数学分析 请问为什么证明fx有最小值有界性与最大最小值定理时 证得FPn发散就与有界性矛盾啊？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-09-27 12:32 标签： 函数最大值最小值公式
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你可能喜欢内容/极值定律
在数学分析中，极值定理说明如果实f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定存在至少一个得最大值和最小值，即[a,b]区间内存在c和d，使得：f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]。同理，根据有界性定理，可得在闭区间[a,b]内的连续f在该区间上有界，即存在实数m和M，使得：m≤f(x)≤M。这表明极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是。
证明/极值定律
证明极值定理的基本步骤为：1.证明有界性定理。2.寻找一个序列，它的像收敛于f(x)的最小上界。3.证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。4.用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。5.同理证明最大下界。有界性定理的证明假设函数f(x)在区间[a,b]内没有上界，则根据实数的，对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个xn，使得f(xn) & n。这便定义了一个序列{xn}。由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{Xnk}。把它的极限记为X；由于[a,b]是闭区间，它一定含有X；因为f(x)在X处连续，我们知道{f(Xnk)}收敛于实数f(X)。但对于所有的k，都有f(Xnk) & nk ≥ k，这意味着{f(Xnk)}发散于无穷大和X收敛相矛盾。因此，f在[a,b]内有上界。极值定理的证明我们现在证明函数f(x)在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理，f(x)有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M = f(d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界，M – 1/n就不是f(x)的最小上界。因此，存在[a,b]内的dn，使得M – 1/n & f(dn)。这便定义了一个序列{dn}。由于M是f的一个上界，我们便有M – 1/n & f(dn) ≤ M，对于所有的n。因此，序列{f(dn)}收敛于M。根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列{Dnk}，它收敛于某个d，且由于[a,b]是闭区间，d位于[a,b]内。因为f在d处连续，所以序列{f(Dnk)}收敛于f(d)。但{f(Dnk)}是{f(dn)}的一个子序列，收敛于M，因此M = f(d)。所以，f在d处取得最小上界M。
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关于有界性定理~设定义在〔a,b〕上的函数f（x）在（a,b）内连续,且f(x)在a点的右极限和f(x)在b点的左极限存在且有限.则f(x)在[a,b]上是否有界?是否能取得最值?
褓弑桀01084
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证：（1）设f(x)在[a,b]内无界,将[a,b]分成两个小区间[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界,把这个无界的区域记为[a1,b1].再将之分成[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界.一直这样做下去.则[an,bn]都是无界的.因为这样分过后,则必然存在n,使lim(n趋无穷)an=lim(n趋无穷)bn.从而 这与[an,bn]都是无界的矛盾.说明假设f(x)在[a,b]内无界是不正确的,也就证明了f(x)在[a,b]上是否有界.（有闭区间套定理来做）（2）记R={f(x)|x在[a,b]},由（1）可知,他是有界的.记A=INF R,B=SUP R 则,任意x,有f(x)>=A .同时也存在K>0使f(x)
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