非线性最小二乘法拟合中，什么衡量拟合好坏

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-19 05:51 标签： 最小二乘法拟合圆
最小二乘法直线拟合
Least Squares Fitting
1、最小二乘法：
通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。例如：已知点集（x1,y1）,(x2,y2)....,
要拟合的模型表达式为y=f(x), 最小二乘法通过使
∑|yi-f(xi)|^2最小，可以通过对其求导得出关于每个系数的方程，将点集带入解次超定方程组进而可求得个系数的值，最终得到方程表达式。f（x）可以是直线表达式、曲线表达式等。
2、最小二乘法直线拟合
& 直线方程为y=kx+b,应用上述原理，得误差表达式为e=∑(yi-k*xi-b))^2,分别对其关于k和b求导得
& & de/dk=∑(xi*yi-k*xi^2-xi*b)=0
de/db=∑(yi-k*xi-b)=0
整理得： &
& &k*∑xi^2+b*∑xi=∑xi*yi
&k∑xi+b=∑yi
设A=∑xi^2,B=∑xi,C=∑yixi,D=∑yi，则方程化为：
解出a,b得：
k=(Cn-BD)/(An-BB)
b=(AD-CB)/(An-BB)
这就是最小二乘法拟合直线的完整过程。
尽管这是个经典问题的标准线性解，但实际上在视觉应用中没有什么用处，由于这个过程太依赖于坐标系-它把直线的纵坐标的差作为误差（yi-k*xi-b，此即所谓的
distance-垂直距离或竖直距离），以至于此方法完全不能表示竖直的直线。实际中，我们可以用点到直线的实际距离，即根据点到直线的距离公式所得的距离来求。使用直线方程a*x+b*y+c=0，求最小二乘总误差：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∑(a*x+b*y+c)^2
最小，因此约束条件 a^2+b^2=1,
以及Lagrange乘子λ（原理见另一篇blog），得
&&&&&&&&&&&&&&&
F=∑(a*x+b*y+c)^2 +
λ（a^2+b^2-1）
对其关于a,b,c一次求导按上述方法组成超定方程组求解。
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