为∠ CD BCA 的外角的平分线, ∴ MCD=∠ ∠ ACD, ∵ A、B、C、D 四点共圆, ∴ MCD=∠ ∠ DAB, ∵ DCA=∠ ∠ DBA, ∴ DBA=∠ ∠ DAB, ∴ BD=AD,第 20 页∴ ABD 是等腰三角形. △ (2)证明:∵ BC=AF, ∴ BC=弧 AF, 弧 ∵ AD=BD, ∴ AD=弧 BD, 弧 ∴ CD=弧 DF, 弧 ∴ CD=DF, ∵ BC=弧 DF, 弧 ∴ CDB=∠ ∠ ADF, ∴ CDA=∠ ∠ FDB, ∵ AD=BD,CD=DF, ∴ CDA≌ FDB, △ △ ∴ AC=BF, ∵ D F B 四点共圆,A F D B 四点共圆, C ∴ FAE=∠ ∠ BDF,∠ MCD=∠ DFB,∠ EFA=∠ DBA=∠ DCA, ∵ MCD=∠ ∠ DCA, ∴ EFA=∠ ∠ DFB, ∴ DBF∽ AEF, △ △ ∴AFDF= EFBF, ∴ AF?BF=DF?EF, ∴ AC?AF=DF?FE. 点评:本题主要考查对圆内接四边形,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,圆周角定理等知 识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键. 15. ∵ 1+∠ ∠ OBC=90° 2+∠ ,∠ OCB=90° , 又∵ OC=OB, ∴ OBC=∠ ∠ OCB, ∴ 1=∠ ∠ 2,(2 分) ∴ AOB∽ BDC;(3 分) △ △(2)解:① 过点 O 作 OF⊥ 于点 F,则四边形 OABF 是矩形(4 分) BC ∴ BF=OA=1, 由垂径定理,得 BC=2BF=2,(5 分) 在 Rt△AOB 中,OA=1,OB=x ∴ AB= 由(1)得△AOB∽ BDC △ ∴ ∴ y= = ,即 = ;(7 分) , = ,(6 分)② BE 与小圆相切时,OE⊥ 当 BE, ∵ OE=1,OC=x, ∴ EC=x1,BE=AB= ,(8 分)在 Rt△BCE 中,根据勾股定理得:EC2+BE2=BC2,第 21 页即(x1)2+()2=22,(9 分)解得:x1=2,x2=1(舍去),(10 分) ∴ BE 与小圆相切时,x=2.(11 分) 当点评:此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理及垂径定理.遇到切线,连接圆心与切点,是 常常连接的辅助线,借助图形,由切线的性质构造直角三角形,然后利用勾股定理解决问题.熟练掌握切线的 性质是解本题的关键. 16.(2011?菏泽)如图,BD 为⊙ 的直径,AB=AC,AD 交 BC 于点 E,AE=2,ED=4, O (1)求证:△ABE∽ ADB; △ (2)求 AB 的长; (3)延长 DB 到 F,使得 BF=BO,连接 FA,试判断直线 FA 与⊙ 的位置关系,并说明理由. O考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;切线的判定. 专题:计算题;证明题. 分析:(1)根据 AB=AC,可得∠ ABC=∠ C,利用等量代换可得∠ ABC=∠ 然后即可证明△ABE∽ ADB. D △ (2)根据△ABE∽ ADB,利用其对应边成比例,将已知数值代入即可求得 AB 的长. △ (3)连接 OA,根据 BD 为⊙ 的直径可得∠ O BAD=90° ,利用勾股定理求得 BD,然后再求证∠ OAF=90° 即可. 解答:解:(1)证明: ∵ AB=AC, ∴ ABC=∠ ∠ C, ∵ C=∠ ∠ D, ∴ ABC=∠ ∠ D, 又∵ BAE=∠ ∠ EAB, ∴ ABE∽ ADB, △ △ (2)∵ ABE∽ ADB, △ △ ∴ ,∴ 2=AD?AE=(AE+ED)?AE=(2+4)× AB 2=12, ∴ AB= .(3)直线 FA 与⊙ 相切,理由如下: O 连接 OA,∵ 为⊙ 的直径, BD O ∴ BAD=90° ∠ , ∴ BF=BO= ,第 22 页,∵ AB=,∴ BF=BO=AB, ∴ OAF=90° ∠ , ∴ 直线 FA 与⊙ 相切. O 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,切线的判定等知识点,有一定的拔高难 度,属于难题. 17.如图,直线 PM 切⊙ 于点 M,直线 PO 交⊙ 于 A、B 两点,弦 AC∥ O O PM, 连接 OM、BC. 求证:(1)△ABC∽ POM; △ (2) 2OA ? OP?BC .2【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质. 【分析】(1)M 切⊙ 于点 M,所以∠ O PMO=90° ,又因为弦 AB 是直径,所以∠ ACB=∠ PMO=90° ,再有条件弦 AC∥ PM,可证得∠ CAB=∠ P,进而可证得△ABC∽ POM;(2)有(1)可得 △ 所以 2OA2=OP?BC. 【解答】证明:(1)∵ 直线 PM 切⊙ 于点 M, O ∴ PMO=90° ∠ , ∵ AB 是直径, 弦 ∴ ACB=90° ∠ , ∴ ACB=∠ ∠ PMO, ∵ AC∥ PM, ∴ CAB=∠ ∠ P, ∴ ABC∽ POM; △ △ (2)∵ ABC∽ POM, △ △ ∴AB BC ? ,又因为 AB=2OA,OA=OM; PO OMAB BC ? , PO OM2OA BC ? , PO OA又 AB=2OA,OA=OM, ∴∴ 2OA2=OP?BC. 【点评】 本题考查了切线的性质:① 圆的切线垂直于经过切点的半径;② 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点;③ 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心和相似和圆有关的知识,具有一定的综合性. 19.如图,已知点 A、B、C、D 均在已知圆上,AD∥ BC,BD 平分∠ ABC,∠ BAD=120° ,四边形 ABCD 的周长为 15. (1)求此圆的半径; (2)求图中阴影部分的面积.第 23 页考点:扇形面积的计算;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理. 专题:几何图形问题. 分析:(1)根据条件可以证得四边形 ABCD 是等腰梯形,且 AB=AD=DC,∠ DBC=90° ,在直角△BDC 中,BC 是圆 的直径,BC=2DC,根据四边形 ABCD 的周长为 15,即可求得 BC,即可得到圆的半径; (2)根据 S 阴影=S 扇形 AOD-S△AOD 即可求解. 解答:解:(1)∵ AD∥ BC,∠ BAD=120° ∠ .∴ ABC=60° . 又∵ 平分∠ BD ABC, ∴ ABD=∠ ∠ DBC=∠ ADB=30° ∴ = = ,∠ BCD=60° ∴ AB=AD=DC,∠ DBC=90° 又在直角△BDC 中,BC 是圆的直径,BC=2DC. ∴ BC+3 BC=15 2∴ BC=6 ∴ 此圆的半径为 3. (2)设 BC 的中点为 O,由(1)可知 O 即为圆心. 连接 OA,OD,过 O 作 OE⊥ 于 E. AD 在直角△AOE 中,∠ AOE=30°3 3 2 1 3 3 9 3 S△AOD= × 3× = . 2 2 4 60 ? ? ? 32 9∴ OE=OA?cos30°=3? 9 6? -9 3 S阴影 ? S扇形AOD -SAOD ? 3? 3= 360 4 2 4 4 ∴ 点评:本题主要考查了扇形的面积的计算,正确证得四边形 ABCD 是等腰梯形,是解题的关键. 20.如图,BD 为⊙ 的直径,AB=AC,AD 交 BC 于点 E,AE=2,ED=4, O (1)求证:△ABE∽ ADB; △ (2)求 AB 的长; (3)延长 DB 到 F,使得 BF=BO,连接 FA,试判断直线 FA 与⊙ 的位置关系,并说明理由. O考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;切线的判定. 专题:计算题;证明题. 分析:(1)根据 AB=AC,可得∠ ABC=∠ C,利用等量代换可得∠ ABC=∠ 然后即可证明△ABE∽ ADB. D △ (2)根据△ABE∽ ADB,利用其对应边成比例,将已知数值代入即可求得 AB 的长. △ (3)连接 OA,根据 BD 为⊙ 的直径可得∠ O BAD=90° ,利用勾股定理求得 BD,然后再求证∠ OAF=90° 即可. 解答:解:(1)证明:第 24 页∵ AB=AC, ∴ ABC=∠ ∠ C, ∵ C=∠ ∠ D, ∴ ABC=∠ ∠ D, 又∵ BAE=∠ ∠ EAB, ∴ ABE∽ ADB, △ △ (2)∵ ABE∽ ADB, △ △ ∴AB AE ? , AD AB∴ 2=AD?AE=(AE+ED)?AE=(2+4)× AB 2=12, ∴ AB= 2 3 . (3)直线 FA 与⊙ 相切,理由如下: O 连接 OA,∵ 为⊙ 的直径, BD O ∴ BAD=90° ∠ , ∴BD ? ,AB2 ? AD2 ? 12 ? ? 2 ? 4? ? 4 321 BD ? 2 3 , 2 ∵ AB= 2 3 ,BF=BO= ∴ BF=BO=AB, ∴ OAF=90° ∠ , ∴ 直线 FA 与⊙ 相切. O 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,切线的判定等知识点,有一定的拔高难 度,属于难题. 21. 如图.AB 是半圆 O 的直径.AB=2.射线 AM、BN 为半圆 O 的切线.在 AM 上取一点 D.连接 BD 交半 圆于点 C.连接 AC,过 O 点作 BC 的垂线 OF.垂足为点 E.与 BN 相交于点 F.过 D 点作半圆 O 的切线 DP,切点 为 P,与 BN 相交于点 Q. (I) 求证:△ABC'∽ OFB; △ (2) 当△ABD 与△BFO 的面积相等时,求 BQ 的长; (3) 求证:当 D 在 AM 上移动时(A 点除外),点 Q 始终是线段 BF 的中点.【考点】切线的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 【专题】证明题;几何综合题. 【分析】(1)根据 OE∥ AC,得出∠ BAC=∠ FOB,进而得出∠ BCA=∠ FBO=90° ,从而证明结论; (2)根据△ACB∽ OBF 得出△ABD∽ BFO,从而得出 DQ∥ △ △ AB,即可得出 BQ=AD; (3)首先得出 AD=DP,QB=BQ,进而得出 DQ2=QK2+DK2,得出 BF=2BQ,即可得出 Q 为 BF 的中点. 【解答】证明:(1)∵ 为直径, AB ∴ ACB=90° ∠ ,即:AC⊥ BC, 又 OE⊥ BC, ∴ OE∥ AC, ∴ BAC=∠ ∠ FOB,第 25 页∵ 是半圆的切线, BN ∴ BCA=∠ ∠ FBO=90° , ∴ ACB∽ OBF. △ △ 解:(2)由△ACB∽ OBF 得,∠ △ OFB=∠ DBA,∠ DAB=∠ OBF=90° , ∴ ABD∽ BFO, △ △ 当△ABD 与△BFO 的面积相等时,△ABD≌ BFO, △ ∴ AD=1, 又 DPQ 是半圆 O 的切线, ∴ OP=1,且 OP⊥ DP, ∴ DQ∥ AB,∴ BQ=AD=1, (3)由(2)知,△ABD∽ BFO, △BF AB ? , OB AD 2 ∴ BF= , AD∴ ∵ DPQ 是半圆 O 的切线, ∴ AD=DP,QB=BQ, 过 Q 点作 AM 的垂线 QK,垂足为 K,在直角三角形 DQK 中, DQ2=QK2+DK2, ∴ (AD+BQ)2=(AD-BQ)2+22. ∴ BQ=1 , AD∴ BF=2BQ, ∴ 为 BF 的中点. Q 【点评】 此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知识,熟练利用相似三角 形的判定是解决问题的关键. 23.(2011 山东烟台,25,12 分) 已知:AB 是⊙ 的直径,弦 CD⊥ 于点 G,E 是直线 AB 上一动点(不与点 A、 G 重合),直线 DE 交⊙ 于点 O AB B、 O F,直线 CF 交直线 AB 于点 P.设⊙ 的半径为 r. O (1)如图 1,当点 E 在直径 AB 上时,试证明:OE? OP＝r2 (2)当点 E 在 AB(或 BA)的延长线上时,以如图 2 点 E 的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1) 中的结论是否成立?请说明理由.CCAGO.F E B P A考点:相似三角形的判定与性质;垂径 定理;圆周角定理. D D 分析:(1)如图,连接 FO 并延长交⊙ O （图 1） （图 2） 于 Q,连接 DQ.由 FQ 是⊙ 直径得到 O ∠ QFD+∠ Q=90° ,又由 CD⊥ 得到 AB ∠ P+∠ C=90° ,然后利用已知条件即可 得到∠ QFD=∠ P,然后即可证明△FOE∽ POF,最后利用相似三角形的性质即可解决问题; △第 26 页G O.BE.(2)(1)中的结论成立. 如图 2,依题意画出图形,连接 FO 并延长交⊙ 于 M,连接 CM.由 FM 是⊙ 直径得到 O O ∠ M+∠ CFM=90° ,又由 CD⊥ AB,得到∠ E+∠ D=90° ,接着利用已知条件即可证明∠ CFM=∠ E,然后利用已知条件 证明△POF∽ FOE,最后利用相似三角形的性质即可证明题目的结论. △ 解答:(1)证明:连接 FO 并延长交⊙ 于 Q,连接 DQ. O ∵ 是⊙ 直径,∴ FDQ=90° ∠ FQ O ∠ .∴ QFD+∠ Q=90° . ∵ CD⊥ AB,∴ P+∠ ∠ C=90° . ∵ Q=∠ ∠ ∠ C,∴ QFD=∠ P. OE OF ∵ FOE=∠ ∠ POF,∴ FOE∽ POF.∴ △ △ .∴ OE?OP=OF2=r2. ? OF OP(2)解:(1)中的结论成立. 理由:如图 2,依题意画出图形,连接 FO 并延长交⊙ 于 M,连接 CM. O ∵ 是⊙ 直径,∴ FCM=90° ∠ FM O ∠ ,∴ M+∠ CFM=90° . ∵ CD⊥ AB,∴ E+∠ ∠ D=90° . ∵ M=∠ ∠ D,∴ CFM=∠ ∠ E. OP OF ∵ POF=∠ ∠ FOE,∴ POF∽ FOE.∴ △ △ ,∴ OE?OP=OF2=r2. ? OF OE 点评:此题分别考查了相似三角形的性质与判定、垂径定理及圆周角定理,同时也考查了简单的作图问题,解 题的关键是充分利用相似三角形的性质证明题目的结论. 24.,第② 小题(2 分),第③ 小题(1 分). (1)如图.若考生作两条边或三条边的垂直平分线不扣分. (2)① AB=4,BC=2,△ACD 是等边三角形, ∵ ∴ BAD=∠ ∠ BAC+∠ CAD=30° +60° =90° , ∴ 与⊙ 的位置关系是 相切. AD O ② AD=AC=AB? BD=3 =2 3 , 2AB2 ? AD2 =2 7 , 1 1 4 21 . AE= AB?AD÷ BD)= ( 2 2 7 4 21 . 故线段 AE 的长为 7 4 21 . 故答案为:相切. 7点评:考查了直角三角形的外接圆,等边三角形的作法,切线的判定,勾股定理及三角形面积公式,综合性较强. 25.(2011 四川攀枝花,23)如图(Ⅰ ),在平面直角坐标系中,⊙ O′是以点 O′(2,2)为圆心,半径为 2 的圆,⊙ O″是以 点 O″(0,4)为圆心,半径为 2 的圆. (1)将⊙ O′竖直向上平移 2 个单位,得到⊙ 1,将⊙ O O″水平向左平移 1 个单位,得到⊙ 2 如图(Ⅱ O ),分别求出⊙ 1 和 O ⊙ 2 的圆心坐标. O第 27 页(2)两圆平移后,⊙ 2 与 y 轴交于 A、B 两点,过 A、B 两点分别作⊙ 2 的切线,交 x 轴与 C、D 两点,求△O2AC O O 和△O2BD 的面积.考点:切线的性质;坐标与图形变化-平移. 专题:综合题. 分析:(1)根据D左减右加,下减上加‖的规律对点 O′,O″的坐标进行平移即可得到点 O1,O2 的坐标;(2)先求出点 A、B 的坐标,然后连接 O2A,O2B,根据直角三角形 30 度角所对的直角边等于斜边的一半得出 ∠ 2AB=∠ 2BA=30° AC 与 BD 是圆的切线,然后求出∠ O O ,又 OAC=∠ OBD=60° ,利用特殊角的三角函数与点 A,B 的坐标即可求出 AC、BD 的长,最后代入三角形的面积公式进行计算即可. 解答:解:(1)∵ 2+2=0,∴ O1 的坐标为:(2,0), 点 ∵ 01=1,∴ O2 的坐标为:(1,4); 点 (2)如图,连接 O2A,O2B,∵ O2 的半径为 2,圆心 O2 到 y 轴的距离是 1, ⊙ ∴ O2AB=∠ 2BA=30° AB=2× ∠ O ,∴ 2cos30° 3 , =2 ∴ A、B 的坐标分别为 A(0,4 3 ),B(0,4+ 3 ), 点 ∵ AC,BD 都是⊙ 2 的切线, O ∴ OAC=180° ∠ 90° 30° =60° OBD=90° ,∠ 30° =60° , ∴ AC=(4 3 )÷ cos60° =82 3 ,BD=(4+ 3 )÷ cos60° =8+2 3 , 1 1 1 1 ∴ △O2AC= × S AC× 2A= × O (82 3 )× 2=82 3 ,S△O2BD= × BD× 2B= × O (8+2 3 )× 2=8+2 3 .故答案为:8 2 2 2 2 2 3 ,8+2 3 .点评:本题主要考查了切线的性质与坐标的平移,利用数据的特点求出 30 度角是解题的关键,也是解答本题 的难点与突破口,本题难度适中,有一定的综合性. 26. 2011 四川泸州,26,7 分)如图,点 P 为等边△ABC 外接圆劣弧 BC 上一点. (1)求∠ BPC 的度数; (2)求证:PA=PB+PC; (3)设 PA,BC 交于点 M,若 AB=4,PC=2,求 CM 的长度.第 28 页考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;圆周角定理. 分析:(1)由圆周角定理得∠ BPC 与∠ BAC 互补; (2)在 PA 上截取 PD=PC,可证明△ACD≌ BCP,则 AD=PB,从而得出 PA=PB+PC; △ (3)容易得到△CDM∽ ACM,所以 CM:AM=DM:MC=DC:AC=2:4=1:2,设 DM=x,则 △ CM=2x,BM=4-2x,PM=2-x,AM=4x,△BPM∽ ACM,所以 BP:AC=PM:CM,即 3x:4=(2-x):2x,解此方式方程求出 x. △ 解答:解:(1)∵ ABC 为等边三角形,∴ BAC=60° △ ∠ , ∵ P 为等边△ABC 外接圆劣弧 BC 上一点,∴ BPC+∠ 点 ∠ BAC=180° ∠ ,∴ BPC=120° , (2)在 PA 上截取 PD=PC, ∵ AB=AC=BC,∴ APB=∠ ∠ APC=60° △ ,∴ PCD 为等边三角形,∴ ADC=120° ∠ , ∴ ACD≌ BCP,∴ △ △ AD=PB,∴ PA=PB+PC; (3)∵ CDM∽ ACM,∴ △ △ CM:AM=DM:MC=DC:AC=2:4=1:2, 设 DM=x,则 CM=2x,BM=4-2x,PM=2-x,AM=4x,∵ BPM∽ ACM,∴ △ △ BP:AC=PM:CM, 即 3x:4=(2-x):2x,解得,x=? 1? 13 ? 1? 13 ? 2 ? 2 13 (舍去负号),则 x= ,∴ CM= . 3 3 3点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、 全等三角形的判定和性质、 圆周角定理以及等边三角形的性质, 是一个综合题,难度较大. 27. (2011 襄阳,23,7 分)如图,在⊙ 中,弦 BC 垂直于半径 OA,垂足为 E,D 是优弧 BC 上一点,连接 O BD,AD,OC,∠ ADB＝30° . (1)求∠ AOC 的度数; (2))若弦 BC＝6cm,求图中阴影部分的面积.考点:垂径定理;勾股定理;圆周角定理;扇形面积的计算. 专题:几何图形问题;探究型. 分析:(1)先根据垂径定理得出 BE＝CE,弧 AB＝弧 AC,再根据圆周角定理即可得出∠ AOC 的度数; (2)先根据勾股定理得出 OE 的长,再连接 OB,求出∠ BOC 的度数,再根据 S 阴影＝S 扇形 OBC－S△OBC 计算即可. 解答:解:(1)∵ BC⊥ OA, ∴ BE＝CE,弧 AB＝弧 AC, 又∵ ADB＝30° ∠ , ∴ AOC＝60° ∠ ; (2)∵ BC＝6, ∴ CE＝1 BC＝3, 2在 Rt△OCE 中,OC＝CE ? 2 3, sin 60 ?∴ OE＝ OC 2 ? CE 2 ? 连接 OB, ∵ AB＝弧 AC, 弧4?3 ? 9 ? 3,第 29 页∴ BOC＝2∠ ∠ AOC＝120° , ∴ 阴影＝S 扇形 OBC－S△OBC S120 1 × (2 3 )2－ × π× 6× 3 360 2 ＝4π－3 3 .＝点评:本题考查的是垂径定理,涉及到圆周角定理及扇形面积的计算,勾股定理,熟知以上知识是解答此题的 关键. 28.如图,等边△ABC 内接于⊙ O,P 是 ? 上任一点(点 P 不与点 A.B 重合),连 AP.BP,过点 C 作 CM∥ 交 PA BP AB 的延长线于点 M. (1)填空:∠ APC= 60 度,∠ BPC= 60 度; (2)求证:△ACM≌ BCP; △ (3)若 PA=1,PB=2,求梯形 PBCM 的面积.考点:圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;梯形. 专题:综合题. 分析:(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角; (2)利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可; (3)利用上题证得的两三角形全等判定△PCM 为等边三角形,进而求得 PH 的长,利用梯形的面积公式计算梯 形的面积即可. 解答:解:(1)∠ APC=60° BPC=60° ,∠ ; (2)∵ CM∥ BP, ∴ BPM+∠ ∠ M=180° , ∠ PCM=∠ BPC=60° , ∴ M=180° BPM(∠ ∠ ∠ APC+∠ BPC)=180° 120° =60° , ∴ M=∠ ∠ BPC=60; (3)∵ ACM≌ BCP, △ △ ∴ CM=CP AM=BP,又∠ M=60° , ∴ PCM 为等边三角形, △ ∴ CM=CP=PM=1+2=3, 作 PH⊥ CM 于 H, 在 Rt△PMH 中,∠ MPH=30° ,第 30 页∴ PH=3 3, 2 1 1 3 3 15 3 (PB+CM)× PH= × (2+3)× ＝ 2 2 4 2∴ 梯形 PBCM 的面积为:点评:本题考查了圆周角定理.等边三角形的判定.全等三角形的性质及梯形的面积计算方法,是一道比较复 杂的几何综合题. 29.已知 △ABC,分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 O1 、 O2 , P 是 AB 的中点. (1)如图 1,若△ABC 是等腰三角形,且 AC=BC,在 ? , BC 上分别取点 E、F,使 ?AO1E ? ?BO2 F , 则有结论 AC ? ① △EO1P≌ PO2F② △ 四边形 PO1CO2 是菱形.请给出结论② 的证明; (2)如图 2,若(1)中△ABC 是任意三角形,其它条件不变,则(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明; (3)如图 3,若 PC 是 ? O1 的切线,求证: AB ? BC ? 3 AC2 2 2考点:切线的性质;全等三角形的判定;勾股定理;三角形中位线定理;菱形的判定. 分析:(1)可证明△APO1 与△BPO2 全等,则∠ 1P=∠ 2P,再根据已知可得出 EO1=FO2,PO1=PO2,则 AO BO △PO1E≌ FO2P,可先证明四边形 PO1CO2 是平行四边形,再证明 CO1=CO2,即可得出四边形 PO1CO2 是菱形; △ (2)由已知得出① 成立,而② 只是平行四边形; (3)直角三角形 APC 中,设 AP=c,AC=a,PC=b,则 c2=a2+b2;AB2=4c2=4(a2+b2),过点 B 作 AC 的垂线,交 AC 的延 长线于 D 点.则 CD=a,BD=2b.BC2=a2+4b2,由此得证. 解答:(1)∵ 是⊙ 直径,则 O2 是 BC 的中点 BC O2 又 P 是 AB 的中点.,∴ O2 是△ABC 的中位线 P ∴ O2 = P1 AC 2又 AC 是⊙ 直径 O11 AC 2 1 同理 P O1= O2C = BC 2∴ O2= O1C= P ∵ =BC AC ∴ O2= O1C=P O1= O2C P ∴ 四边形 PO1CO2 是菱形 (2)结论① PO1E≌ PO2F 成立,结论② △ △ 不成立 证明:在(1)中已证 PO2=1 1 AC,又 O1E= AC 2 2∴ PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵ PO2 是△ABC 的中位线 ∴ PO2∥ AC ∴ PO2B=∠ ∠ ACB 同理∠ O1A=∠ P ACB ∴ PO2B=∠ O1A ∠ P ∵ AO1E =∠ ∠ BO2F ∴ P O1A+∠ ∠ AO1E =∠ PO2B+∠ BO2F 即∠ O1E =∠ O2 P P F ∴ EO1P≌ PO2F; △ △第 31 页(3)延长 AC 交⊙ 于点 D,连接 BD. O2 ∵ 是⊙ 的直径,则∠ BC O2 D=90° , 又 PC 是 ? O1 的切线,则∠ ACP=90° , ∴ ACP=∠ ∠ D 又∠ PAC=∠ BAD ∴ APC∽ BAD △ △ 又 P 是 AB 的中点 ∴AC AP 1 ? ? AD AB 2∴ AC=CD 2 2 2 2 ? ∴ Rt△BCD 中, BC ? CD ? BD ? AC ? BD 在 在 Rt△ABD 中, AB ? AD ? BD2 2 22 2 2 2 2 2 ∴ AB ? 4 AC ? BD ? AC ? BD ? 3 AC??∴ AB ? BC ? 3 AC 点评:本题综合考查了圆与全等的有关知识;利用中位线定理及构造三角形全等,利用全等的性质解决相关问 题是解决本题的关键. 30.(2011 湖南长沙,22,8 分)如图,在⊙ 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 P,∠ O CAB＝40° APD＝65° ,∠ . (1)求∠ 的大小: B (2)已知圆心 O 到 BD 的距离为 3,求 AD 的长.2 2 2C O P ABD考点:圆周角,三角形的中位线的性质 三角形的外角性质 垂径定理 专题:圆 分析:(1)由于∠ CAB＝40° APD＝65° ,∠ 可得∠ C＝∠ APD－∠ CAB＝25° ,而∠ 与∠ 是同一弧所对的圆周角,故 C B ∠ B＝25° . (2)过点 O 作 OE⊥ 于点 E,由 AB 是⊙ 的直径,得∠ BD O OEB＝∠ ADB＝90° OA＝OB,从而 ED＝EB,这样 OE ,而 就是△ABD 的中位线,故 AD＝2OE＝6. 解答:(1)∵ CAB＝40° APD＝65° ∠ ,∠ ∴ C＝∠ ∠ APD－∠ CAB＝25° ∴ B＝∠ ∠ C＝25° . (2)如下图,过 O 作 OE⊥ 于点 E,则 EB＝ED,且 OE＝3. BD ∵ OA＝OB,EB＝ED ∴ AD＝2OE＝6.C O P A E BD点评:本题的解法不唯一,如分析中用的是直径所对的圆周角是直角,加上作的垂线,得到 OE∥ AD,此时可以 得到△BOE∽ BAD,从而 △AD AB ? ? 2 ,故 AD＝2OE＝6;而解答中用的垂径定理,直接得到 OE 就是△ABD OE OB第 32 页的中位线来解决问题.从这里可以看到,一个题目所考查的知识点还是很多,关键看你从哪个角度去切入,还是你的知识储备与运用如何. 31.(2011 清远,22,8 分)如图,AB 是⊙ 的直径,AC 与⊙ 相切,切点为 A、D 为⊙ 上一点,AD 与 OC 相交于点 O O O E,且∠ DAB=∠ C (1)求证:OC∥ BD; (2)若 AO=5,AD=8,求线段 CE 的长.考点:切线的性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 分析:(1)证得△CAO≌ ADB 后得到∠ △ COA＝∠ B,即可证得两线段平行; (2)利用相似三角形得到比例式,根据 DB 的长即可求得 OE 的长. 解答:(1)证明:∵ 与⊙ 相切,切点为 A,∴ CAB＝90° AB 是⊙ 的直径,∴ D＝90° AC O ∠ .∵ O ∠ , ∴ CAB＝∠ ∠ D,∵ DAB＝∠ ∠ ∠ C,∴ COA=∠ OC∥ B,∴ BD; (2)∵ AO＝5,AD＝8,∴ BD＝6,∵ OC∥ BD,AO＝BO,∴ OE＝1 BD＝3,∴ CE＝CO－OE＝10－3＝7. 2点评:本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助 线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题. 32.如图 1,已知在⊙ 中,点 C 为劣弧 AB 上的中点,连接 AC 并延长至 D,使 CD=CA,连接 DB 并延长 DB 交⊙ O O 于点 E,连接 AE. (1)求证:AE 是⊙ 的直径; O (2)如图 2,连接 EC,⊙ 半径为 5,AC 的长为 4,求阴影部分的面积之和.(结果保留 π 与根号) O考点:扇形面积的计算;勾股定理;圆周角定理. 专题:证明题;几何综合题. 分析:(1)连接 CE,由点 C 为劣弧 AB 上的中点,可得出 CE 平分∠ AED,再根据 CD=CA,得△ADE 为等腰三角形,则 CE⊥ AD,从而证出 AE 是⊙ 的直径; O (2)由(1)得△ACE 为直角三角形,根据勾股定理得出 CE 的长,阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形 ACE 的面积. 解答:解:(1)连接 CE,∵ C 为劣弧 AB 上的中点,∴ 平分∠ 点 CE AED, ∵ CD=CA,∴ ADE 为等腰三角形,∴ △ CE⊥ AD,第 33 页∴ 是⊙ 的直径; AE O (2)∵ 是⊙ 的直径,∴ ACE=90° AE O ∠ , ∵ AE=10,AC=4,∴CE ? AE2 ? AC2 ? 102 ? 42 ? 2 21 , 1 25? 1 ∴ 阴影＝ S⊙O－S△ACE＝ ? 25? ? 4 21 ? S ? 4 21 2 2 2 点评:本题考查了扇形面积的计算、勾股定理以及圆周角定理,是基础知识要熟练掌握. 33.如图,在 Rt△ABC 中,∠ C=90° D 是 AC 的中点,且∠ ,点 A+∠ CDB=90° ,过点 A,D 作⊙ O,使圆心 O 在 AB 上,⊙ O 与 AB 交于点 E. (1)求证:直线 BD 与⊙ 相切; O (2)若 AD:AE=4:5,BC=6,求⊙ 的直径. O考点:切线的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;圆周角定理. 专题:计算题;证明题. 分析:(1)连接 OD,由∠ A=∠ ADO,进而证得∠ ADO+∠ CDB=90° ,而证得 BD⊥ OD.(2)连接 DE,证得∠ ADE=90° ADE=∠ ,∠ C,而得 DE∥ BC,所以△ADE∽ ACB,设 AC=4x,AB=5x,那么 BC=3x,而求得. △ 解答:解:(1)证明:连接 OD,∵ OA=OD, ∴ A=∠ ∠ ADO, 又∵ A+∠ ∠ CDB=90° , ∴ ADO+∠ ∠ CDB=90° , ∴ ODB=180° ADO+∠ ∠ -(∠ CDB)=90° , ∴ BD⊥ OD, ∴ 是⊙ 切线; BD O (2)连接 DE, ∵ 是直径, AE ∴ ADE=90° ∠ , 又∵ C=90° ∠ , ∴ ADE=∠ ∠ C, ∴ DE∥ BC, 又∵ 是 AC 中点, D ∴ AD=CD, ∴ AD:CD=AE:BE, ∴ AE=BE, ∵ DE∥ BC, ∴ ADE∽ ACB, △ △ ∴ AD:AE=AC:AB, ∴ AC:AB=4:5, 设 AC=4x,AB=5x,那么 BC=3x, ∴ BC:AB=3:5, ∵ BC=6, ∴ AB=10,第 34 页∴ AE=1 AB=10. 2点评:本题考查了切线的判定和性质、 平行线的判定和性质、 平行线分线段成比例定理以及推论、 勾股定理、相似三角形的判定和性质.解题的关键是连接 OD、DE,证明 DE∥ BC. 34.(2011 广东珠海,21,9 分)已知:如图,锐角三角形 ABC 内接于⊙ ABC＝45° D 是⊙ 上一点,过点 D 的 O,∠ ;点 O 切线 DE 交 AC 的延长线于点 E,且 DE∥ BC;连结 AD、BD、BE,AD 的垂线 AF 与 DC 的延长线交于点 F. (1)求证:△ABD∽ △ADE; (2)记△DAF、△BAE 的面积分别为 S△DAF、S△BAE, 求证:S△DAF＞S△BAE.A F O B D C E考点:圆的切线 相似三角形 三角形面积 专题:圆的综合题 分析:(1)判断△ABD∽ ADE,根据题意,需找出两组对应角相等,由 DE∥ △ BC,可知∠ ACB＝∠ AED,根据同弧所对 的圆周角相等可得∠ ADB＝∠ ACB,因此有∠ ADB＝∠ AED;连接 OD,因为 DE 是⊙ 的切线,所以 OD⊥ O DE,于是 OD 平分弧 BC,所以∠ BAD＝∠ EAD,两三角形相似可证. (2)比较面积的大小,实际上是比较线段的大小(高或底),过 B 作 BG⊥ 于 G,由(1)得 AEAB AD ＝ ,即 AD2＝ AD AE1 AE? BG,由∠ ABC＝45° ,AD⊥ AF,得△ADF 为 2 1 1 等腰三角形.因此 S△ADF＝ AD2＝ AB? AE ,在 Rt△ABG 2 2AB? △ABE＝ AE;S 中,AB＞BG,因此 S△DAF＞S△BAE.. 解答:证明:(1)连结 OD. ∵ 是⊙ 的切线 DE O ∴ OD⊥ DE. ∴ BD＝弧 CD 弧 ∴ BAD＝∠ ∠ DAE ∵ DE∥ BC ∴ ACB＝∠ ∠ AED ∵ ADB＝∠ ∠ ACB ∴ AED＝∠ ∠ ADB ∴ ABD∽ ADE. △ △ (2)过 B 作 BG⊥ 于 G,由(1)得 AE ∵ ABC＝45° ∠ ,AD⊥ AF ∴ 得△ADF 为等腰直角三角形O B DA F G C EAB AD ＝ , 即 AD2＝AB? AE AD AE1 1 AD2＝ AB? AE 2 2 1 又∵ △ABE＝ AE? S BG,而在 Rt△ABG 中,AB＞BG 2∴ △ADF＝ S ∴ △DAF＞S△BAE.. S第 35 页A F O B D G C E点评:在圆中遇到有切线的问题,一般先连接切点和圆心;判断相似三角形应认真阅读题目,找出适合的判定 方法.在比较三角形面积大小的时候,应考虑的是比较三角形中对应的底或高的大小,解决问题的关键是找到 能够相互转化的线段. 35.(2011 广西百色,26,分)已知 AB 为⊙ 直径,以 OA 为直径作⊙ O M.过 B 作⊙ 得切线 BC,切点为 C,交⊙ 于 M O E. (1)在图中过点 B 作⊙ 作另一条切线 BD,切点为点 D(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不用证明); M (2)证明:∠ EAC=∠ OCB; (3)若 AB=4,在图 2 中过 O 作 OP⊥ 交⊙ 于 P,交⊙ 的切线 BD 于 N,求 BN 的值. AB O M考点:切线的性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 分析:(1)以 MB 为直径作圆,与⊙ 相交于点 D,直线 BD 即为另一条切线. M (2)根据 BC 切圆与点 C,得到∠ OCB=∠ OAC.∠ ECA=∠ COA;再根据 OA.AB 分别为⊙ M.⊙ 的直径得到 O ∠ AEC=∠ ACO=90° ,从而得到∠ EAC=∠ OAC=OCB; (3)连接 DM,则可以得到∠ BDM=90° ,然后利用△BON∽ BDM 列出比例式求得 BN 的长即可. △ 解答:(1)解:以 MB 为直径作圆,与⊙ 相交于点 D,直线 BD 即为另一条切线. M(2)证明:∵ 切圆与点 C, BC ∴ OCB=∠ ∠ OAC,∠ ECA=∠ COA; ∵ OA.AB 分别为⊙ M.⊙ 的直径 O ∴ AEC=∠ ∠ ACO=90° , ∵ EAC+∠ ∠ ECA=90° OAC+∠ ,∠ COA=90° , ∴ EAC=∠ ∠ OAC=OCB第 36 页(3)连接 DM,则∠ BDM=90° Rt△BDM 中,BD= 10 . 在 ∵ BON∽ BDM △ △BN BO ? BM BD BN 2 ? ∴ 3 2 10∴ ∴ BN=3 10 . 10点评:本题考查了切线的性质.圆周角定理及相似三角形的判定及性质,比较复杂,是一道难题. 36.(2011 湖北黄石,24,9 分)已知⊙ 1 与⊙ 2 相交于 A、B 两点,点 O1 在⊙ 2 上,C 为⊙ 2 上一点(不与 A,B,O1 O O O O 重合),直线 CB 与⊙ 1 交于另一点 D. O (1)如图(1),若 AC 是⊙ 2 的直径,求证:AC=CD; O (2)如图(2),若 C 是⊙ 1 外一点,求证:O1C A AD; O (3)如图(3),若 C 是⊙ 1 内的一点,判断(2)中的结论足否成 O立. 考点:相交两圆的性质;圆周角定理. 专题:证明题. 分析:(1)连接 AB,O1O2,得到 O1O2⊥ AB,根据 AC 是圆 O2 的直径,推出∠ ABC=90° ,得出 O1O2∥ BC,根据三角形 的中位线定理推出∠ ADC=∠ DAC 即可得出 AC=DC; (2)根据线段的垂直平分线定理得到 C 在 AD 的垂直平分线上、O1 在 AD 的垂直平分线上,即可得到答案; (3)根据线段的垂直平分线定理得到 C 在 AD 的垂直平分线上、O1 在 AD 的垂直平分线上,进一步推出结论. 解答:(1)证明:连接 AB,O1O2, ∵ O1 与⊙ 2 相交于 A、B 两点, ⊙ O ∴ 1O2⊥ O AB,, ∵ 是圆 O2 的直径, AC ∴ ABC=90° ∠ , ∴ 1O2∥ O BC, ∴ D=∠ 1O2, ∠ AO ∵ 是直径, AC ∴ AO1C=90° ∠ , ∵ 2 是 AC 的中点, O ∴ 1O2=O2A, O ∴ AO1O2=∠ 1AC, ∠ 0 ∴ ADC=∠ ∠ DAC, ∴ AC=DC;(2)证明:由(1)得:AC=DC, ∴ 在 AD 的垂直平分线上, C第 37 页∵ 1A=O1D, O ∴ 1 在 AD 的垂直平分线上, O ∴ 1C⊥ O AD; (3)证明:∵ AC=CD, ∴ 在 AD 的垂直平分线上, C ∵ 1A=O1D, O ∴ 1 在 AD 的垂直平分线上, O ∴ 1C⊥ O AD. 点评:此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质,根据相交两圆的连心线垂直平分两圆公共弦,以及垂 直平分线的性质是解决问题的关键. 37.如图,AB 是⊙ 的直径,CD 是⊙ 的切线,切点为 C.延长 AB 交 CD 于点 E.连接 AC,作∠ O O DAC=∠ ACD,作 AF⊥ 于点 F,交⊙ 于点 G. ED O (1)求证:AD 是⊙ 的切线; O (2)如果⊙ 的半径是 6cm,EC=8cm,求 GF 的长. O考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 专题:证明题. 分析:(1)连接 OC.欲证 AD 是⊙ 的切线,只需证明 OA⊥ 即可; O AD (2)连接 BG.在 Rt△CEO 中利用勾股定理求得 OE=10,从而求得 AE=13;然后由相似三角形 Rt△AEF∽ Rt△OEC 的对应边成比例求得 AF=9.6,再利用圆周角定理证得 Rt△ABG∽ Rt△AEF,根据相似三角形的对应边成比例 求得 AG=7.2,所以 GF=AFAG=9.67.2=2.4. 解答:(1)证明:连接 OC. ∵ 是⊙ 的切线, CD O ∴ OCD=90° ∠ . ∴ OCA+∠ ∠ ACD=90° . ∵ OA=OC, ∴ OCA=∠ ∠ OAC. ∵ DAC=∠ ∠ ACD, ∴ 0AC+∠ ∠ CAD=90° . ∴ OAD=90° ∠ . ∴ 是⊙ 的切线. AD O (2)解:连接 BG; ∵ OC=6cm,EC=8cm, ∴ Rt△CEO 中,OE= OC2+EC2=10. 在 ∴ AE=OE+OA=13. ∵ AF⊥ ED, ∴ AFE=∠ ∠ OCE=90° E=∠ ,∠ E. ∴ Rt△AEF∽ Rt△OEC. ∴ 即: = = . .∴ AF=9.6. ∵ 是⊙ 的直径, AB O ∴ AGB=90° ∠ . ∴ AGB=∠ ∠ AFE. ∵ BAG=∠ ∠ EAF,第 38 页∴ Rt△ABG∽ Rt△AEF. ∴ 即: = = . .∴ AG=7.2. ∴ GF=AFAG=9.67.2=2.4(cm).点评:本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用.要 证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可. 39.已知:如图,在△ABC 中,BC=AC,以 BC 为直径的⊙ 与边 AB 相交于点 D,DE⊥ O AC,垂足为点 E. (1)求证:点 D 是 AB 的中点; (2)判断 DE 与⊙ 的位置关系,并证明你的结论; O (3)若⊙ 的直径为 18,cosB= O1 ,求 DE 的长. 3考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形. 分析:(1)连接 CD,由 BC 为直径可知 CD⊥ AB,又 BC=AC,由等腰三角形的底边D三线合一‖证明结论; (2)连接 OD,则 OD 为△ABC 的中位线,OD∥ AC,已知 DE⊥ AC,可证 DE⊥ OC,证明结论; (3)结论 CD,在 Rt△BCD 中,已知 BC=18,cosB= AD=6,cosA=cosB=1 ,求得 BD=6,则 AD=BD=6,在 Rt△ADE 中,已知 31 ,可求 AE,利用勾股定理求 DE. 3解答:解:(1)证明:连接 CD,则 CD⊥ AB, 又∵ AC=BC, ∴ AD=BD,即点 D 是 AB 的中点. (2)DE 是⊙ 的切线. O 理由是:连接 OD,则 DO 是△ABC 的中位线, ∴ DO∥ AC, 又∵ DE⊥ AC, ∴ DE⊥ 即 DE 是⊙ 的切线; DO O (3)连接 CD, ∵ AC=BC,∴ B=∠ ∠ A,第 39 页∴ cos∠ B=cos∠ A= ∵ cos∠ B= ∴ BD=6, ∴ AD=6, ∵ cos∠ A= ∴ AE=2,1 , 3BD 1 = ,BC=18, BC 3AE 1 = , AD 3在 Rt△AED 中,DE=AD2 ? AE 2 ? 4 2 .点评:本题考查了切线的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,解直角三角形的运用,关键是作辅助线,将问题转 化为直角三角形,等腰三角形解题. 40.如图,点 A,B,C,D 在⊙ 上,AB=AC,AD 与 BC 相交于点 E,AE= O AF. (1)证明:△BDE∽ FDA; △ (2)试判断直线 AF 与⊙ 的位置关系,并给出证明. O1 1 ED,延长 DB 到点 F,使 FB= BD,连接 2 2考点:切线的判定;三角形的角平分线、中线和高;相似三角形的判定与性质. 专题:证明题;探究型. 分析:(1)因为∠ BDE 公共,夹此角的两边 BD:DF=ED:AD=2:3,由相似三角形的判定,可知△BDE∽ FDA. △ (2)连接 OA、OB、OC,证明△OAB≌ OAC,得出 AO⊥ BC.再由△BDE∽ FDA,得出∠ EBD=∠ AFD,则 BE∥ FA,从 而 AO⊥ FA,得出直线 AF 与⊙ 相切. O 解答:证明:(1)在△BDE 和△FDA 中,1 1 BD,AE= ED, 2 2 BD ED 2 ? ? ,(3 分) ∴ FD AD 3∵ FB= 又∵ BDE=∠ ∠ FDA, ∴ BDE∽ FDA.(5 分) △ △ (2)直线 AF 与⊙ 相切.(6 分) O 证明:连接 OA,OB,OC, ∵ AB=AC,BO=CO,OA=OA,(7 分)第 40 页∴ OAB≌ △ OAC, ∴ OAB=∠ ∠ OAC, ∴ 是等腰三角形 ABC 顶角∠ AO BAC 的平分线, ∴ AO⊥ BC, ∵ BDE∽ △ FDA,得∠ EBD=∠ AFD, ∴ BE∥ FA, ∵ AO⊥ 知,AO⊥ BE FA, ∴ 直线 AF 与⊙ 相切. O点评:本题考查相似三角形的判定和切线的判定. 41.如图,AB 是⊙ 的直径,BC⊥ 于点 B,连接 OC 交⊙ 于点 E,弦 AD∥ O AB O OC. (1)求证: ;(2)求证:CD 是⊙ 的切线. O考点:切线的判定;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理. 分析:(1)连接 OD,由平行可得∠ DAO=∠ COB,∠ ADO=∠ DOC;再由 OA=OD,可得出,∠ DAO=∠ ADO,则 ∠ COB=∠ COD,从而证出 = ;(2)由(1)得,△COD≌ COB,则∠ △ CDO=∠ B.又 BC⊥ AB,则∠ CDO=∠ B=90° ,从而得出 CD 是⊙ 的切线. O 解答:(1)证明:连接 OD.(1 分) ∵ AD∥ OC, ∴ DAO=∠ ∠ COB∠ ADO=∠ DOC,(2 分) 又∵ OA=OD, ∴ DAO=∠ ∠ ADO,(4 分) ∴ COB=∠ ∠ COD,(5 分) ∴ = ;(6 分)(2)解:由(1)知∠ DOE=∠ BOE,(7 分) 在△COD 和△COB 中, CO=CO, ∠ DOC=∠ BOC, OD=OB, ∴ COD≌ COB,(9 分) △ △ ∴ CDO=∠ ∠ B.(10 分) 又∵ BC⊥ AB, ∴ CDO=∠ ∠ B=90° 分) .(11 即 CD 是⊙ 的切线.(12 分) O第 41 页点评:本题考查了切线的判定和圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系,注:在同圆或等圆中,圆心角、圆 周角、弧、弦中有一组量相等,其余各组量也相等. 42.(2011 河北,25,10 分)如图 1 至图 4 中,两平行线 AB.CD 间的距离均为 6,点 M 为 AB 上一定点. 思考 如图 1,圆心为 0 的半圆形纸片在 AB,CD 之间(包括 AB,CD),其直径 MN 在 AB 上,MN＝8,点 P 为半圆上一点, 设∠ MOP＝α. 当 α＝ 度时,点 P 到 CD 的距离最小,最小值为 . 探究一 在图 1 的基础上,以点 M 为旋转中心,在 AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图 2, 得到最大旋转角∠ BMO＝ 度,此时点 N 到 CD 的距离是 . 探究二 将如图 1 中的扇形纸片 NOP 按下面对 α 的要求剪掉,使扇形纸片 MOP 绕点 M 在 AB,CD 之间顺时针旋转. (1)如图 3,当 α＝60° 时,求在旋转过程中,点 P 到 CD 的最小距离,并请指出旋转角∠ BMO 的最大值; (2)如图 4,在扇形纸片 MOP 旋转过程中,要保证点 P 能落在直线 CD 上,请确定 α 的取值范围. (参考数椐:sin49° ＝3 3 3 ,cos41° ＝ ,tan37° ＝ .) 4 4 4考点:直线与圆的位置关系;点到直线的距离;平行线之间的距离;旋转的性质;解直角三角形. 分析:思考:根据两平行线之间垂线段最短,以及切线的性质定理,直接得出答案;第 42 页探究一:根据由 MN＝8,MO＝4,OY＝4,得出 UO＝2,即可得出得到最大旋转角∠ BMO＝30 度,此时点 N 到 CD 的距离是 2; 探究二:(1)由已知得出 M 与 P 的距离为 4,PM⊥ 时,点 MP 到 AB 的最大距离是 4,从而点 P 到 CD 的最小 AB 距离为 6－4＝2,即可得出∠ BMO 的最大值; (2)分别求出 α 最大值为∠ OMH＋∠ OHM＝30° ＋90° 以及最小值 α＝2∠ MOH,即可得出 α 的取值范围. 解答:解:思考:根据两平行线之间垂线段最短,直接得出答案,当 α＝90 度时,点 P 到 CD 的距离最小, ∵ MN＝8, ∴ OP＝4, ∴ P 到 CD 的距离最小值为:6－4＝2. 点 故答案为:90,2; 探究一:∵ 以点 M 为旋转中心,在 AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图 2, ∵ MN＝8,MO＝4,OY＝4, ∴ UO＝2, ∴ 得到最大旋转角∠ BMO＝30 度,此时点 N 到 CD 的距离是 2; 探究二 (1)由已知得出 M 与 P 的距离为 4, ∴ PM⊥ 时,点 MP 到 AB 的最大距离是 4,从而点 P 到 CD 的最小距离为 6－4＝2, AB 当扇形 MOP 在 AB,CD 之间旋转到不能再转时,弧 MP 与 AB 相切, 此时旋转角最大,∠ BMO 的最大值为 90° ;(2)如图 3,由探究一可知,点 P 是弧 MP 与 CD 的切线时,α 大到最大,即 OP⊥ CD,此时延长 PO 交 AB 于点 H,α 最大值为∠ OMH＋∠ OHM＝30° ＋90° ＝120° , 如图 4,当点 P 在 CD 上且与 AB 距离最小时,MP⊥ CD,α 达到最小, 连接 MP,作 HO⊥ 于点 H,由垂径定理,得出 MH＝3,在 Rt△MOH 中,MO＝4, MP ∴ sin∠ MOH＝MH 3 ? , DM 4∴ MOH＝49° ∠ , ∵ α＝2∠ MOH, ∴ 最小为 98° α , ∴ 的取值范围为:98°≤α≤120°. α 点评:此题主要考查了切线的性质定理以及平行线之间的关系和解直角三角形等知识,根据切线的性质求解 是初中阶段的重点题型,此题考查知识较多综合性较强,注意认真分析. 43.(2011?湖南张家界,24,8)如图,在⊙ 中,直径 AB 的两侧有定点 C 和动点 P,点 P 在弧 AB 上运动(不与 A、 O B 重合),过点 C 作 CP 的垂线,与 PB 的延长线交于点 Q. (1)试猜想:△PCQ 与△ACB 具有何种关系?(不要求证明);第 43 页(2)当点 P 运动到什么位置时,△ABC≌ PCB,并给出证明. △考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定. 分析:(1)由 CP⊥ CQ,AB 是⊙ 的直径,易得∠ O PCQ=∠ ACB=90° ,又由同弧所对的圆周角相等,即可得∠ A=∠ P, 根据有两角对应相等的三角形相似,即可证得△PCQ∽ ACB; △ (2)由△PCQ∽ ACB,只要 AB=PC 即可,又由 AB 是直径,则可得当 PC 过圆心时,△ABC≌ PCB. △ △ 解答:解:(1)△PCQ∽ ACB; △ 理由:∵ CP⊥ CQ,AB 是⊙ 的直径, O ∴ PCQ=∠ ∠ ACB=90° , ∵ A=∠ ∠ P, ∴ PCQ∽ ACB; △ △ (2)当 PC 过圆心时,△ABC≌ △PCB.(4 分) 证明:∵ 和 AB 都是⊙ 的直径, PC O ∴ ACB=∠ ∠ PBC=90° 分) ,(5 且 AB=PC,(6 分) 又∠ A=∠ P.(7 分) ∴ ABC≌ PCB.(8 分) △ △ 点评:此题考查了圆的性质,相似三角形的判定,全等三角形的判定的知识.此题难度不大,解题的关键是注意 数形结合思想的应用. 44.(2011 湖南湘潭市,26,10 分)已知,AB 是⊙ 的直径,AB=8,点 C 在⊙ 的半径 OA 上运动,PC⊥ O O AB,垂足为 C,PC=5,PT 为⊙ 的切线,切点为 T. O (1)如图(1),当 C 点运动到 O 点时,求 PT 的长; (2)如图(2),当 C 点运动到 A 点时,连接 PO、BT,求证:PO∥ BT; (3)如图(3),设 PT2=y,AC=x,求 y 与 x 的函数关系式及 y 的最小值.考点:切线的性质;二次函数的最值;勾股定理. 专题:计算题. 分析:(1)连接 OT,根据题意,由勾股定理可得出 PT 的长;(2)连接 OT,则 OP 平分劣弧 AT,则∠ AOP=∠ B,从而证出结论; (3)设 PC 交⊙ 于点 D,延长线交⊙ 于点 E,由相交线定理,可得出 CD 的长,再由切割线定理可得出 y 与 x 之 O O 间的关系式,进而求得 y 的最小值.第 44 页解答:解:(1)连接 OT∵ PC=5,OT=4, ∴ 由勾股定理得,PT= PC 2 ? CT 2 = 3; (2)证明:连接 OT,∵ PT,PC 为⊙ 的切线, O ∴ 平分劣弧 AT, OP ∴ POA=∠ ∠ POT, ∵ AOT=2∠ ∠ B, ∴ AOP=∠ ∠ B, ∴ PO∥ BT; (3)设 PC 交⊙ 于点 D,延长线交⊙ 于点 E, O O 由相交线定理,得 CD2=AC?BC, ∵ AC=x,∴ BC=8-x, ∴ CD=x(8 ? x) ,∴ 由切割线定理,得 PT2=PD?PE, ∵ 2=y,PC-5, PT ∴ y=[5- x(8 ? x) ][5+ ∴ y=25-x(8-x)=x2-8x+25, ∴ 最小= yx(8 ? x) ],100 ? 64 =9. 4点评:本题是一道综合题,考查了切线的性质、 二次函数的最值以及勾股定理的内容,是中考压轴题,难度较大.45.(2011?江西,22,9)如图,将△ABC 的顶点 A 放在⊙ 上,现从 AC 与⊙ 相切于点 A(如图 1)的位置开始,将 O O △ABC 绕着点 A 顺时针旋转,设旋转角为 α(0° ＜α＜120° ),旋转后 AC,AB 分别与⊙ 交于点 E,F,连接 EF(如 O 图 2).已知∠ BAC=60° C=90° ,∠ ,AC=8,⊙ 的直径为 8. O? (1)在旋转过程中,有以下几个量:① EF 的长;②EF 的长;③ AFE 的度数;④ O 到 EF 的距离.其中不变的量 弦 ∠ 点 是 (填序号); (2)当 BC 与⊙ 相切时,请直接写出 α 的值,并求此时△AEF 的面积. O考点:旋转的性质;勾股定理;圆周角定理;切线的性质;弧长的计算. 分析:(1)在整个旋转过程中,∠ 为弦切角或圆周角,且大小不变,所以其所对的弦、弧不变; A (2)当 BC 与⊙ 相切时,即 AC 为直径,点 E 与 C 重合,所以 α=90°;△AEF 为直角三角形,运用三角函数求边长 O 然后计算面积. 解答:解:(1)① . ,② (多填或填错得 0 分,少填酌情给分)(3 分) (2)α=90°. (5 分)第 45 页依题意可知,△ACB 旋转 90° AC 为⊙ 直径, 后 O 且点 C 与点 E 重合, 因此∠ AFE=90° . (6 分) ∵ AC=8,∠ BAC=60° , 1 ∴ AF= AC ? 4 ,EF= 4 3 , 2 1 ∴ △AEF= ? 4 ? 4 3 ? 8 3 . S 2(8 分) (9 分)点评:此题综合考查了旋转的性质及切线和圆的有关性质,难度较大.46. 21、 (2011 年江西省,21,8 分)如图,已知⊙ 的半径为 2,弦 BC 的长为 2 O 点(B,C 两点除外). (1)求∠ BAC 的度数; (2)求△ABC 面积的最大值. (参考数据:sin60° =3 ,点 A 为弦 BC 所对优弧上任意一3 ,cos30° = 23 ,tan30° = 23 .) 3考点:垂径定理;圆周角定理;解直角三角形. 专题:几何综合题. 分析:(1)连接 OB.OC,作 OE⊥ 于点 E,由垂径定理可得出 BE=EC= BC ,在 Rt△OBE 中利用锐角三角函数 的定义及特殊角的三角函数值可求出∠ BOE 的度数,再由圆周角定理即可求解; (2))因为△ABC 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最大,此时点 A 应落在优弧 BC 的中点处,过 OE⊥ 与点 E,延长 EO 交⊙ 于点