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技术物理上册（第三版）教案 6.5 伯努利方程.doc 5页
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伯努利方程
一、教学目标
1．掌握伯努利方程，会利用伯努利方程进行计算。了解方程的物理意义。
2. 理解流速与压强的关系，了解空吸作用及其原理。
3. 理解流量计的原理，学会使用流量计。
二、教学重点难点
重点:1. 伯努利方程及其应用
2. 流速与压强的关系
难点:伯努利方程的物理意义
三、教学器材
空吸管、文丘里流量计
四、教学建议
实验、讲解法。
教学设计方案
（一）引入新课
1912年秋，当时世界上最大的轮船之一“奥林匹克”号正在大海上航行。在距它约100 m远处，有一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号几乎跟它平行地疾驰着。突然，小船好像受到一个不可抗拒的力量，不服从舵手的操纵，径直朝着奥林匹克号撞去，把奥林匹克号船舷撞了一个大洞。人们没有想到，这次事故的原因竟然是由于不懂得流体的流速与压强之间的关系造成的。
那么，流体的流速与压强之间究竟存在着怎样的关系呢？
（二）引出课程内容
1．伯努利方程
如图1所示，理想流体沿管道做定常流动，经过1、2位置时，其有关各量（分别用下标1、2区分）之间有如下关系：
p1+ρv12+ρgh1=p2+ρv22+ρgh2
或 p+ρv2+ρgh=恒量
式中，p为流体的压强，单位为Pa ；
ρ为流体的密度，单位为kg/m3 ；v为流体的流速，单位为m/s ；
h表示管道中轴线距参考面的高度，单位为m 。
这就是伯努利方程。
伯努利方程
方程中第一项压强p的单位是Pa(N/m2) ，而1 N/m2=1 N·m/m3=1 J/m3 ，表示了单位体积的流体在该点由于压强而具有的能（称为轴向压强能）；第二项ρv2=mv2/V是单位体积流体的动能；第三项ρgh=mgh/V是单位体积流体的势能。
伯努利方程可表述为：理想流体做定常流动时，单位体积流体的（轴向）压强能、动能、势能的总和保持不变。
伯努利方程是流体力学的一条基本规律，表明理想流体做定常流动时能量守恒。伯努利方程在航空、航海、水利等工程部门有着广泛的应用。
伯努利方程只适用于理想流体做定常流动的情况。黏性较小的水、乙醇等液体或流动过程中密度变化很小的气体，做定常流动时，伯努利方程近似成立。
一楼房内水管的内径d1=2 cm ，水管里水的压强p1=4×105 Pa ，流速v1=4 m/s ；引入二楼的水管的内径d2=1 cm 。已知二楼水管比一楼的水管高出4 m ，求：（1）二楼水管里水的流速和压强各为多少？（2）当二楼水龙头关闭后，二楼水管里的水的压强是多少？
p1=4×105 Pa
d1=2 cm=0.02 m
d2=1 cm=0.01 m
水管中自来水的的流动可视为理性流体的定常流动，设一楼、二楼水管的截面积分别是S1 、S2，二楼水管里的水的流速和压强分别是是v2 和p2 ，则
（1）根据连续性方程 S1v1 = S2v2 解得
v2=v1 =v1=×4 m/s =16 m/s
取一楼水管的高度为零，即h1=0 ，则h2=h=4 m ，
由伯努利方程得
p1+ρv12 = p2+ρv22+ρgh
所以，二楼水管中压强
p2= p1-ρ(v22 -v12 )-ρgh
=4×105 Pa-×1×103×(162 -42) Pa-1×103×9.8×4 Pa
=2.41×105
（2）当二楼水龙头关闭时，v1= v2= 0
这时水管里水的压强
p2ˊ=p1- ρgh = 4×105 Pa -1×103×9.8×4 Pa =3.61×105
2. 流速与压强的关系
当理想流体在同一水平管中做定常流动时，h1=h2 ，伯努利方程可简化为
p1+ρv12=p2+ρv22
p+ρv2=恒量
上述公式表明：在同一水平管道内，流速小的地方压强大；流速大的地方压强小。
根据连续性方程，管道截面积大的地方流速小，截面积小的地方流速大。所以，理想流体在不均匀的水平管中做定常流动时，截面积大处，流速小、压强大；截面积小处，流速大、压强小。
飞机在地面起飞、在空中飞行时，机翼上侧空气流速大、压强小，机翼下侧空气流速小、压强大，依靠机翼下侧与上侧的压强差产生强大的升力，来克服重力。飞机飞行时，机外的空气流速大、压强小，机舱内空气流速小、压强大，在机舱内外存在着巨大的压强差。这一压强差靠飞机的压力机构平衡，一旦该机构产生故障，就可能酿成严重事故。
当两艘轮船并排航行时，轮船之间的海水流速比外侧海水流速大，两船之间的
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流体力学_百度文库
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化学工程基础课件第二章.ppt 174页
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教学目的：本章要求掌握流体流动过程的基本原理、管 内流动的规律，并运用这些原理和规律去分析和计算流体 流动过程中的有关问题。
教学重点：流体静力学、流体动力学的基本原理 及应用。 教学难点：流体静力学、流体动力学的基本原理 及应用。 第一节 静止流体的基本方程 一、流体的基本概念 1、流体的密度：单位体积流体的质量称为流体的密 度。常用字母ρ表示。
（ρ：密度，kg/m3；m：流体的质量，kg；V：流体 的体积，m3.） （1）液体的密度：液体的密度随压力的变化较小， 可以忽略其影响，所以常称液体为不可压缩的流体 ，但液体的密度随温度升高而下降。 （2）气体的密度：气体的密度随压力和温度的变 化较大，是可压缩性流体。当压力不太高、温度不 太低时，气体的密度可近似地按理想气体处理。
某T、P下的某种气体的密度：ρ=ρ0T0/T×P/P0; 2、流体的定义和分类 （1）按状态分为气体、液体和超临界流体 **超临界流体：当流体所处的状态在临界点以上， 称为超临界流体（SCF).
(2)按可压缩性可分为不可压缩流体和可压缩流体
（3）按是否忽略流体分子间作用力，分为理想流体 和实际流体
（4）按流体的流变特性分为牛顿型和非牛顿型流体 牛顿型流体：其流变特性满足牛顿粘性定律。
若满足牛顿粘性定律的流体称为牛顿型流体。
非牛顿型流体：其流变特性不满足牛顿粘性定律。 3、流体特性 （1）流动性—即抗剪、抗张的能力很小，易变形。
（2）无固定形状，易变形
随容器形状，气体能充满整个密闭容器的空间。
4、作用在流体上的力
外界作用于流体上的力有两种：质量力和表面力 ①质量力：又称体积力。质量力作用于流体的每个 质点上，并与流体的质量成正比，对于均质流体也 与流体的体积成正比。
②表面力：又称接触力或机械力。表面力与流体的 表面积成正比。作用于流体中任一微小表面上的力 又可分为两类，即垂直于表面的力和平行于表面的 力。前者称为压力，后者称为剪力。
第二节 流体静力学 一、压强 1、压强的定义和单位
垂直作用于流体单位面积上的表面力称为流体的 压强。
N.m-2 【Pa】 流体的压强有两个特性（1）流体静压强的方向总是 和作用面垂直且指向该作用面。（2）在静止流体内 部任意点处的流体静压强在各个方向都是相等的。 2、压力的不同表示方法 （1）以液柱高度表示的压强。工业上常间接的 用液柱高度h来表示压力。其关系为：
【Pa】 h：液柱的高度，m； ρ：液柱的密度，kg/m3； g：重力加速度，9.81m.s-2； 或可写成：h=P/ρg
【m液柱】 h：流体因距所选的基准面有h高度，由于重力作用 而具有的能量。称之为位能或重力势能。 P/ρg：流体被压缩而能向外膨胀做功的能力。称之 为静压能。 如：一个标准大气压，若用水柱和汞柱高来分别表示： h水=P/ρg=101325/（）=10.33【mH2O】 h汞= P/ρg=101325/（1）
=0.76【mHg】=760【mmHg】
由上面可知：同一压强值，用不同流体柱高表示时 ，h值是不同的，这是因为流体ρ不同，所以用流体 柱表示压强时，一定要注明是什么流体，必要时还需 注明温度。 （2）压强的基准：以绝对真空为起点的压强叫绝对压强；以当时当地大气压为起点的压强叫表压。低于当地大气压叫真空度。 二、流体静力学基本方程式 （一）流体静力学基本方程式的推导
在容器中盛有密度为ρ的某种液体，在其中任取 一液体柱，对该液柱进行受力分析： 只考虑垂直方向 ①液体柱受到向下的压强P1（方向垂直向下）
(A为上底面面积） ②液体柱受到向上的压强P2（方向垂直向上）
(A为下底面面积） ③液体柱本身的重力（方向垂直向下）
G=（Z1-Z2).A.ρ.g=h.A.ρ.g 因为液体柱是静止的处于平衡状态，所以液体柱在 垂直方向上受到的合力为零： ∴
F2=F1+G P2.A=P1.A+ （Z1-Z2).A.ρ.g 方程式两边同除以ρ.g
P2/ρ.g=P1/ρ.g+ Z1-Z2 整理得：Z1+P1/ρ.g =Z2+ P2/ρ.g
……（1） 也可写成： P2=P1+ h.ρ.g
…… （2）
P2=Pa+ H.ρ.g
…… （3） （二）流体静力学基本方程式的物理意义 1、静压能与位能之和为一常数，并且静压能与位能 可相互转换。 2、在容器中，某处的压强大小仅与其位置的高低有 关，与水平位置无关。
（推广：静止的同一种连
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流体力学自学课件
流体力学 绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第九章 流体的基本概念 流体静力学 流体动力学 粘性流体运动及其阻力计算 有压管路的水力计算 明渠定常均匀流 泵与风机绪论一、流体力学概念流体力学――是力学的一个独立分支，主要研究流体本身的静止状态和运动状态，以及流体和 固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律。 1738 年伯努利出版他的专著时，首先采用了水动力学这个名词并作为书名；1880 年前后出现了 空气动力学这个名词；1935 年以后，人们概括了这两方面的知识，建立了统一的体系，统称为流体 力学。 研究内容：研究得最多的流体是水和空气。 1、流体静力学：关于流体平衡的规律，研究流体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于流体 上的各种力之间的关系； 2、流体动力学：关于流体运动的规律，研究流体在运动状态时，作用于流体上的力与运动要素 之间的关系，以及流体的运动特征与能量转换等。 基础知识：主要基础是牛顿运动定律和质量守恒定律，常常还要用到热力学知识，有时还用到 宏观电动力学的基本定律、本构方程（反映物质宏观性质的数学模型）和物理学、化学的基础知识。二、 流体力学的发展历史1流体力学是在人类同自然界作斗争和在生产实践中逐步发展起来的。古时中国有大禹治水疏通 江河的传说；秦朝李冰父子带领劳动人民修建的都江堰，至今还在发挥着作用；大约与此同时，古罗 马人建成了大规模的供水管道系统等等。 流体力学的萌芽：距今约 2200 年前，希腊学者阿基米德写的“论浮体”一文，他对静止时的液 体力学性质作了第一次科学总结。建立了包括物理浮力定律和浮体稳定性在内的液体平衡理论，奠定 了流体静力学的基础。此后千余年间，流体力学没有重大发展。 15 世纪，意大利达?芬奇的著作才谈到水波、管流、 水力机械、鸟的飞翔原理等问题；17 世纪， 帕斯卡阐明了静止流体中压力的概念。但流体力学尤其是流体动力学作为一门严密的科学，却是随着 经典力学建立了速度、加速度，力、流场等概念，以及质量、动量、能量三个守恒定律的奠定之后才 逐步形成的。 流体力学的主要发展： 17 世纪，力学奠基人牛顿（英）在名著《自然哲学的数学原理》（1687 年）中讨论了在流体中 运动的物体所受到的阻力， 得到阻力与流体密度、 物体迎流截面积以及运动速度的平方成正比的关系。 他针对粘性流体运动时的内摩擦力也提出了牛顿粘性定律。 使流体力学开始成为力学中的一个独立分 支。但是，牛顿还没有建立起流体动力学的理论基础，他提出的许多力学模型和结论同实际情形还有 较大的差别。 之后，皮托（法）发明了测量流速的皮托管；达朗贝尔（法）对运动中船只的阻力进行了许多实 验工作，证实了阻力同物体运动速度之间的平方关系；瑞士的欧拉采用了连续介质的概念，把静力学 中压力的概念推广到运动流体中，建立了欧拉方程，正确地用微分方程组描述了无粘流体的运动；伯 努利（瑞士）从经典力学的能量守恒出发，研究供水管道中水的流动，精心地安排了实验并加以分析， 得到了流体定常运动下的流速、压力、管道高程之间的关系――伯努利方程。 欧拉方程和伯努利方程的建立，是流体动力学作为一个分支学科建立的标志，从此开始了用微分 方程和实验测量进行流体运动定量研究的阶段。从 18 世纪起，位势流理论有了很大进展，在水波、 潮汐、涡旋运动、声学等方面都阐明了很多规律。法国拉格朗日对于无旋运动，德国赫尔姆霍兹对于 涡旋运动作了不少研究??。在上述的研究中，流体的粘性并不起重要作用，即所考虑的是无粘性流 体。这种理论当然阐明不了流体中粘性的效应。 19 世纪，工程师们为了解决许多工程问题，尤其是要解决带有粘性影响的问题。于是他们部分 地运用流体力学，部分地采用归纳实验结果的半经验公式进行研究，这就形成了水力学，至今它仍与 流体力学并行地发展。1822 年，纳维（法）建立了粘性流体的基本运动方程；1845 年，斯托克斯（英）2又以更合理的基础导出了这个方程，并将其所涉及的宏观力学基本概念论证的令人信服。这组方程就 是沿用至今的纳维-斯托克斯方程(简称 N-S 方程)，它是流体动力学的理论基础。上面说到的欧拉方 程正是 N-S 方程在粘度为零时的特例。 普朗克学派从 1904 年到 1921 年逐步将 N-S 方程作了简化，从推理、数学论证和实验测量等各个 角度，建立了边界层理论，能实际计算简单情形下，边界层内流动状态和流体同固体间的粘性力。同 时普朗克（德）又提出了许多新概念，并广泛地应用到飞机和汽轮机的设计中去。这一理论既明确了 理想流体的适用范围，又能计算物体运动时遇到的摩擦阻力。使上述两种情况得到了统一。 20 世纪初，飞机的出现极大地促进了空气动力学的发展。航空事业的发展，期望能够揭示飞行 器周围的压力分布、飞行器的受力状况和阻力等问题，这就促进了流体力学在实验和理论分析方面的 发展。20 世纪初，以儒科夫斯基（俄）、恰普雷金（俄）、普朗克等为代表的科学家，开创了以无 粘不可压缩流体位势流理论为基础的机翼理论，阐明了机翼怎样会受到举力，从而空气能把很重的飞 机托上天空。机翼理论的正确性，使人们重新认识无粘流体的理论，肯定了它指导工程设计的重大意 义。 机翼理论和边界层理论的建立和发展是流体力学的一次重大进展， 它使无粘流体理论同粘性流体 的边界层理论很好地结合起来。随着汽轮机的完善和飞机飞行速度提高到每秒 50 米以上，又迅速扩 展了从 19 世纪就开始的，对空气密度变化效应的实验和理论研究，为高速飞行提供了理论指导。20 世纪 40 年代以后，由于喷气推进和火箭技术的应用，飞行器速度超过声速，进而实现了航天飞行， 使气体高速流动的研究进展迅速，形成了气体动力学、物理-化学流体动力学等分支学科。 以这些理论为基础，20 世纪 40 年代，关于炸药或天然气等介质中发生的爆轰波又形成了新的理 论，为研究原子弹、炸药等起爆后，激波在空气或水中的传播，发展了爆炸波理论。此后，流体力学 又发展了许多分支，如高超声速空气动力学、超音速空气动力学、稀薄空气动力学、电磁流体力学、 计算流体力学、两相(气液或气固)流等等。 这些巨大进展是和采用各种数学分析方法和建立大型、 精密的实验设备和仪器等研究手段分不开 的。从 50 年代起，电子计算机不断完善，使原来用分析方法难以进行研究的课题，可以用数值计算 方法来进行，出现了计算流体力学这一新的分支学科。与此同时，由于民用和军用生产的需要，液体 动力学等学科也有很大进展。 20 世纪 60 年代，根据结构力学和固体力学的需要，出现了计算弹性力学问题的有限元法。经过 十多年的发展，有限元分析这项新的计算方法又开始在流体力学中应用，尤其是在低速流和流体边界 形状甚为复杂问题中，优越性更加显著。近年来又开始了用有限元方法研究高速流的问题，也出现了3有限元方法和差分方法的互相渗透和融合。 从 20 世纪 60 年代起，流体力学开始了流体力学和其他学科的互相交叉渗透，形成新的交叉 学科或边缘学科，如物理-化学流体动力学、磁流体力学等；原来基本上只是定性地描述的问题，逐 步得到定量的研究。在我国，水利事业的历史十分悠久:? ?4000 多年前的 “大禹治水”的故事――顺水之性，治水须引导和疏通。 秦朝在公元前 256―公元前 210 年修建了我国历史上的三大水利工程都江堰 （平面图、 视频） 、郑国渠、灵渠――明渠水流、堰流。? ?古代的计时工具“铜壶滴漏”――孔口出流。 清朝雍正年间，何梦瑶在《算迪》一书中提出流量等于过水断面面积乘以断面平均流速的计算方法。?隋朝（公元 587―610 年）完成的南北大运河。隋朝工匠李春在冀中┖有藿ǎü 605―617 年）的赵州石拱桥――拱背的 4 个小拱，既减压 主拱的负载，又可宣泄洪水。三、流体力学的应用1、课程的性质与目的 性质：流体力学是研究流体机械运动规律及其应用的学科，是一门必修的专业基础课程。研究对 象以水为主体，旁及气体与可压缩流体；研究内容：机械运动规律和工程应用。 目的： 通过各教学环节， 使学生掌握流体运动的基本概念， 基本理论， 基本计算方法与实验技能， 培养分析问题的能力和创新能力，为学习专业课程，并为将来从事专业技术工作打下基础。 地位：为水污染控制工程、大气污染控制工程、环境工程设计等多门专业课程阐释所涉及的流体 力学原理。 其他：a.素质教育――“力学文化”、“水文化”。 b.研究生入学考试:工程流体力学（水力学）往往成为研究生入学考试中的专业基础课之 一。 2、流体力学的应用 流体是人类生活和生产中经常遇到的物质形式， 因此许多科学技术部门都和流体力学有关。 例如4水利工程、土木建筑、交通运输、机械制造、石油开采、化学工业、生物工程等都有大量的流体问 题需要应用流体力学的知识来解决，事实上，目前很难找到与流体力学无关的专业和学科。 （1）在流体力学已广泛用于土木工程的各个领域，如建筑工程和土建工程中的应用。如基坑排 水、路基排水、地下水渗透、地基坑渗稳定处理、围堰修建、海洋平台在水中的浮性和抵抗外界扰 动的稳定性等。 （2）在市政工程中的应用。如桥涵孔径设计、给水排水、管网计算、 泵站和水塔的设计、隧洞 通风等，特别是给水排水工程中，无论取水、水处理、输配水都是在水流动过程中实现的。流体力 学理论是给水排水系统设计和运行控制的理论基础。 观看录像 （3）城市防洪工程中的应用。如堤、坝的作用力与渗流问题、防洪闸坝的过流能力等。 （4）在建筑环境与设备工程中的应用。如供热、通风与空调设计，以及设备的选用等。例1 高位取水的电力大于低位取水的电力？ 实际发电电能相同例 2 在 98 长江特大洪水时，有人提出了一个紧急提案：调用休渔期的数百只船至长江中游，抛 锚后，齐开足马力用螺旋桨推动水流加大流速，降低长江上下游的洪水位?异想天开 3、本课程基本要求 通过本课程学习应达到的基本要求是： （1）具有较为完整的理论基础，包括： ①掌握流体力学的基本概念； ②熟练掌握分析流体力学的总流分析方法； ③掌握流体运动能量转化和水头损失的规律。 （2）具有对一般流动问题的分析和讨论能力，包括： ①水力荷载的计算； ②管道、渠道和堰过流能力的计算，井的渗流计算；5③水头损失的分析和计算。 （3）掌握测量水位、压强、流速、流量的常规方法。 （4）重点掌握：基础流体力学的基本概念、基本方程、基本应用。 4、学习的难点与对策 （1）新概念多、抽象、不易理解； 对策 --- 主要概念汇总表，多媒体资料辅助教学。 （2）推演繁难； 对策 ---分析各种推导要领，掌握通用的推导方法，理解思路，不要求对各个过程死记硬背。 （3）偏微分方程（组）名目繁多。 对策 --- 仅要求部分掌握。重在理解物理意义，适用范围、条件，主要求解方法。四、流体力学的研究方法进行流体力学的研究可以分为现场观测、实验室模拟、理论分析、数值计算四个方面： 1、现场观测 是对自然界固有的流动现象或已有工程的全尺寸流动现象，利用各种仪器进行系统观测，从而总 结出流体运动的规律，并借以预测流动现象的演变。过去对天气的观测和预报，基本上就是这样进行 的。 不过现场流动现象的发生往往不能控制，发生条件几乎不可能完全重复出现，影响到对流动现象 和规律的研究；现场观测还要花费大量物力、财力和人力。因此，人们建立实验室，使这些现象能在 可以控制的条件下出现，以便于观察和研究。 2、实验室模拟 同物理学、化学等学科一样，流体力学离不开实验，尤其是对新的流体运动现象的研究。实验能 显示运动特点及其主要趋势，有助于形成概念，检验理论的正确性。二百年来流体力学发展史中每一 项重大进展都离不开实验。 模型实验在流体力学中占有重要地位。模型即是指根据理论指导，把研究对象的尺度改变(放大 或缩小)以便能安排实验。有些流动现象难于靠理论计算解决，有的则不可能做原型实验(成本太高或 规模太大)。这时，根据模型实验所得的数据可以用像换算单位制那样的简单算法求出原型的数据。 现场观测常常是对已有事物、已有工程的观测，而实验室模拟却可以对还没有出现的事物、没有 发生的现象(如待设计的工程、机械等)进行观察，使之得到改进。因此，实验室模拟是研究流体力学6的重要方法。 3、理论分析 是根据流体运动的普遍规律如质量守恒、动量守恒、能量守恒等，利用数学分析的手段，研究流 体的运动，解释已知的现象，预测可能发生的结果。理论分析的步骤大致如下： 首先是建立“力学模型”，即针对实际流体的力学问题，分析其中的各种矛盾并抓住主要方面， 对问题进行简化而建立反映问题本质的“力学模型”。流体力学中最常用的基本模型有：连续介质、 牛顿流体、不可压缩流体、理想流体、平面流动等。 其次是针对流体运动的特点，用数学语言将质量守恒、动量守恒、能量守恒等定律表达出来，从 而得到连续性方程、动量方程和能量方程。此外，还要加上某些联系流动参量的关系式(例如状态方 程)，或者其他方程。这些方程合在一起称为流体力学基本方程组。 求出方程组的解后，结合具体流动，解释这些解的物理含义和流动机理。通常还要将这些理论结 果同实验结果进行比较，以确定所得解的准确程度和力学模型的适用范围。 从基本概念到基本方程的一系列定量研究，都涉及到很深的数学问题，所以流体力学的发展是以 数学的发展为前提。反过来，那些经过了实验和工程实践考验过的流体力学理论，又检验和丰富了数 学理论，它所提出的一些未解决的难题，也是进行数学研究、发展数学理论的好课题。按目前数学发 展的水平看，有不少题目将是在今后几十年以内难于从纯数学角度完善解决的。 在流体力学理论中，用简化流体物理性质的方法建立特定的流体的理论模型，用减少自变量和减 少未知函数等方法来简化数学问题，在一定的范围是成功的，并解决了许多实际问题。 对于一个特定领域，考虑具体的物理性质和运动的具体环境后，抓住主要因素忽略次要因素进行 抽象化也同时是简化，建立特定的力学理论模型，便可以克服数学上的困难，进一步深入地研究流体 的平衡和运动性质。 20 世纪 50 年代开始，在设计携带人造卫星上天的火箭发动机时，配合实验所做的理论研究，正 是依靠一维定常流的引入和简化，才能及时得到指导设计的流体力学结论。 每种合理的简化都有其力学成果，但也总有其局限性。例如，忽略了密度的变化就不能讨论声音 的传播；忽略了粘性就不能讨论与它有关的阻力和某些其他效应。掌握合理的简化方法，正确解释简 化后得出的规律或结论，全面并充分认识简化模型的适用范围，正确估计它带来的同实际的偏离，正 是流体力学理论工作和实验工作的精华。 4、数值计算7流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比 较简单的情形或简化后的欧拉方程或 N-S 方程进行计算。20 世纪 30～40 年代，对于复杂而又特别 重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行 时周围的无粘流场就从 1943 年一直算到 1947 年。 数值方法是在计算机应用的基础上，采用各种离散化方法（有限差分法、有限元法等），建立 各种数值模型， 通过计算机进行数值计算和数值实验， 得到在时间和空间上许多数字组成的集合体， 最终获得定量描述流场的数值解。数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的 发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了 流体力学计算方法的发展。近二三十年来，这一方法得到很大发展，已形成专门学科――计算流体 力学。 从 20 世纪 60 年代起， 在飞行器和其他涉及流体运动的课题中， 经常采用电子计算机做数值模拟， 这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加 快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 解决流体力学问题时，现场观测、实验室模拟、理论分析和数值计算几方面是相辅相成的。实验 需要理论指导，才能从分散的、表面上无联系的现象和实验数据中得出规律性的结论。反之，理论分 析和数值计算也要依靠现场观测和实验室模拟给出物理图案或数据， 以建立流动的力学模型和数学模 式；最后，还须依靠实验来检验这些模型和模式的完善程度。此外，实际流动往往异常复杂(例如湍 流)，理论分析和数值计算会遇到巨大的数学和计算方面的困难，得不到具体结果，只能通过现场观 测和实验室模拟进行研究。五、流体力学的展望从阿基米德到现在的二千多年，特别是从 20 世纪以来，流体力学已发展成为基础科学体系的一 部分，同时又在工业、农业、交通运输、天文学、地学、生物学、医学等方面得到广泛应用。 今后，人们一方面将根据工程技术方面的需要进行流体力学应用性的研究，另一方面将更深入 地开展基础研究以探求流体的复杂流动规律和机理。 后一方面主要包括： 通过湍流的理论和实验研究， 了解其结构并建立计算模式；多相流动；流体和结构物的相互作用；边界层流动和分离；生物地学和 环境流体流动等问题；有关各种实验设备和仪器等。8第一章第一节一、流体的特征流体的基本概念连续介质的概念流体的特征物质的三态：地球上物质存在的主要形式――固体、液体和气体。 流体和固体的区别: 从力学分析的意义上看，在于它们对外力抵抗的能力不同。固体流体固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。 流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。 ――流体易变形，没有固定形状。 液体和气体的区别： (1)气体易于压缩；而液体难于压缩； (2)液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形状的容器，无一定的体积，不存 在自由液面。 液体和气体的共同点： 两者均具有易流动性，即在任何微小切应力作用下都会发生变形或流动，故二者统称为流体。 气体与蒸汽的区别：蒸汽易凝结成液体，气体较难。 二、连续介质的概念 微观：流体是由大量做无规则运动的分子组成的，分子之间存在空隙。 观看录像》 宏观：考虑宏观特性，在流动空间和时间上所采用的一切特征尺度和特征时间都比分子距离和分 子碰撞时间大得多。 连续介质：质点连续地充满所占空间的流体。 连续介质模型： 把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质， 且其所有的物 理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u =u(t,x,y,z)。9问题：按连续介质的概念，流体质点是指: A、流体的分子；D C、几何的点；B、流体内的固体颗粒；D、几何尺寸同流动空间相比是极小量,又含有大量分子的微元体。连续介质模型的优点： 排除了分子运动的复杂性。 物理量作为时空连续函数，可以利用连续函数这一数学工具来研究问题。第二节一、惯性流体的主要物理性质物体反抗外力作用而维持其固有的运动状态的性质――以质量来量度。 质量： 重量： m―千克，kg W＝mg 牛，N3密度（density）：单位体积流体的质量。以 ? 表示，单位：kg/m 。??m V w V（均质流体）3重度：单位体积流体的重量。以 γ 表示，单位：N/m 。γ?γ＝ρg 无量纲。比重：物体质量与同体积的 4℃的蒸馏水的质量之比。二、粘性粘性：流体在运动的状态下，产生内摩擦力以抵抗流体变形的性质。 流体的粘度是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所引起的。 观看录像一&& 观看录像二&&内摩擦力：由于流体变形（或不同层的相对运动），而引起的流体内质点间的反向作用力。 内摩擦切应力τ?P A与（速度）切应变率成比例? ??v h?―粘性切应力，单位面积上的内摩擦力。 牛顿内摩擦定律（粘性定律）： 液体运动时，相邻液层间所产生的切应力与剪切变形的速率成 正比。10流体中速度为非线性分布时： τ＝?du dy udu 2 （N/m ，Pa） dyy问题：与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是： B A、切应力和压强； B、切应力和剪切变形速率；C、切应力和剪切变形； D、切应力和流速。 牛顿流体：内摩擦力按粘性定律变化的流体。 非牛顿流体：内摩擦力不按粘性定律变化的流体。动力粘性系数 μ：又称绝对粘度、动力粘度、粘度，是反映流体粘滞性大小的系数。 单位：国际单位：牛?秒/米 ， N.s/m2 2或：帕?秒，Pa?s物理单位：克/秒?厘米，泊， g/s.cm； 达因?秒/厘米2 2dyn.s/cm kgf.s/m22工程单位：公斤力?秒/米 ， 注意：各单位间的换算关系运动粘性系数 ν：又称相对粘度、运动粘度。ν＝μ/ρ 物理单位：厘米 /秒，斯，cm /s； 注意：换算关系 例: 直径 10cm 的圆盘，由轴带动在一平台上旋转，圆盘与平台间充有厚度δ =1.5mm 的油膜相 -4 隔，当圆盘以 n =50r/min 旋转时，测得扭矩 M =2.94?10 N?m。设油膜内速度沿垂直方向为线性 分布，试确定油的粘度。2 2国际单位：米 /秒， m /s22r ?dr解 ：u=ωr=π nr/3011dr 微元上摩擦阻力为dT＝? dA＝?u?dA ? ?1 ?n ?? 2 r 2 ndr r ? 2? rdr ? ? 30 15?而圆盘微元所受粘性摩擦阻力矩为： dM=dT?r=?π r ndr/15δ2 3则克服总摩擦力矩为： M ?? dM0R? ??2n R 3 ?? 2 nR 4 r dr ? 15? ?0 60?? ?60?M ? 85. 8 ? 10 - 4 Pa ? s ? 2 nR 4温度对液体、气体粘性的影响： ①水的运动粘度ν 通常可用经验公式计算：? ?2 0. 01775 (cm /s) 2 1 ? 0. 0337 ? 0. 000221 t式中，t 为水温，单位：℃。 ②气体的动力粘度C 273 ? ? ?0 C 1? T 1? T 273式中：μ 0―气体 0℃时的动力粘度； T―气体的绝对温度，K； C―常数。 粘度的影响因素 流体粘度?的数值随流体种类不同而不同，并随压强、温度变化而变化。 1）流体种类。一般地，相同条件下，液体的粘度大于气体的粘度。 2）压强。对常见的流体，如水、气体等，?值随压强的变化不大，一般可忽略不计。 3）温度。是影响粘度的主要因素。当温度升高时，液体的粘度减小，气体的粘度增加。 a.液体：内聚力是产生粘度的主要因素，当温度升高，分子间距离增大，吸引力减小，因而使 剪切变形速度所产生的切应力减小，所以?值减小。 b.气体：气体分子间距离大，内聚力很小，所以粘度主要是由气体分子运动动量交换的结果所 引起的。温度升高，分子运动加快，动量交换频繁，所以?值增加。无粘性流体：不考虑流体的粘性。12流体处于平衡状态时――可应用无粘性流体的平衡规律 问题：下面关于流体粘性的说法中，不正确的是: D A、粘性是流体的固有属性；（粘性不显现）B、粘性是运动状态下，流体有抵抗剪切变形速率能力的量度； C、流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性； D、流体的粘度随温度的升高而增大。三、压缩性流体受力作用而使其体积减少的性质 1、液体的压缩性 体积压缩率系数β p：当温度一定时，压强升高一个单位值时，所引起的体积相对变化量。dV 1 dV ?p ? ? V ? ? dp V dpm /N2负号：压强增加――体积减少体积 V 的变化可用密度 ρ 的变化代换：?p ?1 d? ? dp压强变化引起的密度变化率E? 1弹性模量 E：体积压缩系数β p 的倒数 E、β p 与流体温度、压强有关?p牛/米 2水：弹性模量 E＝2?109 牛/米 2 受温度及压强的影响甚微 ∴ 水（及其它液体）――工程上，一般视为不可压缩流体膨胀性：液体体积随温度升高而增大的性质 体积膨胀系数dV 1 dV ?t ? V ? dt V dt1/℃液体β t 很小，工程上可认为液体密度不随温度的变化而变化。 2、气体的压缩性 完全气体状态方程 p＝ρRT气体密度随压强的增大而加大，随温度的升高而减少――可压缩流体13工程上，当压强与温度的变化不大时――可视为不可压缩流体根据流体受压体积缩小的性质，流体可分为： 可压缩流体：流体密度随压强变化不能忽略的流体(??Const)。 观看录像》 不可压缩流体：流体密度随压强变化很小，流体的密度可视为常数的流体(??=const)。 观看录像》 注：(a)严格地说，不存在完全不可压缩的流体。 (b)一般情况下的液体都可视为不可压缩流体（发生水击时除外）。 (c)对于气体，当所受压强变化相对较小时，可视为不可压缩流体。 (d)管路中压降较大时，应作为可压缩流体。四、表面张力液体内部分子作用于分界面处的分子，而使液面具有收缩趋势的拉力（向内拉力） 表面张力系数σ ：作用在单位长度上的力， 牛/米。 毛细现象：液体与固体壁接触时，液体沿壁上升或下降的现象。 液体分子间凝聚力 ＜与管壁间附着力： 液体上升 液体分子间凝聚力 ＞与管壁间附着力： 录像:毛细现象 复习题 1. 连续介质假设意味着 (A)流体分子互相紧连 (C) 流体分子间有空隙 2. 流体的体积压缩系数β (A) 等压 3.p液体下降B。 (B) 流体的物理量是连续函数 (D) 流体不可压缩 是在 B 条件下单位压强变化引起的体积变化率。 (C) 等密度(B) 等温水的体积弹性模数 C (A) 小于 (B) 近似等于 A空气的弹性模数。 (C) 大于4.静止流体剪切应力。(A) 不能承受 (B) 可以承受 (C) 能承受很小的 (D)具有粘性时可承受 5. 温度升高时，空气的粘性系数 B 。14(A) 变小(B) 变大(C) 不变 B 。26. 运动粘性系数的单位是 (A)s/m 7.2(B) m /s2(C)N?s/m(D) N?m/s A 。动力粘性系数 μ 与运动粘性系数 ν 的关系为 μ= (A)ρν (B)ν/ρ (C) ν/p (D) pν D 无关。 (C) 温度8.流体的粘性与流体的 (A) 分子内聚力(B) 分子动量交换 C 成反比。(D) 速度梯度9. 毛细液柱高度 h 与 (A) 表面张力系数(B) 接触角 (C) 管径(D) 粘性系数思考题 1. 流体的切应力与剪切变形速率有关，而固体的切应力与剪切变形大小有关。 2.流体的粘度与哪些因素有关？它们随温度如何变化？ 流体的种类、温度、压强。 液体粘度随温度升高而减小，气体粘度随温度升高而增大。3.为什么荷叶上的露珠总是呈球形？ 表面张力的作用。 4.一块毛巾，一头搭在脸盆内的水中，一头在脸盆外，过了一段时间后，脸盆外的台子上湿了一 大块，为什么？ 毛细现象。 5.为什么测压管的管径通常不能小于 1cm？ 如管的内径过小，就会引起毛细现象，毛细管内液面上升或下降的高度较大，从而引起过大的误 差。 6.在高原上煮鸡蛋为什么须给锅加盖？ 高原上，压强低，水不到 100℃就会沸腾，鸡蛋煮不熟，所以须加盖。第一章 1、流体的特征小结与固体的区别：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。 与气体的区别：难于压缩；有一定的体积，存在一个自由液面；152、连续介质 连续介质模型： 把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质， 且其所有的物 理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型。 流体质点：几何尺寸同流动空间相比是极小量,又含有大量分子的微元体。 3、粘性 流体在运动的状态下，产生内摩擦力以抵抗流体变形的性质。粘性是流体的固有属性。 牛顿内摩擦定律（粘性定律）： 液体运动时，相邻液层间所产生的切应力与剪切变形的速率成 正比。 动力粘性系数?：反映流体粘滞性大小的系数。 国际单位：牛?秒/米 ， N.s/m 运动粘性系数 ν：ν=μ/ρ2 2或：帕?秒2 2国际单位：米 /秒， m /s粘度的影响因素：温度是影响粘度的主要因素。当温度升高时，液体的粘度减小，气体的粘度增 加。 粘滞性是流体的主要物理性质， 它是流动流体抵抗剪切变形的一种性质， 不同的流体粘滞性大小 用动力粘度?或运动粘度 v 来反映。其中温度是粘度的影响因素：随温度升高，气体粘度上升、液体 粘度下降。第二章 流体静力学研究对象：平衡流体――不考虑粘性；密度看作常量。第一节一、流体静压强流体静压强及其特性微元面积△A，所受作用力△P，则： 流体静压强p＝ lim?A ?0?P dP ＝ ?A dA牛/米 2，帕（Pa）二、流体静压强的特性 1、流体静压强的方向必然重合于受力面的内法线方向。 流体具有易流动性，不能承受拉应力、切应力。 2、平衡流体中，沿各个方向作用于同一点的静压强的大小相等，与作用方向无关。 即： p=f(x,y,z) px=py=pz=p16问题：静止流体的点压强值与 (B) 方向B无关。 (D) 重力加速度(A) 位置(C) 流体种类第二节 流体的平衡微分方程及其积分一、流体平衡微分方程――欧拉平衡方程如图所示， 在平衡流体中取一微元六面体， 边长分别为 dx，y，z， d d 设中心点的压强为 p(x,y,z)=p， 对其进行受力分析：根据平衡条件，在 x 方向有? F ＝0 ，即：x（p ?X－1 ?p 1 ?p dx） dydz－（p＋ dx）dydz＋?dxdydzX＝0 2 ?x 2 ?x1 ?p ＝0 ? ?x式中：X――单位质量力在 x 轴的投影 流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程）：? 1 ?p ? 0? ? ?x ? ? 1 ?p Y ? ? 0 ? ? ?y ? ? 1 ?p Z ? ? 0? ? ?z ? X ?物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。17压强沿轴向的变化率（?p ?p ?p ， ， ）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。 ?x ?y ?z二、平衡微分方程的积分将欧拉平衡微分方程中各式，分别乘以 dx、dy、dz，整理：?p ?p ?p dx ? dy ? dz ? ? (Xdx ? Ydy ? Zdz) ?x ?y ?z因为 p = p(x,y,z) ∴dp ? ? (Xdx ? Ydy ? Zdz)ρ 为常量；Xdx＋Ydy＋Zdz 应为某函数 W＝F（x，y，z）的全微分：dW ? (Xdx ? Ydy ? Zdz) ??W ?W ?W dx ? dy ? dz ?x ?y ?zdp＝?dW积分得：p=ρW＋c平衡流体中压强 p 的全微分方程假定平衡液体自由面上某点（x0，y0，z0）处的压强 p0 及 W0 为已知，则： ∴ p=p0+ρ（W-W0） 欧拉平衡微分方程的积分c＝p0-ρW0三、帕斯卡定律处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点 M 处的压强变化值△p0，将等值地传递到此平衡流体 的其它各点上去。 说明：只适用于不可压缩的平衡流体； 盛装液体的容器是密封的、开口的均可。四、等压面平衡流体中压强相等的各点所组成的面。 等压面：dp=ρ（Xdx＋Ydy＋Zdz）＝0 ρ 为常量，则：Xdx＋Ydy＋Zdz＝0 即：质量力在等压面内移动微元长度所作的功为零。 等压面的特征：平衡流体的等压面垂直于质量力的方向 只有重力作用下的等压面应满足的条件： 1.静止； 2.连通；183.连通的介质为同一均质流体； 4.质量力仅有重力； 5.同一水平面。 提问:如图所示中哪个断面为等压面? 答案: B-B’断面录像：等压面 1第三节一、静止液体中的压强分布规律流体静力学基本方程重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g 代入dp ? ? (Xdx ? Ydy ? Zdz)(压强 p 的全微分方程)得：dp＝ρ（-g）dz＝-γdz 积分得： p=-γz+c 即：z?p?? 常数 p1 p2流体静力学基本方程对 1、2 两点： z1 ? 结论：?? z2 ??1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。 2）自由表面下深度 h 相等的各点压强均相等――只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的 等压面是水平面。 3）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。 p2=p1+γΔh 4）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深 度的乘积。19观看录像:水静力学观看动画: 静水力学基本方程演示 &&二、静止液体中的压强计算自由液面处某点坐标为 z0，压强为 p0；液体中任意点的坐标为 z，压强为 p，则：z?p?? z0 ?p0?p＝p0＋γh∴坐标为 z 的任意点的压强 ：p＝p0＋γ（z0－z） 或三、静止液体中的等压面静止液体中质量力DD重力，等压面垂直于质量力， ∴静止液体中的等压面必为水平面 算一算： 1. 如图所示的密闭容器中，液面压强 p0＝9.8kPa，A 点压强为 49kPa，则 B 点压强 为 39.2kPa ,在液面下的深度为 3m 。四、绝对压强、相对压强和真空度的概念1.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强） 为起点基准计量的压强。 一般 p＝pa+γh2. 相对压强（relative pressure）：又称D表压强‖，是以当时当地大气压强为起点而计算的压强。 可D＋‖可DC ‖，也可为D0‖。 p'＝p-pa 3.真空度（Vacuum）：指某点绝对压强小于一个大气压 pa 时，其小于大气压强 pa 的数值。 真空度 pv＝pa－p 注意：计算时若无特殊说明，均采用相对压强计算。压强p&pap'p1相对压强基准 大气压强 papv pa p2p&pa绝对压强基准 绝对真空 p＝0问题：流体能否达到绝对真空状态？若不能，则最大真空度为多少？20不能，最大真空度等于大气压强与汽化压强的差值。 问题：露天水池水深 5m 处的相对压强为：49kPa A. 5kPa； B. 49kPa； C. 147kPa； D. 205kPa。例 1 求淡水自由表面下 2m 深处的绝对压强和相对压强。 解： 绝对压强： p＝p0＋ρgh＝pa＋ρgh＝101325 N/m2＋9800?2 N/m2 ＝120925 N/m2＝1.193 标准大气压 相对压强：p'＝p－pa＝ρgh ＝9800?2N/m2 ＝19600 N/m2 ＝0.193 标准大气压 例 2 如图，hv=2m 时，求封闭容器 A 中的真空度。 解：设封闭容器内的绝对压强为 p，真空度为 pv 。 则：p＝pa－ρghv 根据真空度定义：pv＝pa－ p ＝pa－（ pa－ρghv ）＝ρghv＝9800?2N/m2＝19600 N/m2 问题：某点的真空度为 65000 Pa，当地大气压为 0.1MPa，该点的绝对压强为： C A. 65000Pa； B. 55000Pa； C. 35000Pa； D. 165000Pa。问题： 绝对压强 p 与相对压强 p’ 、真空度 pv 、当地大气压 pa 之间的关系是： C A. p =p'+pv； B. p'=p+pa C. pv= pa-p D. p'= pa- p五、流体静力学基本方程的几何意义与能量意义z? p?? 常数位置水头 z ：任一点在基准面 0-0 以上的位置高度。表示单位重量液体对基准面 O－O 的位能――比 位能。 测压管高度 p'/γ：表示某点液体在相对压强 p’作用下能够上升的高度。 ――相对压强高度 静压高度 p/γ：表示某点液体在绝对压强 p 作用下能够上升的高度。 ――绝对压强高度 压强水头――比压能（单位重量液体所具有的压力能） 测压管水头（ z+p'/γ）：位置水头与测压管高度之和。单位重量pB/γ 静压水头面pa/γ 测压管水头面Bp'A/γZB O21A ZA O流体的总势能。 静压水头（z＋p/γ）:位置水头与静压高度之和。 比势能：比位能与比压能之和。 观看录像 水静力学几何意义与能量意义：同一静止液体内各点，比位能与比压能可以互相转化，比势能保持不变。 问题 1：仅在重力作用下,静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为 B ？ A. 随深度增加而增加； B. 常数； C. 随深度增加而减少； D. 不确定。问题 2：试问图示中 A、 B、 C、 D 点的测压管高度，测压管水头。（D 点闸门关闭，以 D 点所 在的水平面为基准面） A:测压管高度 0m，测压管水头 6m B:测压管高度 2m，测压管水头 6m C:测压管高度 3m，测压管水头 6m D:测压管高度 6m，测压管水头 6m例：试标出图示盛液容器内 A. B 和 C 三点的位置水头、压强水头和测压 管水头。以图示 O―O 为基准面。 解： 压强水头为相对压强的液柱高度，即测压管高度；位置水头为液体 质点至基准面的位置高度。 显然，A 点压强水头 pA/ρg，位置水头 zA 和测压管水头（zA+pA/ρg），如图 所示。 在静止液体内部任意质点的测压管水头均相等,即 zA+pA/ρg=c。因此，以 A 点的测压管水头为依据，B 点的位置水头 zB 和压强水头 pB/ρg 即可以确定（如图所示)。 至于 C 点，因为位于测压管水头之上，其相对压强为负值，即 pC & pa 。 故该点的压强水头为-pCv/ρg，位置水头为 zC，如图所示。复习题（判断题）1、静水压强是既有大小又有方向的矢量。 对 对 对 错2、一个工程大气压等于 98kPa,相当于 10m 水柱的压强。 3、如果某点的相对压强为负值，则说明该处发生了真空。4、容器中两种不同液体的分界面是水平面，但不一定是等压面。 5、静水内任意一点的静水压强均相等。 错6、静止液体的自由表面是一个水平面，也是等压面。对22思考题1.什么是等压面？等压面的条件是什么？ 等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。 只有重力作用下的等压面应满足的条件是：静止、 连通、连续均质流体、同一水平面。 2.盛有液体的敞口容器作自由落体时，容器壁面 AB 上的压强分布如何？ ∵dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)=ρ(g-g)dz=0 ∴p =const，自由液面上 p = 0 ∴p = 03.若人所能承受的最大压力为 1.274MPa（相对压强），则潜水员的极限潜水深度为多少？ 潜水员的极限潜水深度为：1.274?10 ÷（米） 4.为什么虹吸管能将水输送到一定的高度？ 因为虹吸管内出现了真空。6第四节一、压强单位a.应力单位压强单位和测压仪表从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示。N/m ，Pa，kN/ m ，kPa。 公斤力/米 ， b. 液柱高度 c.大气压 标准大气压： 1 标准物理大气压(atm) ＝ 1.033 公斤力/厘米 =101325 Pa＝10.33 mH2O＝760 mmHg 1 工程大气压（at）＝1 公斤力/厘米 =98000 Pa＝10 mH2O＝735.6 mmHg2 2 2221 公斤力/米 ＝9.8 牛/米22h=p/γmH2O、 mmHg（1954 年第十届国际计量大会决议声明：在所有应用中采用下列定义， 1 标准大气压＝101325 牛/米 2。 ）注意：大气压、大气压强的区别二、测压仪表231、液体压力计 （1）测压管 以液柱高度为表征测量点压强的连通管。 一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端是直接和大气相通的直管。 pB=γh'＋pa适用范围：测压管适用于测量小于 0.2at 的压强。 观看录像&& 真空计：欲测点为真空如果被测点的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺 读数，常采用斜管压力计 pA=p ＋γh＝p ＋γlsinθa a问题 1：如图所示，正确答案是：BA. p0=pa；B. p0&pa； C. p0&pa；D. 无法判断。问题 2：如图所示的密封容器，当已知测压管高出液面 h=1.5m，求液面相对压强 p0， 用水柱高表示。容器盛的液体是汽油。（γ=7.35kN/m ）。答案：B3A. 1.5m；B. 1.125m； C. 2m；D. 11.5m。问题 3：如图所示，若测压管水头为 1m，压强水头为 1.5m，则测压管最小长度应 该为多少？测压管最小长度为 1.5m。（2）U 形测压管 适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。 p0=pa+γh 录像：U 形测压管 B-B'为等压面24问题：在如图所示的密闭容器上装有 U 形水银测压计,其中 1、2、3 点位于同一水平面上，其压强关 系为： C A. p1=p2=p3； B. p1&p2&p3； C. p1&p2&p3； D. p2&p1&p3。（3）杯式测压计和多支 U 形管测压计 杯式测压计：金属杯＋开口玻璃管，内盛水银。 一般测量时――以杯内水银面为刻度零点。 精确测量时――移动刻度零点，与杯内水银面齐平。 pC＝pa+γ hCγ LM WpC'＝γ hCγ LM W多支 U 形管测压计:压强较大（&3at）时，几个 U 形管组合 容器中、U 形管上端均为气体时： pA'=γMh1+γMh2 容器中、U 形管上端均为水时：pB'=γMh1+（γM－γW）h2 （4）压差计 测量两处压强差△p=p1-p2=γoilhb+γMhc－γWha 2、金属压力表 用于测量较大压强，使用方便。读数为相对压强问题 1：金属压力表的读数值是：B A. 绝对压强； B. 相对压强； C. 绝对压强加当地大气压； D. 相对压强加当地大气压。问题 2：一密闭容器内下部为水，上部为空气，液面下 4.2m 处测压管高度为 2.2m，设当地大气压为 1 个工程大气压，则容器内绝对压强为几米水柱? 8m A. 2m； B. 8m；3C. 1m；D. -2m。问题 3：油的密度为 800 kg/m ，静止的油的自由面与大气接触，油面下 0.5m 的深处的表压强为__ D __ kPa。 A. 0.80 B. 0.50 C. 0.40 D. 3.9225问题 4 图中左边开口测压管和右边真空测压管的水柱高度之差约为 __10__m。 A. 10 B. 1.0 C. 0.1 D. 0.01例 1 由真空表 A 中测得真空值为 17200N/m 。各高程如图，空气重量忽 3 3 略不计，γ1=6860N/m ，γ2 =15680 N/m ，试求测压管 E. F. G 内液面的高程及 U 形测压管中水银上升 的高差的 H1 大小。 2 解：容器内相对压强 pA'=-17200 N/m 利用等压面原理 (1)E 管 pA'+γ1h1=pE'=0 ∴h1=-pA'/γ1≈2.51 m 则： E=15.0-h1=12.49 m (2)F 管 pA'+γ1(15-11.6) =γW h2 ∴h2=(pA'+3.4γ1)/ γW ≈0.62 m F=11.6+ h2=12.22 m (3)G 管 pA'+γ1(15-11.6)+ γW (11.6-8.0) =γ2 h3 ∴h3=(pA'+3.4γ1+3.6γW)/ γ2 ≈2.64 m (4)U 形管 H1=(pA'+3.4γ1+7.6γW)/ γM ≈0.605 m 2 例 2: 一密封水箱如图所示，若水面上的相对压强 p0=-44.5 kN/m ， 求： （1）h 值； （2）求水下 0.3m 处 M 点的压强，要求分别用绝对压强、相对压 强、真空度、水柱高及大气压表示； （3）M 点相对于基准面 O―O 的测压管水头。 解 （1）求 h 值 列等压面 1―1，pN = pR = pa 。以相对压强计算， p0+γh=0， -44.5＋9.8h＝0 ∴h=44.5/9.8＝4.54 m （2）求 pM 用相对压强表示：pM'=p0+γhM=-44.5+9.8?0.3=-41.56 kN/m2 pM'= -41.56/98= -0.424 工程大气压 hM=pM'/ γW=-41.56/9.8=-4.24 mH2O 用绝对压强表示：pM=pM'+pa=-41.56+98=56.44 kN/m2 pM=56.44/98=0.576 工程大气压 hM=pM/ γW=56.44/9.8=5.76 mH2O 用真空度表示：pv= 41.56 kN/m2=0.424 工程大气压 hv=pv/ γW=41.56/9.8=4.24 mH2O （3）M 点的测压管水头: zM+pM'/ γW=-0.3+(-4.24)=-4.54 m 思 考 题21. 在传统实验中，为什么常用水银作 U 型测压管的工作流体？261、压缩性小；2、汽化压强低；3、密度大。 2. 如图所示水深相差 h 的 A、B 两点均位于箱内静水中，连接两点的 U 形汞压 差计的液面高差 hm，试问下述三个值 hm 哪个正确？(1)p A ? pB ?m g(2)p A ? pB ? m g ? ?g(3) 0（3）3. 如图所示两种液体盛在同一容器中，且 ρ1&ρ2，在容器侧壁装了两根测压管，试 问图中所标明的测压管中水位对否？对第五节静止液体作用于平面壁上的总压力平面壁 CA，倾角为 α，左侧蓄水。 确定：液体作用于平面壁 CBAD 上的总压力；作用点位置。一、总压力作用方向：重合于 CBAD 的内法线方向 微元面积 dA 所受的总压力： dP＝pdA＝（p0＋γh）dA＝（p0＋γzsinα）dA 对受压面积 GBADH 进行积分： 总压力 P＝∫A（p0＋γzsinα）dA＝p0A＋γsinα ∫AzdA ＝p0A＋γsinα zcA＝p0A＋γhcA zc：面积 A 形心到 x 轴的距离。 hc：受压面积的形心在水面下的深度。 左右两侧 p0 抵消，计算 P 的实用公式： P＝γhcA 结论： 静止液体作用于任意形状平面壁上的总压力 P， 大小等于受压面面积 A 与其形心处的静水 压强之积，方向为受压面的内法线方向。二、总压力的作用点（压力中心）设压力作用点 D 到 x 轴的距离为 zD，则：z D ? zc ?Jc zc A27式中：Jc―受压面积绕其形心轴的面积二次矩； 实际工程中：受压面多为轴（与 z 轴平行）对称面，D 点必然位于此轴上。 结论：1. 当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角 α 无关； 2. 压心的位置与受压面倾角 α 无关，并且压心总是在形心之下。只有当受压面位置为水 平放置时，压心与形心才重合。问题 1：任意形状平面壁上静水压力的大小等于 C 处静水压强乘以受压面的面积。 A. 受压面的中心； C. 受压面的形心； B. 受压面的重心； D. 受压面的垂心。问题 2：垂直放置的矩形平板挡水，水深 3m，静水总压力 P 的作用点到水面的距 离 ZD 为： (2/3)h=2m 问题 3：如图所示，浸没在水中的三种形状的平面物体，面积相同。 问：1.哪个受到的静水总压力最大？ 是否相同？1、相同；2、不相同2. 压心的水深位置例 1 如图所示，一铅直矩形闸门，已知 h1=1m，h2=2m，宽 b=1.5m，求总压力及其作用点。 解：P＝γhcA hc＝h1＋0.5h2＝2 m 2 A＝bh2＝1.5?2＝3 m P＝γhcA＝＝58000 N 3 4 Jc＝1/12?bh32＝1.5?2 ÷12＝1 m zD＝2＋1/（2?3）＝2.17 m 例 2 有一铅直半圆壁直径位于液面上，求 P 值大小及其作用点。 2 2 解： zc＝4r/（3π ）＝2d/（3π ） A＝π r /2＝π d /8 （附表 6） 3 总压力 P＝γhcA＝γd /12 2 4 2 4 Jc＝（9π －64）r /（72π ）＝（9π －64）d /（1152π ）zD ? zC ?JC 2d (9? 2 - 64)d 4 1 2d (9? 2 - 64)d 3 ? ? ? ? ? ? ?d 2d ?d 2 3? z c A 3? 1152 ? 96? 32 ? 3? 8第六节静止液体作用于曲面壁上的总压力28录像：曲面坝求曲面壁 ABCD 部分所承受的总压力 P 将 P 分解为垂直分力 Pz、水平分力 Px，则： Pz＝γV V―曲面 ABCD 以上的液体体积（ABCD5678）垂直分力 Pz 作用点: 压力体 ABCD5678 的重心。 Px＝γh0Ax Ax―曲面 ABCD 在垂直面上的投影面积 1234； h0―投影面积 Ax 的形心在水面下的深度。 水平分力 Px 作用点: 投影面积 Ax 的压力中心。 总压力 P ?2 Px2 ? PZ总压力的倾斜角? ? arctgPz Px总压力的作用点：作出 Pz、Px 的作用线，得交点，过交点按 α 作作用线，与曲面的交点，即为 P 的作用点。判断： 下述结论哪一个是正确的？两图中 F 均为单位宽度上的静水总压力。 1、 Fx&F22、 Fx=F2Fx=F2压力体：某一曲面之上的液体体积。 压力体体积的组成：（1）受压曲面本身； （2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3）自由液面或自由液面的延长线。29压力体的种类：实压力体（正压力体）和虚压力体（负压力体）。 实压力体充满液体，Pz 方向向下； 虚压力体不为液体充满，Pz 方向向上。压力体的绘制方法：动画一 曲面上的静水总压力的计算 1. 计算水平分力 平分力； 2. 计算垂直分力动画二动画三动画四动画五动画六正确绘制曲面的垂直投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水正确绘制曲面的压力体。压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延长线。垂直分力的大小即为压力体的重量； 3. 总压力的合成 总压力的大小利用水平分力及垂直分力通过求合力的方法求得。第二章小结水静力学的核心问题是根据平衡条件来求解静水中的压强分布， 并根据静水压强的分布规律， 进 而确定作用在平面及曲面上的静水总压力。 水静力学研究的静止状态，指的是流体内部任何质点以及流体与容器之间均无相对运动。 本章主要学习以下内容。 1.流体静压强的两个特性： a.只能是压应力，方向垂直并指向作用面。 b.同一点静压强大小各向相等，与作用面方位无关。 2. 压强的表示方法： a.根据压强计算基准面的不同，压强可分为绝对压强、相对压强和真空值。 b.由于计量方法不同，压强可用应力、液柱高和大气压表示压强大小。 3. 等压面的概念： 质量力垂直于等压面， 只有重力作用下的静止流体的等压面为水平面应满足的条件是： 相互连通 的同一种连续介质。304. 流体平衡微分方程或dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) p=ρW＋C全微分方程 或dp=ρdW其积分为：p=p0＋ρ（W-W0）5. 流体静力学基本方程 重力作用下静压强的分布： z ? p ? 常数 ；p=p0+γh ? 6. 平面上流体静压力 P＝γhcA 压力中心z D ? zc ?Jc zc A7. 曲面上流体静压力 Pz＝γV 总压力 P ?2 Px2 ? PZPx＝γh0Ax总压力的倾斜角? ? arctgPz Px与平面上求解总压力的计算方法相同。V――压力体的体积。压力体的组成：（1）受压曲面本身； （2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3）自由液面或自由液面的延长线。第三章第一节 第二节 第三节 第四节流体动力学研究流体运动的两种方法 迹线和流线 定常流动和非定常流动 用欧拉方法研究流体运动时的一些基本概念31第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 第十一节 第十二节连续性方程 无粘性流体的运动微分方程 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分 粘性流体的运动微分方程 粘性流体微元流束伯努利方程 粘性流体总流伯努利方程 测量流速和流量的仪表 定常流动总流的动量方程及其应用第一节一、拉格朗日法研究流体运动的两种方法拉格朗日法： 以流场中每一流体质点作为描述对象的方法， 它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。――质点系法 某一质点 t=t0 起始时刻坐标（a,b,c），运动后任意时刻 t 的坐标：空间坐标x ? f1(a,b,c,t)? ? y ? f 2(a,b,c,t)? z ? f 3(a,b,c,t)? ?a、b、c 和 t，称为拉格朗日变数任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间 t 的函数 （1）（a,b,c）=const , t 为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数,t=const，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。 由于位置是时间 t 的函数，x、y、z 分别对 t 求导，可求得该质点的速度及加速度投影：?u ? ?x ? x ?t ? ?y ? 速度 u ? ? y ?t ? ?z ? ?u z ? ?t ?加速度? ?u x ?2x ax ? ? ? ?t ?t 2 ? ?u y ?2 y ? ay ? ? ? ?t ?t 2 ? ? ?u z ?2z az ? ? ? ?t ?t 2 ?32流体的压强、密度也可表示为：p=f4(a,b,c,t)， p：流体流经某点时的压强――流体动压强ρ=f5(a,b,c,t)p=(px+py+pz)/3由于流体质点的运动轨迹非常复杂， 而实用上也无须知道个别质点的运动情况， 所以除了少数情 况（如波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。二、欧拉法欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中各空间点的运动，即以流场作为描述对象研究 流动的方法。――流场法 它不直接追究质点的运动过程， 而是以充满运动液体质点的空间――流场为对象。 研究各时刻质 点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流 动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化， 把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的 运动情况。 观看录像&&：欧拉法 要点：1、分析某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律； 2、分析由某一位置转移到另一位置时，运动要素随位置变化的规律。流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数：速度投影：u x ? F1(x,y,z,t)? ? u y ? F2(x,y,z,t)? ? u z ? F3(x,y,z,t)?ax ? dux dt du y ? ? ? ? ? ? ? ? ?（x,y,z,t）――欧拉变数欧拉加速度ay ?dt duz az ? dt流体的压强、密度也可表示为：p=F4(x,y,z,t)， ρ=F5(x,y,z,t) 因欧拉法较简便，是常用的方法。复习题1. 欧拉法、拉格朗日方法各以什么作为其研究对象？对于工程来说，哪种方法是可行的？ 欧拉法以流场为研究对象，拉格朗日方法以流体质点为研究对象；在工程中，欧拉法是可行的。 2. 欧拉法研究_C_的变化情况。33(A) 每个质点的速度 (C) 每个空间点的流速(B) 每个质点的轨迹 (D) 每个空间点的质点轨迹第二节一、迹线某一质点在某一时段内的运动轨迹线。迹线和流线图中烟火的轨迹为迹线。录像：迹线一迹线二在迹线上取微元长度 dl 表示某点在 dt 时间内的微小位移， 在各坐标轴上的投影分别为 dx、 dl dy、dz，则其速度为：dx dt dy uy ? dt dz uz ? dt ux ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u?dl dt→dx dy dz ? ? ? dt ux u y uz迹线的微分方程二、流线 1、流线的定义 表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。如图为流线谱中显示的流线形状。 录像：流线 1；流线 2；流线 3 2、流线的作法34在流场中任取一点， 绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量 u1， 再画 出距 1 点很近的 2 点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量 u2?，如此继 续下去，得一折线 1234 ?，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。 流线是欧拉法分析流动的重要概念。 3、流线的性质 a.同一时刻的不同流线，不能相交。 因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相 切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。 b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。 c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。 4、流线的方程 在流线上某点取微元长度 dl（不代表位移），dl 在各坐标轴上的投影分别为 dx、dy、dz，则：dl dx dy dz ? ? ? u ux u y uz或dx dy dz ? ? ux u y uz流线的微分方程迹线与流线的比较： 概念 定 义 备 注流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬 流 线 时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场 中不同质点在同一时刻的运动情况。 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹，它 迹 线 描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。流线方程为： dl ? dx ? dy ? dz u ux u y uz 时间 t 为参变量。 迹线方程为： dx ? dy ? dz ? dtux uy uz式中时间 t 为自变量。第三节一、定常流动定常流动和非定常流动流体质点的运动要素只是坐标的函数，与时间无关。DD恒定流动35过流场中某固定点所作的流线，不随时间而改变――流线与迹线重合二、非定常流动流体质点的运动要素，既是坐标的函数，又是时间的函数。DD非恒定流动 质点的速度、压强、加速度中至少有一个随时间而变化。 迹线与流线不一定重合注意： 在定常流动情况下，流线的位置不随时间而变，且与迹线重合。 在非定常流动情况下，流线的位置随时间而变；流线与迹线不重合。 观看动画&&：定常流动与非定常流动中的流线与迹线复习题1、什么是流线、迹线？它们有何区别？ 流线是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。 2、实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？ 不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的流动，确定流体流动趋势。 3、在什么流动中，流线与迹线重合。 4、定常流动是： B A、流动随时间按一定规律变化； B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化； C、各过流断面的速度分布相同； D、各过流断面的压强相同。 5、非定常流动是 B ? ?u A、 ? 0 ?t 定常流动B、? ?u ? 0 ?tC、? ?u ? 0 ?sD、? ?u ? 0 ?s6、流场中液体质点通过空间点时，所有的运动要素不随时间变化的叫定常流动；只要有一个运动要 素随时间变化则称为非定常流动。 对 错7、定常流动时，流线的形状不随时间变化，流线不一定与迹线相重合。第四节用欧拉方法研究流体运动时的一些基本概念361、流线的特性 同一时刻的不同流线，不能相交。 流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 流线簇的疏密反映了速度的大小 2、流面 通过不处于同一流线上的线段上的各点作出流线，这些流线所组成的面。 流面两侧的质点不能穿过流面而运动。 3、流管、流束、总流 流管：在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流 线，这些流线所组成的管状空间。 管内外的流体质点不能交流。 判断：棱柱形明渠不存在流管。 答案：错 流束：流管中的流体。 微元流束：流管的横截面积为微元面积时的流束。 总流：由无限多微元流束所组成的总的流束。 4、过水（流）断面：与某一流束中各条流线相垂直的截面，称为此流束的过水断 面。 即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面，如图 1-1，2-2 断面。 5、流速 （1）点速 u：某一空间位置处的流体质点的速度。 （2）均速 v：同一过水断面上，各点流速 u 对断面 A 的算术平均值。 微元流束的过水断面上，可以中心处的流速作为各点速度的平均值。 6、流量 Q 单位时间内通过某流束过水断面的流体体积。 微元流束 总流 dQ=udA Q=∫QdQ＝∫AudA 米 /秒，升/秒3v?Q ?AudA ? A A问题：371、过水断面一定是平面。错 错2、流线是光滑的曲线，不能是折线，流线之间可以相交。 3、流线的形状与边界形状有关。 对第五节连续性方程流体充满它所占据的空间时，各物理参数间的关系式。一、直角坐标系中欧拉变数的连续性方程微元六面体，边长分别为 dx、dy、dz，中心点流速为 ux、uy、uz，密度为 ρ。 1、可压缩流体三维流动连续性方程：?? ? ( ?u x ) ? ( ?u y ) ? ( ?u z ) ? ? ? ?0 ?t ?x ?y ?z适用范围：定常流动或非定常流动；可压缩流体或不可压缩流体。 物理意义：单位时间内通过单位体积表面流入的流体质量，等于单位时间内内部质量的增量。 2、可压缩定常流动连续性方程 当为恒定流时，有?? ＝0 ： ?t? ( ?u x ) ? ( ?u y ) ? ( ?u z ) ? ? ?0 ?x ?y ?z3、不可压缩流体定常流动或非定常流动连续性方程 当为不可压缩流时，有 ρ=常数，则：?u x ?u y ?u z ? ? ?0 ?x ?y ?z不可压缩流体流动时，流速在 x、y、z 轴方向的分量沿其轴向的变化率，互相约束。 物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体质量（体积），与流出的流体质量（体 积）之差等于零。二、微元流束和总流的连续性方程1、微元流束的连续性方程 微元流束上两个过水断面 dA1、dA2，相应的速度分别为 u1、u2，密度分别为 ρ1、ρ2； dt 时间内，经 dA1 流入的质量为 dM1＝ρ1u1dA1dt，经 dA2 流出的质量为 dM2＝ρ2u2dA2dt， 对定常流动，根据质量守恒定律： 对不可压缩流体 ρ1＝ρ2 ， ρ1u1dA1dt＝ρ2u2dA2dt → ρ1u1dA1＝ρ2u2dA2u1dA1＝u2dA238得： dQ1=dQ2不可压缩流体定常流动微元流束的连续性方程意义：在同一时间内通过微元流束上任一过水断面的流量相等。 ――流束段内的流体体积（质量）保持不变。 2、总流连续性方程 将 ρ1u1dA1＝ρ2u2dA2 进行积分： 根据 v ? Q ? ?AudA ，A A∫A ρ1u1dA1＝∫A ρ2u2dA21 2得：ρ1mv1A1＝ρ2mv2A2ρ1m、ρ2m――断面 1、2 上流体的平均密度。 ρ1mQ1＝ρ2mQ2对不可压缩流体 Q1=Q2 总流连续性方程 或v 1 A2 ? v 2 A1物理意义：对于保证连续流动的不可压缩流体，过水断面面积与断面平均流速成反比，即流线密集的 地方流速大 ，而流线疏展的地方流速小。问题： 1、一变直径管段，A 断面直径是 B 断面直径的 2 倍，则 B 断面的流速是 A 断面流速的 4 倍。 对2、变直径管的直径 d1=320mm，d2=160mm，流速υ 1=1.5m/s，υ 2 为： A.3m/s； B.4m/s； C.6m/s； D.9m/s。 C.第六节无粘性流体――无内摩擦力无粘性流体的运动微分方程在无粘性运动流体中，取微元六面体 1-2-3-4，重心坐标 C（x,y,z）；C 点动压强为 p；微团运动速度为 u，在各轴投 影为 ux、uy、uz。 微团受力：重力、流体动压强，根据∑F＝ma，可推导出：391 ?p dux ? ? ρ ?x dt ? ? 1 ?p duy ? Y? ? ρ ?y dt ? 1 ?p duz ? Z? ? ρ ?z dt ? X-无粘性流体的运动微分方程（欧拉运动方程）比较：欧拉平衡微分方程? 1 ?p ? 0? ρ ?x ? ? 1 ?p Y?0? ρ ?y ? ? 1 ?p Z? 0? ρ ?z ? X-→欧拉运动方程的特例在欧拉研究方法中，ux＝F1（x,y,z,t），则 ux 的全微分：dux ??u x ?u ?u ?u dx ? x dy ? x dz ? x dt ?x ?y ?z ?tdux ?u x ?u ?u ?u ? u x ? x u y ? x uz ? x dt ?x ?y ?z ?t右侧：前三项表示质点由于位置移动而形成的速度分量的变化率――位变加速度 后一项表示质点经 dt 时间的运动后而形成的速度分量的变化率――时变加速度?u ?u ? ?u 1 ?p ?u x ? u x ? x uy ? x uz ? x ? ρ ?x ?x ?y ?z ?t ? ?u y ?u y ?u y ? 1 ?p ?u y Y? ux ? uy ? uz ? ? ρ ?y ?x ?y ?z ?t ? ?u ?u ?u ? 1 ?p ?u z Z? u x ? z u y ? z uz ? z ? ρ ?z ?x ?y ?z ?t ? X-故，欧拉运动方程可表示为第七节无粘性流体运动微分方程的伯努利积分积分条件:1)质量力是定常而有势的，即可用势函数表示：X??W ?W ， ?W ， ； Z? Y? ?z ?x ?y势函数 W＝f(x,y,z)，dW ??W ?W ?W dx ? dy ? dz ? Xdx ? Ydy ? Zdz ?x ?y ?z2）流体是不可压缩的：ρ＝常数 3）流体运动是定常的。可推得： W-p u2 ? 常数 ρ 2无粘性流体运动微分方程的伯努利积分402 意义：不可压缩流体作定常流动时，函数值 W- p - u 沿流线不变 ρ 2当质量力仅为重力时（实际工程中多见）：X=0，Y＝0，Z＝-g， ∴dW＝－gdz 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分为： - gz-p u2 - ? 常数 ρ 2即：z?p u2 ? ? 常数 γ 2g对处于同一流线上的任意 1、2 两点：z1 ?p1 u1 p u ? ? z2 ? 2 ? 2 γ 2g γ 2g22不可压缩无粘性流体伯努利方程推广到微元流束中 →不可压缩无粘性流体微元流束伯努利方程第八节粘性流体――存在内摩擦力粘性流体的运动微分方程取微元六面体，微团受力――重力、流体动压强、切向应力dux ? 2u ? 2u x ? 2u x ? 1 ?p ? X? ? ( 2x ? ? 2 )? dt ρ ?x ?x ?y 2 ?z ? 2 2 2 ? 不可压缩粘性流体的运动微分方程： du y ? Y- 1 ?p ? ? ( ? u y ? ? u y ? ? u y ) ? ? 2 2 2 dt ρ ?y ?x ?y ?z ? duz ? 2u ? 2u z ? 2u z ? 1 ?p ? Z? ? ( 2z ? ? 2 )? dt ρ ?z ?x ?y 2 ?z ? ?动粘性系数 那维尔（纳维）―斯托克斯方程，N-S 方程ν――流体运1 ?p dux ? ? ρ ?x dt ? ? 当 ν＝0 时，即为无粘性流体的运动微分方程――欧拉运动方程： Y- 1 ?p ? duy ? ? ρ ?y dt ? 1 ?p duz ? Z? ? ρ ?z dt ? X-第九节粘性流体微元流束伯努利方程41积分条件：质量力为有势函数 W 当质量力只有重力时，对定常流动，沿流线有： 体运动微分方程的积分W-p u2 - - ωR ? 常数 ρ 2粘性流ωR―阻力功意义：质量力为有势且作定常流动时，函数值 W-p u2 - - ωR 沿流线不变。 ρ 2对同一流线上两点 1、2 有：W1 -2 p1 u 1 p u2 - - ωR1 ? W2 - 2 - 2 - ωR2 ρ 2 ρ 2当质量力只有重力，且取 z 轴向为垂直向上时：W1＝-gz1；W2＝-gz2 ∴2 2 p1 u 1 p2 u 2 gz1 ? ? ? gz2 ? ? ? ωR2 - ωR1 ρ 2 ρ 2即： z 1 ?p1??2 u1 p u2 1 ? z 2 ? 2 ? 2 ? (ωR2 - ωR1 ) 2g ? 2g g令hl? ?1 (ωR2 - ωR1 ) ：单位重量粘性流体沿流线从点 1 到点 2 所接受的摩阻功（流体克服 g流动阻力所作的功）。――机械能损失2 u12 p2 u 2 ? ? z2 ? ? ? h? 则： z1 ? ? 2g ? 2g lp1粘性流体运动的伯努利方程 意义：粘性流体沿流线运动时，其有关值的总和是沿流向逐渐减少的。 各项的能量意义与几何意义： 能量意义 z p/γ 比位能―单位重量流体流经 给定点时的位能 比压能―单位重量流体流经 给定点时的压能 比动能―单位重量流体流经 给定点时的动能 能量损失―单位重量流体流 动过程中损耗的机械能 几何意义 位置水头（位头）―流体质点流经 给定点时所具有的位置高度 压强水头（压头）―流体质点流经 给定点时的压强高度 速度水头（速度头）―流体质点流 经给定点时，因具有速度 u，可向上 自由喷射而能够到达的高度 损失水头u /2g2h'l42伯努利方程的能量意义： （1）对无粘性流体z1 ?p1 u1 p u ? ? z 2 ? 2 ? 2 ，总比能 E1=E2 γ 2g γ 2g22单位重量无粘性流体沿流线（或微元流束）从位置 1 到位置 2 时：各项能量可互相转化，总和 保持不变。 （2）对粘性流体 z 1 ?p1??2 u1 p u2 ? z 2 ? 2 ? 2 ? hl? ,总比能 E1=E2+△E 2g ? 2g单位重量粘性流体沿流线（或微元流束）从位置 1 到位置 2 时：各项能量可互相转化，总机械 能也有损失。 伯努利方程的几何意义： 单位重量无粘性流体沿流线（或微元流束）从位置 1 到位置 2 时：各项水头可互相转化，总和 保持不变。 总水头 H1=H2单位重量粘性流体沿流线（或微元流束）从位置 1 到位置 2 时：各项水头不但可以互相转化， 其总和也必然沿流向降低。 总水头 伯努利方程的图解―水头线 水头线：沿程水头的变化曲线 总水头线：总水头 H 顶点的连线。 对应 z ? H1=H2+△Hp u2 的变化曲线。 ? γ 2g测压管水头线（静压水头线）：压强水头顶点的连线。对应 z ? 对无粘性流体：H＝常数，总水头线为水平线。p 的变化曲线。 γ测压管水头线为随过水断面改变而起伏的曲线。 对粘性流体：H≠常数，H1=H2+h'l，总水头线为沿流向向下倾斜的曲线。 测压管水头线为随过水断面改变而起伏的曲线。43注意：1.无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2.粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3.测压管水头线可升、可降、可水平。 4.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的速度水头。 录像：测压管水头线 总水头线流体沿水头的变化情况:――水力坡度 1、测压管水头线坡度 微元长度 dl 内，测压管水头改变值 d（ z ? p ）与微元长度 dl 的比值。用 ip 表示。γd (z ? ip ? ? dlp??)±――测压管水头可升可降。p'可用 p 代换。 2、总水头线坡度 微元长度 dl 内，总水头的下降值 dH 与微元长度 dl 的比值。用 i 表示。i?dH dhl? ? dl dl问题：水平放置的渐扩管如图所示，如忽略水头损失，断面形心点的压 强有以下关系： C D.不定。A.p1&p2； B.p1=p2 ； C.p1&p2；判断：在位置高度相同，管径相同的同一管道的同一流线上的两点，其比压能、比动能都相等。 你的回答：错44判断：运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。 你的回答：对 例 3－2 在 D＝150mm 的水管中，1、2 两点相距很近，测速毕托管 对水流没有干扰。 管中流速均速 v 为管轴处流速 u 的 0.84 倍。 问此时 水管中的流量为若干？ 解：通过管轴线设置水平基准面； 1、2 两点相距很近，可认为水流从 1 点到 2 点没有能量损失。 列出 1 点到 2 点的无粘性流体伯努利方程： z1 ?p1 u1 p u ? ? z2 ? 2 ? 2 γ 2g γ 2g22∵u2＝0，∴ z1 ?p1??u12 p ? z2 ? 2 2g ?得： u1 ? 2g ?? z 2 ? p 2 ? - ? z1 ? p1 ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 假设在过水断面 1－1 及 2－2 上压强按静压强规律分布，即p ? ?z2 ? 2 ? ? ?∴p ? ? ? ?－? z 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ??h?? M－? W ??W?hu 1 ? 2g?w(? M - ? W ) ? 2 ? 9.8 ?0.02 ? (133280 ? 9800 ) ? 2.22 （米 / 秒） 9800水流均速 v＝0.84u＝0.84?2.22＝1.87 （米/秒） 2 3 流量 Q＝vA＝1.87?3.14?0.075 ＝0.033 （米 /秒）＝33 升/秒第十节一、 急变流和缓变流粘性流体总流伯努利方程急变流：流线之间的夹角 β 很大，或流线的曲率半径 r 很小的流动。 录像： 急变流 1 急变流 2急变流的加速度较大，因而惯性力不可忽略，内摩擦力在垂直于流线的过水断面上也有分量。 伯努利方程中的过水断面不能取在这样的流段。 缓变流（渐变流）：流线之间的夹角 β 很小、流线的曲率半径 r 很大的近乎平行直线的流动。 录像： 缓变流 1 缓变流 2渐变流的过水断面可看作是平面；渐变流的加速度很小，惯性力也很小，可以忽略不计，内摩擦45力在垂直于流线的过水断面上几乎没有分量。过水断面上的压强分布符合流体静压强分布规律。 即：同一过水断面上各点： z ?p?? 常数问题 1：实际流体在等直管道中流动，在过流断面 1，2 上有 A，B，C 点，则下 面关系式成立的是： BA. zA ?pA?? zB ?pB?B. zA ? pA ? zC ? pC ? ? D. zA ? pA ? zC ? pC ? ?C. zB?pB?? zC ?pC?问题 2： 图中，过水断面上的动压强分布符合静压强分布规律的为： A A. 直管处 B. 弯管处二、总流伯努利方程不 可 压 缩 、 粘 性 流 体 定 常 流 动 时 ， 微 元 流 束 伯 努 利 方 程 ：z1 ?设p1??流2 u1 p u2 ? z2 ? 2 ? 2 ? hl? 2g ? 2g体重量为γdQ，则其能量关系为：2 2 u1 p2 u2 （z1＋ ） dQ ? γ γ dQ ? z 2 ? ） dQ ? （ γ γ dQ ? hl? γ dQ ? 2g ? 2gp1沿过水断面积分得：（z1＋ ?Qp1?） dQ ? ? γQ2 u12 p u2 γ dQ ? （z 2 ? 2 ） dQ ? ? γ dQ ? ? h? γ dQ l ?Q ? γ Q 2g Q 2g如过水断面取在缓变流中， z ?p?? 常数 ，则：p ）? ? udA ? z＋ （A?（z ＋Q 1p1?） dQ ? γu2 2g?（z ＋Q 1p1?） udA＝（z＋ γp??）?Q而?Qγ dQ 可用均速表示：46?u2 2gQγ dQ＝?1 3 1 ? v2 ? u dA ? ? ( ? v3 A) ? ?Q A 2 2 2g式中：α ――动能校正系数。一般工程计算中可取α ≈1。 以 hl 表示单位重量流体的平均能量损失，则： ∴（z1＋ p1 ）? Q＋?Qh? γ dQ＝? Q h l l? Q＋? Q h l2 2??1 v122g? Q＝（z 2＋p2?）? Q＋? 2 v222g通除以 γQ，得单位重量流体总流的能量变化规律： z1＋ p1 ＋ ?1v1 ＝z 2＋ p 2 ＋ ? 2 v 2 ＋ h l ? 2g ? 2g 不可压缩粘性流体在重力场中定常流动时的伯努利方程 总流伯努利方程应用条件： （1）定常流动； （2）不可压缩流体； （3）质量力只有重力； （4）所选取的两过水断面必须是缓变流断面，但两过水断面间可以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重量流体的平均能（比能）。v p v 注意：1） hl＝0 时， （ 当 即得不可压缩无粘性流体的总流伯努利方程： 1＋ ＋ 1 ＝z 2＋ 2 ＋ 2 z ? 2g ? 2g（ 2 ） 气 体 流 动 时 ， 重 度z1＋p122γ为 变 数 ， 伯 努 利 方 程 为 ：?1p1＋?1 v 12g2＝z 2＋?2p2＋?2 v 22g2＋ hl（3）两过水断面间有能量输入或输出时，可用±E 表示（输入为正，输出为负）。 方程可写为： z1＋p1?＋?1 v 122g? E＝z 2＋p2?＋?2 v 222g＋ hl（4）由于缓变流过水断面上 z ? p ? 常数 ，因此，列方程时，两过水断面上所取空间点 ? 位置，并不要求处在同一条流线上。 （5）压强可用绝对压强，也可用相对压强，但两侧必须一致。 伯努利方程的解题步骤：三选一列 1.选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选 自由液面（p=0）等。472.选择计算断面：计算断面应选择缓变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。 3.选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同 的压强标准。 4.列伯努利方程解题： 注意与连续性方程的联合使用。例 3-5 某工厂自高位水池引出一条供水管路 AB 如图 3-31 所示。已知：流量 Q＝0.034 米 /秒； 2 管径 D＝15 厘米；压力表读数 pB＝4.9 牛/厘米 ；高度 H＝20 米。问水流在管路 AB 中损失了若干水 头？ 解：选取水平基准面 O－O，过水断面 1－1、2－2。设单位重量的水自断面 1－1 沿管路 AB 流到 B 点，则可列出伯努利方程：z1＋ p13?＋?1v122g＝z 2＋p2?＋? 2v 2 22g＋ hl因为：z1＝H＝20 米，z2＝0， v2＝Q/A＝1.92 米/秒 取 α1＝α2＝1，v1＝0p1??0，p2??pB??49000 ? 5米 9800则：20 + 0 + 0 ＝ 0 + 5 + 1.92 /19.6 + hl 故 hl＝14.812（米）2例 1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面 1,2 及 2,3 的损失分别为 hw1,2=0.6v2/(2g)和 hw2,3=0.5v2/(2g) ，试求断面 2 的平均压强。解：取 0-0，列断面 1，2 的伯努利方程（取α 1=α 2=1）0 ＋0＋0＝2＋ p2?＋v 22 v 2 ＋0. 6 2 2g 2g（a）而 v2=v3=v（因 d2=d1=d），因此可对断面 1，3 写出伯努利方程0 ＋0＋0＝ - 3＋0＋v 32 v 2 v 2 ＋0. 6 2 ＋0. 5 2 2g 2g 2g2（b）2 2 v 可得： v 3 ＝ v 2 ?2g2g2g? 1. 43代入式（a）中得： p2 ? -4. 29 米 ，p2＝－＝－42042 （Pa）?可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。为使之不产生空化，应控制虹吸管顶高（即吸 出高），防止形成过大真空。48例 2：水深 1.5m、水平截面积为 3m?3m 的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为 2m 的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒定出流，略去水头损失，试 求点 2 的压强。 解： 根据题意和图示，水流为恒定流；水箱表面，管子出口，管中点 2 所在 断面，都是缓变流断面；符合总流伯努利方程应用条件。水流不可压缩，只受 重力作用。 基准面 O-O 取在管子出口断面 3-3 上，取 α2＝α3＝1，写断面 2-2 和 3-3 的总流伯努利方程：z 2＋ p2?＋p v v2 ＝z 3＋ 3 ＋ 3 2g ? 2g22采用相对压强，则 p3＝0，同时 v2=v3， p 所以 1 ? 2 ? 0 p2＝-9800 Pa ? 其真空值为 9800 Pa 。 上式说明点 2 压强小于大气压强，其真空度为 1m 水柱，或绝对压强相 当于 10-1=9m 水柱。复习题：1、实际流体中总水头线是沿程下降的，而测压管水头线在一定条件下会沿程上升。 对2、伯努利方程中，压强标准可任意选取，可采用相对压强也可采用绝对压强。对同一问题亦可采用 不同标准。 错 错3、静水压强可以用测压管来测量，而动水压强则不能用测压管来测量。 4、渐变流任意两个过水断面的 z+p/γ=常数。 5、伯努利方程的应用条件是： B、C、D 错A 液体无粘滞性； B 定常流动； C 不可压缩流体； D 质量力只有重力； 6、在_D___流动中，伯努利方程不成立。 (A)定常 (B) 理想流体 (C) 不可压缩 (D) 可压缩 7、速度水头的表达式为__D__ 。 (A) 2gh (B) ρ v 222 (C) v 22 (D) v 2g8、在总流的伯努利方程中的速度 v 是__B__速度。 (A) 某点 (B) 截面平均 (C) 截面形心处 (D) 截面上最大9、应用总流的伯努利方程时，两截面之间__D__ 。 (A) 必须都是急变流 (B) 必须都是缓变流(C) 不能出现急变流 (D) 可以出现急变流49第十一节一、毕托管测量运动流体中某点流速的仪器测量流速和流量的仪表当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流（如图 a）时，在物体表面上受水流顶 冲的 A 点流速等于零，称为停滞点（或驻点）。在停滞点处水流的动能全部转化为压能。毕托管（图 b）就是利用这个原理制成的一种量测流速的仪器。图a图b毕托管的构造简图 1-静压力导压管 录像：毕托管 测点流速： u ? 2-总压力导压管2g ?h(图 b)考虑流体粘性及毕托管加工精度的影响，加以修正： u ? ? 2g?h 式中：φ―流速系数 管中为水银时：u ? 2g?h?W(? M ? ? W )想一想:毕托管通常用来测量总水头，而测压管所测量的是测压管水头，两者之差为速度水头 例 3-3 在直径为 D＝200 毫米的通风管路轴线上装一支毕托管， 其静压管 和动压管分别连通于一个酒精微压计的两端， 如图所示。 已知空气重度 γa 3 3 ＝11.59 牛/米 ， 酒精重度 γalc＝7.84 牛/米 ， 斜管的倾斜角度α ＝15°，50L＝75 毫米，管中气流均速 v 为轴心流速 umax 的 0.84 倍，求每秒钟内此风管的风量为若干？ 解：基准面：取管轴线 O-O 轴线上点 1、2 列出无粘性流体伯努利方程（相距很近，忽略损失）2 u12 p2 u 2 z1 ? ? ? z2 ? ? ? a 2g ? a 2gp1z1=z2=0, u2=0 故p2 ? p1?a?2 u12 u max ? 2g 2g1 点与 C 点相距很近，取 p1＝pC， 空气重度不大，由于位置不同而形成的压强差很小，可忽略 故 p2-p1＝pA-pB＝γalcLsinα2 u max ? alc ? L sin ? ∴ 2g ?au max ? 2 g? alc L sin ? ?a＝16.04 米/秒v=0.84umax=13.48 米/秒 Q=vA =13.48?3.14?0.22/4=0.423 米 3/秒二、汾