若(3x-1x)n的展开式中各项系数和为64，那么n等于（　　）A．3B．7C．6D．8
若(x+2x)n的展开式中各项系数和为99-n，则展开式中系数最大的项为（　　）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
设二项式(33x+1x)n的展开式中各项系数和为p，各项的二项式系数和为s，若p+s=272，则n等于______．
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＞＞＞已知的展开式的二项式系数之和为，且展开式中含项的系数为.⑴求的..
已知的展开式的二项式系数之和为，且展开式中含项的系数为.⑴求的值；⑵求展开式中含项的系数.
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1），；（2）.试题分析：（1）二项式系数之和为：，令易求得，其次利用二项展开式的通项公式中令，易求得；（2）在前小题已求得的的基础上，要求展开式中求特定项（含项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.试题解析：⑴由题意，，则，由通项公式，则，所以，所以；⑵本小题即求展开式中含项的系数，，所以展开式中含项的系数为．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知的展开式的二项式系数之和为，且展开式中含项的系数为.⑴求的..”主要考查你对&&二项式定理与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二项式定理与性质
&二项式定理：
， 它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项.二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即； （2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。 当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。 二项式定理的特别提醒：
①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。&
二项式定理常见的利用：
方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有&但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．&方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地，对于多项式
方法6：多项式的展开式问题：对于多项式(a+b+c)n，我们可以转化为[a+(b+c)]n的形式，再利用二项式定理，求解有关问题。
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815211819439569669288240279161281278当前位置：
＞＞＞已知（xlgx+1）n的展开式最后三项二项式系数之和为22，中间一项为2..
已知（xlgx+1）n的展开式最后三项二项式系数之和为22，中间一项为2000，则x的值为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
∵（xlgx+1）n的展开式最后三项二项式系数之和为22，中间一项为2000，∴Cnn-2+Cnn-1+Cnn=22，即Cn2+Cn1+Cn0=22，∴n=6．∴最中间一项第4项．∴C63（xlgx）3=2000，即x3lgx=100．∴3lgxlgx=lg100，∴x=10±63故答案为：10±63
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据魔方格专家权威分析，试题“已知（xlgx+1）n的展开式最后三项二项式系数之和为22，中间一项为2..”主要考查你对&&二项式定理与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二项式定理与性质
&二项式定理：
， 它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项.二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即； （2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。 当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。 二项式定理的特别提醒：
①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。&
二项式定理常见的利用：
方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有&但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．&方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地，对于多项式
方法6：多项式的展开式问题：对于多项式(a+b+c)n，我们可以转化为[a+(b+c)]n的形式，再利用二项式定理，求解有关问题。
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与“已知（xlgx+1）n的展开式最后三项二项式系数之和为22，中间一项为2..”考查相似的试题有：
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二项式系数的性质第一课时培训教案.ppt 22页
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二项式系数的性质第一课时培训教案
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4.3.2二项式系数的性质 杨辉三角 （二）、规律
1、每行两端都是1
Cn0= Cnn=1 2、从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和
Cn+1m= Cnm
Cnm-1 （3）各二项式系数的和
二项展开式中的二项式系数,都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。 * * 复习 1、什么叫二项式定理？通项公式？ 2、什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？ 《详解九章算法》中记载的表 杨
辉 《详解九章算法》中记载的表
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的 《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右面的表：
这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。 杨辉三角
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
事实上，设表中任一不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及Cnr，由组合数的性质2知道Cn+1r= Cnr-1+Cnr 二项式系数表的规律 杨辉三角 点击图片可以演示“杨辉三角”课件 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数
取得最大值；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
、 相等，且同时取得最大值。 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 性质1：对称性 性质2：增减性与最大值 当n是偶数时，中间的一项
取得最大值
； 先增后减 当n是奇数时，中间的两项
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质 在二项式定理中，令
这就是说，
的展开式的各二项式系数的和等于： 同时由于
，上式还可以写成： 这是组合总数公式．
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 的项是(
). 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式 系数相同的项是(
). A 课堂练习: A.第6项
B.第7项C.第6项和第7项
D.第5项和第7项 C A.第15项
B.第16项 C.第17项 D.第18项
此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。 注： 例1
证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和. 已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值 例题选讲 变式练习： 4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项． 例2
的展开式中，第 解：依题意, n 为偶数，且 例３ 已知
展开式中只有第10项系数 最大，求第五项。
例题选讲 若将“只有第10项”改为“第10项”呢？ 练习一、选择填空： 1.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是
） (A)第六项
（C）第八项
(D)第九项 2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为
(D)220 － 1 C
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