多项式除法余数余式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-16 17:15 标签： 高次多项式的因式分解
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求多项式的余式设f(x)为实系数多项式,以x-1除之,余数是7,以x-2除之,余数是12,则f(x)除以（x-1)(x-2）的余式是多少.
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设f(x)=(x-1)*g(x)+7;f(x)=(x-2)k(x)+12;设g(x)=p(x)*(x-2)+r_1;------>f(x)=(x-1)*[p(x)*(x-2)+r_1]+7=(x-2)*(x-1)*p(x)+(x-1)*r_1+7=(x-2)k(x)+12;设(x-1)*r_1+7=(x-2)*q(x)+r_2;------>f(x)
=(x-1)*[p(x)*(x-2)+r_1]+7=(x-2)*(x-1)*p(x)+(x-2)*q(x)+r_2
=(x-2)*[(x-1)*p(x)+q(x)]+r_2
=(x-2)k(x)+12;------>(x-1)*p(x)+q(x)=k(x) AND r_2=12 ------>(x-1)*r_1=(x-2)*[k(x)-(x-1)*p(x)]+5------>(x-2)*r_1+r_1=(x-2)*[k(x)-(x-1)*p(x)]+5------>r_1=(x-2)*[k(x)-(x-1)*p(x)-r_1]+5;因为5 显然不能被x-2整除,故(x-2)除r_1的余式是5；故(x-2)(x-1)除(x-1)*r_1的余式是5；设(x-1)*r_1=(x-2)(x-1)*u(x)+5;so------>f(x)=(x-1)*[p(x)*(x-2)+r_1]+7=(x-2)*(x-1)*p(x)+(x-1)*r_1+7
=(x-2)*(x-1)*p(x)+(x-2)(x-1)*u(x)+5+7;
=(x-2)*(x-1)*[p(x)+u(x)]+12;so 余式为12.
这是道选择题 A：5x+1
改了一下，有个地方错了。设f(x)=(x-1)*g(x)+7;f(x)=(x-2)k(x)+12;设g(x)=p(x)*(x-2)+r_1;------>f(x)=(x-1)*[p(x)*(x-2)+r_1]+7=(x-2)*(x-1)*p(x)+(x-1)*r_1+7=(x-2)k(x)+12;设(x-1)*r_1+7=(x-2)*q(x)+r_2;------>f(x)
=(x-1)*[p(x)*(x-2)+r_1]+7=(x-2)*(x-1)*p(x)+(x-2)*q(x)+r_2
=(x-2)*[(x-1)*p(x)+q(x)]+r_2
=(x-2)k(x)+12;------>(x-1)*p(x)+q(x)=k(x) AND r_2=12 ------>(x-1)*r_1=(x-2)*[k(x)-(x-1)*p(x)]+5------>(x-2)*r_1+r_1=(x-2)*[k(x)-(x-1)*p(x)]+5------>r_1=(x-2)*[k(x)-(x-1)*p(x)-r_1]+5;因为5 显然不能被x-2整除，故(x-2)除r_1的余式是5；由代数余子式性质知(x-2)不能整除r_1；故r_1=5设(x-1)*r_1=5x-5so------>f(x)=(x-1)*[p(x)*(x-2)+r_1]+7=(x-2)*(x-1)*p(x)+(x-1)*r_1+7
=(x-2)*(x-1)*p(x)+(5x+2)
so 余式为5x+2。所以选B
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[q,r] = deconv(v,u)
%多项式v除以多项式u，返回商多项式q和余多项式r。注意：v、u、q、r都是按降幂排列的多项式系数向量
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多项式除法 -2x^4+12x^3-19x^2+7 除 x^2-3x-2 求商式和余式
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-2x^4+12x^3-19x^2+7=( -2x^2+6x-5)(x^2-3x-2)+(-3x-3)-2x^4+12x^3-19x^2+7 除 x^2-3x-2 的商式是-2x^2+6x-5；余式是-3x-3.【详细步骤如上】
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商是-2x<2+6x-5
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x^12+99 除以 x^8+x^4+1 的余式是：&&&& A.x^6+1
C.x^2+100&&
E.以上结论均不正确2.
f(x)=x^88+x^27-2x^10-3x^5+x 除以x^3+2x^2+2x+1 的余式是：&&& A.-x^2+2x+3&& B.-x^2+2x-3 C.x^2-2x-3
D.x^2+2x-3
E.以上结论均不正确3.
13^10+13^4+1 除以 13^2+13+1 的余数是&&&
E.以上结论均不正确4.
x^12除以(x+1)^2的余式是：&&
C.-12x-11&&
D.12x-11 x^12代表x的12次方，依此类推，请教高人解答上述三题，给出详细过程，最好能仔细讲解一下求多项式余式的方法，万分感谢！
展会时间:11月7日-11日 会议地点:上海青浦区崧泽大道333号国家会展中心
1.D x^2+x+1|x^3-1,以x^4代之，得x^8+x^4+1|x^12-1.
令f(x)=q(x)g(x)+r(x),求出g(x)=0的根a，带入前式，得f(a)=r(a).根据拉格朗日公式即可求出r(x).
如3.令x^10+x^4+1 = (x^2+x+1)q(x)+r(x),将1的两个虚立方根带入，得r(w)=3^0.5i,r(w共轭）=-3^0.5i,r(x)为一次函数。由此即可求出r(X).以13代之，求出的r(13) 即为余数。
2.先x^3+2x^2+2x+1分解出x+1，以之除f（x），简化后，同上。
4.x^12=[(x+1)-1]^12,先由二项式定理展开，前面是(x+1)^2的倍数，剩下的就是余式。
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北京科技大学应用学院数力系
课程性质和计划
高等代数是数学类专业的一门重要基础
课，是考研的必考课程，是后续有关课
程的基础；
高等代数对抽象思维能力、逻辑思维能
力的培养具有重要的作用；
高等代数的特点是习题类型多、内涵丰
富、变化复杂；
高等代数是数学老三基（分析、代数和
拓扑）中代数的基础课程。
1、数域和数环
数域是一个由某些复数组成的集合P，它包含
0和1，且P中的任意两个数的和、差、积、商
（除数不为零）仍然是P中的数。
常见的数域有有理数域Q、实数域R和复数域
数环是一个由某些复数组成的非空集合R，且R
中任意两个数的和、差、积仍然是R中的数。
所有的数域都包含有理数域、数域总是数环。
整数环是数环但不是数域。
例1、下列数集是不是数域？
（1）全体偶数
（2）全体正实数
5 a ,b ∈Q },Q是有理数集
例2、证明如果一个数环 S ≠ 0}，那么 S
含有无限多个数。
a ≠0, 且a ∈S , 则a +a
???∈ 且 ≠j 时，ia ≠j a
例3、证明 S
n =∈ Z ? 是一个数环而不
证明：容易证明是数环，但
故不是数域。
a =+bi i 2
=-1,a ,b ∈Q }是数域 。
两个数环的交还是数环，两个数域的交还
是数域，但是两个数环的并不一定是数环。
反例：所有2的整数倍是一个数环，设为
R2 ，所有3的整数倍也是一个数环，设为
5=?R ，且5?R因而5?R
（1）任何数域都包含有理数域Q；
（2）在有理数域Q与实数域R之间存在无穷
多个数域；
（3）在实数域R与复数域C之间不存在其它
2、多项式及其运算
是一个数域（数域
是指有理数域、实数
域或复数域。）， x
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