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2018届高三数学（文）教师用书：第3章 三角函数、解三角形（含答案）
2018届高三数学（文）教师用书：第3章 三角函数、解三角形（含答案）
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第三章三角函数、解三角形
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，kZ}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad．
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3．任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 一 ＋ ＋ ＋
二 ＋ － －
三 － － ＋
四 － ＋ －
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
[小题体验]
1．若θ满足sin θ0，则θ的终边所在的象限为(　　)
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝(　　)
3．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．
1．注意易混概念的区别象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α ＝，tan α＝．
[小题纠偏]
1．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝(x≠0)，则sin α＝(　　)
2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案四　一
[题组练透]
1．给出下列四个命题
－是第二象限角；是第三象限角；－400°是第四象限角；－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
解析选C　－是第三象限角，故错误；＝π＋，从而是第三象限角，故正确；－400°＝－360°－40°，从而正确；－315°＝－360°＋45°，从而正确．
2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是(　　)
D．sincos<0
解析选C　＋2kπ<α<π＋2kπ，kZ，
＋kπ<0一定成立，故选C．
3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析所有与45°有相同终边的角可表示为
β＝45°＋k×360°(kZ)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．
答案－675°或－315°
4．已知角β的终边在直线x－y＝0上，则角β的集合S＝____________________．
如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，
在0°～360°范围内，
终边落在射线OA上的角是60°，
终边落在射线OB上的角是240°，
所以以射线OA，OB为终边的角的集合为
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，kZ}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，kZ}，
所以角β的集合S＝S1S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，kZ}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，kZ}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，kZ}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，kZ}
＝{β|β＝60°＋k·180°，kZ}．
答案{β|β＝60°＋k·180°，kZ}
[谨记通法]
1．终边在某直线上角的求法4步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
2．确定kα，(kN*)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．
[题组练透]
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　)
A．40π cm2　　　　　 B．80π cm2
解析选B　72°＝，
S扇形＝|α|r2＝××202＝80π(cm2)．
2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1　　 B．4　　　C．1或4　　　D．2或4
解析选C　设此扇形的半径为r，弧长为l，
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1．
3．扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2．
解析由弧长公式l＝|α|r，得
r＝＝，S扇形＝lr＝×20×＝．
[谨记通法]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．
[锁定考向]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．
常见的命题角度有
(1)三角函数定义的应用；
(2)三角函数值的符号判定；
(3)三角函数线的应用．　　　 　
[题点全练]
角度一三角函数定义的应用
1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________．
解析角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，
cos α＝＝－，即x＝或x＝－(舍去)，
sin α＝－，tan α＝＝，
则＋＝－＋＝－．
角度二三角函数值的符号判定
2．若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析选C　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，
则α为第二或第三象限角．
－<sin x0时，cos θ＝；当t<0时，cos θ＝－．
因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－．
?一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析选B　因为点P在第三象限，所以所以α的终边在第二象限，故选B．
2．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则sin α的值为(　　)
A．　　　 B．－　　　　C．　　　　D．－
解析选B　设点P与原点间的距离为r，
P(－4a,3a)，a<0，
r＝＝|5a|＝－5a．
sin α＝＝－．
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　　)
解析选C　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，
所以α＝．
4．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
解析依题意知OA＝OB＝2，AOx＝30°，BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，)．
答案(－1，)
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．
解析因为sin θ＝＝－，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8．
?二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　　)
解析选C　将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－．
2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)
解析选D　因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，
即x＜0．又cos α＝x＝．
解得x＝－3，所以tan α＝＝－．
3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于(　　)
B．－sin 2
D．－cos 2
解析选D　因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2．
4．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析选B　由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，＝－cos ，cos cos x成立的x的取值范围为____________________．
解析如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x．
10．已知扇形AOB的周长为8．
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．
解设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
α＝＝或α＝＝6．
(2)法一2r＋l＝8，
S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4．
圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．
法二2r＋l＝8，
S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4．
弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．
?三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是(　　)
A．sin α＋cos α＜0
B．tan α－sin α＜0
C．cos α－tan α＜0
D．tan αsin α＜0
解析选B　α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A、C、D．
2．已知角α＝2kπ－(kZ)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)
A．1　　　 B．－1　　　　C．3　　　　D．－3
解析选B　由α＝2kπ－(kZ)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．
所以y＝－1＋1－1＝－1．
3．已知sin α＜0，tan α＞0．
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为．
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，kZ，
得kπ＋＜＜kπ＋，kZ，
故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tan sin cos取正号；
当在第四象限时， tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此，tansin cos 取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系
tan α＝．
2．诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
α(kZ) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α
余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α
组序 一 二 三 四 五 六
正切 tan α tan α －tan α －tan_α
口诀 函数名不变
符号看象限 函数名改变
符号看象限
规律 奇变偶不变，符号看象限
[小题体验]
1．已知sin＝，α，则sin(π＋α)＝______．
2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值为________．
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝________．
2．(1)sin＝________，
(2)tan＝________．
答案(1)　(2)
[题组练透]
1．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
解析选C　原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°
＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0．
2．已知A＝＋(kZ)，则A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2}　　　 B．{－1,1}
C．{2，－2}
D．{1，－1,0,2，－2}
解析选C　当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2．
3．已知tan＝，则tan＝________．
解析tan＝tan
＝－tan＝－．
4．(易错题)设f(α)＝，则f＝________．
解析f(α)＝
f＝＝＝＝．
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．
[典例引领]
1．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为(　　)
A．－　　　　　　　 B．－
解析选D　依题意得＝5，
tan α＝2．
sin2α－sin αcos α
2．若α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
解析由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，cos2α＝，易知cos α<0，
cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－．
[由题悟法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)22sin θcos θ 表达式中需要利用“1”转化
转换 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
[即时应用]
1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
解析选D　法一因为α为第四象限的角，故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－．
法二因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－．故选D．
2．已知sin θ＋cos θ＝，θ，则sin θ－cos θ的值为(　　)
解析选B　因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝．
又因为θ，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝－．
?一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若α，sin α＝－，则cos(－α)＝(　　)
A．－　　　　　　　　　B．
解析选B　因为α，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝．
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)
解析选D　sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
－sin θ＝－cos θ，tan θ＝．|θ|＜，θ＝．
3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　)
解析选A　由题意可得tan α＝2，
所以cos＝sin 2α＝＝＝．故选A．
4．已知α，sin α＝，则tan α＝________．
解析α∈，cos α＝－＝－，
tan α＝＝－．
5．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
解析sin(π＋A)＝，－sin A＝．
cos＝－sin A＝．
?二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知tan(α－π)＝，且α，则sin＝(　　)
解析选B　因为tan(α－π)＝，所以tan α＝．
又因为α，所以α为第三象限的角，
sin＝cos α＝－．
2．已知sin＝，则cos＝(　　)
解析选D　cos＝sin
＝sin＝－sin＝－．
3．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 016)＝5，则f(2 017)的值是(　　)
解析选B　f(2 016)＝5，
asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＋4＝5，
即asin α＋bcos β＝1．
f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝－1＋4＝3．
4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)
解析选B　sin＝，cos＝，
在第一象限，且cos 0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结．
[小题纠偏]
1．函数y＝4sin(－x)，x[－π，π]的单调性是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析由已知x，得2x－，
所以sin，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－．
[题组练透]
1．(易错题)函数y＝的定义域为__________________．
解析要使函数有意义，
故函数的定义域为．
2．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为______________．
－3≤x<－或0<x0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称　　 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于点对称
解析选B　f(x)＝sin的最小正周期为π，
＝π，ω＝2，
f(x)＝sin．当x＝时，2x＋＝，
A、C错误；当x＝时，2x＋＝，
B正确，D错误．
3．若函数f(x)＝sin－ cos|θ|<的图象关于原点对称，则角θ＝(　　)
解析选D　f(x)＝2sin，且f(x)的图象关于原点对称，f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，θ－＝kπ(kZ)，即θ＝＋kπ(kZ)．又|θ|0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
解析f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，ω＝．
[通法在握]
1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0．
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[演练冲关]
1．最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析选B　由函数的最小正周期为π，排除C；由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B，因为sin＝sin ＝1，所以选B．
2．函数y＝cos的单调减区间为____________．
解析由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(kZ)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(kZ)．
所以函数的单调减区间为(kZ)．
3．函数y＝|tan x|在上的单调减区间为_______．
解析如图，观察图象可知，y＝|tan x|在上的单调减区间为和．
?一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为(　　)
A．y＝sin xcos x　　　　 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x
D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析选A　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，选A．
2．(2016·合肥质检)函数y＝sin在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为(　　)
解析选D　由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(kZ)，ω>0，当k＝0时，ωmin＝，故选D．
3．下列各点中，能作为函数y＝tan的一个对称中心的点是(　　)
C．(π，0)
解析选D　由x＋＝(kZ)，得x＝－(kZ)，当k＝1时，x＝，所以函数y＝tan的一个对称中心的点是，故选D．
4．(2017·湖南六校联考)函数y＝3sin x＋cos xx的单调递增区间是________．
解析化简可得y＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(kZ)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(kZ)，又x，函数的单调递增区间是．
5．函数y＝3－2cos的最大值为______，此时x＝______．
解析函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(kZ)．
答案5　＋2kπ(kZ)
?二保高考，全练题型做到高考达标
1．y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)
B．[0，π]
解析选D　将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D．
2．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ0)对任意x都有f＝f，则f的值为(　　)
解析选B　因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，所以该函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B．
4．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　)
解析选A　由题意得3cos＝3cos＋φ＋2π＝3cos＝0，
＋φ＝kπ＋，kZ，φ＝kπ－，kZ，取k＝0，
得|φ|的最小值为．
5．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
解析选A　由<x<π得ω＋<ωx＋0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0，则x0＝________．
解析由题意得＝，T＝π，ω＝2．又2x0＋＝kπ(kZ)，x0＝－(kZ)，而x0，所以x0＝．
9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x时，求函数f(x)的最大值，最小值．
解(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，kZ，
得kπ－≤x≤kπ＋，kZ．
故f(x)的单调递增区间为，kZ．
(2)x∈，≤2x＋≤，
－1≤sin≤，－≤f(x)≤1，
当x时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－．
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π．
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，ω＝2．
f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ，kZ，
cos φ＝0，0<φ<，φ＝．
(2)f(x)的图象过点时，sin＝，
又0<φ<，<＋φ<π．
＋φ＝，φ＝．
f(x)＝sin．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，kZ，
得kπ－≤x≤kπ＋，kZ．
f(x)的单调递增区间为，kZ．
?三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·衡水中学检测)已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
解析选B　x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，sin＝1，2×＋φ＝2kπ＋，kZ，解得φ＝2kπ－，kZ，
不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin，
令2kπ＋<2x－<2kπ＋，kZ，
可得kπ＋<x0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
[小题体验]
1．(2016·浙江高考)函数y＝sin x2的图象是(　　)
2．函数y＝sin的振幅为__________，周期为________，初相为________．
答案　4π　－
3．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______．
答案　　　　
1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
3．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
[小题纠偏]
1．把y＝sin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图象，则ω的值为________．
2．要得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin的图象向右平移______个单位长度．
[典例引领]
某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数解析式为f(x)＝5sin．
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin．
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，kZ，
令2x＋2θ－＝kπ，kZ，解得x＝＋－θ，kZ．
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，
解得θ＝－，kZ．
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值．
(3)由数据作出的图象如图所示
[由题悟法]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[提醒]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
[即时应用]
1．(2016·全国乙卷)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin　　　 B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析选D　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D．
2．(2016·西安质检)将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是(　　)
解析选D　将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象，由x＋＝＋kπ，kZ，得x＝＋2kπ，kZ，当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝，故选D．
[典例引领]
1．(2016·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　)
A．y＝4sin　　　 B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2
D．y＝2sin＋2
解析选D　由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2．由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4．由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，kZ，从而φ＝kπ－，kZ，故满足题意的是y＝2sin＋2．
[由题悟法]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求A，b确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ常用的方法有
代入法把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下
第一点 图象上升时与x轴的交点 ωx＋φ＝0
第二点 图象的“峰点”　　　　　 ωx＋φ＝
第三点 图象下降时与x轴的交点 ωx＋φ＝π
第四点 图象的“谷点”　　　　　 ωx＋φ＝
ωx＋φ＝2π
[即时应用]
1．(2017·福州模拟)已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将f(x)的图象(　　)
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
解析选A　EFG是边长为2的正三角形，三角形的高为，即A＝．
由题意可知函数的周期T＝4，即T＝＝4，解得ω＝＝，则f(x)＝sin，g(x)＝sinx，
由于f(x)＝sin＝sin，故为了得到g(x)＝sinx的图象，只需将f(x)的图象向左平移个长度单位．故选A．
2．函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间是(　　)
解析选C　由题图知，周期T＝＝π．
f(x)取得最小值－2时，x＝kπ＋＋＝kπ－，kZ，f(x)取得最大值2时，x＝kπ＋－＝kπ－，kZ，f(x)的单调减区间为，kZ，故选C．
[典例引领]
已知函数f(x)＝2sin2＋cos 2x．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解(1)由f(x)＝2sin2＋cos 2x
＝1－cos＋cos 2x
＝1＋sin 2x＋cos 2x
＝1＋2sin，
则由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，kZ，
得kπ－≤x≤kπ＋，kZ．
所以函数的单调递增区间为，kZ．
(2)由f(x)－m＝2，得f(x)＝m＋2，
当x时，2x＋，
f(0)＝1＋2sin＝1＋，函数f(x)的最大值为1＋2＝3，
要使方程f(x)－m＝2在x上有两个不同的解，则f(x)＝m＋2在x上有两个不同的解，即函数f(x)和y＝m＋2在x上有两个不同的交点，即1＋≤m＋2＜3，
即－1≤m＜1．
所以实数m的取值范围为[－1,1)．
[由题悟法]
1．三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
2．三角函数的零点、不等式问题的求解思路
(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)；
(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；
(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．
[即时应用]
已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x, cos x)，函数f(x)＝a·b＋．
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
解(1)因为f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x
所以f(x)的最小正周期为π，令sin＝0，
得2x－＝kπ，kZ，x＝＋，kZ，
故所求对称中心的坐标为，kZ．
(2)0≤x≤，－≤2x－≤，
－≤sin≤1，
故f(x)的值域为．
[典例引领]
某实验室一天的温度(单位℃)随时间t(单位h)的变化近似满足函数关系f(t)＝10－cost－sint，t[0,24)．则实验室这一天的最大温差为________℃．
解析因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t＜24，所以≤t＋＜，
所以－1≤sin≤1．
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1．
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8．
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．
[由题悟法]
三角函数模型在实际应用中体现的2个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
[即时应用]
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位m)的最大值为(　　)
A．5　　　　　　　　 B．6
解析选C　由题图可知－3＋k＝2，即k＝5，y＝3sin＋5，ymax＝3＋5＝8．
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
解析选A　由图象知A＝10，＝－＝，
ω＝＝100π．
I＝10sin(100πt＋φ)．
又为五点中的第二个点，
100π×＋φ＝．
I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安．
?一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，－　　　　　　 B．2，，－
C．2，，－
D．2，，－
2．函数f(x)＝sin，xR的最小正周期为(　　)
解析选D　最小正周期为T＝＝4π．
3．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
解析选A　令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D．由f＝0，f＝0，排除C，故选A．
4．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析选D　y＝sin＝sin，
将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动个单位长度，可得y＝sin的图象．
5．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－　　　　　　　　B．
解析选D　由题意可知该函数的周期为，
＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x．
f＝tan ＝．
?二保高考，全练题型做到高考达标
1．为了得到y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点(　　)
A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
解析选B　将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍，将y＝3sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B．
2．(2017·贵州省适应性考试)将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ＝(　　)
解析选A　将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin＝sin，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋＝kπ＋，kZ，即φ＝＋，kZ，又0＜φ≤，所以φ＝．
3．(2015·湖南高考)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)
解析选D　由已知得g(x)＝sin (2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0<φ0，ω>0，xR)在区间上的图象，为了得到y＝sin x(xR)的图象，只要将函数f(x)的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
解析选D　由题图可知A＝1，T＝－＝π，ω＝＝2．
题图过点，且在函数的单调递减区间上，
sin＝0，π＋φ＝π＋2kπ，kZ，
φ＝＋2kπ，kZ，
f(x)＝sin＝sin．
故将函数f(x)＝sin＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin x的图象，故选D．
6．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f＝________．
解析由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4．所以f＝sin＝0．
7．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x，则f(x)的值域是________．
解析f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，
x∈，－≤2x－≤，
－≤f(x)≤3．
8．已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为________．
解析由角φ的终边经过点P(－4,3)，可得cos φ＝－，sin φ＝．
根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，
可得周期为＝2×，解得ω＝2，
f(x)＝sin(2x＋φ)，
f＝sin＝cos φ＝－．
9．(2017·郴州模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解(1)f(x)＝sin，
因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，
故f(x)＝sin．
y＝f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．
再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数f(x)＝sin(xR)的图象．
10．函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0<φ<，故φ＝．
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1<x0<2，
故<πx0＋0)个单位长度得到点P′．若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
解析选A　因为点P在函数y＝sin的图象上，
所以t＝sin＝sin ＝．
将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′．
因为P′在函数y＝sin 2x的图象上，
所以sin ＝，即cos 2s＝，
所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋(kZ)，
即s＝kπ＋或s＝kπ＋(kZ)，
所以s的最小值为．
2．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律
每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件，可知这个函数的周期是12；
由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；
由可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500．
根据上述分析可得，＝12，故ω＝，
根据分析可知，当x＝2时f(x)最小，
当x＝8时f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1．
又因为0<|φ|0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，f＝－f，x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π．
9．(2014·北京高考)函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值．
解(1)f(x)的最小正周期为＝＝π，x0＝，y0＝3．
(2)因为x，所以2x＋．
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3．
10．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解(1)f(x)的定义域为．
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x
所以f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，kZ．
设A＝，B＝x，易知A∩B＝．
所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
11．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x．
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．当x时，求g(x)的值域．
解(1)f(x)＝sin 2x－cos2x
＝sin 2x－(1＋cos 2x)
＝sin 2x－cos 2x－
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－．
(2)由条件可知g(x)＝sin－．
当x时，有x－，
从而y＝sin的值域为，
那么g(x)＝sin－的值域为．
故g(x)在区间上的值域是．
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝．
3．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin．
[小题体验]
1．已知sin＝，－<α<0，则cos的值是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．－　　　　D．1
2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为________．
3．(教材习题改编)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________．
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．
[小题纠偏]
1．已知sin 2α＝，则cos2＝________．
2．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________．
解析由已知可得＝，即tan(α＋β)＝．
又α＋β(0，π)，所以α＋β＝．
[题组练透]
1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　)
A．　　　　　　　　 B．－
解析选A　cos α＝－，α是第三象限的角，
sin α＝－＝－＝－，
cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝．
2．(2017·河南八市重点高中质检)已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是(　　)
解析选D　因为f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故选D．
3．已知α，sin α＝，则cos的值为______．
解析因为α，sin α＝，
所以cos α＝－＝－．
sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos＝coscos 2α＋sin sin 2α
[谨记通法]
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．如“题组练透”第3题易忽视α范围．
[典例引领]
1．(2017·河北名师俱乐部模拟)已知θ，且sin θ－cos θ＝－，则＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
解析选D　由sin θ－cos θ＝－得sin＝，θ∈，0<－θ<，cos＝．
＝＝＝＝2cos＝．
2．计算的值为(　　)
解析选B　＝
[由题悟法]
1．三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
[即时应用]
1．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C的值为(　　)
解析选B　由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝．
2．(2016·河南六市一联)已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)
解析选D　由cos＋sin α＝，
可得cos α＋sin α＋sin α＝，
即sin α＋cos α＝，
sin＝，sin＝，
sin＝－sin＝－．
[典例引领]
已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－．
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
解(1)α，β，从而－<α－β<．
又tan(α－β)＝－<0，－<α－β<0．
sin(α－β)＝－．
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝．
α为锐角，且sin α＝，cos α＝．
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝．
[由题悟法]
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[即时应用]
1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan的值为(　　)
A．　　　　　　　　　　B．
解析选B　tan＝tan
2．(2016·福建师大附中检测)若sin＝，则cos＝(　　)
解析选A　cos＝cos＝－cos＝－＝－．
?一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　B．
解析选B　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝．
2．(2016·河北三市第二次联考)若2sin＝3sin(π－θ)，则tan θ等于(　　)
解析选B　由已知得sin θ＋cos θ＝3sin θ，
即2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝．故选B．
3．(2016·兰州实战考试)若sin 2α＝，0＜α＜，则cos的值为(　　)
解析选D　cos＝＝sin α＋cos α，又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，0＜α＜，sin α＋cos α＝，故选D．
4．(2017·广州模拟)已知cos(θ＋π)＝－，则sin＝________．
解析cos(θ＋π)＝－，所以cos θ＝，sin＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－．
5．(2017·贵阳摸底)设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．
解析由题可知，tan α＝＝2，
tan 2α＝＝－．
?二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2017·南宁质量检测)已知<α<π，3sin 2α＝2cos α，则cos(α－π)等于(　　)
解析选C　由3sin 2α＝2cos α，得sin α＝．因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝ ＝．
2．设tan＝，则tan＝(　　)
解析选C　tan
tan α＝，
tan＝＝－4．
3．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝(　　)
解析选B　由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝．
4．(2017·广东肇庆模拟)已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝(　　)
解析选D　由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝．
tan 2α＝－，tan＝＝＝－．
5．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝(　　)
解析选C　由sin＝得sin α－cos α＝．
由cos 2α＝得cos2α－sin2α＝，
所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝．
由可得cos α＋sin α＝－．
由可得sin α＝．
6．已知cos θ＝－，θ，则sin的值为________．
解析由cos θ＝－，θ得sin θ＝－＝－，故sin＝sin θcos－cos θsin＝－×－×＝．
7．已知cos＝－，则cos x＋cos＝________．
解析cos x＋cos
＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x
8．计算＝________．
9．(2017·广东六校联考)已知函数f(x)＝sin，xR．
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ，求f的值．
解(1)f＝sin＝sin＝－．
＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ，
所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，
所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)
10．已知α，且sin＋cos＝．
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β，求cos β的值．
解(1)因为sin＋cos＝，
两边同时平方，得sin α＝．
又<α<π，所以cos α＝－＝－．
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－<α－β<．
又由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝．
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－．
?三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β，则cos(α－β)＝(　　)
解析选D　因为α，所以2α(0，π)，因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，所以sin 2α＝＝．又α，β，所以α＋β(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝．故选D．
2．(2017·合肥质检)已知coscos＝－，α．
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
解(1)coscos
＝sin＝－，
即sin＝－．
α∈，2α＋∈，
sin 2α＝sin
＝sincos－cossin＝．
(2)α∈，2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，cos 2α＝－．
tan α－＝－＝＝＝－2×＝2．第六节简单的三角恒等变换
[题组练透]
1．化简＝________．
解析原式＝＝2cos α．
答案2cos α
2．化简(0＜θ＜π)．
＝cos·＝．
0＜θ＜π，0＜＜，cos＞0，原式＝－cos θ．
[谨记通法]
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．如“题组练透”第2题．
[锁定考向]
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．
常见的命题角度有
(1)给值求值；
(2)给角求值；
(3)给值求角．　　　
[题点全练]
角度一给值求值
1．(2015·广东高考)已知tan α＝2．
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解(1)tan＝＝＝－3．
角度二给角求值
2．化简sin 50°(1＋tan 10°)＝________．
解析sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝＝＝＝1．
角度三给值求角
3．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α，β，则α＋β的值是(　　)
A．　　　　　　　　　　　　B．
解析选A　α∈，2α∈，
sin 2α＝，2α∈．
α∈且cos 2α＝－，
又sin(β－α)＝，β，
β－α，cos(β－α)＝－，
cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又α＋β，所以α＋β＝，故选A．
[通法在握]
三角函数求值的3类求法
(1)“给值求值”给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(2)“给角求值”一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．
[演练冲关]
1．的值为(　　)
A．1　　　 B．－1　　　　C．　　　　D．－
解析选D　原式＝＝＝－．
2．已知2tan αsin α＝3，－＜α＜0，则cos的值是(　　)
解析选A　由2tan αsin α＝3，得＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，cos α＝或cos α＝－2(舍去)．－＜α＜0，sin α＝－，cos＝cos αcos＋sin αsin＝0．故选A．
3．已知α，tan＝，那么sin 2α＋cos 2α的值为(　　)
解析选A　由tan＝，知＝，
tan 2α＝－．2α∈，sin 2α＝，cos 2α＝－．
sin 2α＋cos 2α＝－，故选A．
[典例引领]
(2016·北京高考)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
所以f(x)的最小正周期T＝＝．
依题意，得＝π，
解得ω＝1．
(2)由(1)知f(x)＝sin．
函数y＝sin x的单调递增区间为
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(kZ)，
得kπ－≤x≤kπ＋(kZ)．
所以f(x)的单调递增区间为
[由题悟法]
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
[即时应用]
已知函数f(x)＝sin2x－sin2，xR．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解(1)由已知，有f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin．
所以f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)因为f(x)在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
且f＝－，f＝－，f＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－．
?一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知cos＝，则sin 2x＝(　　)
A．　　　　　　　　　　B．
解析选C　sin 2x＝cos＝2cos2－1，
sin 2x＝－．
2．若tan θ＝，则＝(　　)
解析选A　＝＝tan θ＝．
3．化简＝(　　)
解析选C　原式＝
＝＝＝，故选C．
4．已知tan(3π－x)＝2，则＝________．
解析由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan x＝2，
故＝＝＝－3．
5．在ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝______．
解析sin(C－A)＝1，C－A＝90°，即C＝90°＋A，
sin B＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝，即1－2sin2A＝，sin A＝．
?二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2017·东北四市联考)已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)
解析选D　sin＝cos，
cos α－sin α＝cos α－sin α，
即sin α＝－cos α，
tan α＝＝－1，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0．
2．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)
解析选A　由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2．
3．的值是(　　)
解析选C　原式＝
4．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)
解析选A　由题意知，sin A＝－cos B cos C＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
在等式－cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C两边同除以cos B cos C得tan B＋tan C＝－，
又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，
即tan A＝1，所以A＝．
5．若tan α＝3，则sin的值为(　　)
解析选A　sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－，
sin＝sin 2α＋cos 2α＝×＋＝－．
6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________．
解析因为cos(α＋β)＝，
所以cos αcos β－sin αsin β＝．
因为cos(α－β)＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝．
①＋得cos αcos β＝．
－得sin αsin β＝．
所以tan αtan β＝＝．
7．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β，则α＋β＝________．
解析由已知得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，
tan(α＋β)＝1．
又α，β，tan α＋tan β＝－3a＜0，tan αtan β＝3a＋1＞0，tan α＜0，tan β＜0，α，β，
α＋β(－π，0)，α＋β＝－．
8．＝________．
解析原式＝
＝＝＝－4．
9．已知tan α＝－，cos β＝，α，β，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解由cos β＝，β，
得sin β＝，tan β＝2．
tan(α＋β)＝＝＝1．
α∈，β，
<α＋β<，
α＋β＝．
10．已知函数f(x)＝Acos，xR，且f＝．
(1)求A的值；
(2)设α，β，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2．
(2)由f＝2cos
＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α，
所以cos α＝．
＝2cos β＝，
得cos β＝，又β，
所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－．
?三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．cos·cos·cos＝(　　)
解析选A　cos·cos·cos
＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－＝－＝－．
2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．
解(1)角α的终边经过点P(－3，)，
sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．
sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－．
(2)f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，xR，
g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，
0≤x≤，－≤2x－≤．
－≤sin≤1，－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．
第七节正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R，(R为ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式(边角转化) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；a∶b∶c＝sin_Asin_B∶sin_C cos A＝；cos B＝；cos C＝
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[小题体验]
1．(2016·天津高考)在ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
2．在ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于________．
3．在ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则ABC的面积为________．
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
[小题纠偏]
1．在ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)
D．解的个数不确定
解析选B　＝，
sin B＝sin A＝sin 45°＝．
又a<b，B有两个解，
即此三角形有两解．
2．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．
解析在ABC中，
sin B＝，0<B<π，
B＝或B＝．
角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
4．已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为(　　)
解析选A　由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，所以a2＋c2－b2＝ac，又因为cos B＝，所以cos B＝，所以B＝30°．
5．已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则ABC的面积等于(　　)
解析选B　由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，
故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B(0，π)，所以B＝．
故A＝B＝，则ABC是正三角形，
所以SABC＝bcsin A＝×1×1×＝．
6．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________．
解析3sin A＝2sin B，3a＝2b．
又a＝2，b＝3．
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
c2＝22＋32－2×2×3×＝16，
7．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．
解析由正弦定理得＝，
由余弦定理得cos A＝，
a＝4，b＝5，c＝6，
＝＝2··cos A
＝2××＝1．
8．(2017·云南统检)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________．
解析tan B＝－，
sin B＝，cos B＝－，又SABC＝acsin B＝2c＝8，c＝4，b＝＝，
9．(2017·海口调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)cos C＝c(3cos B－cos A)．
(1)求的值；
(2)若c＝a，求角C的大小．
解(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)，
sin Acos C＋cos Asin C＝3sin Ccos B＋3cos Csin B，
即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sin B＝3sin A，＝3．
(2)由(1)知b＝3a，c＝a，
cos C＝＝＝＝，
C∈(0，π)，C＝．
10．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b．
(1)求证2(a＋c)＝3b；
(2)若cos B＝，S＝，求b．
解(1)证明由条件得a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b，
由于acos C＋ccos A＝b，所以a＋c＝b，
即2(a＋c)＝3b．
(2)在ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝．
由S＝acsin B＝ac＝，得ac＝8，
又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，
2(a＋c)＝3b，
所以＝16×，所以b＝4．
?三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·衡水中学模拟)已知锐角A是ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A－cos2A＝，则下列各式正确的是(　　)
A．b＋c＝2a　　　　　　 B．b＋c<2a
C．b＋c≤2a
D．b＋c≥2a
解析选C　sin2A－cos2A＝，cos 2A＝－．
0<A<，0<2A0，x＝－1．
5．某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km．
解析如题图，由题意知AB＝24×＝6，在ABS中，BAS＝30°，AB＝6，ABS＝180°－75°＝105°，ASB＝45°，由正弦定理知＝，BS＝＝3(km)．
?二保高考，全练题型做到高考达标
1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10 海里　　　　　　 B．10 海里
C．20 海里
D．20 海里
解析选A　如图所示，易知，在ABC中，AB＝20海里，CAB＝30°，ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0．6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)
D．10 km/h
解析选B　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6．
3．(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1)m
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
解析选C　tan 15°＝tan (60°－45°)＝＝2－，BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)，故选C．
4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
解析选A　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．
5．(2017·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　)
解析选D　由题意得sin2A<sin2B＋sin2C，
再由正弦定理得a20．
则cos A＝>0，
0<A<π，0<A．
因此角A的取值范围是．
6．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．
解析由已知得ACB＝45°，B＝60°，
由正弦定理得＝，
所以AC＝＝＝10，
所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．
7．(2017·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．
解析依题意可知AEC＝45°，ACE＝180°－60°－15°＝105°，EAC＝180°－45°－105°＝30°．
由正弦定理可知＝，
AC＝·sinCEA＝20 m．
在RtABC中，AB＝AC·sinACB＝20×＝30 m．
国歌时长为50 s，升旗速度为＝0．6 m/s．
8．(2016·洛阳统考)如图，在ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cosC＝________．
解析由条件得cosABC＝，sinABC＝．
在ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a．
因为ADB与CDB互补，
所以cosADB＝－cosCDB，
所以＝－，
所以3b2－a2＝－6，
联立解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3．
在ABC中，cosC＝＝＝．
9．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
解如图所示，根据题意可知AC＝10，ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h．
此时AB＝14，BC＝6．
在ABC中，根据正弦定理，得＝，
所以sinCAB＝＝，
即CAB≈21．8°或CAB≈158．2°(舍去)，
即舰艇航行的方位角为45°＋21．8°＝66．8°．
所以舰艇以66．8°的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮．
10．(2016·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
(1)求B，C两救援中心间的距离；
(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．
解(1)由题意知PAAC，PAAB，则PAC，PAB均为直角三角形．
在RtPAC中，PA＝1，PCA＝60°，解得AC＝，
在RtPAB中，PA＝1，PBA＝30°，解得AB＝，
又CAB＝90°，BC＝＝万米．
(2)sin ACD＝sin ACB＝，cosACD＝－，
又CAD＝30°，所以sinADC＝sin(30°＋ACD)＝，
在ADC中，由正弦定理，＝，
得AD＝＝万米．
?三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取＝1．4，＝1．7)
解析如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A＝15°，DBC＝45°，ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在ABC中，＝，
BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
CD⊥AD，CD＝BC·sinDBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350．
故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
2．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解在RtAMP中，APM＝30°，AM＝100，PM＝100，连接QM，在PQM中，QPM＝60°，又PQ＝100，
PQM为等边三角形，
在RtAMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200．
在RtBNQ中，tan θ＝2，BN＝200，
BQ＝100，cos θ＝．
在BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，
即两发射塔顶A，B之间的距离是100米．
命题点一　简单的三角恒等变换
命题指数 难度中、低 题型选择题、填空题、解答题
1．(2015·全国卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．
解析选D　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°
＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D．
2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α＝(　　)
解析选D　因为cos＝，
所以sin 2α＝cos＝cos
＝2cos2－1＝2×－1＝－．
3．(2016·全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)
解析选D　cos 2θ＝＝，
又tan θ＝－，cos 2θ＝＝．
4．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．
解析由题意知sin＝，θ是第四象限角，
所以cos＞0，
所以cos＝ ＝．
＝－×＝－．
5．(2013·全国卷)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．
解析由θ在第二象限，且tan＝，得sin＝－，故sin θ＋cos θ＝sin＝－．
6．(2015·四川高考)已知A，B，C为ABC的内角，tan A，tan 是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(pR)的两个实根．
(1)求C的大小；
(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．
解(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，
所以p≤－2或p≥．
由根与系数的关系，
有tan A＋tan B＝－p，tan Atan B＝1－p，
于是1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0，
从而tan(A＋B)＝＝－＝－．
所以tan C＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°．
(2)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
解得B＝45°或B＝135°(舍去)．
于是A＝180°－B－C＝75°．
则tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°)
所以p＝－(tan A＋tan B)
＝－(2＋＋1)
命题点二　解三角形
命题指数 难度中、低 题型选择题、填空题、解答题
1．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
解析选D　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，
解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．
2．(2016·全国丙卷)在ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)
解析选C　法一设ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得SABC＝a·a＝acsin B，c＝a．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，b＝a．
cos A＝＝＝－．故选C．
法二如图，AD为ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a．
在RtABD中，由勾股定理得，
AB＝ ＝a．
同理，在RtACD中，AC＝ ＝a．
cos A＝＝－．
3．(2014·全国卷)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
解析选B　由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°．当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°．由余弦定理可得AC＝＝．
4．(2016·全国甲卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
解析因为A，C为ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝．
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝．
5．(2014·全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角MAN＝60°，C点的仰角CAB＝45°以及MAC＝75°；从C点测得MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m．
解析在ABC中，AC＝100 m，在MAC中，CMA＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，解得MA＝100 m，在MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m．即山高MN为150 m．
6．(2016·全国乙卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c．
(2)若c＝，ABC的面积为，求ABC的周长．
解(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C．
可得cos C＝，所以C＝．
(2)由已知得absin C＝．
又C＝，所以ab＝6．
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．
所以ABC的周长为5＋．
7．(2015·全国卷)△ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解(1)SABD＝AB·ADsinBAD，
SADC＝AC·ADsinCAD．
因为SABD＝2SADC，BAD＝CAD，
所以AB＝2AC．
由正弦定理，得＝＝．
(2)因为SABD∶S△ADC＝BDDC，所以BD＝．
在ABD和ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcosADC．
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6．
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1．
命题点三　三角函数与解三角形的综合问题
命题指数 难度高、中 题型解答题
1．(2013·全国卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB．
(2)若b＝2，求ABC面积的最大值．
解(1)由已知及正弦定理得，
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．
由和C(0，π)得sin B＝cos B．
又B(0，π)，所以B＝．
(2)ABC的面积S＝acsin B＝ac．
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos．
又a2＋c2≥2ac，故ac≤＝4＋2，当且仅当a＝c时等号成立．
因此ABC面积的最大值为(4＋2)＝＋1．
2．(2015·山东高考)设f(x)＝sin xcos x－cos2x＋．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f＝0，a＝1，求ABC面积的最大值．
解(1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin 2x－．
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，kZ，
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，kZ；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，kZ，
可得＋kπ≤x≤＋kπ，kZ．
所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；
单调递减区间是(kZ)．
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，
由题意知A为锐角，所以cos A＝．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．
因此bcsin A≤．
所以ABC面积的最大值为．
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