求助一个数学初中几何求三角形角度的题，本人硕士算了一下午算不出来
求助一个数学初中几何求三角形角度的题，本人硕士算了一下午算不出来求助一个数学初中几何求三角形角度的题，本人硕士算了一下午算不出来求助一个数学初中几何求三角形角度的题，本人硕士算了一下午算不出来大神看看
这些回帖亮了
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
下面两个角加起来不是160吗...都快高考了...孩子这样不行啊...PS: 回到家就已经过百亮啦人生第一次回帖被亮过百！其实应该是高三压力太大才一时眼花吧，没事高考别粗心看错题就好，还是祝楼上高考一切顺利！
[&此帖被你很叼wor在 19:38修改&]
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
你这状态还高三狗？高三的时候一般对数字特别敏感吧，80加80居然能算成180……
这是一道美国的一个什么比赛的真题，当时学生问我来着，时间太久记不得了
发自手机虎扑
引用16楼 @ 发表的:
计算没错的话应该是对的，硕士研究生这不会？
什么时候两个方程能解三个未知数了？
引用16楼 @ 发表的:
计算没错的话应该是对的，硕士研究生这不会？n少条件，你这一三加起来就是第二个式子
发自手机虎扑
用三角形正弦定理很好解 不过得用计算器计算
引用4楼 @ 发表的:
60+10+60+20＞180？我读书少
那怪不得70看成60
发自手机虎扑
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
这状态别上步行街了
兰利问题。其他角度的变体可以看这个贴子：
现在懒的用脑了。
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
发自手机虎扑
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
60+10+60+20＞180？我读书少
现在懒的用脑了。
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
发自手机虎扑
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
下面两个角加起来不是160吗...都快高考了...孩子这样不行啊...PS: 回到家就已经过百亮啦人生第一次回帖被亮过百！其实应该是高三压力太大才一时眼花吧，没事高考别粗心看错题就好，还是祝楼上高考一切顺利！
[&此帖被你很叼wor在 19:38修改&]
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
60+10+60+20＞180？我读书少
引用4楼 @ 发表的:
60+10+60+20＞180？我读书少
那怪不得70看成60
发自手机虎扑
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
你这状态还高三狗？高三的时候一般对数字特别敏感吧，80加80居然能算成180……
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
好像是160度
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
这状态别上步行街了
给的角度算出来无解。
所以说数学家真是厉害
找角的关系列方程可求解
20度，猜的！肯定对
发自手机虎扑
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
你眼睛瞎了吗？80+80=180？
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
孩子啊，高三就你这水平啊
用尺子量角器画出来量一下就好了……
计算没错的话应该是对的，硕士研究生这不会？
引用16楼 @ 发表的:
计算没错的话应该是对的，硕士研究生这不会？n少条件，你这一三加起来就是第二个式子
发自手机虎扑
我才普通本科、这题就一看都会了。。角1那个小三角形另外两个角很好求啊
引用2楼 @ 发表的:
这图不科学。。。下面两个角加起来都180了 我想问问上面那个角多少度？(高三狗留)
都快高考了，算数不行啊
引用16楼 @ 发表的:
计算没错的话应该是对的，硕士研究生这不会？
什么时候两个方程能解三个未知数了？
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1339人参加团购799.00元&1399.00元导读：几何证明初步练习题，∠1=∠2.求证：∠AGD＋∠BAC=180°.反证法经典例题，几何证明初步测验题（1），第2题图第4题图第6题图第7题图3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是，几何证明初步练习题1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推理过程：1作CM∥AB，则∠A=，∠B=，∵∠ACB+∠1+∠2=180（，∴∠A+∠B+∠ACB=180．○2作MN∥BC，则∠2 几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： 1 作CM∥AB，则∠A=
，∵∠ACB +∠1+∠2=180（ ，∴∠A+∠B+∠ACB=180． ○2 作MN∥BC，则∠2=
，∵∠1+∠2+∠3=180，∴∠BAC+∠B+∠C=180． ○00002．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC。 4. 已知，如图，AE//DC，∠A=∠C，求证：∠1=∠B. 5. 已知：如图，EF∥AD，∠1 =∠2.
求证：∠AGD＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题
6.求证:两条直线相交有且只有一个交点.
7.如图，在平面内，AB是L的斜线，CD是L的垂线。 求证：AB与CD必定相交。 8.求证：2是无理数。
一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD平分?BAC，BD⊥AD于D．AB＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长
AAA DMFCE DCCBBBEN
ED第10题图
第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则BD＝DF．又BE＝EC，即DＥ为ΔBCF的中位线．∴11DE=FC=(AC-AB)=2． 22?10、已知在ΔABC中，?A?108，AB＝AC，BD平分?ABC．求证：BC＝AB＋CD．
?ABD??DBE?18?，分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：???A??BED?108?，?C??ABC?36．∴?DEC??EDC?72，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD． 11、如图，ΔABC中，Ｅ是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交?BAC的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于Ｍ，作DN⊥ＡC于N．求证：BM＝CN． 分析：连接DB与DC．∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．易证ΔAMD≌ΔAND． ∴有DM＝DN．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴BM＝CN． AD F
二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD中，Ｅ在BC上，Ｆ在DC上，BE＋DF＝EF． ?求证：?EAF?45．
分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转90得?ABG．∴?GAB??FAD．易证ΔAGE≌ΔAFE．
?FAE??GAE?1?FAG?45?2 ?BEA312CD∴ 13、如图，点E在ΔABC外部，D在边BC上，DE交AC于F．若?1??2??3， ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE． 分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转?1所得．则有?B??ADE． ∵?B??1??ADE??2，且?1??2．∴?B??ADE．又∵?1??3． ∴?BAC??DAE．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE． 14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ． A分析：将ΔABFDABAA视为ΔADE绕ＡE?90D顺时针旋转CFBCECD即∵∴BFMCE可． BDE?FAB??BAE??EAD??BAE?90??FB?A．? ?．又∵?FBA??EDA?90，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ． 平移
第17题图 三、平移 15、如图，在梯形ABCD中，BD⊥AC，AC＝８，BD＝１５．求梯形ABCD的中位线长．
分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得?ACEB．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５． 16、已知在ΔABC中，AB＝AC，D为AB上一点，Ｅ为AC延长线一点，且BD＝CE．求证：DM＝EM分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得． ∴四边形ＤＣＥＦ为?DCEF．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧 --倍长 四、倍长 17、已知，ＡＤ为?ABC的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．
分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE≌ΔCDA． ∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ． ABDCE 2
18、如图，AD为ΔABC的角平分线且BD＝CD．求证：AB＝AC．
分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵?BAD??CAD．∴?E??CAD．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ． 19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．
分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，?ABD??C?60?．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD≌ΔBCE． AD∴?CBE??BAD．∴?BPQ??PBA??PAB??PBA??DBP?60． 易证ΔBPQ≌ΔBFQ．得ＢＰ＝ＢＦ，又?BPD?60．∴ΔBPF为等边三角形． ∴ＢＰ＝２ＰＱ． 中位线 五、中位线、中线： 20、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，Ｅ和Ｆ分别为BD与AC的中点, EF?1(BC?AD)2． ??EBOGFCA求证：
分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD中位线，ＦＧ为ΔACD的中位线． 11∴ＥＧ∥＝BC，FG∥＝AD．∵AD∥BC．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于221EF?(BC?AD)2已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴． EGBDC直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 121、已知，在?ABCD中AB?BD．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．
求证：2ＥＦ＝ＥＧ．
1分析：连接ＢE．∵AB?BD，ＡＥ＝OＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ． 211∴EG?BD．又ＥＦ为ΔAOD的中位线．∴EF?AD．∴ＥＦ＝ＥＧ． 2222、在ΔABC中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ． 求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）?B?2?BCE．
分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴RtΔCDG≌RtΔEDG（ＨＬ）． ∴ＥＧ＝ＣＧ． ∵ＤＥ＝ＢＥ．∴?B??BDE??DEC??BCE． A∵ＤＥ＝ＣＤ．∴?DEC??BCE．∴?B?2?BCE．
E PCDB Q F
DA FG E CB
几何证明初步测验题（1）
一、选择题（每空3 分，共36 分） 1、使两个直角三角形全等的条件是（
A、一组锐角对应相等 B、两组锐角分别对应相等
C、一组直角边对应相等 D、两组直角边分别对应相等 2、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E．则∠C ＝（
第7题图 3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（
） A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角 C．有两个角是锐角
D．一个角是钝角，一个角是直角 4、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是(
A．∠2=45°
B．∠1=∠3
C．∠AOD+∠1=180°
D．∠EOD=75°30’ 5、下列说法中，正确的个数为（
①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点
②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线 11 ③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是直角三角形 23 ④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2<b<18
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个 6、如图，在AB=AC的△ABC中，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于F，E在AB边上，使ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（
7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（
D．14cm 8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（
D.4 9、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（
） A．仅小明对
B．仅小亮对
C．两人都对
D．两人都对
第12题图 10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，?则四个结论正确的是（
）． ①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR;
④△BRP≌△QSP. A．全部正确;
B．仅①和②正确;
C．仅②③正确;
D．仅①和③正确 11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是 （
③∠+∠2=90° ④=3:4:5
D．4 12、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（
D．不能确定 323二、填空题（每空3 分，共15 分） 13、命题“对顶角相等”中的题设是_________
,结论是___________
。 14、请写出 “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题： 15、如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：___________，使△ABD≌△ACD。
16、 对于同一平面内的三条直线、、，给出下列五个论断：①∥；②∥；③⊥；④∥；⑤⊥.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：_____. 17、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ① AD=BE；② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP；
⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 三、计算、简答题 18、 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足． 求证：AD垂直平分EF． 19、如图7，已知A、B、C在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G。
5 包含总结汇报、专业文献、IT计算机、应用文书、计划方案、外语学习、办公文档、人文社科、教程攻略、资格考试以及初二数学----几何证明初步经典练习题(含答案)等内容。本文共2页
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作者：佚名
文章来源：本站原创
点击数：3551
更新时间：
几何计算题。
1.计算下面各图中阴影部分的面积。(单位：厘米)
2.看图计算。
下左图中阴影部分的面积是37平方厘米，求长方形的周长。(单位：厘米)
3.上右图中，已知平行四边形中空白部分的面积是77平方厘米，求图中阴影部分面积。(单位：厘米)
4.下左图中长方形的面积是40平方米，求阴影部分的面积。
5.上右图中平行四边形中空白部分的面积是10平方分米，求阴影部分的面积。
6.用篱笆靠墙围一块花圃(如下左图)。如果用这个篱笆改围成一个靠墙的正方形，正方形的面积是多少？
7.上左图是一个长方体纸盒的表面展开图，这个纸盒的用料面积至少是多少平方厘米？(单位：厘米)
8.计算下左图形的周长和面积。(单位：厘米)
9.求上右图形的面积。(单位：厘米)
10.下左图中，直角三角形AOB的面积是12平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？
11.上右图中，半圆中三角形ABO的面积(S1)是11平方厘米，O为圆心，半径长5厘米，求阴影部分的面积。
12.下左图是一块土地的形状，可以分割成一个平行四边形和一个三角形。这块土地的面积是多少公顷。
13.求上右图中圆锥的体积。(单位：厘米)
14.如右图：ACEG是梯形、BDFG是正方形，GE=30厘米，GB=24厘米，C=39厘米。求梯形ACEG的面积。设&b&c&/b&为矩形中心，&b&h&/b&为矩形半長，&b&p&/b&为圆心，r为半径。&br&&img src=&/b72b999a0e4fe3bb2f9195_b.jpg& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&262& class=&content_image& width=&318&&方法是计算圆心与矩形的最短距离 &b&u&/b&，若 &b&u &/b&的长度小于 &i&r &/i&则两者相交。&br&&br&1. 首先利用绝对值把 &b&p&/b& - &b&c&/b& 转移到第一象限，下图显示不同象限的圆心也能映射至第一象限，这不影响相交测试的结果：&br&&br&&img src=&/31fcf0a6ba5b5b925d7d82dc5bc8a684_b.jpg& data-rawwidth=&454& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&454& data-original=&/31fcf0a6ba5b5b925d7d82dc5bc8a684_r.jpg&&&br&&br&2. 然后，把 &b&v &/b&减去 &b&h&/b&，负数的分量设置为0，就得到圆心与矩形最短距离的矢量 &b&u&/b&。下图展示了4种情况，红色的&b&u&/b&是结果。&br&&img src=&/60b09b89d9b4eda3fe9bdb849ec5d5d1_b.jpg& data-rawwidth=&485& data-rawheight=&413& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&485& data-original=&/60b09b89d9b4eda3fe9bdb849ec5d5d1_r.jpg&&&br&3. 最后要比较 &b&u &/b&和 &i&r&/i& 的长度，若距离少于 &i&r&/i&，则两者相交。可以只求 &b&u &/b&的长度平方是否小于 &i&r &/i&的平方。&br&&br&代码：&br&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-c&&&span class=&kt&&bool&/span& &span class=&nf&&BoxCircleIntersect&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Vector2&/span& &span class=&n&&c&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&Vector2&/span& &span class=&n&&h&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&Vector2&/span& &span class=&n&&p&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&kt&&float&/span& &span class=&n&&r&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&p&&{&/span&
&span class=&n&&Vector2&/span& &span class=&n&&v&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&abs&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&p&/span& &span class=&o&&-&/span& &span class=&n&&c&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&c1&&// 第1步：转换至第1象限&/span&
&span class=&n&&Vector2&/span& &span class=&n&&u&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&max&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&v&/span& &span class=&o&&-&/span& &span class=&n&&h&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&mi&&0&/span&&span class=&p&&);&/span& &span class=&c1&&// 第2步：求圆心至矩形的最短距离矢量&/span&
&span class=&k&&return&/span& &span class=&n&&dot&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&u&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&u&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&o&&&=&/span& &span class=&n&&r&/span& &span class=&o&&*&/span& &span class=&n&&r&/span&&span class=&p&&;&/span& &span class=&c1&&// 第3步：长度平方与半径平方比较&/span&
&span class=&p&&}&/span&
&/code&&/pre&&/div&&br&这个方法可能最早记录于[1]，而[2][3]也有相关描述。这个方法应该是最优的，而且可扩展至任何维度。如矩形不是轴对齐矩形（AABB）而是定向矩形（OBB），可以把圆心旋转至矩形的座标系。&br&&br&这个方法考虑了矩形的对称及轴对齐性质，实际上等同5个分离轴测试[3]，包括矩形4边、圆心与矩形最近点的分离轴。后者容易被忽略。&br&&br&这类型问题可以使用&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%E5%258F%25AF%25E5%25A4%25AB%25E6%2596%25AF%25E5%259F%25BA%25E5%C& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&閔可夫斯基和&i class=&icon-external&&&/i&&/a&转化为圆角矩形和点的相交问题，可以应用不同的距离函数，如[5]。&br&&br&[1]
Arvo, &A Simple Method for Box-Sphere Intersection Testing&, Graphics Gems, pp. 247-250, 1993. &a href=&///?target=http%3A//tog.acm.org/resources/GraphicsGems/gems/BoxSphere.c& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&tog.acm.org/resources/G&/span&&span class=&invisible&&raphicsGems/gems/BoxSphere.c&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[2] Gottschalk, &Separating axis theorem&i&&,&/i&. Technical Report TR96-024, Department of Computer Science, UNC Chapel Hill, 1996.&br&[3] Philip, Eberly, Geometric tools for computer graphics&i&,&/i& Morgan Kaufmann, pp.644-646, 2002.&br&[4] Gomez, &Simple Intersection Tests for Games,& Gamasutra, October 1999. &a href=&///?target=http%3A///view/feature/131790/simple_intersection_tests_for_games.php%3Fpage%3D4& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Gamasutra - Simple Intersection Tests For Games&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[5] Quilez, &Modeling with distance functions&, 2008. &a href=&///?target=http%3A//www.iquilezles.org/www/articles/distfunctions/distfunctions.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Iigo Quilez - fractals, computer graphics, mathematics, demoscene and more&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
设c为矩形中心，h为矩形半長，p为圆心，r为半径。 方法是计算圆心与矩形的最短距离 u，若 u 的长度小于 r 则两者相交。 1. 首先利用绝对值把 p - c 转移到第一象限，下图显示不同象限的圆心也能映射至第一象限，这不影响相交测试的结果： 2. 然后，把 v 减去 …
&p&下面简称错误的算法为 D&C.&/p&&p&先说一下这个 D&C 算法被发现是错误的意义, 最大内接三角形是一个非常基础而且是比较中心的计算几何问题,这个错误的D&C 算法发表于1979年距今已经38年,之后很多研究者继续研究这个方向的问题,像chao xu 提到的,求凸 n 边形的最大内接 k 边形的算法,还有一些基础算法直接或者间接的又引用了 D&C 的结论.而这些第二层的算法结论往往又被其他这个方向更高层的计算几何问题当做结论直接被引用.所以 D&C 算法是错误的会导致很多已经发出来的和它有关的这个领域的文章的结论不准确.所有这些文章的结论都要被重新审视!&/p&&p&另外一点,凸多边形最大内接三角形这个问题收录在 poj 上面,想必很多参加过算法竞赛的同学都见过这道题,也冥思苦想过这道题.我想很多来看这个回答的人,是因为这个原因!&/p&&p&反正答主当年看到 D&C 算法的时候,表情是这样的,&/p&&img src=&/v2-b1c3d30d216c94aeb45fb_b.png& data-rawwidth=&242& data-rawheight=&242& class=&content_image& width=&242&&&p&内心是”哇,这样也行” &/p&&p&而过了很多年,看到这篇文章的时候,表情是这样的,&/p&&br&&img src=&/v2-95dcb25cb119d2af86950e14_b.png& data-rawwidth=&248& data-rawheight=&234& class=&content_image& width=&248&&&p&内心是这样的”这..这样也能错!”
(图片侵删)&/p&&p&考虑到可能有非竞赛党,或者非计算几何方向的人看这个答案,先简要说一下 D&C 算法怎么做.知道的同学可以直接看下一部分.&/p&&p&首先,这个问题,凸多边形顶点的相邻顺序是已知的,这点很重要,否则要算这个相邻顺序,就需要 O(nlogn) 时间&/p&&p&1.选择顺时针方向或者逆时针方向为算法运行的方向,然后整个算法运行中,方向固定不变.&/p&&p&2.任选一个顶点 a, 叫做 &b&root 点&/b&, 然后沿选择的方向选取接下来的顶点 b,c.&/p&&p&3.沿着选择的方向选 c 的下一个顶点替换 c, 如果替换后△abc 面积增大,那么继续替换 c, 直到如果更新 c,△abc 面积不会再增大&/p&&p&4.固定 a,c, 然后用 b 的下一个节点替换 b, 同样不断更新 b 直到△abc 面积不会增大.特别的如果 b 的下一个顶点是 c, 那么停止更新 b.&/p&&p&D&C 算法称停下来的这个三角形为a-anchored 三角形&/p&&p&5.记下这个三角形的面积,然后更新 a 成 a 之后的那个点,继续重复3-5.有一个关键的地方是此时 b 不用重新设置为新的 a 的下一个顶点, c 也不用.这是保证 D&C 算法 O(n)时间的关键.不过 D&C 算法是错的,我们这里就不说当时 D&C 为什么觉得可以不用重置 b 和 c 了.&/p&&p&6.在每个点都计算出来的anchored三角形中找出面积最大的那一个&/p&&p&乍一看,这个算法是不是很优雅?实现起来很简单,而且先更新 c 再更新 b, 比较巧妙的利用了凸多边形的性质和传递性,很容易看出,确实找到的三角形是从 a-c 路径上所有顶点能够成的内接三角形中最大的. &/p&&br&&br&&p&为了说明 VMJI 的做法,还有他们怎么构造反例的,介绍一下2-stable 三角形的概念,(论文中对2-stable定义的其实不大清楚,乍一看,按照论文中2-stable 的定义,△a0a1a2不是2-stable 的,这里我按照不影响论文的证明的前提下重新说一下我的理解)&/p&&br&&img src=&/v2-0cc6fefedbcdb43e437ebca4f77d8205_b.png& data-rawwidth=&1620& data-rawheight=&704& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1620& data-original=&/v2-0cc6fefedbcdb43e437ebca4f77d8205_r.png&&&p&依旧要先选定一个方向,如顺时针,然后以△a0a1a2为例,如果我们可以先选定一个点a0称作 root 点, root 点顺时针方向先遇到 a1后遇到 a2,把 a0a1叫做supporting line. 如果△a0a1a2是以 a0a1作为一条边,另一个顶点在 a1顺时针到 a0的这段路径上的顶点中面积最大的内接三角形,并且 △a0a1a2是以 a0a2为边, 另一个顶点在 a0顺时针到 a2的这段路径上,面积最大的内接三角形,那么我们称△a0a1a2为2-stable 的. &/p&&p&2-stable 三角形和 anchored 三角形很像,按照 D&C 的算法,所有 anchored 三角形都是2-stable 的&/p&&p&D&C证明算法正确性的思路:&/p&&p&面积最大的内接三角形一定是”3-stable” 的&/p&&p&“3-stable”的三角形一定是”2-stable” 的&/p&&p&所以找到所有”2-stable” 的三角形,然后选择他们当中最大的那一个,就是最大内接三角形&/p&&p&到上面为止都还没有错,但是&/p&&p&D&C 认为以一个点为 root,只会有一个 2-stable三角形,所以他们算法跑出来的被他们命名为 anchored 的2-stable三角形就是这个2-stable 三角形, 所以 D&C 认为他们的算法把2-stable 三角形找全了, D&C 算法正确性得证.但 VMJI 发现,对每个 root 点,不只会有一个2-stable 的三角形,而且第一个出现的2-stable 三角形不一定是面积最大的,D&C 算法并没有找全2-stable 三角形.所以 D&C 算法可能不会跑到面积最大的那个三角形,从而错了.&/p&&p&反例就是构造了三个2-stable 的三角形,而最大的内接三角形是△a0b0c0.不管以a0,b0,c0中哪个顶点为 root 点, 顺时针方向跑算法,D&C 算法都会先遇到一个2-stable 三角形,然后停止从而不会跑到△a0b0c0,从而失败.&/p&&br&&p&接着 VMJI 证明了任何两个以同一个点a为 root 的2-stable 三角形△abc 和 △ab’c’,线段 bc 和 b’c’一定会相交,像反例中的c1c2和 a0b0相交,b0b2和 a0c0相交.而不会出现像下面这样两种相对位置的情况(证明过程用一点点几何知识就行,这里就不说了)&/p&&p&由此性质,我们很容易设计出一个 O(n)时间复杂度的算法求出以 a 为 root 点的所有2-stable 三角形:像 D&C 那样求出第一个2-stable 三角形后,因为 bc 和 b'c'会相交,所以 bc两个变量继续往前遍历,不需要考虑后退.直到遍历完所有顶点.&/p&&br&&img src=&/v2-426b78e8ad7c2be21ed9_b.png& data-rawwidth=&1156& data-rawheight=&692& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1156& data-original=&/v2-426b78e8ad7c2be21ed9_r.png&&&p&&b&要吐槽的一点是,VMJI 在证明”以同一个点a为 root 的2-stable 三角形△abc 和 △ab’c’,线段 bc 和 b’c’一定会相交”的过程中依旧不严谨,其实应该用到多边形是凸的的性质,但是完全没有提到.你们是想重蹈 D&C 的覆辙么?&/b&&/p&&img src=&/v2-74da5e44d973e84d696fe614db2c69a6_b.png& data-rawwidth=&258& data-rawheight=&236& class=&content_image& width=&258&&&br&&p&接着论文演示了一下,最坏情况下对任意一个 root 点,可以构造出 O(n)个2-stable 的三角形,像这样微调一下顶点,每个同色三角形都可以是2-stable 的,而且这些三角形的面积没有任何单调性:&/p&&br&&img src=&/v2-29ac6fd54a865c674ecf_b.png& data-rawwidth=&1502& data-rawheight=&506& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1502& data-original=&/v2-29ac6fd54a865c674ecf_r.png&&&p&给了个具体例子:&/p&&br&&img src=&/v2-e8923628aadadb_b.png& data-rawwidth=&1636& data-rawheight=&598& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1636& data-original=&/v2-e8923628aadadb_r.png&&&p&简要说明一下论文后面提出的 O(n^2)和 O(nlogn) 的算法, &/p&&p&O(n^2)的算法,因为 O(n)时间就能找到所有以 a 为root 的2-stable三角形, 并且可以找到最大的那一个.对每个点都做为 root 算一次,取最大的,总复杂度O(n^2)
&/p&&p&O(nlogn)的算法,先任取一个点a作为 root,O(n)时间算出 以 a 为root 点的最大内接三角形,这个三角形会将凸多边形分成三段,取最长的一段位置在正中间的那个原凸多边形的顶点,记为 m. 以 m 为 root 再算一遍最大内接三角形.两个三角形把凸多边形分成6段,根据两个三角形的相对位置不同可知最大内接三角形的顶点可以排除掉至少1/6n 个凸多边形上的点,然后继续重复做下去,用一下主定理分析复杂度,是O(nlogn)&/p&&br&&img src=&/v2-237b27f687f8efbcf823c4_b.png& data-rawwidth=&1628& data-rawheight=&806& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1628& data-original=&/v2-237b27f687f8efbcf823c4_r.png&&
下面简称错误的算法为 D&C.先说一下这个 D&C 算法被发现是错误的意义, 最大内接三角形是一个非常基础而且是比较中心的计算几何问题,这个错误的D&C 算法发表于1979年距今已经38年,之后很多研究者继续研究这个方向的问题,像chao xu 提到的,求凸 n 边形的最大…
经典的应该是 [1]，另外我常翻阅的是 [2]。&br&&br&[1] De Berg, Mark, et al. &Computational geometry.& 3rd Edition. Springer Berlin Heidelberg, 2008.&br&[2] Schneider, Philip, and David H. Eberly. &i&Geometric tools for computer graphics&/i&. Morgan Kaufmann, 2002.
经典的应该是 [1]，另外我常翻阅的是 [2]。 [1] De Berg, Mark, et al. "Computational geometry." 3rd Edition. Springer Berlin Heidelberg, 2008. [2] Schneider, Philip, and David H. Eberly. Geometric tools for computer graphics. Morgan Kaufmann…
首先化简一下，将与红圆相交的黑圆单独挑出来，这个算一下圆心距离和半径和就可以。最后黑圆的集合如果是空集则一定为不在，再做一下一个黑圆完全包括红圆的特判。&br&&br&接下来，把特征点找出来，这些特征点为平行于y轴的圆的切线的切点和圆之间的交点。把这些特征点做y轴的平行线（或x轴的垂线）画出来，基本长这样：&br&&img src=&/v2-798fde372ced_b.jpg& data-rawwidth=&1439& data-rawheight=&1742& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1439& data-original=&/v2-798fde372ced_r.jpg&&再做一下化简，只留红圈之间的：&br&&img src=&/v2-0e80b9fbfd_b.jpg& data-rawwidth=&1439& data-rawheight=&1708& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1439& data-original=&/v2-0e80b9fbfd_r.jpg&&别看这么一坨，其实代码量还挺少的。&br&&br&接下来对于每个竖线之间的区间，搞个初值为0的计数器。从下往上扫，进入到一个黑圆中计数器+1，出来一个黑圆计数器-1，我们可以看出计数器一定为非负数且在最上最下都为0。在进入到红圆和出去红圆之间，监视计数器，其中如果计数器变为0则可以判断红圆不完全在黑圆之中。&br&&br&基本逻辑就是这样，至于扫描可以这么做：首先很容易看出一个竖线区间一定与一个圆相交4次（或其中有两个点的坐标相等）。把一个竖线区间与圆的交点求出来，下面两个点的中点的纵坐标即可作为进入圆的值，上面同理为出圆的值。搞个优先队列，做一下边角数据的特判就好了。&br&&br&顺便说一句，这个解法和方向无关，随便找一个方向做切线和平行线都可以，从上往下或从下往上也都可以。解法里说的平行于y轴和从下往上只是便于理解和计算。&br&&br&对了，这个算法叫扫描线算法，这题中时间复杂度大概为O(n^3logn)，但实际上会好很多。&br&&br&———————————&br&&br&什么？太难了不会写？&br&好吧还有个解法。&br&&br&随机一个圆上或圆内的点（随机一个小于等于半径的实数作为x轴偏移量，用半径算出来y轴偏移量，把xy随机一下正负，加到圆心坐标上即可），判断这个点是否在其它黑圆内。&br&每次是O(n)，卡个时间（长一点，比如1s），到时间发现还没有这样的点即可认为红圆被黑圆全部覆盖。&br&&br&请叫我骗分小能手（滑稽
首先化简一下，将与红圆相交的黑圆单独挑出来，这个算一下圆心距离和半径和就可以。最后黑圆的集合如果是空集则一定为不在，再做一下一个黑圆完全包括红圆的特判。 接下来，把特征点找出来，这些特征点为平行于y轴的圆的切线的切点和圆之间的交点。把这些特…
GIS 不太了解，答一下游戏方面的。做游戏开发的程序员，主要分为做游戏性（gameplay）和引擎技术的。后者会常接触不同类型的技术领域。&br&&br&在游戏中，计算几何可应用于处理二维、三维几何数据，用于物理仿真、计算机图形、人工智能等各方面。&br&&br&例如，游戏中最常用到的计算几何算法可能是凸包（convex hull）算法。另外还有相交测试、距离／相近性（proximity）问题、可见性问题。有时需要做一些网格（mesh）的处理，例如多边形三角化（triangulation）、简化（simplification）、布尔运算等。空间剖分（space partitioning）也几乎是每个游戏必备的部分。&br&&br&其实与游戏相关的技术真的很多，计算几何只是其中之一种工具。对于一些空间数据，有时候也会用影像处理的工具，例如通过光栅化（rasterization）／体素化（voxelization），然后用上影像处理的技术。一些通常用于机械人的计算几何算法也可能用到。例如用于避障方面（obstacle avoidance）。&br&&br&当然，并不一定要做轮子，市面上很多引擎、中间件、工具套件已能满足大部分需求。如果有相关知识，可以解决一些各种游戏类型中更专门的问题。&br&&br&由于可以用的东西很多，面对每天都有新的挑战，重要的是如何能快速找到需要的技术，以及能快速地学习。数学和英文较好会有优势。我自己的数学一般，英文略可以，工作上也会经常看一些论文，部分与计算几何相关。&br&&br&以游戏引擎技术方面的就业来说，我相信计算机何会是加分项。我面试时常会问一些几何相关的问题（主要只是想考一考基本的数学和思维能力），但很少接触到专门学计算几何的候选人。&br&&br&要知道游戏引擎究竟要解决什么类型的问题、需要什么相关技术，可翻阅鄙人译作。
GIS 不太了解，答一下游戏方面的。做游戏开发的程序员，主要分为做游戏性（gameplay）和引擎技术的。后者会常接触不同类型的技术领域。 在游戏中，计算几何可应用于处理二维、三维几何数据，用于物理仿真、计算机图形、人工智能等各方面。 例如，游戏中最常…
题主只需要处理 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E2& alt=&\mathbb{R}^2& eeimg=&1&& 上的点么？&br&假如要考虑的是高维数据 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Ed& alt=&\mathbb{R}^d& eeimg=&1&& 的情形， 任何经典的数据结构， 包括 K-D tree, Vornoi, 都非常之慢， per query 需要 &img src=&///equation?tex=O%282%5Ed%5Clog+n%29& alt=&O(2^d\log n)& eeimg=&1&& 的时间, 这对在 &img src=&///equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 很大的时候是难以忍受的。&br&如果是用于实践中， 我们可以 relax 一下 Nearest neighbor, 定义所谓的 &img src=&///equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&&-Approximate Nearest Neighbor (&img src=&///equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&&-ANN)：&br&&blockquote&假设 Q 是一个点集，给定 query 点 p，令 &img src=&///equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 为 p 到 Q 的距离， 那么 &img src=&///equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&&-Approximate Nearest Neighbor of p 是 Q 中满足距离不大于 &img src=&///equation?tex=%281%2B%5Cepsilon%29+d& alt=&(1+\epsilon) d& eeimg=&1&& 的点。&/blockquote&现在我们把原来的问题 relax 成为，给定 query p， 返回它的一个 &img src=&///equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&&-ANN. 这就是经典的 Approximate Nearest Neighbor 的问题。&br&Alexandr Andoni和 Piotr Indyk 两个大神引入了一种叫 &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Locality-sensitive_hashing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Locality-sensitive hashing&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 的技巧。 粗略地说， 这种
hashing 有一种特点， 就是两个点被hash 到同一个桶的概率和他们的距离负相关， 距离越小， 越容易被 hash 到同一个地方。 利用这种 hash，
&img src=&///equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&&-ANN 可以达到 &img src=&///equation?tex=O%28n%5E%7B%5Crho%7D%5Clog+n%29+& alt=&O(n^{\rho}\log n) & eeimg=&1&& 的复杂度， 这里 &img src=&///equation?tex=%5Crho+%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cepsilon%7D+%3C+1& alt=&\rho \leq \frac{1}{1+\epsilon} & 1& eeimg=&1&&. 考虑到 &img src=&///equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 很大时, 相比于 K-D tree, Vornoi， 这个提升是非常之明显的。&br&题主感兴趣的话， 可以看一下这个 slides [1] 和 这篇 Communication of ACM [2] 的文章。&br&&br&Alex 还写了一个个网站 [3] 里面有算法的具体实现。&br&[1] &a href=&///?target=https%3A//graphics.stanford.edu/courses/cs468-06-fall/Slides/aneesh-michael.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&graphics.stanford.edu/c&/span&&span class=&invisible&&ourses/cs468-06-fall/Slides/aneesh-michael.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[2] &a href=&///?target=http%3A//people.csail.mit.edu/indyk/p117-andoni.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&people.csail.mit.edu/in&/span&&span class=&invisible&&dyk/p117-andoni.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[3] &a href=&///?target=http%3A//www.mit.edu/%7Eandoni/LSH/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Locality Sensitive Hashing (LSH) Home Page&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
题主只需要处理 \mathbb{R}^2 上的点么？ 假如要考虑的是高维数据 \mathbb{R}^d 的情形， 任何经典的数据结构， 包括 K-D tree, Vornoi, 都非常之慢， per query 需要 O(2^d\log n) 的时间, 这对在 d 很大的时候是难以忍受的。 如果是用于实践中， 我们可以…
&img src=&/2a168d1cd46dcf66887d0e_b.png& data-rawwidth=&839& data-rawheight=&406& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&839& data-original=&/2a168d1cd46dcf66887d0e_r.png&&
&p&一共&img src=&///equation?tex=2%5E4& alt=&2^4& eeimg=&1&& 种读音，讲题之前总要纠结16遍QWQ&/p&&p&设 ：&/p&&p&旋 xuan 二声 为 A； xuan 四声 为 B；&/p&&p&转 zhuan 三声 为 C；zhuan 四声 为 D；&/p&&p&卡 ka 三声 为 E ；qia 三声 为 F；&/p&&p&壳 ke 三声 为 G ；qiao 四声 为H；&/p&&p&则有&/p&&p&ACEG&/p&&p&ACEH&/p&&p&ACFG&/p&&p&ACFH&/p&&p&ADEG&/p&&p&ADEH&/p&&p&ADFG&/p&&p&ADFH&/p&&p&BCEG&/p&&p&BCEH&/p&&p&BCFG&/p&&p&BCFH&/p&&p&BDEG&/p&&p&BDEH&/p&&p&BDFG&/p&&p&BDFH&/p&&p&这16种读音&/p&
一共2^4 种读音，讲题之前总要纠结16遍QWQ设 ：旋 xuan 二声 为 A； xuan 四声 为 B；转 zhuan 三声 为 C；zhuan 四声 为 D；卡 ka 三声 为 E ；qia 三声 为 F；壳 ke 三声 为 G ；qiao 四声 为H；则有ACEGACEHACFGACFHADEGADEHADFGADFHBCEGBCEHBCFGBCFHBDE…
首先你要知道每一个表面向外的法向量是什么方向的，然后你只要不断地找凹边（根据外法向量的角度很容易就算出来了），随便用哪一边的面把自己切成两边，然后二叉递归下去直到不存在这样的边为止。
首先你要知道每一个表面向外的法向量是什么方向的，然后你只要不断地找凹边（根据外法向量的角度很容易就算出来了），随便用哪一边的面把自己切成两边，然后二叉递归下去直到不存在这样的边为止。
正巧看过真本书。五个作者都是大牛。&br&第二章关于mesh的数据结构，重点是半边结构，这方面开源代码很多。&br&第三章微分几何基础及其离散化表示，这是几何处理的根基。离散化永远是重头戏。实现方面可参考libigl(&a href=&///?target=https%3A///libigl/libigl& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&libigl/libigl · GitHub&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)，这一章提到的几种离散微分算子这个库中都有实现。&br&第四章关于光顺。这一章写得很好。通过引用taubin在95年的经典文章告诉我们傅里叶分析是如何推广到mesh上的。实现方面，&a href=&///?target=https%3A///rob-p/mcflow& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&rob-p/mcflow · GitHub&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 是对desbrun 99年文章Implicit Fairing of Irregular Meshes using Diffusion and Curvature Flow的实现。可参考。几何流相关的工作不少。&br&第五章参数化。这是几何处理的核心，是一个广阔的领域。这本书上介绍的比较基础了，我记得貌似没有涉及全局参数化。实现方面可参考libigl的tutorial，里面有LSCM(least squared conformal mapping)和ARAP(as-rigid-as-possible)这些比较简单也比较经典参数化的实现。&br&第六章重网格化。没细看。quad-meshing到现在都是热点啊，有很多经典的文章，本质上是混合整数规划问题。有基于向量场和基于morse-smale复形两种主流的方法。libigl里有08年文章Mixed Integer Quadragulation的实现。libQEx(&a href=&///?target=https%3A///hcebke/libQEx& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&hcebke/libQEx · GitHub&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)是用于鲁棒地在参数网格上抽出quad的库，文章发在13年的tog上。可参考。&br&第七八章木有看。&br&第九章几何形变。很有意思。可结合olga sorkine08年的survey(&a href=&///?target=http%3A//igl.ethz.ch/projects/deformation-survey/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&igl |
Interactive Geometry Lab&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)一起看。方法五花八门。有基于微分坐标的(gradient-based && laplacian-based)，有基于vector field的(06年的一篇siggraph，idea来自与流体)，有基于各种坐标的(harmonic, bounded biharmonic，local barycentric等等，我喜欢green coordinates这篇文章，大牛出品，实现极其简单，数学推导严谨)，基于非线性方法的(As-rigid-as-possible surface modeling, PriMo)。几何形变蕴含很多几何处理中的重要idea和技术。想要练习的话，题主可以试着实现一下Mesh editing with Poisson-based gradient field manipulation，idea来自于03年经典的poisson image editing，数学不多，可以当做第三章读完后非常好的习题。&br&希望对你有帮助：）
正巧看过真本书。五个作者都是大牛。 第二章关于mesh的数据结构，重点是半边结构，这方面开源代码很多。 第三章微分几何基础及其离散化表示，这是几何处理的根基。离散化永远是重头戏。实现方面可参考libigl()，这一章提到的几种离…
这类算法的关键字应该是 convex decomposition，如[1]。也有一些近似化的算法，如[2]。&br&可以考虑使用一些现成的库，如 &a href=&///?target=https%3A///kmammou/v-hacd& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/kmammou/v-ha&/span&&span class=&invisible&&cd&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&br&[1] Chazelle, Bernard M. &Convex decompositions of polyhedra.& &i&Proceedings of the thirteenth annual ACM symposium on Theory of computing&/i&. ACM, 1981.&br&[2] Lien, Jyh-Ming, and Nancy M. Amato. &Approximate convex decomposition of polyhedra.& &i&Proceedings of the 2007 ACM symposium on Solid and physical modeling&/i&. ACM, 2007.
这类算法的关键字应该是 convex decomposition，如[1]。也有一些近似化的算法，如[2]。 可以考虑使用一些现成的库，如 。 [1] Chazelle, Bernard M. "Convex decompositions of polyhedra." Proceedings of the thirteenth annual ACM …
这个问题好玩！&br&&br&首先确认一下这是个良定义的问题，即自由度不多不少：&br&五边形的各个边长均固定。由于C为直角，所以可以看成顶点B、C、D都固定了，剩下的部分是一个各边长度固定的四边形DEAB，由四边形的不稳定性，它还有一个自由度。而「有一对内角互补」的条件恰好固定这个自由度，bingo！&br&&br&然后证明，互补的一对内角之间必须夹着一个顶点：&br&&ul&&li&D、E不能互补，否则AE与DC将平行，顶点A处将变成凹的。同理A、B不能互补。&/li&&li&A、E不能互补，否则DEAB将成为平行四边形，BCD将成为正三角形，与C是直角矛盾。&/li&&li&B、D不能互补，因为顶点A、E中总有一处会是凹的。证明过程略，本质原因是&img src=&///equation?tex=%5Csin%5Ctheta+%2B+%5Ccos%5Ctheta+%3E+1%2C+%5Cforall+%5C%2C+%5Ctheta+%5Cin+%280%2C+%5Cpi%2F2%29& alt=&\sin\theta + \cos\theta & 1, \forall \, \theta \in (0, \pi/2)& eeimg=&1&&。&/li&&/ul&于是只剩下D、A或E、B可以互补，两对角的地位是相同的，所以不妨设D、A互补。&br&&br&&img src=&/8e68b62c5_b.png& data-rawwidth=&267& data-rawheight=&378& class=&content_image& width=&267&&&br&如图建立平面直角坐标系，设边长为1，于是有&img src=&///equation?tex=D%280%2C0%29%2C+C%281%2C0%29%2C+B%281%2C1%29& alt=&D(0,0), C(1,0), B(1,1)& eeimg=&1&&。&br&设&img src=&///equation?tex=%5Cangle+D+%3D+%5Cbeta& alt=&\angle D = \beta& eeimg=&1&&，则&img src=&///equation?tex=E%28%5Ccos%5Cbeta%2C+%5Csin%5Cbeta%29& alt=&E(\cos\beta, \sin\beta)& eeimg=&1&&。&br&因为角D、A互补，所以&img src=&///equation?tex=%5Cangle+A+%3D+%5Cpi+-+%5Cbeta& alt=&\angle A = \pi - \beta& eeimg=&1&&。&br&在三角形EAB中使用余弦定理，&img src=&///equation?tex=BE%5E2+%3D+AE%5E2+%2B+AB%5E2+-+2AE%5Ccdot+AB%5Ccos%5Cangle+A& alt=&BE^2 = AE^2 + AB^2 - 2AE\cdot AB\cos\angle A& eeimg=&1&&，&br&代入各点坐标得&img src=&///equation?tex=%281-%5Ccos%5Cbeta%29%5E2+%2B+%281-%5Csin%5Cbeta%29%5E2+%3D+2+%2B+2+%5Ccos%5Cbeta& alt=&(1-\cos\beta)^2 + (1-\sin\beta)^2 = 2 + 2 \cos\beta& eeimg=&1&&，&br&整理得&img src=&///equation?tex=4%5Ccos%5Cbeta+%2B+2%5Csin%5Cbeta+%3D+1& alt=&4\cos\beta + 2\sin\beta = 1& eeimg=&1&&。&br&再考虑到&img src=&///equation?tex=%5Csin%5E2+%5Cbeta+%2B+%5Ccos%5E2+%5Cbeta+%3D+1& alt=&\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1& eeimg=&1&&，可以解得&img src=&///equation?tex=%5Ccos+%5Cbeta+%3D+%5Cfrac%7B2-%5Csqrt%7B19%7D%7D%7B10%7D& alt=&\cos \beta = \frac{2-\sqrt{19}}{10}& eeimg=&1&&。&br&于是角D的大小就是&img src=&///equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B2-%5Csqrt%7B19%7D%7D%7B10%7D+%5Capprox+103.64+%5E%5Ccirc& alt=&\arccos \frac{2-\sqrt{19}}{10} \approx 103.64 ^\circ& eeimg=&1&&&br&这是唯一解，题主的模拟还是挺准确的。&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B2-%5Csqrt%7B19%7D%7D%7B10%7D& alt=&\frac{2-\sqrt{19}}{10}& eeimg=&1&&是一个&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/zh-cn/%25E8%25A6%258F%25E7%259F%25A9%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&规矩数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，所以用尺规作图可以作出题主想要的图形。&br&不过，既然题主是要设计家具，几何上的尺规作图并没有意义。&br&用计算机作图的话，只要把各个点的坐标算到足够精确就行了。&br&上面已经给出了顶点E的坐标，顶点A的坐标就留给题主自己去算啦。
这个问题好玩！ 首先确认一下这是个良定义的问题，即自由度不多不少： 五边形的各个边长均固定。由于C为直角，所以可以看成顶点B、C、D都固定了，剩下的部分是一个各边长度固定的四边形DEAB，由四边形的不稳定性，它还有一个自由度。而「有一对内角互补」的…
先说线段与圆形（circle）的相交检测。（这里的圆形是指圆形的曲线，不包含面积。包含面积的称作圆盘，稍后更新。）&br&&br&设线段为参数方程&br&&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D%28t%29+%3D+%5Cmathbf%7Bo%7D+%2B+t%5Cmathbf%7Bd%7D%2C+t+%5Cin+%5B0%2C+1%5D& alt=&\mathbf{x}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d}, t \in [0, 1]& eeimg=&1&&&br&&br&设圆为隐含方程&br&&img src=&///equation?tex=%5Cleft+%5C%7C++%5Cmathbf%7Bx%7D+-+%5Cmathbf%7Bc%7D+%5Cright+%5C%7C%5E2+%3D+r+%5E2& alt=&\left \|
\mathbf{x} - \mathbf{c} \right \|^2 = r ^2& eeimg=&1&&&br&&br&联合两个方程，得 &img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& 的二次方程：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0A%5Cleft+%5C%7C+%5Cmathbf%7Bo%7D+%2B+t%5Cmathbf%7Bd%7D+-+%5Cmathbf%7Bc%7D+%5Cright+%5C%7C%5E2+%26%3D+r%5E2%5C%5C%0A%5Cleft+%5C%7Ct%5Cmathbf%7Bd%7D+%2B+%28%5Cmathbf%7Bo%7D+-+%5Cmathbf%7Bc%7D%29+%5Cright+%5C%7C%5E2+%26%3D+r%5E2%5C%5C%0A%5Cleft+%5C%7C+%5Cmathbf%7Bd%7D+%5Cright%5C%7C%5E2+t%5E2+%2B+2+%5Cmathbf%7Bd%7D%5Ccdot%28%5Cmathbf%7Bo%7D+-+%5Cmathbf%7Bc%7D%29t+%2B+%5Cleft+%5C%7C+%5Cmathbf%7Bo%7D+-+%5Cmathbf%7Bc%7D+%5Cright+%5C%7C%5E2+-+r%5E2++%26%3D+0%5C%5C%0A%5Cend%7Balign%2A%7D& alt=&\begin{align*}
\left \| \mathbf{o} + t\mathbf{d} - \mathbf{c} \right \|^2 &= r^2\\
\left \|t\mathbf{d} + (\mathbf{o} - \mathbf{c}) \right \|^2 &= r^2\\
\left \| \mathbf{d} \right\|^2 t^2 + 2 \mathbf{d}\cdot(\mathbf{o} - \mathbf{c})t + \left \| \mathbf{o} - \mathbf{c} \right \|^2 - r^2
\end{align*}& eeimg=&1&&&br&&br&求二次方程的判别式。&br&若 &img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3C+0& alt=&\Delta & 0& eeimg=&1&& 则无实根，即两形状不相交；&br&若 &img src=&///equation?tex=%5CDelta+%5Cge+0& alt=&\Delta \ge 0& eeimg=&1&& 则求实根&img src=&///equation?tex=t_0%2C+t_1& alt=&t_0, t_1& eeimg=&1&&，若其中一个实根满足 &img src=&///equation?tex=t_i+%5Cin+%5B0%2C+1%5D& alt=&t_i \in [0, 1]& eeimg=&1&&则两形状相交。&br&&br&此方法可扩展至三维球面（或更高维），也可用于光线（ray）和直线（line）。光线使用&img src=&///equation?tex=t+%5Cin+%5B0%2C+%5Cinfty%5D& alt=&t \in [0, \infty]& eeimg=&1&&，而直线则只需判断判别式。&br&&br&----&br&待续
先说线段与圆形（circle）的相交检测。（这里的圆形是指圆形的曲线，不包含面积。包含面积的称作圆盘，稍后更新。） 设线段为参数方程 \mathbf{x}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d}, t \in [0, 1] 设圆为隐含方程 \left \| \mathbf{x} - \mathbf{c} \right \|…
既然题主强调了欧式空间，那么我们就可以上定理了：&blockquote&&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Mazur%25E2%Ulam_theorem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mazur&i class=&icon-external&&&/i&&/a&-Ulam Theorem: 系数域为实数的赋范向量空间上的等距（满）同构一定是仿射变换。&/blockquote&然后吧……我觉得还是说一下吧。等距变换作用在三角形上出来的就是和原三角形全等的三角形。所以欧式空间中的等距变换保角（仅仅是给一个intuition）。
既然题主强调了欧式空间，那么我们就可以上定理了：-Ulam Theorem: 系数域为实数的赋范向量空间上的等距（满）同构一定是仿射变换。然后吧……我觉得还是说一下吧。等距变换作用在三角形上出来的就是和原三角形全等的三角形。所以欧式空间中的等距变换…
体验：能有什么体验？和大多数的数学学科相似呗。熟悉经典方法，分析问题，解决问题。理论数学研究的对象大多高度抽象，计算几何的研究对象却很具象。就说minimum hitting set是组合里面的著名问题。你把set的内容变成任何几何对象，就是一个问题。例如，线段，射线，直线，正方形，长方形，单位圆，半径任意的圆。这其中有些问题是等价的，有些不是。&br&&br&计算几何的特点就是问题极多，这个是优点，所以一般手头上同时做五六个问题都不稀奇。难点在于没有什么定向的方法，从初等几何到代数拓扑都有可能用到。我老板是地球上做欧氏空间下的TSP做的最好的几个人。让他功成名就的文章里面虽然用到了大量的巧思，但数学概念不超过高中。我在博士期间完成的最满意的文章，证明大概花了两年，全部用的初等几何。&br&&br&前途：以我有限的观察。计算几何的研究者分两类，一类研究二维，一类研究三维或者以上。同时能做出很好工作的不多见。当然也有做了二维的问题，然后用常见的技巧推到高维的人也不少，但我还是把它归为二维。&br&&br&我主要做的二维的问题，目前还没饿死。薪水嘛，硅谷博士的平均吧。在一家半导体软件公司做研发。很多猎头因为我的计算几何背景找到我，给我介绍的职位多是三维的问题，比如3D打印的meshing，slicing还有VR的控件设计。目前感觉，二维的问题还有一定的市场，比如routing，快递公司送货是把地球建模成一个平面。但三维及以上的问题，市场明显更大。VR，AR，3D打印，还有数据库的相关技术（每个entity其实就是高维空间中的一个点，关于这些点集的store，query问题广义上也属于计算几何），所以我个人建议，多做三维的工作。
体验：能有什么体验？和大多数的数学学科相似呗。熟悉经典方法，分析问题，解决问题。理论数学研究的对象大多高度抽象，计算几何的研究对象却很具象。就说minimum hitting set是组合里面的著名问题。你把set的内容变成任何几何对象，就是一个问题。例如，线…
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