 上传我的文档
 下载
 收藏
一位正在IT行业中学习的小人物，想分享一些学习资料给所有人
 下载此文档
正在努力加载中...
FIR和IIR数字滤波器的设计及稳定性研究
下载积分：1600
内容提示：FIR和IIR数字滤波器的设计及稳定性研究
文档格式：PDF|
浏览次数：1|
上传日期： 00:05:33|
文档星级：
全文阅读已结束，如果下载本文需要使用
 1600 积分
下载此文档
该用户还上传了这些文档
FIR和IIR数字滤波器的设计及稳定性研究
官方公共微信七年级下学期数学竞赛同步辅导教材doc-共享资料网
七年级下学期数学竞赛同步辅导教材doc
初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来第一讲整数的一种分类内容提要1．余数的定义：在等式 A＝mB＋r 中，如果 A、B 是整数，m 是正整数， r 为小于 m 的非负整数，那么我们称 r 是 A 除以 m 的余数。 即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数&除数) 例如：13，0，－1，－9 除以 5 的余数分别是 3，0，4，1 （∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。 ） 2．显然，整数除以正整数 m ,它的余数只有 m 种。 例如 整数除以 2，余数只有 0 和 1 两种，除以 3 则余数有 0、1、2 三种。 3．整数的一种分类：按整数除以正整数 m 的余数，分为 m 类，称为按模 m 分类。例如： m=2 时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k 为整数） m=3 时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以 3 余 2。 ， m=5 时，分为五类， ｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝ 或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝ ， 其中 5k－2 表示除以 5 余 3。 4．余数的性质：整数按某个模 m 分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。 举例如下： ①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数 1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数 1×3＝3） 2 2 2 ③（5k±2） ＝25k ±20k+4=5(5k ±4k)+4 （余数 22＝4） 以上等式可叙述为： ① 两个整数除以 3 都余 1，则它们的和除以 3 必余 2。 ② 两个整数除以 4，分别余 1 和 3，则它们的积除以 4 必余 3。 ③ 如果整数除以 5，余数是 2 或 3，那么它的平方数除以 5，余数必是 4 或 9。 余数的乘方，包括一切正整数次幂。 如：∵17 除以 5 余 2 ∴176 除以 5 的余数是 4 （26＝64） 5．运用整数分类解题时，它的关I是正确选用模 m。例题分析例 1. 今天是星期日，9 天后是星期几？ 分析：一星期是 7 天，选用模 m=7, 求 99 除以 7 的余数 解：99＝（7＋2）9，它的余数与 29 的余数相同， 29＝（23）3＝83＝（7＋1）3 它的余数与 13 相同， ∴99 天后是星期一。 又解：设｛A｝表示 A 除以 7 的余数， ｛99｝＝｛ （7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛ （7＋1）3｝＝｛13｝＝1 例 2. 设 n 为正整数，求 43 n+1 除以 9 的余数。 分析：设法把幂的底数化为 9k＋r 形式 解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n ∵(9×7＋1)n 除以 9 的余数是 1n=1 ∴43 n+1 除以 9 的余数是 4。 例 3. 求证三个连续整数的立方和是 9 的倍数 解：设三个连续整数为 n－1,n,n+1 M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)传播数学文化 开启智慧人生 1 七年级下册9初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来把整数 n 按模 3，分为三类讨论。 当 n=3k （k 为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2) 当 n=3k+1 时， M＝3（3k+1） ［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3) =9(3k+1)(3k2+2k+1) 当 n=3k+2 时， M＝3（3k+2） ［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6) ＝9(3k+2)(3k2+4k+2) ∴对任意整数 n，M 都是 9 的倍数。 例 4. 求证：方程 x2－3y2=17 没有整数解 证明：设整数 x 按模 3 分类讨论， ①当 x＝3k 时， （3k）2－3y2=17, 3(3k2－y2)=17 ⑵当 x=3k±1 时， （3k±1）2－3y2=17 3(3k2±2k－y2)=16 由①②左边的整数是 3 的倍数，而右边的 17 和 16 都不是 3 的倍数， ∴上述等式都不能成立，因此，方程 x2－3y2=17 没有整数解 例 5. 求证：不论 n 取什么整数值，n2+n+1 都不能被 5 整除 证明：把 n 按模 5 分类讨论， 当 n=5k 时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1 当 n=5k±1 时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1 ＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1 当 n=5k±2 时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1 ＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2 综上所述，不论 n 取什么整数值，n2+n+1 都不能被 5 整除 又证：n2+n+1＝n(n+1)+1 ∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是 0，2，6 ∴n2+n+1 的个位数只能是 1，3，7，故都不能被 5 整除。练习一1. 已知 a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k 都是整数) 填写表中各数除以 3 的余数。 a+b a+c ab ac 2a 2b a2 b2 b3 b5 a+b)5 2. 376÷7 的余数是＿＿＿＿＿3．今天是星期日，第 2 天是星期一，那么第 2111 天是星期几？4．已知 m,n 都是正整数，求证：3 nm(n2+2)5. 已知 a 是奇数但不是 3 的倍数，求证：24 （a2－1） （提示 a 可表示为除以 6 余 1 或 5，即 a=6k±1）传播数学文化开启智慧人生2七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来6．把正整数按表中的规律排下去，问 100 将排在哪一列？一 二 1 8 7 916 1 5四 五 3 4 5 1 12 1 14 1 3三 2 6 107．已知正整数 n 不是 4 的倍数 求证：1n＋2n＋3n＋4n 是 10 的倍数5. 任给 5 个整数，必能从中找到 3 个，其和能被 10 整除，这是为什么？9 对任意两个整数，它们的和、差、积中至少有一个是 3 的倍数，试说明理由。10．任意 10 个整数中，必有两个,它们的差是 9 的倍数。这是为什么？如果改为任意 n＋1 个， 则必有两个,它们的差是 n 的倍数，试说明理由。11.证明x2+y2-8z=6 没有整数解 即 1234 ? 那么这个数用 9 除之，余数198位12.从 1 开始的正整数依次写下去，直到第 198 位为止 是＿＿＿传播数学文化开启智慧人生3七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来第二讲教学目标： 使学生掌握添加辅助线的方法 教学重点与难点： 如何添加辅助线相交线与平行线 内容提要教学过程： 说明：利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三 线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两 种情况； 1. 缺角补角 在图形中虽然具备了“三线” ，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然， 应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。 2. 缺线补线 如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添 置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领 会其中要领。例题解析： 例题解析例 1. 如图所示，AB//CD，∠A=∠C。求证；AD//BC。D CAB分析：由 AB//CD 知它所对应的图形应是三线八角，而在图中，没有完全显露出来，为 了更好地使用已知条件，可以将某些线段延长。 证法 1：如图所示，延长 CD 和 AD。 ∵ AB / / CD（已知） ∴ ∠4 = ∠1（两直线平行，同位角相等）∵ ∠4 = ∠C（已知） ∴ ∠1 = ∠C ∴ AD / / BC（内错角相等，两直线平行）D 1 2 3 C4 A B证法 2：延长 CD 和 AD。传播数学文化 开启智慧人生 4 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来∵ AB / / CD（已知）∴ ∠4 = ∠2 （两直线平行，内错角相等） ∵ ∠A = ∠C（已知） ∴ ∠ 2 = ∠C∴ AD / / BC（同位角相等，两直线平行） 证法 3：延长 CD 和 AD ∵ AB / / CD（已知）∴ ∠4 + ∠3 = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠A = ∠C（已知） ∴ ∠3 + ∠C = 180° ∴ AD / / BC（同旁内角互补，两直线平行）小结： 延长 AD，CD 是为了更好地认识和使用图形――三线八角，但没有决定性作用，可以不 作为添加辅助线的必要部分。 本题虽然不添置辅助线也能够证明，但思路狭隘，不利于培养逻辑思维能力。 例 2. 如图所示，已知：∠B+∠D=∠BED，求证：AB//CD。A BE C D分析：由条件和结论可以发现，要证明 AB//CD，缺少第三条直线，怎样添加第三条直线 呢？ 如图 1 中，DM 是第三条直线；图 2 中，BN 是第三条直线；图 3 中，BD 是第三条直线， 按这三种方法添置辅助线，都可以进行证明，只是在证明过程中，要用到三角形内角和定理。A M BE C D图1A BECND图2传播数学文化 开启智慧人生 5 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来ABE C D图3 由已知图形及条件∠B+∠D=∠BED 可以意识到，AB，CD 分别在两组“三线八角”中， 而且 BE，DE 分别是第三条直线，基于上述认识，过 E 点应存在一条平行于 AB 的直线，这 就挖掘出了添置辅助线“过 E 作 EF//AB”的背景。 如图 4，也是过 E 作 EF//AB，图 5 也是过 E 作 EG//AB，只是方向不同。A BE1 2 DFC图4A BG3 4ECD图5 证法 1：如图 4，过 E 作 EF//AB ∴ ∠B = ∠1（两直线平行，内错角相等）∵ ∠BED = ∠1 + ∠2 （等量代换） ∠BED = ∠B + ∠D（已知） ∴ ∠1 + ∠2 = ∠B + ∠D（等量代换） ∴ ∠2 = ∠D ∴ EF / / CD（内错角相等，两直线平行） ∴ AB / / CD（平行于同一条直线的两直线平行） 证法 2：如图 5，过 E 作 EG//AB 请同学自己完成证明。传播数学文化开启智慧人生6七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来练习1. 如图所示，已知 AB//CD，求证： ∠B + ∠D = ∠BEDA E C D B2. 如图所示，已知 MN // l，∠ABC = 130°，∠α = 40° ，求证： AB⊥MN 。A M F B α l D C N3. 如图所示，AB//CD，EF 分别交 AB、CD 于 G、H，GK 平分 ∠HGB ，HK 平分 ∠GHD 。 求证： GK⊥HK 。E A G K C F H 第 3 题图 D BE A B第 4 题图F C D4、如图所示，AB//CD， ∠A+∠E+∠F+∠C 的度数可以确定吗？A E F G H K C B第 5 题图jD5、如图所示，AB//CD，∠A 、∠E 、∠F、 ∠G、∠H、∠K、∠C 之间是否存在某种关系？如果存在，请结合图形加以证明；如果不存在，请说明理由传播数学文化开启智慧人生7七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来第三讲1. 知识结构三角形和多边形内容提要三角形的三边关系 三角形 三角形的内角和 三角形的 外角性质 三角形 外角和 多边形 外角和 用正多 边形铺 满地面瓷砖的 铺设多边形多边形的内角和2. 主要知识内容： 通过本章的学习，我们应掌握以下知识内容： （1）瓷砖的铺设： &1&密铺的特征：相邻几个多边形中，在同一顶点的几个角的和等于 360° &2&常见的地砖形状：三角形、四边形和正六边形 （2）三角形： &1&三角形的分类 ①三角形按边分类： ?不等边三角形 ? 三角形 ? ?腰和底不相等的等腰三角形 ?等腰三角形 ?等边三角形 ? ? ②三角形按角分类： ? ?锐角三角形 ?锐角三角形 ?斜三角形 ? ? 三角形 ? ?钝角三角形 或 三角形 ?直角三角形 ?直角三角形 ?钝角三角形 ? ? 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等 腰三角形和等边三角形三类。 &2&三角形各角之间的关系： ①三角形的内角和等于 180° ②三角形的外角和等于 360° （每个顶点处只取一个外角） ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 &3&三角形的三边关系： ①三角形的任何两边的和大于第三边 ②判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第 三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。 （3）多边形的内角和与外角和 ①n 边形的内角和等于 ( n ? 2) ? 180° ，n 边形的外角和等于 360° ( n ? 2) ? 180° 360° ②正 n 边形的每个内角都等于 ，每个外角都等于 n n n( n ? 3) ③n 边形从一个顶点出发有 ( n ? 3) 条对角线，n 边形共有 条对角线 2 （4）用正多边形拼地板： ①正多边形拼地板的必要条件：围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好 组成一个周角。传播数学文化 开启智慧人生 8 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来②一种正多边形能密铺平面的只有：正三角形、正方形和正六边形 ③两种或两种以上正多边形组合密铺平面的设计。例题分析例 1. （1）如图（a） ，求证： ∠BDC = ∠A + ∠B + ∠CAD B （a） C（2）如图（b） ，若 ∠BGC = 130° ，求 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F 的度数。A E G B D （b） C F分析： 分析：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，这里是求证一个角 等于三个角的和，这就启示我们要将此图化为三角形进行研究。 （ 法一 法一： 解： 1）法一：如图 1，延长 BD 交 AC 于 EA E D B 图1 C∵ ∠BDC = ∠DEC + ∠C∠DEC = ∠A + ∠B∴ ∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C 法二： 法二：如图 2，连结 AD 并延长至 EABD E 图2C则 ∠BDE = ∠B + ∠BAE ∠CDE = ∠C + ∠CAE ∴ ∠BDE + ∠CDE = ∠B + ∠C + ∠BAE + ∠CAE 即 ∠BDC = ∠B + ∠C + ∠BAC传播数学文化 开启智慧人生 9 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来法三： 法三：如图 3，连结 BCAD B 图3 C∵ ∠A + ∠ABC + ∠ACB = ∠D + ∠DBC + ∠DCB = 180° 即 ∠A + ∠ABD + ∠DBC + ∠ACD + ∠DCB = ∠D + ∠DBC + ∠DCB ∴ ∠D = ∠A + ∠ABD + ∠ACD （2）∵ ∠BGC = ∠A + ∠B + ∠C ∠EGF = ∠D + ∠E + ∠F ∴ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ∠BGC + ∠EGF = 2∠BGC = 2 × 130°= 260°例 2. （辽宁省 03 年中考）已知 ?ABC 中， ∠A = α ，角平分线 BE、CF 相交于 O，如图所 ） 示， ∠BOC 的度数应为（ 1 1 A. 90°+ α B. 90°? α 2 2 1 D. 180°? α C. 180°?α 2AF O BEC分析： 分析： ∠BOC 与已知角 ∠A 不在一个三角形中，要建立 ∠BOC 和 ∠A 的联系，需应用三 角形内角和定理，通过 ∠OBC 与 ∠OCB 建立它们之间的联系。 解：∵ BE，CF 分别是角平分线 1 1 ∴ ∠OBC = ∠ABC，∠OCB = ∠ACB 2 2 1 ∴ ∠BOC = 180°? ( ∠ABC + ∠ACB) 2 ∵ ∠ABC + ∠ACB = 180°?∠A 1 ∴ ∠BOC = 180°? (180°?∠A ) 2传播数学文化开启智慧人生10七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来1 = 180°?90°+ ∠A 2 1 = 90°+ ∠A 2 1 = 90°+ α 2∴选 A（拓展延伸） （1）本题是近几年全国各省市中考题的热点之一，陕西省、山西省、辽宁省几省市近三 年的中考题都考了本题的特例。 （2）如图，角平分线 AD、BE、CF 交于 O，类似的有 1 ∠AOC = 90°+ ∠ABC 2 1 ∠AOB = 90°+ ∠ACB 2AF O B DEC（3）由上述结果，1 1 ∠EOC = 180°?∠BOC = 180°? (90°+ ∠BAC) = 90°? ∠BAC 2 2 1 故 ∠EOC 与 ∠BAC 互余，图中还有其它互余的角吗？ 2例 3. （山东省 03 年中考题）已知一个等腰三角形的三边长分别为 x， 2 x ? 1 ， 5x ? 3 ，其 周长为________ 分析： 分析：从等腰三角形的两腰相等入手，根据题意，设其中两边为腰，列出关于 x 的方程， 进而可求各边长，同时应考虑到应分三种情况讨论。 （ 解： 1）若 x = 2 x ? 1 ，则 x = 1 ，三边分别为 1，1，2 2 1 1 2 （2）若 2 x ? 1 = 5x ? 3 ，则 x = ，三边长分别为 ， ， 3 3 3 3 3 3 1 3 （3）若 x = 5x ? 3 ，则 x = ，三边长分别为 ， ， 4 4 2 4 ∵ （1） 2）两种情况不符三边关系定理，故舍去 （ 3 1 3 ∴ 其周长为 + + = 2 4 2 4 易错分析： 易错分析：解本题除注意分类讨论外，还应注意到等腰三角形三边也应满足三角形三边 关系这一隐含条件。例 4. 如果多边形的边数增加 1，那么这个多边形的内角和增加多少度？将 n 边形的边数增传播数学文化 开启智慧人生 11 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来加 1 倍，则它的内角和增加多少度？上述两种情况下外角和怎样变化？ 解：设这个多边形的边数为 n，当边数增加 1 后，多边形的边数变为(n+1)，则两个多边 形的内角和之差为 [( n + 1) ? 2] ? 180°? ( n ? 2) ? 180° = 180° 当多边形的边数增加 1 倍时，边数变化为 2n ，则此时两个多边形的内角和之差为 (2 n ? 2) ? 180°? ( n ? 2) ? 180° = n ? 180° 上述两种变化情况下，多边形的外角和保持不变，都是 360° 例 5. （1） 已知如图 a） 在 ?ABC 中，∠C & ∠B，AD⊥BC 于 D， 平分 ∠BAC ， ∠EAD （ ， AE 则 与 ∠B，∠C 有何数量关系？ABE D （a）C（2） （b） AE 平分 ∠BAC ， 为其上一点， FD⊥BC 于 D， 如图 ， F 且 这时 ∠EFD 与 ∠B、∠C 又有何数量关系？AF B ED （b） C（3）如图（c） AE 平分 ∠BAC ，F 为 AE 延长线上一点， FD⊥BC 于 D，这时 ∠AFD 与 ， ∠B、∠C 又有何数量关系？AD B E F （c） C分析： 分析：在（1）问中，要找出 ∠EAD 与 ∠B、∠C 的数量关系，可考虑利用三角形内角和 定理及三角形的外角性质转化，同时应注意灵活运用图中隐含的角与角的和差关系，在解决 第（2）（3）问时，应注意把它转化为第（1）问的情形，运用第（1）问的结论，过点 A 作 、 AG⊥ΒC ，则有 ∠EFD = ∠EAG （ ∴ ∠ADC = 90° 解： 1）∵ AD⊥BC ∵ ∠CAD = 180°?∠C ? ∠ADC ∴ ∠CAD = 180°?∠C ? 90° = 90°?∠C ∵ AE 平分 ∠BAC 1 ∴ ∠EAC = ∠BAC 2传播数学文化 开启智慧人生 12 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来∵ ∠BAC = 180°?∠B ? ∠C1 1 1 × (180°?∠B ? ∠C) = 90°? ∠B ? ∠C 2 2 2 1 1 ∴ ∠EAC ? ∠CAD = 90°? ∠B ? ∠C ? (90°?∠C) 2 2 1 1 = 90°? ∠B ? ∠C ? 90°+∠C 2 2 1 = (∠C ? ∠B) 2 1 即 ∠EAD = ( ∠C ? ∠B) 2 ∴ ∠EAC = （2）如图（b） ，过 A 作 AG⊥BC 于 G，由（1）知 ∠EAG =A1 ( ∠C ? ∠B) 2F B EDG （b） C∵ AG⊥BC ∵ FD⊥BC∴ ∠AGC = 90° ∴ ∠FDG = 90° ∴ ∠EFD = ∠EAG∴ ∠AGC = ∠FDG ∴ FD / / AG 1 ∴ ∠EFD = (∠C ? ∠B) 2（3）如图（c） ，过点 A 作 AG⊥BC 于 G，由（1）知 ∠EAG =A1 ( ∠C ? ∠B) 2D B F （c） EG C∵ AG⊥BC ∵ DF⊥BC ∴ ∠AGB = ∠FDC ∴ ∠AFD = ∠EAG∴ ∠AGB = 90° ∴ ∠FDC = 90° ∴ FD / / AB ∴ ∠AFD =1 (∠C ? ∠B) 2 说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适 说明： 当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变 化，又要抓住变化中的内在联系。例 6. 如图， A、 、 在同一直线上， C、 、 在同一直线上， 点 O B 点 O D ∠ADO 的平分线交 ∠CBO 的平分线于点 P传播数学文化 开启智慧人生 13 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来（1）若 ∠A = 50° ，∠C = 40° ，求 ∠P 的度数； （2）试归纳 ∠A、∠C 与 ∠P 之间的关系D A E P F4 3O2 1BC分析： 分析：本题图形较复杂，涉及的三角形较多，虽然 ∠A 与 ∠C 的度数是已知的，但 ?AOD 和 ?COB 的形状是可以改变的，因此图中许多角的度数在变化，为什么 ∠P 是不变量呢？ （ 解： 1）在 ?BCF 和 ?PDF 中，有 ∠P + ∠3 = ∠C + ∠1 在 ?PBE 和 ?ADE 中，有 ∠P + ∠2 = ∠A + ∠4 ∴ 2∠P + ∠2 + ∠3 = ∠A + ∠C + ∠1 + ∠4 ∵ BP 平分 ∠CBO ，DP 平分 ∠ADO ∴ ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠4 ∴ 2 ∠P = ∠A + ∠C∴ ∠P =1 1 (∠A + ∠C) = (50°+40° ) = 45° 2 21 (∠A + ∠C) 2（2）由（1）知 ∠A、∠C 与 ∠P 之间的关系为 ∠P =练习1. 已知等腰三角形两边长分别为 4 和 9，则第三边的长为____________ 2. 两个木棒的长分别为 3cm 和 5cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角架，若第三 根木棒长为偶数，则第三根木棒长__________cm。 3. 已知 a、b、c 为三角形三边的长，且 | a ? b|+ (3a ? 2 b ? c) 2 = 0 ，则这个三角形的形状为 __________ 4. 如图，已知 ∠A = 80° ， 1）若点 O 为两角平分线的交点，则 ∠BOC = ________； 2） （ （ 若点 O 为两条高的交点， ∠BOC = ___________。AO B C5. 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠4 ，∠5 = ∠6，∠7 = ∠8 ， 则 ∠E + ∠F = ____________传播数学文化开启智慧人生14七年级下册初中数学竞赛同步辅导 D A2 1 3 4知识改变命运 学习开创未来E F8 75 6BC6. 等腰三角形的周长为 20cm， （1）若其中一边长为 6cm，则腰长为_________； （2）若其 中一边长为 5cm，则腰长为__________ 7. 过 n 边形的一个顶点有 2m 条对角线，m 边形没有对角线，k 边形有 k 条对角线，则 ( n ? k ) m = _________ 8. 如图， ?ABC 的面积等于 12cm 2 ，D 为 AB 的中点，E 是 AC 边上一点，且 AE = 2 EC ， O 为 DC 与 BE 交点， ?DBO 的面积为 acm 2 ， CEO 的面积为 bcm 2 ， a ? b = ____________ 若 ∠ 则AD O BE C9. 三角形中，最大角 α 的取值范围是（ ） A. 0° & α & 90° B. 60° & α & 180° C. 60° ≤ α & 90° D. 60° ≤ α & 180° 10. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为 4 和 1997，则满足条件的三角形的个 ） 数是（ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 能铺满地面的正多边形组合是（ ） A. 正三角形和正八边形 B. 正五边形和正十边形 D. 正六边形和正八边形 C. 正三角形和正十二边形 12. 如图， ?ABC 中， 是 BC 上一点， ∠B = ∠C ， 1 = ∠3 ， ∠1 与 ∠2 的关系为 在 D 若 ∠ 则 （ ） A. ∠1 = 2∠2 B. ∠1 + ∠2 = 180° C. ∠1 + 3∠2 = 180° D. 3∠1 ? ∠2 = 180°A 3 21 B D C13. 一个多边形除去一个内角之外， 其余各内角的和为 2570° ， 则这个内角的度数为 （ ） A. 90° B. 105° C. 130° D. 120° 14. 如图，已知在 ?ABC 中， ∠C = 90° ，∠B = 34° ，∠1 = ∠2 ，∠AEB = 104° ，问 AD 平分 ∠BAC 吗？请说明理由。传播数学文化开启智慧人生15七年级下册初中数学竞赛同步辅导 A12知识改变命运 学习开创未来BDEC15. 已知：如图是不规则的六边形地砖，在六边形 ABCDEF 中，每个内角为 120° ，且 AB = BC = 3，AF = DE = 2 ，求该六边形地砖的周长。A FB ECD16. 如图中的几个图形是五角星和它的变形A A ABEBEBEC C (1 ) D C (2 ) D (3 ) D（1）图（1）中是一个五角星，求 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E （ 2 ） 图 （ 1 ） 中 点 A 向 下 移 到 BE 上 ， 五 个 角 的 和 有 无 变 化 ？ （ 即 ∠CAD + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E ）如图（2） ，说明你的结论的正确性。 （3 ） （2 ） 把图 中点 C 向上移动到 BD 上， 五个角的和 （即 ∠CAD + ∠B + ∠ACE + ∠D + ∠E ） 有无变化？如图（3） ，说明你的结论的正确性。第四讲二元一次方程的整数解内容提要1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中， 若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。 返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而 3 不能整除 10； 4，2）＝2，而 2 不能整除 1。 （ 一般我们在正整数集合里研究公约数， a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。 （ 2，二元一次方程整数解的求法： 若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的传播数学文化 开启智慧人生 16 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来解） 叫做参变数。 。k 方法一，整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解 方法一，整除法 1 ? 11 y 1 ? y ? 10 y 1 ? y ? 2 y (1) , 解：x= = = 5 5 5 1? y = k (k 是整数） 设 ，则 y=1-5k (2) , 5 把（2）代入（1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2 ? x = 11k ? 2 ∴原方程所有的整数解是 ? （k 是整数） ? y = 1 ? 5k 方法二，公式法： 方法二，公式法 ? x = x0 ? x = x0 + bk 设 ax+by=c 有整数解 ? 则通解是 ? （x0,y0 可用观察法） y = y 0 ? ak y = y0 ? ? 3，求二元一次方程的正整数解： ① 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 ② 用观察法直接写出。例题分析 例题分析例 1 求方程 5x－9y=18 整数解的能通解 18 + 9 y 15 + 10 y + 3 ? y 3? y 解 x= = = 3 + 2y + 5 5 5 3? y 设 = k （k 为整数） y=3－5k, 代入得 x=9－9k ， 5 ? x = 9 ? 9k ∴原方程整数解是 ? （k 为整数） ? y = 3 ? 5k 又解：当 x=o 时，y=－2， ?x = 0 ?x = 0 ? 9 y ∴方程有一个整数解 ? 它的通解是 ? （k 为整数） ? y = ?2 ? y = ? 2 ? 5k 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例 2，求方程 5x+6y=100 的正整数解 100 ? 6 y y 解：x= = 20 ? y ? (1)， 5 5 y 设 = k (k 为整数)，则 y=5k,(2) 5 把（2）代入（1）得 x=20-6k， ?x & 0 ?20 ? 6k & 0 ∵? 解不等式组 ? ?y & 0 ?5k & 0 20 得 0＜k& ,k 的整数解是 1，2，3， 6 ? x = 14 ? x = 8 ? x = 2 ∴正整数解是 ? ? ? ? y = 5 ? y = 10 ? y = 15 例 3，甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得 3x+5y=38 （x,y 都是正整数） ?x = 1 ∵x＝1 时，y=7，∴ ? 是一个整数解 ?y = 7传播数学文化 开启智慧人生 17 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来? x = 1 + 5k ∴通解是 ? （k 为整数） ? y = 7 ? 3k ?1 + 5k & 0 1 7 解不等式组 ? 得解集是 ? & k & 5 3 ?7 ? 3k & 0∴整数 k=0，1，2? x = 1 ? x = 6 ? x = 11 把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解 ? ? ? ?y = 7 ?y = 4 ?y = 1 答：甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。练习1，求下列方程的整数解 ①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4 2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110 3，一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛坯 长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？ 4，兄弟三人，老大 20 岁，老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁数。 5，下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号） ① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111, ④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324. 一张试有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军 6, 同学得 48 分，他最多得几分？ 7． 用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解： y= 1 4 －2 1? 7y x= = 3第五讲二元一次方程组内容提要1. 熟练掌握二元一次方程的意义，二元一次方程组的定义及二元一次方程，二元一次方程 组解的定义。 2. 熟练掌握二元一次方程组的解法。 3. 会运用二元一次方程组解决实际问题。二元一次方程组的知识是一元一次方程知识的深化和发展，是进一步学习数学必备的基 础知识，此外，有很多工农业、国防科技和生活中的实际问题，也要用二元一次方程组来解 决。因此，二元一次方程组是初中数学的重要内容之一，常见的题型有：填空题、选择题、 列方程组解实际问题，以及综合题。随着素质教育、创新教育和新课标在全国各地的开展和 深化，近年来对数学思想方法的考查越来越重视， “消元”的数学思想和“代入法”“加减法” 、 的数学方法将是今后考试命题的热点。例题分析（一）二元一次方程（组）的有关概念 例 1. 下列方程中，二元一次方程是（ B. y = 3x ? 1 A. xy = 1 ）传播数学文化开启智慧人生18七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来C. x +1 =2 y 答案： 答案：BD. x 2 + y ? 3 = 0?x = 2 例 2. 已知 ? 是方程 kx ? y = 3 的解，那么 k 的值是（ ?y = 1 A. 2 B. ?2 C. 1 D. ?1 答案： 答案：A）（二）构造二元一次方程组解题 例 3. 已知 5 x + y ? 3 + ( x ? 2 y ) = 0 ，则（2）? x = ?1 A. ? ? y = ?2 ?x = 2 C. ? ?y = 1? x = ?2 B. ? ? y = ?1 ?x = 1 D. ? ?y = 2分析： 分析：本题利用非负数的性质可构造二元一次方程组来求解，由非负数的性质可得： ?x + y ? 3 = 0 ?x = 2 ，解得 ? ? ?x ? 2 y = 0 ?y = 1 答案： 答案：C?ax + by = 4 ?x = 2 例 4. 已知方程组 ? 的解是 ? ，则 a + b = ____________。 ?bx + ay = 5 ?y = 1 分析： 分析：本题主要考查二元一次方程组的解的意义和二元一次方程组的解法。 ?x = 2 ?ax + by = 4 ?2a + b = 4 将? 代入 ? 可得到关于 a、b 的二元一次方程组 ? ?y = 1 ?bx + ay = 5 ?a + 2b = 5 依据整体思想，两方程相加，便得 3(a + b) = 9 ，即 a + b = 3 。（三）二元一次方程组的解法 1. 二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。 这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元 一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知” 的重要数学化归思想。 解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。 2. 灵活消元 （1）整体代入法 ?y +1 x + 2 = ? 例 5. 解方程组 ? 4 3 ?2 x ? 3 y = 1 ? ?4 x ? 3 y = ?5 解：原方程组可变形为 ? ?2 x ? 3 y = 1 ?2 x ? 3 y + 2 x = ?5 继续变形为 ? ?2 x ? 3 y = 1 &2&代入&1&得： 1 + 2 x = ?5传播数学文化 开启智慧人生&1& &2&19七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来x = ?37 解得： y = ? 3? x = ?3 ? 方程组的解为 ? 7 ?y = ? 3 ? （2）先消常数法 ?4 x + 3 y = 3 例 6. 解方程组 ? ?3x ? 2 y = 15&1& &2&解：&1&×5－&2&得： 17 x + 17 y = 0 x = ?y &3& &3&代入&1&得： y = ?3 把 y = ?3 代入&3&得： x = 3 ?x = 3 所以原方程组的解为 ? ? y = ?3 （3）设参代入法 &1& ?x ? 3y = 2 例 7. 解方程组 ? &2& ?x : y = 4 : 3 x y 解：由&2&得： = 4 3 x y 设 = = k ，则 x = 4 k，y = 3k & 3& 4 3 把&3&代入&1&得： 4 k ? 9 k = 2 2 解得： k = ? 5 2 8 6 把 k = ? 代入&3&，得： x = ? ，y = ? 5 5 5 8 ? ?x = ? 5 ? 所以原方程组的解是 ? ?y = ? 6 ? 5 ?（4）换元法?x + y x ? y ? =6 ? 例 8. 解方程组 ? 2 3 ?3( x + y ) = 4( x ? y ) ?解：设 x + y = a，x ? y = b ，则原方程组可变形为 ?3a ? 2b = 36 ?a = 24 ，解得 ? ? ?3a ? 4b = 0 ?b = 18 ? x + y = 24 所以 ? ? x ? y = 18传播数学文化开启智慧人生20七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来? x = 21 解这个方程组，得： ? ?y = 3 ? x = 21 所以原方程组的解是 ? ?y = 3（5）简化系数法 ?4 x ? 3 y = 3 例 9. 解方程组 ? ?3x ? 4 y = 4&1& &2&解：&1&＋&2&得： 7 x ? 7 y = 7 所以 x ? y = 1 & 3& &1&－&2&得： x + y = ?1 &4& ?x = 0 由&3&、&4&得： ? ? y = ?1 （四）列二元一次方程组解决实际问题 例 10. （2004 年北京市中考题） 某山区有 23 名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要 a 元， 一名小学生的学习费用需要 b 元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助 中学生和小学生人数的部分情况如下表：年 级 初一年级 初二年级 初三年级 捐款数额 （元） 00 捐助贫困中学生人数 （名） 2 3 捐助贫困小学生人数 （名） 4 3（1）求 a，b 的值； （2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐 助的贫困中小学生人数直接填入上表中（不需写计算过程） 。 ?2a + 4b = 4000 （ 解： 1）根据题意有 ? ?3a + 3b = 4200?a = 800 解这个方程组，得： ? ?b = 600 （2）初三年级学生捐助贫困中学生人数为 4（名） ，捐助贫困小学生人数为 7（名） 。 说明： 说明：本题已知条件由表格给出，题型比较新颖，要学会审读表格信息，分析其中蕴含 的数量关系，巧列方程组求解，第（2）问设初三年级捐助贫困中学生 x 人，捐助贫困小学生 y 人，列方程组得： ? x + y = 11 ? ?800a + 600b = 7400 ?x = 4 解得： ? ?y = 7练习一. 精心选一选（每小题 2 分，共 20 分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（传播数学文化 开启智慧人生）21 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来B. 3xy + 1 = 0 y ?1 D. x = 2 ?x + y = 4 2. 下面的几组数值中，是方程组 ? 的解的是（ ?x ? 2 y = 1 ?x = 2 ? x = ?3 A. ? B. ? ?y = 1 ?y = 1A. 2x ? y = z 1 C. +y=3 2）?x = 3 ? x = ?1 C. ? D. ? ?y = 1 ?y = 2 ?s = 1 s t 3. 如果 ? 是方程 ? = k 的解，则 k 的值是（ ） 2 3 ?t = ?2 1 7 7 1 B. C. D. ? A. ? 6 6 6 6 a ?b a +b ? 2 4. 若 x ? 2 y = 0 是二元一次方程，那么 a、b 的值分别是（ ） A. 1，0 B. 0， ? 1 C. 2，1 D. 2 ， ? 2 5. 某所中学现有学生 4200 人，计划一年后初中在校生增加 8%，高中在校生增加 11%，这 样全校在校生增加 10%，则这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是（ ） A. 1400 和 2800 B. 1900 和 2300 D. 2300 和 1900 C. 2800 和 1400 ?x = y + 5 6. 方程组 ? 的解满足方程 x + y + a = 0 ，那么 a 的值是（ ） ?2 x ? y = 5 A. 5 B. ?5 C. 3 D. ?3 ? x + 1 = ?2 7. 以下方程组的解与 ? 的解不同的是（ ） ? y ? 1 = ?4 ?3x ? 5 y = 6 ?3x ? 5 y = 6 A. ? B. ? ? x + 4 y = ?15 ? x = ?15 ? 4 y ?3(?15 ? 4 y ) ? 5 y = 6 ? y = ?3 C. ? D. ? ? x = ?15 + 4 y ? x = ?15 ? 4 y 8. 一个两位数的十位数字比个位数字小 2，且能被 5 整除，则这个两位数是（ ） A. 53 B. 57 C. 35 D. 75 ?x + y = 3 9. 已知方程组 ? 的解也是方程 7mx + 4 y = ?18 x 的解，则 m 的值为（ ） ?4 x ? y = 2 10 26 10 26 A. ? B. ? C. D. 7 7 7 7 10. 某人将甲、乙两种股票卖出，其中甲种股票卖价为 1200 元，盈利 20%，乙种股票卖价 也是 1200 元，但亏损 20%，该人在交易后的结果是（ ） A. 赚 100 元 B. 亏 100 元 C. 不亏不赚 D. 无法确定二. 耐心填一填（每小题 2 分，共 20 分） ?x = 0 为解的二元一次方程组：__________________。 1. 写出一个以 ? ?y = 72. 已知 2 x + 3 y = 4 ，当 x = y 时， x = y = _________；传播数学文化 开启智慧人生 22 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来当 x + y = 0 时， x = _________， y = _________。 3. 方程 3x + 2 y = 10 的所有正整数解是__________________。 4. 已知 (4 x + 3 y ? 1) + 3 ? y = 0 ，则 xy = _________。2?2 x + y = 3 时，最简便的方法是用_________法，先消去_________。 5. 解方程组 ? ?3x + y = 7 6. 在等式 y = kx + b 中，当 x = 1 时， y = ?2 ；当 x = ?1 时， y = ?4 ，则 k = _________ ， b = _________。 7. 甲种物品每个 4 千克，乙种物品每个 7 千克。现在有甲种物品 x 个，乙种物品 y 个，共 76 千克。 （1）列出关于 x、y 的二元一次方程：__________________。 （2）若 x = 12 ，则 y = _________。 （3）若有乙种物品 8 个，则甲种物品有_________个。 1 8. 若 2 x 1?2b y 3a 与 ? x 3a y b + 4 是同类项，则 a + b 的值是_________。 5 9. 一个两位数，十位上的数与个位上的数的和为 6 ，则符合这个条件的所有的两位数为 _________。 10. 如下图， 高速公路上， 一辆长为 4 米、 速度为 110 千米/时的轿车准备超越一辆长 12 米， 速度为 100 千米/时的卡车， 则轿车从开始追击到超越卡车， 需要花费的时间 x 约是_________ 秒。三. 用心想一想（每小题 10 分，共 60 分） 1. 解方程组： ?3x ? 2 y = 8 （1 ） ? ?2 x ? y = 5?3x + 5( x + y ) = 36 ? （2 ） ? ?3 y + 4( x + y ) = 36 ? ? x + 2 y = 3m 2. 已知方程组 ? 的解满足方程 5x + 8 y = 38 ，求 m 的值。 ? x ? y = 9m3. 某学生骑自行车从学校去县城，先以每小时 12 千米的速度下山，而后以每小时 9 千米 的速度通过平路到达县城，共用去 55 分钟；返回时，他以每小时 8 千米的速度通过平路，再 以每小时 4 千米的速度上山回到学校，又用去 1 小时 30 分。 （1）若设山路长为 x 千米，平路长为 y 千米，如何列方程组呢？ （2）若设下山需 x 小时，上山需 y 小时，方程组又是怎样的呢？ （3）若设去时走平路需 x 小时，返回时走平路需 y 小时，又怎样列方程组呢？ 4. 某牛奶加工厂现有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元；制成 酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获取利润 2000 元。 该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片每天可加工 1 吨。受人传播数学文化 开启智慧人生 23 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或 加工完毕，为此设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成； 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？ 5. 不论 a 为何值，关于 x、y 的二元一次方程 (a ? 1) x + (a + 2) y + 5 ? 2a = 0 必有一组解的值 不变，试说明这个结论，并求出这个解。 6. 团体购买门票，票价如下：购票人数 每人门票价 1～50 13 元 51～100 11 元 100 以上 9元今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费 1314 元，若作为一个团体购 票，总计支付门票费 1008 元，问这两个旅游团各有多少人？传播数学文化开启智慧人生24七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来第六讲二元一次方程组解的讨论内容提要?a x + b1 y = c1 1．二元一次方程组 ? 1 的解的情况有以下三种： a 2 x + b2 y = c 2 ? a b c ① 当 1 = 1 = 1 时，方程组有无数多解。 （∵两个方程等效） a 2 b2 c 2 a b c ② 当 1 = 1 ≠ 1 时，方程组无解。 （∵两个方程是矛盾的） a 2 b2 c 2 a b ③ 当 1 ≠ 1 （即 a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a 2 b2c1b2 ? c 2 b1 ? ?x = a b ? a b ? 1 2 2 1 （这个解可用加减消元法求得） ? c 2 a1 ? c1 a 2 ?y = ? a1b2 ? a 2 b1 ? 2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二 元一次方程整数解的求法进行。 ，再解含 3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数） 待定系数的不等式或加以讨论。 （见例 2、3）例题分析 例题分析?5 x + y = 7 选择一组 a,c 值使方程组 ? ?ax + 2 y = c ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得 a=10, c=14。 ② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得 a=10, c≠14。 ③当 5∶a≠1∶2 时，方程组有唯一的解， 即当 a≠10 时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 ?x + y = a 例 2. a 取什么值时，方程组 ? 的解是正数？ ?5 x + 3 y = 31 解：把 a 作为已知数，解这个方程组 31 ? 3a ? ? 31 ? 3a ?x = ? 2 &0 ?x & 0 ? ? 2 得 ? ∵? ∴? ?y & 0 ? y = 5a ? 31 ? 5a ? 31 & 0 ? ? 2 ? 2 ? 31 ? ?a & 3 1 1 ? 解不等式组得 ? 解集是 6 & a & 10 5 3 ?a & 31 ? 5 ? 1 1 答：当 a 的取值为 6 & a & 10 时，原方程组的解是正数。 5 3 例 1.传播数学文化 开启智慧人生 七年级下册25初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来?2 x + my = 4 m 取何整数值时，方程组 ? 的解 x 和 y 都是整数？ ?x + 4 y = 1 8 ? ?x = 1 ? m ? 8 ? 解：把 m 作为已知数，解方程组得 ? ?y = 2 ? m ?8 ? ∵x 是整数，∴m－8 取 8 的约数±1，±2，±4，±8。 ∵y 是整数，∴m－8 取 2 的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。 经检验 m=9，7，10，6 时，方程组的解都是整数。 例 4（古代问题）用 100 枚铜板买桃，李，榄橄共 100 粒，己知桃，李每粒分别是 3，4 枚铜 板，而榄橄 7 粒 1 枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买 x, y, z 粒,依题意得 ? x + y + z = 100 ?? (1) ? 1 ? ?3 x + 4 y + 7 z = 100(2) ? 由（1）得 x= 100－y－z (3) 例 3. 把（3）代入（2） ，整理得 z y=－200+3z－ 7 z 设 = k (k 为整数) 得 z=7k, 7y=－200+20k,x=300－27k100 ? k& ? ?300 ? 27k & 0 9 ? ? ∵x,y,z 都是正整数∴ ?? 200 + 20k & 0 解得 ?k . & 10 （k 是整数） ?7k & 0 ?k . & 0 ? ? ? 1 ∴10＜k& 11 , ∵k 是整数， ∴k=11 9 即 x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)练习1．不解方程组，判定下列方程组解的情况： ?x ? 2 y = 3 ?2 x ? y = 3 ?3 x + 5 y = 1 ① ? ②? ③? ?3 x ? 6 y = 9 ?4 x ? 2 y = 3 ?3 x ? 5 y = 1传播数学文化开启智慧人生26七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来?x + 3 y = a + a ? 1 ? ? 2．a 取什么值时方程组 ?9 x ? 6 y = 9a 2 ? 2a + 2 的解是正数？ ?2?x + 2 y = 5 ? a 的解 x 和 y 都是正整数？ 3．a 取哪些正整数值，方程组 ? ?3 x ? 4 y = 2a? x + ky = k 4．要使方程组 ? 的解都是整数， k 应取哪些整数值？ ?x ? 2 y = 15．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡 翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？传播数学文化开启智慧人生27七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来第 七讲一元一次不等式复习拓展内容提要1. 用不等号“＞” “＜” “≥” “≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等 式。 2. 解一元一次不等式的过程类似于解一元一次方程，它们的区别在于不等式两边同乘（或 同除）以同一个负数时，不等号要改变方向。 3. 常用的不等式的性质： （1）若 a & b ，则 b & a ，称为反身性。 （2）若 a & b，b & c ，则 a & c ，称为传递性。 （3）若 a ? b & 0 ，则 a & b ，反之亦然。 （4）若 a ? b = 0 ，则 a = b ，反之亦然。 （5）若 a ? b & 0 ，则 a & b ，反之亦然。 （6）若 a & b ，那么对任意实数 c，都有 a + c & b + c 。 （7）若 a & b，c & 0 ，则 ac & bc 。 （8）若 a & b，c & 0 ，则 ac & bc 。 （9）若 a & b & 0 ，则 a n & b n （n 为正整数） 。 （10）若 a & b & 0，c & d & 0 ，则 ac & bd 。例题分析例 1. 已知 a & 2 ，b & 2 ，试比较 a + b 与 ab 的大小。 （ 解： 1）作差法： 方法一： 方法一：∵ ab ? (a + b) = ab ? a ? b = ab ? a ? b + 1 ? 1= a(b ? 1) ? (b ? 1) ? 1而 a & 2 ，b & 2 ， ∴ (a ? 1)(b ? 1) ? 1 & 0 即 a + b & ab 方法二： 方法二：设 a = 2 + m，b = 2 + n (m & 0，n & 0) 则 ab ? (a + b) = (2 + m)(2 + n) ? (4 + m + n) = 4 + 2m + 2n + mn ? 4 ? m ? n= (b ? 1)(a ? 1) ? 1= m + n + mn ∵ m & 0，n & 0， ∴ m + n + mn & 0 ∴ ab & a + b ，即 a + b & ab （2）作商法： a +b a b 1 1 方法三： = + = + 方法三： ab ab ab a b ∵ a & 2 ，b & 2 1 1 1 1 ∴ + & + =1 a b 2 2 a +b ∴ &1 ab ∴ a + b & ab 注：上例是比较两个有理数大小的问题，我们通常采用作差法（与 0 比较大小）或作商 法（与 1 比较大小）比较两个数的大小，灵活地选择这两种方法比大小，是解题的关键。当传播数学文化 开启智慧人生 28 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来“差”或“商”中含有字母不能直接得出结论时，有时需将条件中字母表示的数值代入再判 断，有时还需分类进行讨论，如：比较 a + 4 与 4 ? a 的大小。需要指出的是，在解选择题时， 赋值法是一种有效的方法。 例 2. 不等式 10( x + 4) + x & 62 的正整数解是方程 2(a + x ) ? 3x = a + 1 的解，求 a 2 + 解：由已知得： 11x & 22 ∴ x & 2 ，正整数解为 x = 1 代入方程，得： a = 2 1 1 17 ∴a2 + 2 = 4 + = 4 4 a 例 3. 解不等式 3x + 1 +1 的值。 a21 1 & + 5x ? 1 x +1 x +1 1 解：当 x ≠ ?1 时，两边消去 x +1 化简得： ?2 x & ?2 ∴x &1 ∴不等式的解为 x & 1 且 x ≠ ?1 注：解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程类似，但两边乘（或除）以同一个负数 时，不等号一定要改变方向，还要关注不等式中未知数的取值范围。例 4. 解关于 x 的不等式 mx ? 3 & 2 x + n 解：整理，得： (m ? 2) x & n + 3 n+3 当 m & 2 时，解为 x & m?2 n+3 当 m & 2 时，解为 x & m?2 当 m = 2 时，原不等式为 0?x & n + 3 ，此时 若 n & ?3 时，则解为全体有理数 若 n ≤ ?3 时，则不等式无解 不等式中所含非未知数的字母称为参数， 解含字母系数的一次不等式要对参数进行讨论； 含有参数的任何一个一元一次不等式总可以化为标准式 ax & b（或 ax & b ） 对形如 ax & b（或 ， ax & b ）的不等式： b b 当 a & 0 时，解为 x & （或 x & ） a a b b 当 a & 0 时，解为 x & （或 x & ） a a 当 a = 0，b & 0 时，不等式的解为全体实数（或无解） 当 a = 0，b ≥ 0 时，不等式无解（或解为全体实数） 例 5. 已知不等式1 1 1 ( x ? 5) ? 1 & (ax + 2) 的解集为 x & ，试求 a 的取值范围。 2 2 2 解：原不等式整理得： (1 ? a ) x & 9 当 1 ? a = 0 时，不等式无解传播数学文化开启智慧人生29七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来9 1 ，这与已知 x & 产生矛盾 1? a 2 9 1 当 1 ? a & 0 时，解为 x & ，与 x & 一致 1? a 2 9 1 故 = ， ∴ a = ?17 1? a 2 由上例可得下面的结论： 若不等式 ax & b（或 ax & b ） 的解为 x & t（或 x & t ） 则 x = t ， 注： 是其对应方程 ax = b 的根（且 a & 0 ） 。当1 ? a & 0 时，解为 x &?x + 2 y = 6 例 6. 当 k 为何整数值时，方程组 ? 有正整数解？ ? x ? y = 9 ? 3k ?x = 8 ? 2k 解：方程组的解为 ? ?y = k ? 1 ?x & 0 ?8 ? 2 k & 0 ∵? ∴? ?y & 0 ?k ? 1 & 0 ?k & 4 解得： ? ?k & 1 ∴ 1＜ k＜ 4 由于 k 为正整数 ∴ k＝ 2 或 3例 7. 已知：、、 是三个非负有理数， x y z 且满足 3x + 2 y + z = 5，x + y ? z = 2 ， s = 2 x + y ? z ， 若 则 S 的最大值和最小值的和是多少？ 分析： 分析：用含一个字母的代数式表示 S，并确定这个字母的取值范围，就可求得 S 的最大 值和最小值。 ?2 y + z = 5 ? 3x 解：由已知得： ? ?y ? z = 2 ? x 7 ? 4x ? ?y = 3 ? 解得： ? ?z = 1 ? x ? 3 ? 7 ? 4x 1 ? x ∴ S = 2x + ? = x+2 3 3 ? ?x ≥ 0 ?x ≥ 0 ? ? ?7 ? 4x 由 ? y ≥ 0 得不等式组 ? ≥0 3 ? ?z ≥ 0 ? ?1 ? x ? 3 ≥0 ? 解得： 0 ≤ x ≤ 1 ∴ 2≤ S ≤ 3 所以，S 的最大值与最小值的和为 5 ，解这类问题的关键是通过消元，将多元转化 注：含多个变量的问题称为“多变元问题” 为一元。传播数学文化 开启智慧人生 30 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来［小结］ 1. 复习巩固不等式的定义、性质、解法的掌握和应用。 2. 提高应用不等式分析问题和解决问题的能力。 3. 巩固分类讨论思想在解决问题中的应用。练习1. 如图，用字母 a、b、c 依次表示点 A、B、C 对应的数，则________________。 1 1 1 、 、 的大小关系是 ab b ? a c99 9 119 ，B = 90 ，那么 A、B 的大小关系是______________。 9 99 9 3. 已知不等式 3x ? m ≤ 0 的正整数解为 1，2，3，那么 m 的取值范围是____________。 a 4. 若方程 249 x + x ? 1 = 0 的解小于零，求 a 的取值范围。 8 2. 已知： A =5. 设不等式 (2a ? b) x + 3a ? 4b & 0 的解集为 x &4 ，求不等式 (a ? 4b) x + 2a ? 3b & 0 的解。 9?x ? y = 2 ，若方程组有非负整数解，求正整数 m 的值。 6. 已知方程组 ? ?mx + y = 6传播数学文化开启智慧人生31七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来第八讲用交集解题内容提要1．某种对象的全体组成一个集合 集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如 6 的正约数 元素。 集合 元素 ，它有 4 个元素 1，2，3，6；除以 3 余 1 的正 集合记作｛6 的正约数｝＝｛1，2，3，6｝ 整数集合是个无限集，记作｛除以 3 余 1 的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝ ，它的个元素 有无数多个。 2．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 交集 例如 6 的正约数集合 A＝｛1，2，3，6｝ ，10 的正约数集合 B＝｛1，2，5，10｝ 与 10 ，6 的公约数集合 C＝｛1，2｝ ，集合 C 是集合 A 和集合 B 的交集。 3．几个集合的交集可用图形形象地表示， 正 右图中左边的椭圆表示正数集合， 正 整 整 数 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 数 数 集 集 集 的公共部分，是它们的交集DD正整数集。 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 ?2 x & 6 ? (1) 例如不等式组 ? 解的集合就是 ? ? x & 2 ? ( 2) 不等式（1）的解集 x&3 和不等式（2）的解集 x＞2 的交集，x&3. 如数轴所示： 0 2 3 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有 的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除， 求得答案。 （如例 2）例题分析 例题分析例 1.一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。 解：除以 3 余 2 的自然数集合 A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以 5 余 3 的自然数集 B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以 7 余 2 自然数集合 C＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合 A、B、C 的公共元素的最小值 23 就是所求的自然数。 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于 6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 解： 二位的质数共 21 个，它们的个位数字只有 1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个 位数的集合是｛1，3，7，9｝ ； 其中差等于 6 的有：1 和 7；3 和 9；13 和 7，三组； 平方数的个位数字相同的只有 3 和 7；1 和 9 二组。 同时符合三个条件的个位数字是 3 和 7 这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67 共四组。 例3. 数学兴趣小组中订阅 A 种刊物的有 28 人， 订阅 B 种刊物的有 21 人， 其中 6 人两种都订， 只有一人两种都没有订，问只订 A 种、只订 B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅 A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们 的交集（A、B 两种都订的人数集合） 。 ∴只订 A 种刊物的人数是 28－6＝22 人；A＝28 B＝21 只订 B 刊物的人数是 21－6＝15 人； AB 只 B 小组总人数是 22＋15＋6＋1＝44 人。 只 A 6 22 15 设 N，N（A） ，N（B） ，N（AB） N ，传播数学文化 开启智慧人生 32 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来分别表示总人数，订 A 种、B 种、AB 两种、都不订的人数，则得 ［公式一］N＝ N + N（A）+N（B）－ （AB） ）－N（ ） 。 ＝ （ ） （ ）－ 例4. 在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有 24 人，篮球有 18 人，排球有 10 人，同时会玩乒 乓球和篮球的有 6 人，同时会玩乒乓球和排球的有 4 人，三种球都会的只有 1 人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一,得［公式二］ ： N＝ N + N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－ （AC）－ ）－N（ ）－ ）－N(BC)+N(ABC) ＝ （ ） （ ） － （ ）－ ①只会打乒乓球的是 24－6－4＋1＝15（人） ②求 N（BC）可用公式二： A AB 24 6 B ∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1 18 AC ABC ∴N（BC）＝3， 即同时会打篮球和排球的是 3 人 4 1 ③只会打排球的是 10－3－1＝6（人） C 10 例 5. 十进制中，六位数 19xy87 能被 33 整除，求 x 和 y 的值 解：∵0≤x，y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y&x－y ∵33＝3×11， ∴1＋9＋x+y+8＋7 的和是 3 的倍数，故 x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8)－(9+y+7)是 11 的倍数， 故 x－y=－4，7 ∵x+y 和 x－y 是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解： ?x + y = 8 ? x + y = 14 ? x + y = 11 ? x + y = 17 ? ? ? ? ? x ? y = ?4 ? x ? y = ?4 ? x ? y = 7 ?x ? y = 7 ?x = 2 ?x = 5 ?x = 9 ? x = 12 解得 ? ? ? ? ?y = 6 ?y = 9 ?y = 2 ?y = 5 （x=12 不合题意舍去）答：x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2练习1．负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿ 2．等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3．12 的正约数集合 A＝｛ ｝ 30 的正约数集合 B＝｛ ， ｝ 12 和 30 的公约数集合 C＝｛ ｝ ，集合 C 是集合 A 和集合 B 的＿＿ 4．解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上： ?1 ?3 x & 6 ?? x & 2 ?x ? 2 & 0 ? x & ?1 ①? ②? ③ ④? ?3 ? ? x & ?5 ?5 x & 0 ?x + 2 & 0 ?? 2 x & ?2 ?5．某数除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值。传播数学文化开启智慧人生33七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来6．九张纸各写着 1 到 9 中的一个自然数（不重复） ，甲拿的两张数字和是 10，乙拿的两张数 字差是 1，丙拿的两张数字积是 24，丁拿的两张数字商是 3，问剩下的一张是多少？7．求符合如下三条件的两位数：①能被 3 整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位 上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。8．据 30 名学生统计，会打篮球的有 22 人，其中 5 人还会打排球；有 2 人两种球都不会打。 那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？9．100 名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人 A 和 B 进行表决，赞成 A 的有 52 票，赞 成 B 的有 60 票，其中 A、B 都赞成的有 36 人，问对 A、B 都不赞成的有几人？10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学 24 人，物理 18 人，化学 10 人；按 两科统计，参加数理、数化、理化分别是 13、4、5 人，没有三科都参加的人。求参赛的总人 数，只参加数学科的人数。 （本题如果改为有 2 人三科都参加呢？）11.x+ y ?3 + x? y +5 = 012.十进制中，六位数 1xy 285 能被 21 整除，求 x,y 的值（仿例 5）传播数学文化开启智慧人生34七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来第九讲用枚举法解题内容提要有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行； ② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； ③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。例题分析 例题分析1 4N例1如图由西向东走， 从 A 处到 B 处有几 种走法？A3C11P MB41311 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从 A 到 C 有三种走法，在 C 处 标上 3， 从 A 到 M（N）有 3＋1＝4 种， 从 A 到 P 有 3＋4＋4＝11 种，这样逐步累计到 B，可得 1＋1＋11＝13（种走法） 例2 写出由字母 X，Y，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为 1）的所有四次单项式。 解法一：按 X4，X3，X2，X，以及不含 X 的项的顺序列出（如左） 解法二：按 X→Y→Z→X 的顺序轮换写出（如右） X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4 3 3 X Y， X Z， X3Y ， Y3Z ， Z3X X2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2 Y4， Z4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY 解法三：还可按 3 个字母，2 个字母，1 个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式 ax&b 的解集。 解：把 a、b、c 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 b ax&0 的解集 正 负 零 a 正 负 零 b b 当 a&0 时，解集是 x& , 当 a&0 时，解集是 x& , a a 当 a=0,b&0 时，解集是所有学过的数， 当 a=0,b≤0 时，解集是空集(即无解) 例 4 如图把等边三角形各边 4 等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为 4 个单位，则最小的等边三角形边长是 1 个单位， 再按顶点在上△和顶点在下两种情况，逐一统计： 边长 1 单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10 边长 1 单位，顶点在下的有：1+2+3=6 边长 2 单位，顶点在上的△有：1+2+3=6 边长 2 单位，顶点在下的有：1 边长 3 单位，顶点在上的△有：1+2=3传播数学文化 开启智慧人生 35 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来边长 4 单位，顶点在上的△有：1 合计共 27 个练习1．己知 x，y 都是整数，且 xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿ 2．a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿ 4．如图线段 AF 上有 B，C，D，E 四点,试分别写出以 A，B，C，D，E 为一端且不重复的所 有线段，并统计总条数。 A B C D E F6. 写出以 a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为 1）的 所有三次单项式 。7. 除以 4 余 1 两位数共有几个？8. 从 1 到 10 这十个自然数中每次取两个，其和要大于 10，共有几种不同取法？8.把 边长等于 4 的正方形各边 4 等分，B结各对应点成 16 个小正方形，试用枚举法，计 算共有几个正方形？如果改为 5 等分呢？10 等分呢？9.右图是街道的一部分，纵横各有 5 条路，如果从 A 到 B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？AB10. 列表讨论不等式 ax&b 的解集.11. 一个正整数加上 3 是 5 的倍数，减去 3 是 6 的倍数，则这个正整数的最小值是多少？传播数学文化开启智慧人生36七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来第十讲简单的面积问题内容提要圆的面积、扇形面积、长方形正方形面积及其组合图形的面积；三角形、平行四边形的 边的定比分点求面积例题分析 例题分析例 1. 如图所示，边长为 3cm 和 5cm 的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以 它的顶点为圆心，边长为半径的圆弧，求阴影部分面积（π取 3）A DFOE3B5C解：阴影部分可以看作是1 圆面积加上小正方形的面积和△AOF 的面积，再减去△EFC 4的面积。 1 1 25 ∴ S 圆 = × π × 25 = π = 19.625 4 4 4 S 正方形EBOF = 91 × (5 ? 3) × 3 = 3 2 1 又 ∵ S ?FEC = × (5 + 3) × 3 = 12 2 ∴ 19.625 + 9 + 3 ? 12 = 19.625 S ?AOF = 例 2. 根据图中绘出小三角形面积的数据，求△ABC 的面积。A F y B 40 D 84 x G 35 30 CE解：设△AGE 面积为 x，△FBG 的面积为 y ∵ ?AGC与?GCD 同高，△ABG 与△BGD 同高 同理，△AFG 与△AGC 同高，△BFG 与 BGC 同高 ? x + 35 84 + y ? 30 = 40 ? ∴? ? 84 = y ? x + 35 70 ? ? x = 70 ∴? ∴ S ?ABC = 315 ? y = 56传播数学文化 开启智慧人生 37 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来例 3. △ABC 中，点 D、E、F 分别在三边上，E 是 AC 的中点，AD、BE、CF 交于一点 G， BD=2DC， S ?GEC = 3，S ?GDC = 4 ，求△ABC 的面积。A F G B D 3 3 4 CE解：∵ E是AC中点 ∴ AE = CE∵ 高相等 ∴ S ?AEG = S ?GEC = 3， ∴ S ?ADC = 10∵ BD = 2 DC，高相等∴ S ?ABD = 2 S ?ADC = 20 ∴ S ?ABC = 30例 4. 如图所示是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， 若大正 方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，求两个直角边的立方和。A E D FBC解：将这个图形补上四个全等的直角三角形 ∵ S 大正方形 = 13，S 小正方形 = 1∴ 4 S 三角形 = 12 ， ∴ S 直角三角形 = 3 ∴ S ABCD = 8 × 3 + 1 = 25 ∴ AB = 5 ∵ AE + ED = 5，ED ? AE = 1 ∴ AE = 2 ，ED = 3 ∴ 2 3 + 33 = 35 例 5. 将△ABC 平均分成面积相等的 5 部分，并指出哪五部分面积相等。传播数学文化开启智慧人生38七年级下册初中数学竞赛同步辅导 A知识改变命运 学习开创未来BC解：b a a a a a a a a a 4bb 2b 2b a a a c a c 2b 2b1 例 6. ABCD 是平行四边形，E 在 AB 上，F 在 AD 上， S ?BCE = 2S ?CDF = S 平行四边形ABCD =1，求 4 S ?CEF 。A E BF D C1 解：∵ S 平行四边形ABCD = 1 4 ∴ S 平行四边形ABCD = 4 ， ∴ S ?ACB = 2∵ S ?BCE = S ?AEC = 1∴ AB = 2 AE， ∴ E是中点 ∵ S ?BCE = 2 S ?CDF ∴ S ?CDF = 1 2 S ?CDF 1 = S ?ADC 4∵ S ?ADC = 2 ， ∴ ∴ AF =传播数学文化3 AD 4开启智慧人生 39 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来∴ S ?CEF = S 平行四边形ABCD ? S ?BCE ? S ?CDF ? S ?AEF = 4 ? 1 ?A E1 3 7 ? = 2 4 4BF D C例 7. △ABC 的面积为 1， 分别延长 AB、 、 到 D、 、 ， AB=BD， BC CA E F 使 BC=CE， CA=AF， 连 DE、EF、FD，求△DEF 的面积。FABCED解：分别连结 AE、DC、FB ∵ ?EFA与?ACE 等底同高 ∴ S ?FAE = S ?ACE∵ ?ABC与?ACE等底同高∴ S ?ABC = S ?ACE = 1 同理S ?ABF = S ?FBD = S ?BDC = S ?DCE = 1 ∴ S ?DEF = 7FABCED练习1. 如图所示，△ABC 中，点 D、E、F 分别在三边上，E 是 AC 的中点，AD、BE、CF 交 于一点 G，BD=2DC， S ?GEC = 3，S ?GDC = 4 ，则△ABC 的面积是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40传播数学文化 开启智慧人生 40 七年级下册初中数学竞赛同步辅导A F 3 8 B G 3 4 D C E知识改变命运 学习开创未来2. 如图所示，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，AE、DE、BF、AF 把正 方形分成 8 小块，各小块的面积分别为 S1 、S 2 、…S 8 ，试比较 S 3 与 S 2 + S 7 + S8 的大小，并说 明理由。A S5 S7 S3 S1 S4 S2 B E C S8 S6 F D3. 将△ABC 分成面积相等的 5 部分，并指出面积相等的是哪 5 部分（只在图上保留分割痕 迹和必要的标注，不写作法） 。ABC4. 2002 年 8 月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直 角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是 13，小正方形的面积 是 1，则每个直角三角形的两条边的立方和等于___________________。∩ 5. 如图所示，在长方形 ABCD 中， DM：MC = 2 ：1，AN = a，NB = b ， DN 是以 A 为圆 ∩ 心，a 为半径的一段圆弧， NK 是以 B 为圆心，b 为半径的一段圆弧，则阴影部分的面积 S 阴 = ___________。传播数学文化开启智慧人生41七年级下册D初中数学竞赛同步辅导 M C a-b K知识改变命运 学习开创未来AaNbB6. 如 图 所 示 ， ABCD 是 平 行 四 边 形 ， E 在 AB 上 ， F 在 AD 上 ， 1 S ?BCE = 2 S ?CDF = S 平行四边形ABCD = 1 ，则 S ?CEF = ____________。 4A E BF D C第十一讲工资上税【典型例题】 典型例题】 例 1． 按规定个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法如下表。 800 元以内 不纳税 800 至 1300 元 超过 800 元至 1300 元的部分按 5%纳税 1300 至 2800 元 超过 1300 元至 2800 元的部分按 10%纳 税 （1）玲玲的爸爸某月收入为 1200 元，他应纳税 20 元，他实际领到 1180 元。 （2）小立的叔叔的发明专利获了奖，奖金连同当月其他收入共 2800 元，按规定他的纳 税额应分为两部分： 800 至 1300 元纳税 25 元， 1300 至 2800 元纳税 150 元； 共纳税 175 元。 例 2. 按个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法如下表： 800 元以内 不纳税 800 至 1300 元 超过 800 至 1300 元的部分按 5%纳税 1300 至 2800 元 超过 1300 至 2800 元的部分按 10%纳税 （1）月收入 1200 元，应纳税多少？实领工资多少？ （2）月收入 2800 元，应纳税多少？实领工资多少？传播数学文化 开启智慧人生 42 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来（1） （）×5%＝20（元） 解： 实领工资 80（元） （2） （）×5%＋（）×10%＝175（元） 实领工资 ＝2625（元） 例 3. 不超过 800 元不纳税，超过 800 元部分为全月纳税所得额， 全月应纳税部分额 税率 5% 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2000 元部 10% 分 超过 2000 元至 5000 元部 15% 分 （1）月收入 2500 元，应纳税多少？ （2）月收入 4000 元，实领工资多少？ （3）税款为 110 元，月收入多少？实领工资多少？ 解： （1）500×5%＋（－500）×10%＝145（元） （2）500×5%＋（）×10%＋（－2000）×15%＝355（元） 实领工资 ＝3645（元） （3）设月收入工资是 x 元 500×5%＋（x－800－500）×10%＝110 x＝2150（元） 所以实领为 ＝2040（元） ［课堂练习］ 1. 月收入 4300 元，实领工资多少元? （）×5%＋（）×10%＋（）×15%＝400（元） 解： ＝3900（元） 2. 得奖金 4000 元，按个人所得税规定，奖金收入扣除 800 元后的余额部分，按 20%的比 例纳个人所得税，那么实领奖金多少？ 解：800＋（）×（1－20%）＝3360（元） 3. 按规定个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法：1000 元以内不纳税；1000 至 1500 元超出 1000 元的部分按 5%纳税；1500 至 2000 元超出 1500 元的部分按 10%纳税。 （1）笑笑的妈妈月收入 1300 元，她实际领到的工资为多少元？ （2）笑笑的爸爸月收入可达 1850 元，爸爸实领工资为多少元？ （3）笑笑的叔叔某月工资纳税额为 37 元。你能计算出这个月叔叔的工资是多少元吗？ 解： （1） （）×5%＝15（元） 85（元） （2） （）×5%＋（）×10%＝60（元） 90（元） （3）因为（）×5%&37 25&37 所以月工资的范围是 1500――2000 元 设叔叔的月工资是 x 元 （）×5%＋（x－1500）×10%＝37 x＝1620传播数学文化开启智慧人生43七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来练习 1. 公民的月收入超过 800 元时，超过部分必须依法缴纳个人所得税，当超过部分在 500 元 元。 以内（含 500 元）时税率为 5%。某人月收入为 1160 元，则该人每月应纳税 2. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司规定的报销细 则如下表。 住院医疗费（元） 报销率（%） 0 不超过 500 元的部分 60 超过 500 至 1000 元的部分 80 超过 1000 至 3000 元的部分 …… …… 某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是 1260 元， 那么此人的实际医疗费是多少 元？3. 按规定个人收入达到一定数额时要交纳税，具体方法如下： 800 元以内 不纳税 800 至 1300 元 超过 800 至 1300 元的部分按 5%纳税 1300 至 2800 元 超过 1300 至 2800 元的部分按 10%纳税 2800 至 5800 元 超过 2800 至 5800 元的部分按 15%纳税 （1）当珍珍的爸爸月收入为 1200 元，按以上规定，他应缴纳的税金是多少元，他实际 应领的工资是多少？ （2）小明的爸爸月收入为 3200 元，按以上规定，他应缴纳的税金是多少？应领的工资 又是多少呢？ 4. 按规定个人收入达到一定数额时要交纳税，具体方法为：1000 元以内不纳税；1000 至 1500 元超出 1000 元的部分按 5%纳税；1500 至 2000 元超出 1500 元的部分按 10%纳税。传播数学文化 开启智慧人生 44 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来（1）小文的妈妈月收入为 1450 元，她的实领工资是多少元？ （2）小明的爸爸月收入为 1980 元，他的实领工资是多少元？ （3）若小丽的爸爸某月纳税 39 元，你能计算出小丽爸爸的月收入是多少元吗？第十二讲变量之间的关系内容提要使学生能够从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，解决一些实际问题，从而培 养分析问题和解决问题的能力。 从表格、关系式、图象中获取信息，解决一些实际问题是本节的重点与难点。 知识点归纳总结： 1. 因变量随自变量的变化而变化 总路程 2. 平均速度 = 总时间例题分析例 1. 小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离 y（千米）与所用的时间 x（小 时）之间关系的函数图像。（1）根据图像回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ （2）求小明出发两个半小时离家多远？ （3）求小明出发多长时间距家 12 千米？ （1）小明到达离家最远的地方需 3 小时，此时离家 30 千米 解： 30 ? 15 （ 2 ） ∵ 在 2 ~ 3小时他的平均速度为 = 15千米 / 时 3? 2传播数学文化 开启智慧人生 45 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来∴ S = 15 + 15 ×1 = 22.5千米 2 15 ＝15千米 / 时 1（ 3） ∵ 在 0 ~ 1小时他的平均速度为 ∴ t1 = 12 4 = 小时 15 5又 ∵ 在 4 ~ 6小时他的平均速度为∴ t2 = 4 +30 ＝15千米 / 时 6－ 418 26 30 ? 12 =4+ = 小时 15 15 5 4 26 ∴ 小明出发 小时或 小时距家12 千米。 5 5例 2. 某批发商欲将一批海产品由 A 地运往 B 地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海 产品运输业务，已知运输路程为 120 千米，汽车和火车的速度分别为 60 千米/小时、100 千米 /小时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：运输工具 汽车 火车 运输费单价 冷藏费单价 过路费（元） 装卸及管 （元/吨? 千米） （元/吨? 小时） 理费 （元） 2 1.8 5 5 200 0 0 1600注： /吨?千米”表示每吨货物每千米的运费； /吨?小时”表示每吨货物每小时的 “元 “元 冷藏费。 （1）设该批发商待运的海产品有 x（吨） ，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费 ，试求 y1 与 x 的函数关系和 y2 与 x 的函数关系； 用分别为 y1（元）和 y2（元） （2）通过计算说明当待运的海产品有 100 吨时，选择哪种货运公司更省钱？ 120 x + 200 解： （1）y1 = 2 × 120 x + 5 × 60 = 250 x + 200 120 y 2 = 18 × 120 x + 5 × . x +
= 222 x + 1600 （2）把 x＝100 分别代入 y1 与 y2 y1 = 250 × 100 + 200 = 25000 + 200 = 25200( 元 ) y 2 = 222 × 100 + 1600 = 22200 + 1600 = 23800( 元 ) ∵ y1 & y 2 ∴选择铁路货运公司更省钱。 例 3. 某计算机商店销售计算机，经统计每台售价 9000 元，每天销售 20 台，而降价销售则 销量增加，每台每降价 300 元，日销量增加一台，设日销量增加 x 台，日销售额为 y 元。 （1）写出 y 与 x 之间的关系式； （2）计算日销量增加 5 台时，日销售额的值。 解： （1）y = (20 + x )(9000 ? 300 x )= 180000 + 3000 x ? 300 x 2 （2）把 x＝5 代入得 y = 180000 + 3000 × 5 ? 300 × 52 = 187500( 元 )传播数学文化开启智慧人生46七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来例 4. 如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间 变化的图象，根据图象解答下列问题：（1）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？ （2）问快艇出发多长时间赶上轮船？ （1）轮船在途中的速度为： 解： 160 = 20千米 / 时 8 快艇在途中行驶的速度为： 160 = 40千米 / 时 6?2 （2）设快艇出发 x 小时赶上轮船 40x＝20（x＋2） x＝2 答：快艇出发 2 小时赶上轮船。例 5. 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油，在加油 过程中，设运输飞机的油箱余油量为 Q1 吨，加油飞机的加油油箱余油量为 Q2 吨，加油时间 为 t 分钟，Q1、Q2 与 t 之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题： （1） 加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需多少分钟？ （2）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需 10 小时到达目的地，油料是否够用？说 明理由。Q(吨) 69 Q1 40 30 Q2 O 10 t(分钟)（1）由图象可知，加油飞机的加油油箱中装载了 30 吨油，全部加给运输飞机需 10 解： 分钟。 （2）由图象可知运输飞机的耗油量为： 70 ? 69 = 01吨 / 分 . 10 ∴10 小时耗油量为：10×60×0.1＝60（吨）&69（吨） ∴油料够用。传播数学文化 开启智慧人生 47 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来练习一. 填空题 1. 面积为 2 的△ABC，一边长为 x，这边上的高为 y，则 y 与 x 的关系式为_______。 2. 在 A 地通往 B 地的公路上，甲骑自行车、乙步行同时向 B 地出发，甲、乙两人与 A 地 的距离 s（千米）和所用时间 t（小时）所满足的关系如图所示，根据图示回答： （1）甲的出发地距 A 地______千米，乙的出发地距 A 地_______千米； （2）甲到距 A 地 60 千米处共用了_______小时，乙到距 A 地 50 千米处共用了_______ 小时； （3）甲的平均速度是__________，乙的平均速度是____________。3. 某人从甲地到乙地，途中因摩托车出现故障而停车修理，修好后按原速度行驶，到达乙 地刚好用了 2 小时，已知摩托车行驶的路程 s（千米）与时间 t（小时）之间的关系如图所示， 根据图中提供的信息，回答： （1）中途修车用了_______小时； （2）从甲地到乙地共________千米； （3）若这辆摩托车平均每行驶 100 千米的耗油量为 2（升） ，则从甲地到乙地这辆摩托 车共耗油_________升。4. 看图填空： 温度计上有摄氏温度℃与华氏温度 F（1）华氏温度随摄氏温度的升高而______，其中摄氏温度为______变量，华氏温度为 _____________变量。传播数学文化 开启智慧人生 48 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来（2）当摄氏温度为 50℃时，华氏温度为_______ F 。 （3）摄氏温度每升高 10℃，华氏温度升高______ F 。 （4）当摄氏温度为 60℃，华氏温度为________ F 。 （5）设摄氏温度为 x℃时，华氏温度为 y F ，则 y 与 x 的关系式为_________。 二. 1. 声音在空气中的传播速度 v（米/秒）与温度 t（摄氏度）的关系如下表：t（摄氏度） v（米/秒） 1 331+0.6 2 331+1.2 3 331+1.8 4 331+2.4 5 331+3.0（1）写出速度 v 与温度 t 之间的关系式；并指出在此关系中，谁是自变量，谁是因变量； （2）当 t＝2.5 度时，求声音的传播速度。 2. 某市出租车计费办法如图所示，请根据图回答问题。（1）出租车起价是多少元？在多少千米之内只收起价费？ （2）由图形求出起价里程走完之后每行驶 1km 所增加的钱数； （3）某地客人想用 30 元钱坐车游览本市，利用图形求出他大约能走多少千米？第十三讲1． (?1) 2000 的值是（ A 2000 B希望杯初中一年级第一试试题D ）D D选择题（ 一、选择题（每小题 6 分，共 60 分） ） 1 C ?1 11 的值不能是（ 2． a 是有理数，则 a + 2000 A 1 B ?1 C 0 3．若 a & 0, 则2000a + 11 a 等于（ ）A 2007a B ? 2007a 4．已知： a = 2, b = 3 ，则（ A C C ）? 2000 ? 20001989a? 1989aax 2 y 2 和bm 3 n 2是同类项B 3 x a y 3和bx 3 y 3是同类项bx 2 a +1 y 4 和ax 5 y b +1是同类项 C 5m 2b n 5 a 和6n 2b m 5 a 是同类项 1999 × 1999 ?
× 2001 ? 2001 5．已知：a = ? 则 abc = ,b = ? ,c = ? 1998 × 1998 +
× 2000 + 2000 （ ） A ?1 B 3 C ?3 D 1 6．某种商品若按标价的八折出售，可获利 20%，若按原标价出售，则可获利（ ） A 25% B 40% C 50% D 66.7% 1 如图， 长方形 ABCD 中， 是 AB 的中点， 是 BC 上的一点， CF = BC ， E F 且 7． 3 则长方形 ABCD 的面积是阴影部分面积的（ ）倍。传播数学文化 开启智慧人生 49 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来D 5 1 1 1 1 8．若四个有理数 a, b, c, d 满足： ，则 a, b, c, d 的大 = = = a ? 1997 b + 1998 c ? 1999 d + 2000 小关系是（ ） B b&d &a&c A a&c&b&d C c&a&b&d D d &b&a&c 2 2 ） 9．If a + b & 0 ，then the equation ax + b = 0 for x has （ A only one root. B no root. C infinite roots(无穷多个根). D only one root or no root.10．小明编制了一个计算程序。当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的 平方与 1 之和。若输入 ? 1 ，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 组填空题（ 二、A 组填空题（每题 6 分，共 60 分） 11．用科学计数法表示 2150000=_____________。 1 12．一个角的补角的 等于它的余角，则这个角等于______度。 3 13．有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示：A 2B 3C4若 m = a + b ? b ? 1 ? a ? c ? 1 ? c , 则1000m = _______ .14． 如图， 在长方形 ABCD 中， 是 AD 的中点， 是 CE 的中点。 ?BDF E F 若 的面积为 6 平方厘米，则长方形 ABCD 的面积是________平方厘米。 15． a 的相反数是 2b + 1 ， b 的相反数是 3a + 1 ，则 a 2 + b 2 = _______ 。 1 1 16． Suppose(设) A spends 3 days finishing of job,B 4 days doing of 2 3 it. Now if A and B work together, it will take ____ days for them to finish it. 17．某商店将某种超级 VCD 按进价提高 35%，然后打出“九折酬宾，外送 50 元出租车费” 的广告。结果每台超级 VCD 仍获利 208 元。那么每台超级 VCD 的进价是________元。 18．如图，C 是线段 AB 上的一点，D 是线段 CB 的中点。已知图中所有线段的长度之和为 23，线段 AC 的长度与线段 CB 的长度都是正整数，则线段 AC 的长度为_____。19．张先生于 1998 年 7 月 8 日买入 1998 年中国银行发行的 5 年期国库券 1000 元。回家后 他在存单的背面记下了当国库券于 2003 年 7 月 8 日到期后他可获得的利息为 390 元。 若张先生计算无误的话，则该种国库券的年利率是_______。 20．甲、乙分别自 A、B 两地同时相向步行，2 小时后在中途相遇。相遇后，甲、乙步行速 度都提高了 1 千米/小时。当甲到达 B 地后立刻按原路返向 A 返行，当乙到达 A 地后也 立刻按原路返向 B 地返行。 甲乙二人在第一次相遇后 3 小时 36 分钟又再次相遇。 A、 则 B 两地的距离是________千米。 组填空题（ 三、B 组填空题（每题 6 分，共 30 分） 1 1 21．有理数 ? 3,+8,? ,0.1,0, ,?10,5,?0.4 中，绝对值小于 1 的数共有____个；所有正数的平 2 3传播数学文化 开启智慧人生 50 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来方和等于____________。 2 22．若 ? 4 x m?2 y 3与 x 3 y 7?2 n 是同类项，则 m 2 + 2 n = _____, n 2 + 2 m = _____ . 3 23．设 m和n 为大于 0 的整数，且 3m + 2n = 225 。 （1）如果 m和n 的最大公约数为 15，则 m + n = ______ . （2）如果 m和n 的最小公倍数为 45，则 m + n = ______ .24．若 a, b, c 是两两不等的非 0 数码。按逆时针箭头指向组成的两位数 ab, bc 都是 7 的倍数。 则可组成三位数 abc 共____个；其中的最大的三位数与最小的三位数的和等于_______。 25．某书店积存了画片若干张。按每张 5 角出售，无人买。现决定按成本价出售，一下子 全部售出。共卖了 31 元 9 角 3 分。则该书店积存了这种画片 _______张，每张成本 价_______元。第九讲希望杯初中一年级第二试试题一、 选择题 （每小题 6 分，共 60 分） 以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请 将表是正确答案的英文字母添在每题后面的圆括号内。 1 1 1． ? 的相反数是（ ） A）2000（B） （ （C） ?2000 （D）1 ．有如下四个命题： ① 有理数的相反数是正数 ② 两个同类项的数字系数是相同的 ③ 两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和 ④ 两个负有理数的比值是正数 其中真命题有（ ） A）4 个（B）3 个（C）2 个（D）1 个 （ 3．如图 1，平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交，途中的同旁 内角共有（ ） （A） 4 对（B）8 对（C）12 对（D）16 对 4．If [a] indicates the greatest integer less than a,then ( ) (A) a ? 1 & [a ] ≤ a (B) a ? 1 & [a ] & a (C) a ≤ [a ] ≤ a + 1 (D) a ? 1 ≤ [a ] & a5.已知三个锐角的度数之和大于 180 ，则一定有一个锐角大于（ ） A） 81 （B） 76 （C） （ 68 （D） 60 6．如果有理数 a,b,c,d 满足 a+b&c+d，则（ ） A） a ? 1 + b + 1 & c + d （B） a 2 + b 2 & c 2 + d 2 （（ C ） a 3 + b 3 & c 3 + d 3 （ D） a 4 + b 4 & c 4 + d 4 7．有三个正整数 a,b,c，其中 a 与 b 互质且 b 与 c 也互质。给出下面四个判断：① (a + c) 2 不 能被 b 整除② a 2 + c 2 不能被 b 整除③ (a + b) 2 不能被 c 整除④ a 2 + b 2 不能被 c 整除 其中，不正确的判断有（ ） A）4 个（B）3 个（C）2 个（D）1 个 （ 8．已知 a 是不为 0 的整数。并且关于 x 的方程 ax = 2a 3 ? 3a 2 ? 5a + 4 有整数根。则 a 的值共有 （ ） A）1 个（B）2 个（C）6 个（D）9 个 （ x 2 (ax5 + bx3 + cx) 9．已知代数式 当 x=1 时，值为 1，那么该代数式当 x= ?1 时的值是（ ） A） （ x 4 + dx 2 1（B） ?1 （C）0（D）2 10．在某班的新年晚会上，每个同学都写若干字条祝福他人，已知在任意四个人中，每一位 都祝福其他三人中的至少一位，那么该班中没有得到其他同学祝福字条的同学最多有（ ） 位（A）1（B）2（C）3（D）4 二、填空题 （每小题 6 分，共 60 分） 11．甲车的车轮转一周在地上的车轮印痕长为 90 厘米，乙车的车轮转 120 时，车轮印痕长为 20 厘米，那么，甲车轮直径是乙车轮直径是 倍传播数学文化 开启智慧人生 51 七年级下册初中数学竞赛同步辅导知识改变命运 学习开创未来1 3 8 1 1 1 20 12．已知： a = ?3 + 6 ， b = (?1)100 + 3 ÷ (?5 ) ， c = ( ? 4) × (?2 ) ， d = ? (?3) 2 ，则 7 49 11 2 3 3 21 a×b×c ÷ d = 13．If x ≤ 3 , y ≤ 1 , z ≤ 4 ,and x ? 2 y + z = 9 , then x 2 y 4 z 6 = 14.若 (2 x 2 ? x ? 1)3 = a0 x 6 + a1 x5 + a2 x 4 + a3 x3 + a4 x 2 + a5 x + a6 ，则 a1 + a3 + a5 =15．已知 a=1999，b=1。则 a 2 + 2b 2 + 3ab = 16．如图 2，正方形 ABCD 的面积是 1。AE=EB，DH=2AH，CH=3DG， BF=4FC。则四边形 EFGH 的面积是 17．从甲地到乙地是上坡路，从乙地到丙地是下坡路，王燕同学自甲地途 径乙地到丙地，立即在沿原路返回甲地，公用 3.5 小时，已知王燕上坡速 度相同，下坡速度也相同，并且走上坡路所用时间比下坡路所用时间多 0.5 小时。那么，王燕走上坡路共用了 小时 3 18．满足 m + n = 331 的正整数 m 和 n 的最大公约数记为 k。那么所有这样 的 k 值得和等于 19．在满足 x + 2 y ≤ 3 ， x ≥ 0 ， y ≥ 0 的条件下 x + 2 y 能达到的最大值是 20．某商店每月的销售额存放在计算机中。用 4 位数码表示月份：第 1，2 位是年份数的后两 位，第 3，4 位是月份数。现有如下数据 月份 销售额（万元） 月份 销售额（万元）
某软件提供自动统计的功能：输入开始、结束月份（如 ） ，计算机则会输出从开 始月份到结束月份的总销售额。该软件的统计方法是：检查存放数据中每个月的信息，如果 某一个月的 4 位数码的每一位都不大于结束月份对应位的数码，并且不小于开始月份对应位 的数码，则将该月份的销售额计算在内，否则就跳过去，将计算机统计 1999 年 9 跃到 2000 年 3 月的总销售额记为 a，实际总销售额为 b，则 a ? b 等于 三、解答题 （每小题 10 分，共 30 分） 21．一个人的背包可以装 12 千克的物品，现有五件物品如下： A B C D E 物品 3 3 4 2 6 重量（千克） 价值（百元） 12.36 255 307 14 60 13 17 该人把五件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，请你指出背包中所装物 品时哪几件？他们的总价值是多少百元？22．矩形 ABCD 的面积是 36 平方厘米。在边 AB、AD 上分别取点 E、F，使得