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对数函数习题课
对数函数习题课1．下面结论中，不正确的是（ ） ． A．若 a＞1，则 y ? a x 与 y ? loga x 在定义域内均为增函数 B．函数 y ? 3 x 与 y ? log3 x 图象关于直线 y ? x 对称 C． y ? loga x 2 与 y ? 2 loga x 表示同一函数 D．若 0 ? a ? 1,0 ? m ? n ? 1 ，则一定有 loga m ? loga n ? 0 2．设集合 A ? {x | x 2 ? 1 ? 0}, B ? {x | log2 x ? 0 |}, 则A ? B 等于 A． {x | x ? 1} C． {x | x ? ?1} B． {x | x ? 0} D． {x | x ? ?1或x ? 1} （ ）3．函数 y= log 1 ( 2 x ? 1) 的定义域为2（ C．(）A．(1 ，＋∞) 2B． ［1，＋∞ )1 ，1 ] 2D．(－∞，1) （ ）4．下列命题中是真命题的个数是x （1）对数函数 y ? loga x (a ? 0 且 a ? 1) 与指数函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 互为反函数；（2）指数函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对称的图象，就是相应的对数 函数的图象； （3） a ? 1 时的指数函数是增函数， a ? 1 的对数函数必然是增函数； （4） a ? 1 时的指数函数的图象都在直线 y ? x 的上方， a ? 1 时的对数函数的图象必然在 直线 y ? x 的下方。 5．下列命题中是假命题的是 A．底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称； B．底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称； C．对数函数的图象都过点（1，0） ，即 loga 1 ? 0 ； D．若(A)正确，则说明指数函数的图象关于 y 轴对称。 6．下列结论中错误的是x（）()A． 若点 (2,3) 在指数函数 y ? a 的图象上， 则点 (3,2) 必在对数函数 y ? loga x 的图象上；- 97 -B．若点 (m, n) 在 y ? a x 的图象上，也在 y ? loga x 的图象上，则一定有 m ? n ； C．对数函数 y ? loga x 的图象与直线 y ? x 无交点； D．指数函数的图象必过点 (0,1) ，就是说对数函数的图象必过点 (1,0) 7．下列各对函数，不是互为反函数的是 A． y ? 10x 与 y ? lg x B． y ? e x 与 y ? ln x C． y ? （ ）e x ? e?x , ( x ? 0) 与 y ? ln(x ? x 2 ? 1), ( x ? 1) 2D． y ?e x ? e?x 与 y ? ln(x ? x 2 ? 1) 2（ B． x ? 1 ，则 y ? 0 D． x ? e ，则 y ? 1 （ ） ）8．设 y ? ln x ，则下列答案中错误的是 A． x ? 1 ，则 y ? 0 C． 0 ? x ? e ，则 0 ? y ? 19． y ? log( a 2 ?1) x 是减函数，实数 a 的取值范围是 A． 0 ? a ? 1 C． a ? B． a ? 1 D． ? 2 ? a ? ?1或 1 ? a ?2 或a ? ? 22210．函数 y ? lg( x ? 3x ? 2) 的定义域为 F， g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 2) 的定义域为 G，那 么 A．F∩G= ? 11．设 log a B．F=G C．F ? G D．G ? F （ D． a ? ） （ ）2 ? 1 ，则实数 a 的取值范围是 3 2 2 2 A． 0 ? a ? B． ? a ? 1 C． 0 ? a ? 或 a ? 1 3 3 322 3）12． 关于 x 的方程 lg a ? x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不等的实根， 那么 a 的取值范围是 （ A． a ? 10 13． 设 fo g l ( A．128- 98 2B． 0 ? a ? 1 或 1 ? a ? 10 则f （3） 的值是 x) ? 2 x ( x ? 0) ， B．256 C．512C． 1 ? a ? 10D．以上都不对 （ ）D．814．已知 f(e )=x，则 f(5)等于 A．e5x（ C．ln5 D．log5e）B．5e15．若 logm 3 ? logn 3 ? 0 ，则 m,n 的关系是 A． m ? n ? 1 B． n ? m ? 1 C． 0 ? m ? n ? 1（ D． 0 ? n ? m ? 1 （ y x x）16．若函数 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1), 且f ?1 (2) ? 1, 则f ( x) 的图像是 y x y x y）OOOOA 的值域是（ A．y＞0 ） ．BCDB．y∈RC．y＞0 且 y≠1D．y≤2 （ ）17． 设 f ( x) ? lg x ， 则其递减区间是 A． (0,1] B． (1,??) C． (0,??)D．不存在 ） ．18．a、b、c 是图 13 中三个对数函数的底数，它们的大小关系是（ A．c＞a＞b 二、填空题 1．已知下列不等式，比较正数 m、n 的大小 (1) B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞clog3 m ? log3 n___________(2) log0.3 m ? log0.3 n _______________ (3) loga m ? loga n, (0 ? a ? 1) ________ （4） loga m ? loga n, (a ? 1) __________ 2．比较大小 （1） loga ? ________ loga e, (a ? 1) （2） log2 1 _________ log2 (a ? a ? 1) 223．求下列函数的反函数。 （1）y ? 4 ( x ? R) ___________________x（2）y ? 0.25 ( x ? R) _______________x- 99 -(3) y ? ( ) ( x ? R ) ________________x1 3（4） y ? ( 2 ) x ( x ? R) ______________4．函数 y ? log( x?1) (3 ? x) 的定义域是________． 5．函数 y=log4(x－1) (x＜1＝的反函数为___2___．6．函数 y ? ? log1 ( x 2 ? 5x ? 6) 的递减区间是________．27．函数 y =(log 1 x) －log 1 x ＋5 在 2≤x≤4 时的值域为_____4 4228． y ? (lg a) x 2 ? 2 x ? 4 lg a 的最大值为 3，则 a=________． 三、解答题 1．求下列函数的定义域 （1） y ? 3 log2 x （2） y ?log0.5 (4 x ? 3)（3） y ?1 log x ( x ? 3)2．求下列函数的单调区间 （1） y ? lg( x ? 4 x ? 4) 的递增区间2（2） y ? log 1 ( x ? 8 x ? 7) 的递减区间223．作出下列函数图象． （1） y ? log2 ( x ? 2) ． （2） y ? log2 x ．- 100 -4．已知 f ( x) ? lg1? x a?b ) ，a、b ? (?1,1) ,求证： f (a ) ? f (b) ? f ( 1? x 1 ? ab5．将函数 y ? 2 x 的图象 C 向左平移一个单位得到图象 C1 ，再将 C1 向上平移一个单位得到 图象 C 2 ，做出 C 2 关于直线 y ? x 对称的图象 C3 ，在下面两个直角坐标系中分别画出 C 与C1 ， C 2 与 C3 的图象。6．若 10 ? x ? 100 ，化简 3 ? 2 lg x ? lg x ? lg x ? 42 4选做题 1．若 y ? ? log2 ( x ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数，则 a 的取值范围是（2）A． [2 ? 2 3, 2]B． ? 2 ? 2 3, 2??C． 2 ? 2 3, 2 ???D． 2 ? 2 3, 2??2 ．函数 y ? log2 ax ? 1 , (a ? 0) 的对称轴方程是 x ? ?2 ，那么 a ? ----------------（ A． ）1 2B． ?1 2C．2D． ? 23．若函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1 ， (a ? 0 ，且 a ? 1) 的反函数的图象必过定点 P，求 P 点的 坐标。- 101 -4．解不等式 loga (5x ? 1) ? loga ( x ? 1), (a ? 0 且 a ? 1)5．求下列函数的值域 （1） y ? log2 ( x 2 ? 1) （2） y ? log3 (2 ? x 2 ) （3） y ? log 123 ? 2x ? x 26． y ? lg( x 2 ? ax ? 1) 的定义域是 R，实数 a 的取值范围是__________________ 若值域是 R，实数 a 的取值范围是____ _____ _________7．已知关于 x 的方程 x ? 2x ? lg(2a ? a) ? 0 的两根异号，求实数 a 的取值范围2 28．已知 x1 , x 2 是方程 lg x ? (lg3 ? lg 2) lg x ? lg 3 ? lg 2 ? 0 的两根，求这两根之积。2- 102 -
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《对数函数单调性的习题课》教学设计.doc 4页
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《对数函数单调性的习题课》教学设计
教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。
教学重点：对数函数单调性的应用
教学难点：底数对对数函数的影响
（Ⅰ）设置情景
师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？
生1：当时，对数函数在内是增函数；
当时，对数函数在内是减函数
师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。
（Ⅱ）探求与研究
问题1：（幻灯片1）
师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。
生2：首先观察三个式子，可以判断出，然后再判断的大小。可以写成，此时同底，然后比较的大小，因为，所以，因此，答案应为B。
全体同学异口同声说：好！
师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。我们来看第二题
问题2：（幻灯片2）
生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令，则在内是减函数，现在我们来求函数的单调区间，易得在是增函数，在是减函数，所以，函数在是减函数，在是增函数。
师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提醒大家一句在求函数的单调区间时，若题中没给定义域，要先求定义域。这道题也是对数函数单调性的一个简单应用。我们来看第三题。
问题3：（幻灯片3）
师：也给大家一分钟的讨论时间。
生4：我们可以把这个函数看作一个复合函数，令，则函数在
是减函数，若要使函数在上是减函数，需满足，解之得。
师：他说的完全正确……，还没等我把话说完，一位同学站起来说：我还有一种解法，同学们都在注视着他。这位学生边板演边讲解
生5：我是从图像的角度考虑的。根据题意，我们可以画出函数的草图，根据图像的对称性，可以画出函数关于轴对称的函数的图像，知函数在是增函数，所以，即。
大家都为他的解法鼓起了掌
师：利用图像的对称性，运用的是数形结合的思想。妙！
我们回头看一下这三道题（比较两个数的大小，求复合函数的单调区间以及求参量的取值范围），最后都化归为对数函数的单调性问题来解决。
那么如何判断和证明以对数函数为载体的函数的单调性问题呢？先看第一道题。
问题4：（幻灯片4）
师：大家做完之后可以交流一下看法。
大约三分钟之后，一位同学站了起来，我示意他到前面来板演，边做边讲。
生6：因为在上是减函数，在上也是减函数，所以函数在上是减函数。证明过程是这样的：根据函数单调性的定义，作差比较-与零的关系，转化成比较与1的关系，利用不等式的基本性质可以得出，即也就是，因此函数在上是减函数。
另一位同学霍地站起来，我还有一种证明方法。
师：好！快说！我们都在期待你的方法。
生7：因为在是增函数，所以我们可以比较真数的大小，即比较与的大小，利用不等式的基本性质可知，因此，即，所以函数在上是减函数。
哗……一阵热烈的掌声。这时又有一位同学站起来了，大家都很惊诧。
生8：能否利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明这道题。
师：具体一点.
生9：首先求这个函数的反函数，再证明反函数的单调性。
大家议论开了：这种方法比较麻烦，而且容易出错。
师：大家能否评价一下这三种做法。
生10：第一种是根据对数函数单调性的定义来证明的，第二种也是从函数单调性的定义出发，直接比较与中真数的大小。第三种则是利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明的。相对来说，第二种方法比较好一些。
师：他说的非常好！第一种方法大家都容易想到的就是利用定义，第二种方法也是利用定义，只不过比较对象变了；第三种方法是利用互反的两个函数的关系来做的，想法很好。但运算量较大，而且容易出错。三种方法各有特点，可根据自己的情况适当选择。一般情况下，证明函数的单调性就是要利用函数单调性的定义。我们再来看第二题。
（Ⅲ）演练与反馈
问题5：（幻灯片5）
师：这是一道判断含参的函数的单调性问题，大家可以互相交流看法。然后告诉我你们的解题思路。
生11：根据对数式真数大于零，可得。证明单调性的方法同第4题，只不过需要对参数进行分类讨论。
师：大家同意他的看法吗？
学生齐声：同意。
师：我们再回头看一下判断和证明函数单调性的两道题，在证明函数单调性的时候，要事先在定义域中规定与的大小，无论我们用何种手段，只要能比较出与的大小，单调性就可判断。
总结：这5道题都是研究有关对数函数单调性的问题，我们处理的办法是从函数单调性的定义出发，这里对数函数只不过作为一个载体，最后都可归结为：以下三个结论，知其二，必知其一。
③是增（减）函数
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还是第一题，第一题就不会做
这不是咱们张教师出的吗？一贯的作风，
把36x除过去
首先常数乘不进去，只能把36x除过来，即：
然后整理，即
老师说这张试卷出的都是学过的知识，我们还没有教对数
这提莫我用初一的知识就能做。先用质数法：把16,81,36全都转换成2和3的次方再换元：令：P=（2的2x次方）的平方再令：Q=（3的2x次方）的平方即可把原式转换为：3p^2-7pq+2q^2=0是不是很熟悉了？将q看作一个常数，带入求根公式，得出q=ζ·p将该式和上述二式联立，得出x的值。小学提莫
所以用不着对数，对数也未必解得出来
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然后我发现了使用对数函数，不可避免，这个数不好找的
我说一下可能我水平比不上初中学生，但是要尊重，不要让我觉得你话里有刀子。
楼上错误啊，36的算术平方根
严重超纲题目，本题属于超越方程试题，多年前我去问老师没有一个老师回答我，可以说100年不会考一次
你需要计算器
无需计算器
那不是小数点？？
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