&我个人理解是&学好数学能够帮助我们成为更完美的人&
今天和一个家长老朋友聊天，我们在探讨交流，为什么要学习数学，谈到最后总结了一些东西，抛开数学作为理科研究的理论基础，从训练学生方面做了一些交流，发上来，欢迎雪地的朋友拍砖指导：学习数学可以上纲上线到&学好数学才能如何更好地做人&，我个人理解是&学好数学能够帮助我们成为更完美的人&学习数学不要只想着如何把数学题目解答出来，甚至有的说要有实际应用，反思下我们现在的生活中学习的很多东西，比如微积分、导数、行程问题、方程等，真的都用上了吗？不尽然，那还要学干嘛呢？另外如果真的只是为了生活应用，完全可以学习到三年级，会一些加减乘除等就好了，但是为什么我们的数学逐渐加大了难度，或者每个阶段的要求不一样了呢，除了要支撑其他学科和后续的数学体系性东西以外，其实学习数学的作用在训练每个人&思维的习惯&。我们可以往下想，数学讲究题目的严谨性，会不会出现各种其他问题、漏洞、甚至前后矛盾，这都在训练每个学生在做事情要严谨，而不能人浮于事，大大咧咧，随心所欲对自己毫无要求，这是对人的一种思维严谨，缜密的训练。数学同时追求解题的逻辑性，解决题目的方法、思路都离不开逻辑两个字，逻辑性和严谨性是密不可分的，但是逻辑强调不混乱、有序，含有强调分工的意思，即先安排什么后安排什么，先讲什么后讲什么，这都是我们工作、生活中每天都遇到的事情，通过数学的学习也能够训练这方面的能力数学同时追求过程的完美性，解决数学题目或者问题要求我们的思路要清晰、方法要得当、答案准确，步骤要严谨无遗漏，这其实是训练一个人解决事情的统筹能力，试想一个随便乱放东西，想要东西就在乱哄哄中的一堆去寻找的人，在这方面也一定做的很差，数学也就基本上不太好，相反如果一个人数学能力比较好，相信在生活自理方面也不会太糟糕，所以生活和学习习惯是可以相互影响的数学同时还会锻炼学生对事物的敏感性，我们知道在迸发出解题火花的那一刻之前，一定是我们认真审题，寻找隐藏在题目中的蛛丝马迹，这也就是需要我们对于题目设问、题目数字等要有一定的敏感性，如果我们不具备这样的能力，也就不会出现解题迅速、判断准确的情况，所以数学也是教会大家对于一个捕捉事物的敏感特征。
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大家好！我是潘慧敏，来自台州市路桥区横街中心小学，是朱乐平名师工作站“一课研究”团队第二小组的学员，很高兴与您在此相遇！
本期内容有哪些
听一听：数学的严谨性
看一看：数学严谨性及其现实意义
想一想：学以致用
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数学的严谨性
著名数学家庞加莱(J.H.Poincare)曾经说过：“你是否相信逻辑学家总是按形式逻辑规则所指定的那样从一般推导特殊？因为如果用这个方法，他们永远也到不了科学的前沿阵地；科学的征服只能通过特殊情况的一般化来实现。”
当数学科学变得严谨的时候，它表现出一种不可忽视的人为的特性，它忘掉了自己的历史起源：只显示出问题是如何解决的；却没有显示出问题是如何提出的，以及为什么提出的。这说明逻辑并不充分，证明的科学并非全部科学，我认为应将直观作为一个补充部分，或者说应将直观作为逻辑的对立面，或作为矫正的方法。
”数学的严谨性“是什么意思呢？我们可以从哪些方面去理解这个概念呢？
数学与其他的思维训练相比而言，有个有利条件，那就是对每一个陈述，你都可以确定它是对还是错。一篇数学论文的好坏，重要与否，富有独创性或是微不足道，这些都不容易被确定，但是毫无疑问一定能知道它是对还是错。
物理就很难确定，除非这种物理实质上是数学。一个物理理论希望在现实中得到证实，但即使未经证实也不一定是错的，也许只是适用范围较小。除数学以外的所有学科，有用与否的标准经常与真理的标准有关，但实际上无人真正知道如何来掌握它。而只有数学可以强加上一个有力的演绎结构，从而在数学中不仅可以确定结果是否正确，而且，甚至确定结果是否已经正确地建立起来。这就是所谓数学的严谨性。进一步来说，数学的严谨性包括严谨的层次、局部的组织和逻辑的严谨性三个方面的内容。
什么是严谨的层次？
首先，来回答一个问题：谁来判断所教的数学是否严谨？对，是教师。当然，教师也许可以用红墨水，但学生不能。他必须首先学会什么是严谨性。用不恰当的比喻，就像用电刺激一个老鼠，听到铃响就跳过障碍一样。教师并非任意使用红墨水来提高他们的效率。我以前的一位学生第一次给学生上课时，学生问他，代数式的项从等号一边移向另一边时要改变符号，这是否也是他的规则，因为原来的教师是这样规定的。学生总是要询问新老师的规则是什么——-对于数学教师也同样如此。
以红墨水作为教数学的严谨性的手段只能适用于最低层次的学生。对人类而言，除了操练还有教育这一更有效的手段，教育的特点之一就是自由。毫无疑问，学生不可能用其他方式，只有通过再创造来学习数学的严谨性，而且还有不同的层次。严谨性可以具体做出来，但却不能知道它是什么；严谨性也可以用于单独讨论的一个有意识的准则；最后还存在一种全局性的严谨性概念，以便应用于作为一个整体的数学。
公理化体系是严谨的数学
当我在大学学习时，严谨的微积分课程开始于一年级的数论基础：自然数、整数、有理数和实数。今天它却开始于一个公理化的定义，实数系是具有某些性质的一个有序域或拓扑域。四十年前你可能会被一句话问瘪：“你怎么知道存在这样一个域呢？”这个问题现在就可以回答：“如果你从整数或集合出发，你怎么能肯定它们一定存在呢？”当然，在内容较深的课程中，“存在性证明”可以被加进去，但即使这样安排也只是出于一种有意识的考虑教学的选择。更为惊人的是当今的教科书作者，显然由于考虑到教材的精确性，试图将原先大学高年级的课程——自然数、整数、有理数与实数及其存在性证明的形式理论——放到中学来教。为了忠实于体系，必须使之严谨，因而你必须回到整数，甚至从集合开始。但如果认为这是严谨性的顶峰，那就错了，它只是一顶旧帽子，一点也不现代化。真正的现代数学家会告知那些革新家，整数比实数更成问题，而集合也比整数更成问题。从某种意义看，试图在中学阶段教形式化的数的理论，从数学与教学法两方面来说都是失败的，因为很难使人信服。其实与教学法真正有关的是另一个问题，就是学生是否能理解为什么要严谨就必须由实数归约至有理数，由有理数归约至整数，由整数归约至自然数，并且由自然数归约至集合，或者说为什么要严谨就不容许回避这些。只要你无法向学生解释这个决定的含义，而将这个理论强加给学生就是不公平的，因为没有人需要这些理论。
当代有些人相信，除了公理化体系以外，没有严谨的数学。但也没有理由就此停留在公理体系上。进一步的要求是完全形式化，即通过与现实割断一切联系的语言去沟通。这样就更为自命不凡，事实上，公理化假设中已经排除了应当教给非数学家的大量数学。那些提倡在中学教公理系统的人，也知道这个无可否认的事实，也容许非公理化的数学必须当作所谓的经验教学来教，因为这是不可缺少的，但同时又想将它与所谓严谨的数学割裂关系。但是，经验的数学即为自由发现的数学，比那些为教师或教科书作者强加的，局限于公理范围的数学更为重要，没有理由说它是不严谨的。严谨性有层次，每一个题材存在着适合它的严谨性层次；学生应该通过这些层次而获得他们的严谨性。
什么是局部的组织？
如果学生发现，用圆的半径沿圆周量6次正好可以形成一个正六边形，并且指出等边三角形的角是60度，以此来解释这一经验，那么这是严谨的。可是对于有教养的数学家而言,以此作为论据当然令人吃惊。实际上，在这个论据中隐含着多少先决条件？要达到这个结果需要涉及多少公理？能否根据欧几里德（Euelid）、希尔伯特（Hilbert）或线性代数来实现？无论从这个体系或那个体系，要得到这个结果，都需要经过漫长的道路，学生必须知道这一事实，但是如果将公理体系强加给学生，他就永远不会知道。从教学法观点看，这样做是个错误的过程。严谨性的任务是使人信服的，可是现成的数学从来也不能令人信服。要在保证严谨性的条件下取得进展，第一步就是要怀疑人们当时相信的严谨性，没有这个怀疑就学不到什么东西，只能听任其他人来规定严谨性的新标准。
当然像正六边形这类问题学生应该问自己：“我实际上作了什么预先假定？”如果他反复地提出这个问题，最终会走入歧途，出现循环论证。我们知道这个问题，但学生却并不知道，必须让他经历这个过程，没有这种体会，他就无法掌握公理体系的意义。直到那时，他才能运用所谓一个领域的局部组织。
什么是逻辑的严谨性？
局部的组织有它自己的严谨性。比如，辨别一个定理与其逆定理，什么是循环论证，“必要”与“充分”之间的区别，或是存在性与普通性之间区别——这在局部组织中就像在整体组织中一样清楚。我甚至认为，严谨性的某些侧面在做出来的数学中要比在现成的数学中更为清楚，特别能理解什么是相关的，什么是不相关的。在现成的数学中，“如果一个三角形有四个顶点，它是等边的”这样一个陈述是真的，然而在作为活动的数学中，这却是荒谬的。在现成的数学中，为什么“ (a+b)(a-b)=a?2;-b?2;” 成立（如果允许提任何问题），可以回答“因为地球是圆的”，这是由于逻辑学家告诉我们，只要q真，那么p→q就真。操作性的数学培养不同的严谨性概念：对“为什么”的回答，必须是相关的，那才是严谨的。因此形式逻辑规则甚至不能告诉我们什么是严谨性。在形式逻辑的结构中无法回答下列问题，诸如“为什么你这样下定义?”或是“你能借助那个来证明这个吗?”或是“以前你用过这个方法吗?”然而应该再三强调的是，这些问题就像计算一个整数或是证明一个公式一样，确实是数学，但在所有现成的数学中却很容易忘记。要回答这类问题要求要求一种不同的严谨性，对这种严谨性的含义至今还没有人试图系统地阐述。因为对操作科学的逻辑，全人类都处于最低层次。对此我并不遗憾，正好相反，这可以使我们不会按照现成的数学的逻辑来教做出来的数学的逻辑，但是我们应该认清楚这也是数学。
在这一课题的讨论中，有人提出这样一个观点：最后必须让学生知道数学与现实世界之间有着清晰而严格的区别”。我的回答是：“你是对的，但也是错的。如果你目的在于教数学的严谨性，那是对的，但如果你是为教不相关的数学作辩护，那就是错的。如果你强调学习，那是对的，但如果你提倡教现成的公理系，那又是错的”。
可以看到，我们的学生习惯于公理体系而不喜欢其他东西。他们反对半严谨性，他们喜欢在毫无疑问的体系内活动，“是”就是“是”，“否”就是“否”。事实上，这是作为教师的我们的过错。考虑一下我们是怎么做的！我们的一百个学生中也许有一个将成为数学家，九十九个只是用数学，他们所在的世界没有体系，却有的是各种疑问，而且很少有清楚的“是”或“否”。是我们以假象将学生引入歧途。难道学生真的喜欢那些无余数的乘除法、难缠的分数与机械的求微吗？那是因为，这是我们教给他们的。
教育可以教出真正的热爱！我们应当试图让我们的学生喜欢它，学会将数学放入现实世界的括号内——这是数学严谨性的实质。
学以致用来判断
1、有一组对边平行的四边形是平行四边形。
2、三角形的面积是平行四边形面积的一半。
3、面积单位的进率是100。
4、0除以任何数都等于0。
5、比的前项和后项都乘以或者除以相同的数，比值不变。
1、错。这个假命题忽略了另一组对边不平行的可能。
2、错。这个假命题忽略了“等底等高”的大前提。
3、错。这个假命题忽略了“相邻的两个”这一条件。
4、错。这个假命题中的“任何数”应当不包括0。
5、错。这个假命题中的“相同的数”应当把0排除在外。
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今日搜狐热点高考数学145-150分的人现实是怎么样的存在？
LZ高考都过去几年了，想起好高中那真是一段又辛苦又快乐的时光，那时候并不缺学霸，但是有些人基础差即使很努力，但分数还是上不去。LZ所在学校是中等学校（中考570多的），语数英基础一般当时也很努力但还是突破不了瓶颈，回味当年努力做题也挺有意思，我们学校并没有出过高考过600分的人，想在街上问问，985
211的人，你或者你们同学当年高考或者平时统考数学145分到150分的人是怎么样的神人，智商超人还是说话做事特别的严谨，还是那种轻轻松松考高分的人。。。
这些回帖亮了
不知道，明年我考完了再回你
我闻到了吹牛比的味道
我马上大四，当年数学一模148，二模143，三模146，校模150（高考前两周，水得一逼，给学生找自信的），高考145，现在苦逼土木狗
高考数学满分，那时天下我有的感觉吧。如今疲惫困厄，徘徊踯躅。要是人生像数学题一样简单就好了。
我高三时忘了几模考试了，数学考了个149，然后高考，考了个118，报了个化工专业
所以我现在在做屌丝码畜ps：随手一句居然亮过千，那按照惯例多说两句当初选化工也是脑缺，认为环保是未来的热门方向，所以选个环境专业，结果P都不是转行码畜是报的培训，非常坑，年薪也完全没到步行街评价标准，毕竟在三线城市干，码畜行业不咋滴，想干计算机还是得去北上广深，另外别老听人忽悠说什么程序员年薪几十万，哪个行业都是吃屎容易挣钱难，所以别天真了，去私企就是凭本事吃饭，你想年薪30W，首先你能给企业挣100W才行
[&此帖被人奶情未了在 09:26修改&]
当年高考147.自信满满报了应用数学
大学四年考试给我跪的,往事不堪回首
江苏 今年数学143……
引用20楼 @ 发表的:浙江 高考数学考了142正常发挥..语文英语算超常发挥 然而偏偏最自信的理综考出shi..然后去了南航...可以的
数学考了146，然而大学数学也就是考个80分的水平。
能上报纸的水平
[&此帖被嘘嘘嘘耶在 20:19修改&]
还是要分省份，作为山东人表示今年数学比较简单，全校满分有六七个。但要是浙江那边的满分那可真是奇才了。
没啥感受，高考只是人生中的一次考验，数学只是其中普通的一门，就这么简单，即使是本科，同学之间也都是吐槽高考哪门考扯了，互相戏谑一番而已。
发自手机虎扑
其实就是最后一道大题会做的存在。
我妈同学的儿子，高考数学150，语文60，英语好像才30出头
想起一句话，有的人考满分是因为他只能考满分，有的人考满分是因为卷子只有那么多分。在我见到的考这个区间的人，彼此之间差距也是很大的，没法一概而论
不知道，只要高考数学给我120+，肯定能上211，但我都是一直稳定在70分左右，高考还差一点，怒考69！
高考英语137分，大四才过了四级。
引用3楼 @ 发表的:江苏 今年数学143……强悍。。。
其实也不用特别崇拜，其中不乏一些超级学霸，同时也有一些平时打游戏去网吧通宵的屌丝。
引用8楼 @ 发表的:数学考了146，然而大学数学也就是考个80分的水平。 比我屌。。。我136.大学里门门60
没啥，这种人每年全国一大把，语文考这个分才算牛
我高三时忘了几模考试了，数学考了个149，然后高考，考了个118，报了个化工专业
所以我现在在做屌丝码畜ps：随手一句居然亮过千，那按照惯例多说两句当初选化工也是脑缺，认为环保是未来的热门方向，所以选个环境专业，结果P都不是转行码畜是报的培训，非常坑，年薪也完全没到步行街评价标准，毕竟在三线城市干，码畜行业不咋滴，想干计算机还是得去北上广深，另外别老听人忽悠说什么程序员年薪几十万，哪个行业都是吃屎容易挣钱难，所以别天真了，去私企就是凭本事吃饭，你想年薪30W，首先你能给企业挣100W才行
[&此帖被人奶情未了在 09:26修改&]
不知道，明年我考完了再回你
江苏 今年数学143……
我高考数学147，模拟考150满分，然而没什么用，我语文只能考刚及格。
引用3楼 @ 发表的:江苏 今年数学143……强悍。。。
我闻到了吹牛比的味道
和我差不多的水平
数学考了146，然而大学数学也就是考个80分的水平。
能上报纸的水平
[&此帖被嘘嘘嘘耶在 20:19修改&]
引用8楼 @ 发表的:数学考了146，然而大学数学也就是考个80分的水平。 比我屌。。。我136.大学里门门60
我马上大四，当年数学一模148，二模143，三模146，校模150（高考前两周，水得一逼，给学生找自信的），高考145，现在苦逼土木狗
其实也不用特别崇拜，其中不乏一些超级学霸，同时也有一些平时打游戏去网吧通宵的屌丝。
没啥感受，高考只是人生中的一次考验，数学只是其中普通的一门，就这么简单，即使是本科，同学之间也都是吐槽高考哪门考扯了，互相戏谑一番而已。
发自手机虎扑
数学当年147，不过我们那年真是简单，11年河北
还是要分省份，作为山东人表示今年数学比较简单，全校满分有六七个。但要是浙江那边的满分那可真是奇才了。
想起一句话，有的人考满分是因为他只能考满分，有的人考满分是因为卷子只有那么多分。在我见到的考这个区间的人，彼此之间差距也是很大的，没法一概而论
引用5楼 @ 发表的:强悍。。。理科满分200
09年高考，数学140 语文100，数学模拟考得过几次满分，基本都140以上，报了数学系，后来转了专业
引用5楼 @ 发表的:强悍。。。很简单的 今年。160都有
浙江 高考数学考了142正常发挥..语文英语算超常发挥 然而偏偏最自信的理综考出shi..然后去了南航...
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学好数学的必要条件
经常有人同学或家长来信咨询数学怎么学的问题，从和他们沟通的过程中，我发现不少同学内心很想学好数学，可是不知道怎么付出行动。今天我就和大家谈谈学数学的事情，给出一些方法和建议，同学们趁此寒假，可以针对性补充或提高。
数学真的那么可怕吗？其实我要告诉你，数学不但不可怕，而且很有趣！
我们不得不承认，不喜欢数学不是学生的错，而是我们的教育出现了问题。从社会到学校，从考试制度到教学模式，无处不充满着考试的压力。当一门课程成了考试升学的拐杖时，还会有多少人真正喜欢呢？
但是，我们又不得不承认，数学作为一门必修的课程是必然的，各国都是如此。
不少同学问：“我听课能听懂，但是不会做题，这是怎么回事？”其实这样的同学大多数问题就出在这里：
(1)你只听懂了浅层次的知识，没有深入，所掌握的东西达不到应用的高度；
(2)有的同学浅尝辄止，会了一点就认为都会了，比如一个例题老师讲3种方法，他听懂一种就不再听其他解法了；
(3)听懂了知识，但是没记住，或没弄明白怎么应用；
(4)缺乏数学思想和数学方法的指导，像方程思想、分类讨论思想等都是重要的数学思想和方法；
另外，还有些同学因为信心不足，认为数学很难，所以干脆不听，这样就失去了入门的过程，因此更没法深入。
我们都想学好数学，但“既然想学好，为什么没学好？”
学好数学的必要条件：习惯好；基础好；方法好。这叫做学习上的“三好学生”，三好凑一好（成绩好），缺一不可。
一、要有良好的学习习惯
好习惯是取得优秀成绩的必要条件，可以事半功倍。什么是好习惯呢？
手勤：多记（课堂笔记、好题、好解法、错题本）、多做（练习）、多总结（知识总结、方法总结）.
眼勤：多看课本、课外书、笔记、错题本.
耳勤：听讲仔细.
嘴勤：多问，有问题及时解决，不留后患.
脑勤：多想，对知识、题目等不但要弄清楚是什么、怎样做，还要多想几个为什么？
其中最重要的是动手和动脑。
对所学的知识不但要记住，而且最好弄清楚是怎么来的？解题中怎么使用？对一些好的题目不要满足于会做，还要考虑解法是怎么想出来的？哪种方法更好？
“会”有不同的层次：
知识：知道→理解→记住→会用→推广
解题：会做一道题→会做一类题→灵活运用和创新
数学是最严谨的学科。知识要严谨，解题要严谨。不严谨，遇到题目不是不会做，就是解不完整，得分就不全。
(1)戒掉恶习：网络、电视、手机等，要把它们变成学习工具。
(2)不找借口：成绩不好时，要多找自身原因，不要怨天尤人。一样的老师、一样的同学、一样的课本和参考书、一样的试卷，成绩却差别很大，因此主要原因在个人。用借口掩盖真实原因，不利于解决实际问题。
忠告：学习是自己的事情，任何人都不能包办代替！家长、老师是厨师，只能把饭菜做得更好吃，更有营养，更好消化，但只有你爱吃才会有效果。
所以，作为学生，要认识到自己在学习中的地位；作为家长，要注意你主要应该做的是调动孩子的积极性，孩子自己动起来了，才会有好的成绩。
二、好基础
基础知识要扎实，想提分必须有本钱
举个不太恰当的例子，这就象经商，你投资1元钱，即使盈利100%，也就是1元的利润，但若投资1万元，哪怕只盈利10%，利润也有1000元。所以，要想学习成绩有大的提高，必须要有扎实的知识储备。所以，你若有20分的基础，提高100%，才到40分
提几点建议：
(1)自我弥补：小学或初中的，可以自补，年龄增长了，智力提高了，过去学起来非常困难的现在可能一看就明白。
(2)个别指导：对于高中的知识，可以找老师有针对性的进行指导。但应明白，个别指导只是应急措施，不能有依赖性。
(3)资料：借助某些资料，可以快速补充基础知识。
我经常告诉学生，基础知识不是万能的，没有基础知识是万万不能的。这是讲知识与解题的关系，知识点懂了，不一定会解题，但用到的知识点没掌握，则100%不会解题。
2.下苦功走出恶性循环
良性循环：做题快→用时少→解题更多→能力更强→做题更快
恶性循环：做题慢→用时多→解题更少→能力更差→做题更慢
一旦进入恶性循环，学生是很苦恼的。一般解决恶性循环的办法就是“恶补”，就是人家休息你不休，人家玩你少玩或不玩。通过一段时间的努力，逐渐形成良性循环，以后问题变会变得很容易。特别是过去好，忽然变差的那种，这样很管用的。
三、好方法
1.预习很重要：往往被忽略，理由：没时间，看不懂，不必要等。预习是学习的必要过程，还是提高自学能力的好方法。
2.听讲有学问：听分析、听思路、听应用，关键内容一字不漏，注意记录。
3.做好错题本：每个会学习的学生都会有。最好再加个“好题本”。发现许多同学没有错题本，或者是只做不用。这样学习效果都不好。
4.用好课外书：正确认识网络课程和课外书籍，是副食，是帮助吸收的良药，绝对不是课堂学习的替代品。
5.注意总结和反思：知识点、解题方法和技巧、经验和教训
6.接受数学思想方法的指导：要注意数学思想和方法的指导，站得高，才能看得远。
学好数学的更多训练&&&
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