世界数学十大未解难题/希尔伯特23个问题未解决的问题
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世界数学十大未解难题/希尔伯特23个问题未解决的问题
世界数学十大未解难题&（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）&一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题&在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。二： 霍奇(Hodge)猜想&二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。三： 庞加莱(Poincare)猜想&如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。&四： 黎曼(Riemann)假设&有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼()观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。&五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口&量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于 “夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。&&六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性&起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。&七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想&数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。&八：几何尺规作图问题&这里所说的“几何尺规作图问题”是指作图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 4.做正十七边形。 以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。&九：哥德巴赫猜想&公元日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个&=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个&=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。【哥德巴赫猜想 最新最好的成果是中国数学家陈景润的陈氏定理，通俗地讲：哥德巴赫猜想如果简称“1+1”，如今解决的是“1+2”。但是这样说使得许多大众容易产生误会。】&十：四色猜想&1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。&&希尔伯特23问题里尚未解决的问题：1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。2、问题2 算术公理相容性。背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。3、 问题7 某些数的无理性和超越性。背景此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。&&4、 问题 8 素数问题。证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …(s属于复数域)所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。背景：此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？&5、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。6、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。7、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。8、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。9、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。10、 问题 18 用全等多面体来构造空间。无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。11、 问题 20 一般边值问题。偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。12、 问题 23 变分法的进一步发展。&本文链接地址：
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奥数关键词为什么说「一切问题都是数学问题」？ - 知乎2510被浏览183913分享邀请回答6110 条评论分享收藏感谢收起摘要：“问题解决”做为数学教育中的口号的提出是近；关键字：数学问题数学问题解决波利亚匈菲尔德；一、什么是数学问题；对于“问题”，科学家或者是教育学家们纷纷有自己的；虽然对问题解决的描述不同，但问题解决的目的是很明；问题有不同的类型，不同类型的问题具有不同的功能，；那么什么样的问题才是一个好的问题，好的问题具有哪；（1）问题要简单，使学生能认识并解决它；（2）
摘要：“问题解决”做为数学教育中的口号的提出是近二十年的事情，一份名曰《行动纲领》的文件，正式提出了问题解决的观点。数学问题解决开始做为中学数学教学的核心，下文我们将从什么是问题解决、数学问题解决的过程和特征以及影响数学问题解决的因素几个方面进行简要的说明。
关键字：数学问题 数学问题解决 波利亚
一、什么是数学问题
对于“问题”，科学家或者是教育学家们纷纷有自己的认识和观点。1988年的第六届数学教育大会将数学问题界定为“一个对人具有智力挑战特征的没有现场的直接方法、程序或算法的未解决的情境”，具有挑战、待解和情境的特征。鲍尔和皮格弗德认为，所谓问题，是指个人或团体接受某项具有挑战性任务的一种情境，而这项任务没有立即明显的解决办法。我国著名的数学教育家张奠宙现实认为，问题对于学生来说不是常规的，不能依靠简单的方法来解决；问题可以使一种情景，隐含的问题可以由学生自己来提出、解决；问题应具有趣味性，能够引起学生的兴趣；此外，问题并不一定要具有终极答案，不同水平的学生可以根据自己的能力给出不同层次的答案等。
虽然对问题解决的描述不同，但问题解决的目的是很明确的，就是要帮助学生提高解决实际问题的能力，而且问题解决过程是一个创造性的活动，对于问题解决的含义可以理解为一种心理活动过程，一种基本技能或者是一种教学方式。
问题有不同的类型，不同类型的问题具有不同的功能，例如：标准题和练习题常用语概念的理解及规则与程序的掌握，我们中小学生很多提醒都是练习题和标准题，开放题有助于培养学生的发散思维，这种提醒的训练正是我们所欠缺的。根据不同题型的不同功能，为学生们精心的安排习题，会起到事半功倍的效果，并且在一定程度上减轻了学生的课外负担。
那么什么样的问题才是一个好的问题，好的问题具有哪些标准？下面我们了解一下道尔顿指出的好问题的标准：
（1）问题要简单，使学生能认识并解决它
（2）依靠学生的知识能力能得出多种解法
（3）能引导学生转向类似的问题
（4）包含的数据能够被理解、分类、列成表格和分析
（5）能够通过模型和简图解决
（6）能马上引起学生的兴趣
（7）通过学生现有知识或将要学到的知识能将解法一般化
（8）能用一种再认的方式解决
（9）答案要有意思
美国著名的数学问题解决专家匈菲尔德给出了“好问题”的五条什么原则：
（1）问题是容易接受的
（2）有多种解题方法
（3）蕴含了重要的数学思想
（4）不故意设陷阱
（5）可以进一步开展和一般化
二 数学问题解决的基本过程与特征
数学问题解决做为被心理学界和教育学界广泛研究的课题之一，多年来形成了多种问题解决过程模型，如桑代克的试误说、格式塔心理学的顿悟说、信息加工论模式等。下面我们不一一做具体描述。重点介绍波利亚的“怎样解题表”。
波利亚作为数学问题解决方面的专家，经过大量的实验研究给出了问题解决表，为我们数学问题解决的教学提供了理论支持和实践指导，我们应该在数学教学中不断渗透。
匈菲尔德的问题解决是在波利亚的理论基础上发展起来的，他是继波利亚之后，在问题解决领域的重要人物。他强调数学解题的研究方向需要烤炉四个因素：知识基础、解题策略 、自我控制及信念系统。匈菲尔德研究发现，元认知因素在问题解决中居于关键地位，并且依据元认知的观点，将解题过程分为读题、分析、探索、计划、执行、验证六个阶段。
数学问题解决的基本特征
1、多步化规
过程。数学学科本身是在公理系统的基础上用逻辑方法展开和组织的。也就是一个公理往往与它之前的一个公理紧密相关。另一方面，数学的较高层次的发展往往以较低层次为基础。因此，问题解决的一个基本特征是“多步化规”。
2、多层结构
纽维尔和西蒙将问题分为三种类型：良好结构问题、中等结构问题、不良结构问题。良好结构问题是总是具有相同的解题步骤，只有一个正确答案；中等结构问题是需要改变策略以适应新的背景，具有多种解题途径，只有一个正确答案。不良结构问题，没有清晰的解题途径，并有一定的限制，解法是不可预测的，通常有多个观点、目的和解法，没有一个标准的答案。
3、多元表征
问题表征是人们解决问题时所用的一种认知结构，具有多种形式，多元表征具有三种功能：启发功能、转化功能和理解功能。
4、多种背景
数学的实用性决定了数学问题的背景的重要性。
5、知识丰富
今年来，问题解决研究的一个新动向是区分出了“知识丰富领域”的问题解决与“知识贫乏领域”的问题解决。而数学问题则属于典型的知识丰富的问题，要解决数学问题，仅仅依靠对题目的理解是不行的，要有丰富的知识基础。
三案例分析
数学问题解决案例分析---1，1，2，2，3，3排列
【题目】 将六个数字1，1，2，2，3，3排成一排，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有3个数字。
此题的解决并不困难，我们可以采用枚举法：因为两个1之间有一个数字，这个数字只有2或3两种可能。如果两个1之间是2，可以排出三个数字：121，这时左右两侧只能是两个3，即排出了五个数字：31213，还剩下一个2，可以放在左侧或右侧，于是得到本题的两个答案：2132；如果两个l之间是3，可以排出三个数字：131，这时就只能在左侧或右侧写2，即，而另一个2就无处可放了，这说明两个1之间不能是3。所以本题的答案只能是：2132。
题目做完了，我们可以进一步想，如果把本题的六个数改为八个数，即：1，1，2，2，3，3，4，4，将这八个数排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?利用前面的方法我们可以很快得到答案：312432。
再进一步想，如果将数字增加为十个，即：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，将这十个数字排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?这次，经过反复试验，无论我们如何努力也排不出来。
数学问题解决，作为创造性的思维活动过程，其重要特点是思维的变通性和流畅性。当主体接触的问题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化成为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。
问题转化是数学家特别善于使用的解题策略，是数学教学中必须予以关注的。作为数学问题解决的策略，应用转化的必要条件是：和原问题相比，转化后所得的新问题必须是较为简单的，或者是已经解决了的，否则，转化就失去了意义。一个正确的转化策略的产生，往往要经过多次的试验和失败，也就是在尝试错误中进行学习，但是现代认知心理学家倾向于认为仅仅在尝试错误中学习是不够的，正确解题策略的产生还需要靠顿悟。
三亿文库包含各类专业文献、高等教育、幼儿教育、小学教育、专业论文、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、中学教育、数学问题解决简述81等内容。　
　数学问题解决国外和国内的研究现状 引言:1980 年全美数学教师协会在一份文件中提出了“必须把问题解决作为 80 年代中学数学的核心”的口号,并且主张“在解决问 题... 　1-4.数学课程目标明确了哪些问题?答案:(1)学生为什么学数学;(2)学生应当学那些数学; (3)数学学习将给学生带来什么。 2.简述高中数学课程的地位和作用?答案: ... 　初一数学解决问题_数学_初中教育_教育专区。1. 产品配套问题: 甲部件的总量 / 每件产品要甲的个数 = 乙部件的总量 / 每件产品要乙的个数 2. 行程问题 : ... 　数学学习中常见的问题与解决方法_初一数学_数学_初中教育_教育专区。数学学习中常见...每一小节知识的重点与本章知识重点的联系,做出条理性的归 纳和概括,从而积累... 　数学技能在数学学习中的作用可以概括 为以下几个方面: (1)数学技能的形成有助于数学知识的理解和掌握。 (2)数学技能的形成有助于数学问题的解决; (3)数学技能... 　联想是使抽象化或概括化的知识得以具体化的必 要环节。解决问题总是依赖过去的知识经验。比如在解决数学问题时,根据所形成的问题表征,去激活回忆 与该问题有关的... 　一年数学上册解决问题(全部类型)_数学_小学教育_教育专区。一年级数学上册解决问题专项练习 一、排队问题 例 1、 :小明前面有 5 人,后面有 7 人,一共有多少人... 　一年级数学解决问题练习题_数学_小学教育_教育专区。一年级数学解决问题练习卷 要求:1.读题 3 遍,将题读懂。 2.列式计算,不要忘记写单位名称。 3.会把答写... 　小学数学解决问题大全_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。小学数学应用题大全...【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。 (1)...