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小学奥数举一反三(六年级)21-40
六年级数学奥数举一反三（下册)第二十一周抓“不变量”解题专题简析： 一些分数的分子与分母被施行了加减变化， 解答时关键要分析哪些量变了， 哪些量没有 变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转 化并解答。 例 1． 将 43 7 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。 61 9解法一： 因为分数的分子与分母加上了一个数， 所以分数的分子与分母的差不变， 仍是 18， 所以，原题转化成了一各简单的分数问题： “一个分数的分子比分母少 18，切分子 7 是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。 ” 9 7 分母： （61-43）÷（1－ ）＝81 9 7 分子：81× ＝63 9 81-61＝20 或 63-43＝20 43 7 解法二： 的分母比分子多 18， 的分母比分子多 2，因为分数的 与分母的差不变，所 61 9 7 以将 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9 倍。 9 ① 7 的分子、分母应扩大： （61-43）÷（9-7）＝9（倍） 97 7 7×9 63 ② 约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝ 9 9 9×9 81 ③ 所加的数是 81-61＝20 答：所加的数是 20。 练习 1： 97 2 1、 分数 的分子和分母都减去同一个数， 新的分数约分后是 ， 那么减去的数是多少？ 181 5 1 3 2、 分数 的分子、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？ 13 5 3、 3 5 的分子、分母加上同一个数并约分后得 ，那么加上的数是多少？ 19 758 2 4、 将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是 79 3 多少？ 例 2：1六年级数学奥数举一反三（下册)将一个分数的分母减去 2 得4 2 ，如果将它的分母加上 1，则得 ，求这个分数。 5 3解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去 2 得 4 5 2 3 ”可知，分母比分子的 倍还多 2。由“分母加 1 得 ”可知，分母比分子的 5 4 3 2 3 5 分子： （2+1）÷（ － ）=12 2 4 3 分母：12× -1＝17 2 解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。 ① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差 3。 ② 原分数的分母是： 18-1＝17 或 15+2＝17 12 答：这个分数为 。 17 练习 2： 1、 将一个分数的分母加上 2 得 2、 将一个分数的分母加上 2 得 3、 将一个分数的分母加上 5 得 4、 将一个分数的分母减去 9 得 7 3 ，分母加上 3 得 。原来的分数是多少？ 9 4 3 4 ，分母加上 2 得 。原来的分数是多少？ 4 5 3 4 ，分母加上 4 得 。原来的分数是多少？ 7 9 5 7 ，分母减去 6 得 。原来的分数是多少？ 8 4 2 4 12 4 12 ＝ ＝ ， ＝ 3 6 18 5 15倍少 1，从而将原题转化成一个盈亏问题。例 3： 在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 1 数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。 2 解法一： 两个新分数在未约分时， 分母相同。 将这两个分数化成分母相同的分数， 即 5 10 = ， 7 14 5 。如果在它的分子上减去同一个 71 7 10 7 = 。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想 和 的分 2 14 14 14 子和分母再乘以 2。所以 5 10 20 1 7 14 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 7 14 28 2 14 28 17 故原来的最简分数是 。 28 解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的 2 倍。所以 5 1 17 （ + ）÷2＝ 7 2 282六年级数学奥数举一反三（下册)17 答：原来的最简分数是 。 28 练习 3： 5 1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去 8 同一个数，这个分数就等于 1 ，求这个分数。 26 2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去 7 同一个数，这个分数就等于 1 ，求这个分数。 37 3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一 9 3 个数，这个分数就等于 ，求这个分数。 5 例 4： 7 3 将一个分数的分母加 3 得 ，分母加 5 得 。原分数是多少？ 9 4 7 21 解法一： 两个新分数在未约分时， 分子相同。 将两个分数化成分子相同的分数， 即 ＝ ， 9 27 3 21 21 ＝ 。 根据题意， 两个新分数的分母应相差 2， 而现在只相差 1， 所以分别将 4 28 27 和 21 7 21 42 3 21 42 的分子和分母再同乘以 2。则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。所以，原分数 28 9 27 54 4 28 5642 的分母是（54－3＝）51。原分数是 。 51 9 解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1” 。分母加 3 后是分子的 ，分母加 5 7 4 4 9 后是分子的 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42。原分数的分母 3 3 7 42 是 42÷7×9-3=51，原分数是 。 51 练习 4： 5 4 1、 一个分数，将它的分母加 5 得 ，加 8 得 ，原来的分数是多少？（用两种方法） 6 5 6 7 2、 将一个分数的分母减去 3，约分后得 ；若将它的分母减去 5，则得 。原来的分数是 7 8 多少？（用两种方法做） 3 5 3、 把一个分数的分母减去 2， 约分后等于 。 如果给原分数的分母加上 9， 约分后等于 。 4 7 求原分数。 例 5：3六年级数学奥数举一反三（下册)1 1 有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于 ；如果分母加 1，这个分数就等于 ，这个 2 3 分数是多少？ 1 根据“分子加 1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这 2 1 个分数就等于 ”可知，分母比分子的 3 倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷ 3 3 （3-2）=3，分母是 3×2+2=8。所以，这个分数是 。 8 练习 5： 1、 1 1 一个分数，如果分子加 3，这个分数等于 ，如果分母加上 1，这个分数等于 ，这 2 3 个分数是多少？ 2、 1 1 一个分数， 如果分子加 5， 这个分数等于 ， 如果分母减 3， 这个分数等于 ， 这个 分 2 3 数是多少？ 1 1 3、 一个分数，如果分子减 1，这个分数等于 ；如果分母加 11，这个分数等于 ，这个 2 3 分数是多少？ 答案： 练1 1、 41 2、17 3、 37 练2 1、 练3 9 1、 16 练4 60 1、 67 练5 7 1、 20 7 2、 24 9 3、 16 84 2、 101 165 3、 222 25 2、 42 31 3、 45 21 25 12 2、 13 12 3、 234、 16 20 414、4六年级数学奥数举一反三（下册)第二十二周特殊工程问题专题简析： 有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我 们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。 例 1： 修一条路，甲队每天修 8 小时，5 天完成；乙队每天修 10 小时，6 天完成。两队合作， 每天工作 6 小时，几天可以完成？ 把前两个条件综合为“甲队 40 小时完成” ，后两个条件综合为“乙队 60 小时完成” 。则 1 1 1÷[ + ]÷6=4（天） 5×8 10×6 或 1÷[（ 1 1 + ）×6]=4（天） 5×8 10×6 答：4 天可以完成。 练习 1： 1、 修一条路，甲队每天修 6 小时，4 天可以完成；乙队每天修 8 小时，5 天可以完成。现 在让甲、乙两队合修，要求 2 天完成，每天应修几小时？ 2、 一项工作，甲组 3 人 8 天能完成，乙组 4 人 7 天也能完成。现在由甲组 2 人和乙组 7 人合作，多少天可以完成？ 3、 货场上有一堆沙子，如果用 3 辆卡车 4 天可以完成，用 4 辆马车 5 天可以运完，用 20 辆小板车 6 天可以运完。现在用 2 辆卡车、3 辆马车和 7 辆小板车共同运两天后，全 改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？ 例 2： 有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时， 丙需要 15 小时。甲和丙在 A 仓库，乙在 B 仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。 最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？ 设搬运一个仓库的货物的工作量为 “1” 。 总整体上看， 相当于三人共同完成工作量 “2” ① 三人同时搬运了 1 1 1 2÷（ + + ）=8（小时） 10 12 15 ② 丙帮甲搬了 （1③ 1 1 ×8）÷ =3（小时） 10 15丙帮乙搬了 8-3=5（小时） 答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了 5 小时。练习 2： 1 1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的 ，徒弟每小时加工自 10 1 己任务的 。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任 155六年级数学奥数举一反三（下册)务，师傅帮徒弟加工了几小时？ 2、 有两个同样的仓库 A 和 B， 搬运一个仓库里的货物， 甲需要 18 小时， 乙需要 12 小时， 丙需要 9 小时。甲、乙在 A 仓库，丙在 B 仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙 搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？ 5 3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的 ，乙每小时加工 12 8 个零件，甲单独加工这批零件要 12 小时，这批零件有多少个？ 例 3： 一件工作，甲独做要 20 天完成，乙独做要 12 天完成。这件工作先由甲做了若干天，然 后由乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天。这件工作由甲先做了几天？ 解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。 解：设甲做了 x 天，则乙做了（14-x）天。 1 1 x+ ×（14-x）=1 20 12 X=5 1 1 解法二：假设这 14 天都由乙来做，那么完成的工作量就是 ×14，比总工作量多了 × 12 12 1 1 1 1 1 14-1= ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 - = ，因此甲做了 ÷ 6 12 20 30 6 1 =5（天） 30 练习 3： 1、 一项工程，甲独做 12 天完成，乙独做 4 天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下 的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了 6 天，甲先做了几天？ 2、 一项工程， 甲队单独做需 30 天完成， 乙队单独做需 40 天完成。 甲队单独做若干天后， 由乙队接着做，共用 35 天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？ 3、 一项工程，甲独做要 50 天，乙独做要 75 天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天， 这样共用 40 天完成。求乙休息的天数。 例 4： 甲、乙两人合作加工一批零件，8 天可以完成。中途甲因事停工 3 天，因此，两人共用 了 10 天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？ 解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。 1 7 ① 甲、乙同时做的工作量为 ×（10-3）＝ 8 8 7 1 ② 乙单独做的工作量为 1－ ＝ 8 8 1 1 ③ 乙的工作效率为 ÷3= 8 24 1 1 1 ④ 甲的工作效率为 － ＝ 8 24 12 ⑤ 甲单独做需要的天数为 1÷ 1 ＝12（天） 126六年级数学奥数举一反三（下册)解法二：从题中得知，由于甲停工 3 天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2 天。由此可知， 甲 3 天的工作量相当于这批零件的 2÷8=1/4 3÷[（10-8）÷8]=12（天）或 3×[8÷（10-8）]=12（天） 答：甲单独做需要 12 天完成。 练习 4： 1、 甲、乙两人合作某项工程需要 12 天。在合作中，甲因输请假 5 天，因此共用 15 天才 完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？ 2、 一段布，可以做 30 件上衣，也可做 48 条裤子。如果先做 20 件上衣后，还可以做多少 条裤子？ 3、 一项工程，甲、乙合作 6 小时可以完成，同时开工，中途甲通工了 2.5 小时，因此， 经过 7.5 小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？ 4、 一项工程，甲先单独做 2 天，然后与乙合作 7 天，这样才完成全工程的一半， 已知甲、 乙工作效率的比是 3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？ 例 5： 放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15 小时放满；如果同时开放①③⑤ 号阀门，12 小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8 小时可以放满。问：同时开放这 五个阀门几小时可以放满这个水池？ 从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现 3 次，② ④⑤号阀门各出现 2 次。 如果 总水量。 1 1 1 1 1 1 1÷[（ + + + + ）÷3]=1÷[ ÷3]=6（小时） 15 10 12 8 8 2 练习 5： 1、 完成一件工作，甲、乙合作需 15 小时，乙、丙两人合作需 12 小时，甲、丙合作需 10 小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？ 1 1 2、 一项工程，甲干 3 天，乙干 5 天可以完成 ，甲干 5 天、乙干 3 天可完成 。甲、 2 3 乙合干需几天完成？ 3、 完成一件工作，甲、乙两人合作需 20 小时，乙、丙两人合作需 28 小时，丙、丁两 人合作需 30 小时。甲、丁两人合作需几小时？ 4、 一项工程，由一、二、三小队合干需 18 天完成，由二、三、四小队合干需 15 天完 成，由一、二、四小队合干需 12 天完成，由一、三、四小队合干需 20 天完成。由 第一小队单独干需要多少天？ 答案： 练1 1 1 1、 1÷（ + ）÷2＝7.5 小时 4×6 8×5 1 1 2、 1÷（ ×2+ ×7）＝3 天 3×8 4×7 3、 （1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的71 1 1 1 1 + + + 再加一个 ， 则是五个阀门各放 3 小时的 15 10 12 8 8六年级数学奥数举一反三（下册)1 1 1 1 1－（ ×2+ ×5+ ×7）×2＝ 3×4 4×5 20×6 4 1 1 （2）后两天需要小板车： ÷（ ×2）＝15 辆 4 20×6 练2 1 1 1、 2÷（ + ）－10＝2 小时 10 15 1 1 1 2、 2÷（ + + ）＝8 小时 18 12 9 1 1 甲帮乙： （1－ ×8）÷ ＝6 小时 12 18 1 1 甲帮丙： （1－ ×8）÷ ＝2 小时 9 18 5 1 5 3、 解法一：12×（ ÷ ）÷（1－ ）＝240 个 8 12 8 解法二：12÷（8－5）×5×12＝240 个 练3 1、 （ 1 1 1 ×6－1）÷（ － ）＝3 天 4 4 121 1 1 2、 甲： （1－ ×35）÷（ － ）＝15 天 40 30 40 乙：35－15＝20 天 3、 40－（1－ 1 1 ×40）÷ ＝25 天 50 75练4 1、 5×【12÷（15－12） 】＝20 天 2、 48－48÷30×20＝16 条 3、 2.5×【6÷（7.5－6） 】＝10 小时 练5 1 1 1 1、 1÷【 （ + + ）÷2】＝8 小时 15 12 10 1 1 2、 1÷【 （ + ）÷（3+5） 】＝9.6 天 2 3 3、 1÷（ 1 1 1 + － ）＝21 小时 20 30 281 1 1 1 1 4、 1÷【 （ + + + ）÷3－ 】＝54 天 18 15 12 20 158六年级数学奥数举一反三（下册)第二十三周周期工程问题专题简析： 周期工程问题中， 工作时工作人员 （或物体） 是按一定顺序轮流交替工作的。 解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问 题迅速地化难为易。 其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样 才能正确解答。 例 1：一项工程，甲单独做需要 12 小时，乙单独做需要 18 小时。若甲做 1 小时 后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时……两人如此交替工作，问完成 任务时需共用多少小时？ 把 2 小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 ① 需循环的次数为：1÷（ 1 1 36 + ）= ＞7（次） 12 18 5 1 1 1 + ）×7= 12 18 36 1 1 1 ÷ = （小时） 36 12 3② 7 个循环后剩下的工作量是：1-（③ 余下的工作两还需甲做的时间为：④ 完成任务共用的时间为：2×7+1 1 =14 （小时） 3 3答：完成任务时需共用 141 小时。 3练习 1： 1、一项工程， 甲单独做要 6 小时完成， 乙单独做要 10 小时完成。 如果按甲、 乙； 甲、乙……的顺序交替工作，每次 1 小时，需要多少小时才能完成？ 2、一部书稿，甲单独打字要 14 小时，乙单独打字要 20 小时。如果先由甲打 1 小时，然后由乙接替甲打 1 小时；再由甲接替乙打 1 小时……两人如此交替 工作，打完这部书稿共需用多少小时？ 3、一项工作，甲单独完成要 9 小时，乙单独完成要 12 小时。如果按照甲、乙； 甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作 1 小时，完成这项工程的 2/3 共 要多少时间？9六年级数学奥数举一反三（下册)2 例 2：一项工程，甲、乙合作 26 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这 3 样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替 轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能 完成？ 由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论 “甲先”还是“乙先” ，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮 流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙 甲 乙甲乙甲……乙甲 乙 1 甲 2竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等 于甲做半天，即甲的工作效率是乙的 2 倍。 ① 甲每天能做这项工程的 1÷26 2 2 1 × = 3 1+2 40② 甲单独做完成的时间 1÷1 =40（天） 40答：这项工程由甲单独做需要 40 天才能完成。 练习 2： 1、一项工程，乙单独做 20 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮 流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流 交替做， 比上次轮流做要多半天才能完成。 这项工程由甲独做几天可以完成？ 2、一项工程，甲单独做 6 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮 流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流 交替做，比上次轮流做要多 可以完成？ 3、一项工程，甲、乙合作 12 3 小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙 5 1 天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天 3做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小 时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多 1 小时才能完成。这项工程由 3甲独做几小时可以完成？ 4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管 5 小时灌满一池水，单开排 水管 3 小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排 水……的顺序轮流依次各开 1 小时，多少小时后水池的水刚好排完？10六年级数学奥数举一反三（下册)例 3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数 天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完 成时所用的天数后， 还剩 60 个不能完成。 已知甲、 乙工作效率的比是 5： 3。 甲、 乙每天各做多少个？ 由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论 “甲先”还是“乙先” ，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮 流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙 甲 乙甲乙甲……乙甲 乙剩 60 个 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的 60 个零件就是甲、乙工作效率的差。 甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个） 乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个） 答：甲每天做 150 个，乙每天做 90 个。 练习 3： 1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数 天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮 流完成时所用的天数后， 还剩 84 个不能完成。 已知师、 徒工作效率的比是 7： 4。师、徒二人每天各做多少个？ 2、一项工程， 如果第一天甲做， 第二天乙做， 这样交替轮流恰好用整数天完成。 如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多 2 天才能完成。如果让 5甲、乙二人合作，只需 25 天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完 8成？ 3、红星机械厂有 1080 个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒 弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第 二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩 60 个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需 3 小时 36 分就能完成。师、 徒每小时各能完成多少个？11六年级数学奥数举一反三（下册)例 4： 打印一部稿件， 甲单独打要 12 小时完成， 乙单独打要 15 小时完成。 现在， 甲、乙两人轮流工作。甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共 要多少小时？ 根据已知条件， 我们可以把 6 小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环 中，甲、乙都工作了 3 小时。 ① 每循环一次，他们共完成全部工程的（ 9 2 =2 20 9 9 1 ×2＝ 20 10 1 1 9 + ）×3＝ 12 15 20② 总工作量里包含几个 9/20：1÷③ 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的 1-④ 由于1 1 ＞ ，所以，求甲工作 1 小时后剩下的工作由乙完成还需的时 10 12 1 1 1 1 ）÷ ＝ 10 12 15 4 1 1 =13 （小时） 4 4间为（⑤ 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+ 1 小时。 4答：打印这部稿件共需 13练习 4： 1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24 分钟能包空池灌满；单开 乙管，18 分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲 1 分钟， 乙 2 分钟，甲 2 分钟，乙 1 分钟，甲 1 分钟，乙 2 分钟……如此交替下去， 灌满一池水共需几分钟？ 2、一件工作，甲单独做，需 12 小时完成；乙单独做需 15 小时完成。现在，甲、 乙两人轮流工作，甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时……如此交替下去，完成这件工作共需 多少小时？ 3、一项工程，甲单独做要 50 天完工，乙单独做需 60 天完工。现在，自某年的 3 月 2 日两人一起开工，甲每工作 3 天则休息 1 天，乙每工作 5 天则休息一 天，完成全部工程的 52 为几月几日？ 754、一项工程，甲工程队单独做完要 150 天，乙工程队单独做完需 180 天。两队 合作时，甲队做 5 天，休息 2 天，乙队做 6 天，休息 1 天。完成这项工程要 多少天？12六年级数学奥数举一反三（下册)例 5： 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序 轮做， 恰好整数天完成呢感。 如果按乙、 丙、 甲次序轮做。 比原计划多用 0.5 天； 如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 1 天。已知甲单独做 13 天完成。且 3 3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是 3 的倍数余 1 或余 2。 如果是 3 的倍数， 三种轮流方式完工的天数， 必定相同。 如果按甲、 乙、 丙的次序轮流做， 用的天数是 3 的倍数余 1。 三种轮流方式做的情况可表示如下： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙 1 丙 2 1 甲 3丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙从中可以退出： 丙=2 1 2 1 2 甲； 由于乙=甲－ 丙=甲－ 甲× ， 又推出乙= 甲； 3 2 3 2 3与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做， 用的天数必定是 3 的倍数余 2。三种轮流方式用的天数必定如下所示： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙 1 甲 2 1 乙 3丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 1 2 由此推出：丙= 甲，丙= 乙 2 3 ① 丙队每天做这项工程的丙甲1 1 1 × = 13 2 26 1 2 3 ÷ = 26 3 52 1 1 3 7 + + ）=5 （天） 13 26 52 9② 乙队每天做这项工程的③ 甲、乙、丙合作完工需要的时间为 1÷（ 7 天完工。 9答：甲、乙、丙合作要 513六年级数学奥数举一反三（下册)练习 5： 1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好 用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 1 天；如果 3按丙、甲、乙次序做，比原计划多用1 天。已知甲单独做 7 天完成。且 3 个 4工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好 整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 1 天；如果按 2丙、甲、乙次序做，比原计划多用1 天。已知甲单独做 10 天完成。且 3 个工 2程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序 轮做， 恰好整数天完成呢感。 如果按乙、 丙、 甲次序轮做。 比原计划多用 1 天； 2如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用1 天。已知这项工程由甲、乙、丙 37 三个工程队同时合作，需 13 天可以完成，且 3 个工程队的工效各不相同。 9 这项工程由甲独做需要多少天才能完成？ 4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲 管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时。要排光一池水，单开乙管要 4 小时， 单开丁管要 6 小时。现知池内有 1 池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、 6丙、丁……的顺序轮流各开 1 小时，多长时间后水开始溢出水池？ 答案： 练1 1、 （1）需循环的次数 1÷（ 1 1 15 + ）＝ ＞3 6 10 4（2）3 个循环后剩下的工作量 1－（ 1 1 1 + ）×3＝ 6 10 514六年级数学奥数举一反三（下册)（3）最后由乙做的时间 （ 1 1 1 1 － ）÷ ＝ 小时 5 6 10 3（4）需要的总时间 2×3+1+ 2、 1 1 ＝7 小时 3 3（1）需循环的次数 1÷（ 1 1 140 + ）＝ ＞8 14 20 17（2）3 个循环后剩下的工作量 1－（ 1 1 4 + ）×8＝ 14 20 140（3）最后由乙做的时间 4 1 2 ÷ ＝ 小时 140 14 5 （4）需要的总时间 2×8+ 2 2 ＝16 小时 5 53、 （1）需循环的次数 2 1 1 24 ÷（ + ）＝ ＞3 3 9 12 7 （2）3 个循环后剩下的工作量 2 1 1 1 －（ + ）×3＝ 3 9 12 12 （3）最后由乙做的时间 1 1 3 ÷ ＝ 小时 12 9 4 （4）需要的总时间 2×3+ 3 3 ＝6 小时 4 4练2 1、 提示：甲的效率是乙的 2 倍 20÷2＝10 天15六年级数学奥数举一反三（下册)2、 提示：乙的效率是甲的2 31÷【1 1 1 3 ×（1－ ）+ 】＝3 天 6 3 6 5 2 33、 提示：乙的效率是甲的1÷（1÷12 4、 （1）需几个周期3 3 × ）＝21 小时 5 3－1+31 1 1 15 ÷（ － ）×3＝ ＞3 2 3 5 4 （2）3 个周期后剩下的水 1 1 1 1 －（ － ）×3＝ 2 3 5 10 （3）需要的时间 2×3+1+（ 练3 1、 1 1 1 9 + ）÷ ＝7 小时 10 5 3 10师傅：84÷（7－4）×7＝196 个 徒弟：84÷（7－4）×4＝112 个 提示：乙的效率是甲的（1－ 2 3 ）＝ 5 52、1÷（1÷25 3 × ）＝7 天 8 5－2+53、3 小时 36 分＝33 小时 5 3 ＝300 个 5师、徒效率和：1080÷3师傅每小时的个数： （300+60）÷2＝180 个 徒弟每小时的个数： （300－60）÷2＝120 个 练4 1、 提示：把 6 分钟看作一个循环 （1） 每循环一次的工作量16六年级数学奥数举一反三（下册)（1 1 7 + ）×（1+2）＝ 24 18 24 7 24（2） 总工作量里面有几个 7 3 ＝3 24 71÷（3） 3 个循环后剩下的工作量 1－ 7 1 ×3＝ 24 8（4） 一共需要的时间 6×3+1+（ 2、 1 1 1 1 － ）÷ ＝20 分钟 8 24 18 2提示：把 6 分钟看作一个循环 （1） 1 个循环的工作量 （ 1 1 9 + ）×（1+2）＝ 12 15 20 9 20（2） 总工作量里面有几个 9 2 ＝2 20 91÷（3） 3 个循环后剩下的工作量 1－ 9 1 ×2＝ 20 10（4） 一共需要的时间 6×2+ 1 1 1 ÷ ＝13 小时 10 12 5 1 1 ÷ 10 12说明：2 个循环后，是由甲接着干 2 小时，所以直接用 3、 提示：把 12 天看作一个循环 12 天中甲的工作量 1 9 ×（3+3+3）＝ 50 5017六年级数学奥数举一反三（下册)12 天中乙的工作量 1 1 ×（5+5）＝ 60 6 总共需要的天数 52 9 1 ÷（ + ）＝2 75 50 6 （12 天减去最后休息的 1 天） 12×2－1＝23 天 完成全部任务的 4、 52 为 3 月 24 日。 75提示：把 7 天看作一个周期 1÷（ 2 2 ×5+ ×6）＝15 3 37×15－1＝104 天 练5 1、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为 3 的倍数余 2，否 则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的 1 2 2 × ＝ 7 3 21 2 3 ，丙的效率也是乙的 。 3 4（1）丙的工作效率（2） 乙的工作效率2 3 8 ÷ ＝ 21 4 63 1 2 8 17 + + ）＝2 天 7 21 63 23（3） 甲、乙、丙三队合做的天数 1÷（2、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为 3 的倍数余 1，否则 与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的 1 1 1 × ＝ 10 2 20 1 1 1 3 ×（1－ × ）＝ 10 2 2 40 1 1 3 4 + + ）＝4 天 10 20 40 9181 3 ，乙的效率是甲的 。 2 4（1） 丙的效率（2） 乙的效率（3） 甲、乙、丙三队合做的天数 1÷（六年级数学奥数举一反三（下册)3、 由题意可以推出， 丙的效率是甲的1 2 2 ＝ ， 丙的效率是乙的 ， 进而推出甲、 2 4 3乙、丙工作效率的比是 4：3：2。 1÷（1÷13 7 4 × ）＝31 天 9 4+3+2 2 ，否则开甲管的过程 34、 提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过 中水池里的水就会溢出。 （1） 水池里的水超过 2 时需要几个循环 3（2 1 1 1 1 1 30 － ）÷（ － + － ）＝ ＞4 3 6 3 4 5 6 7（2） 循环 5 次以后，池中水占 1 1 1 1 1 3 +（ － + － ）×5＝ 6 3 4 5 6 4 （3） 总共需要的时间 4×5+（1－ 3 1 3 ）÷ ＝20 小时 4 3 419六年级数学奥数举一反三（下册)第二十四周比较大小专题简析： 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较 一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目， 需要将原题进行各种形式的转化， 再利用一些不等式的性质进行 1 1 a 推理判断。如：a＞b＞0，那么 a 的平方＞b 的平方；如果 a＞b＞0，那么 ＜ ；如果 ＞ a b b 1，b＞0，那么 a＞b 等等。 比较大小时，如果要比较的分数都接近 1 时，可先用 1 减去原分数，再根据被减数相等 （都是 1） ，减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以先用 1 分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小， 除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、 比商等形式外， 还常常要根据算式的特点将它作适当的变 形后再进行判断。 例 1： 884 比较 和 的大小。 889 这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由 于这里的两个分数都接近 1，所以我们可先用 1 分别减去以上分数，再比较所得差的大小， 然后再判断原来分数的大小。
因为 1－ = ，1－ = 778 889 5 5 ＞ 889 884 所以 ＜ 。 889 练习 1： 6661 1、 比较 和 的大小。 6663 2、 将
987 98 ， ， ， 按从小到大的顺序排列出来。
988 99971 3、 比较 和 的大小。 974 例 2： 111 1111 比较 和 哪个分数大？
可以先用 1 分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。 111 1111 1 因为 1÷ ＝ ＝10 20六年级数学奥数举一反三（下册) 1 1÷ ＝ ＝10
1 ＞10 111 1111111 1111 所以 ＜
练习 2： 333 33 1、 比较 A＝ 和 B＝ 的大小 、 比较 和 的大小
3、 比较 和 的大小。 9994 例 3：
比较 和 的大小。
两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交叉相乘 法比较分数的大小。 因为 1 ＝1+12345×4 ＝1+×98761 ＝1+98760 而 9 所以 1＞1 则 练习 3 176 177 1、 比较 和 的大小。 257 259
2、 如果 A＝ ，B＝ ，那么 A 与 B 中较大的数是_______.
45671 3、 试比较 与 的大小。 65431 例 4． 1 2 3 4 73 已知 A×15×1 ＝B× ÷ ×15＝C×15.2÷ ＝D×14.8× 。A、B、C、D 四个数 99 3 4 5 74 中最大的是_______. 求 A、B、C、D 四个数中最大的数，就要找 15×1 中最小的。 1 2 3 4 73 ， ÷ ×15，15.2÷ ，14.8× 99 3 4 5 74
＜ 21六年级数学奥数举一反三（下册)1 15×1 ＞15 99 4 15.2÷ ＞15 5 2 3 1 ÷ ×15＝13 3 4 3 73 14.8× ＝14.6 74 2 3 答：因为 ÷ ×15 的积最小，所以 B 最大。 3 4 练习 4 2 4 1 1、 已知 A×1 ＝B×90％＝C÷75％＝D× ＝E÷1 。把 A、B、C、D、E 这 5 个数从小 3 5 5 到大排列，第二个数是______.●● ● 2 5 24 13 1、 2、 有八个数，0.51 ， ， ，0.51， ， 是其中的六个数，如果从小到大排列 3 9 47 25时，第四个数是 0.5111?，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？ 3、 在下面四个算式中，最大的得数是几？ 1 1 （1） （ + ）×20 17 19 1 1 （3） （ + ）×40 31 37 （2） （ （4） （ 1 1 + ）×30 24 29 1 1 + ）×50 41 47例 5． 图 24－1 中有两个红色的正方形， 两个蓝色的正方形， 它们的面积已在图中标出 （单位： 平方厘米） 。问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？ 19962 红 19932 红 19972 蓝 19922 蓝通过计算结果再比较大小自然是可以，但比较麻烦。我们可以采取间接比较的方法。 1 ＝（）×（） ＝ 1993 －1992 ＝（）×（） ＝3985 （） 因为 1 ＞1 所以
＞ 练习 5 1、 如图 24－2 所示，有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色的两圆的直径分别是 199222六年级数学奥数举一反三（下册)厘米和 1949 厘米，蓝色的两圆的直径分别是 1990 厘米和 1951 厘米。问：红色的两圆 面积之和大，还是蓝色的两圆面积之和大？ 2、 如图 24－3 所示，正方形被一条曲线分成了 A、B 两部分，如果 x ＞y，是比较 A、B 两部分周长的大小。 3、 问 1 3 5 7 99 1 × × × ×?× 与 相比，哪个更大？为什么？ 2 4 6 8 100 10红蓝AxB 红 蓝Y图 24－2 答案： 练1 1、 2、 6661 ＞
＜ ＜ ＜ 99 988 图 24－3971 3、 ＞ 974 练2 1、 2、 3、 练3 1、 2、 3、 176 177 ＞ 257 259
＞ 444443 ＜
＞ 9994练4 1、 C23六年级数学奥数举一反三（下册)●● ● ● 2 5 13 24 2、 六个已知的数的大到小排列是 ＞ ＞ ＞0.51 ＞0.51＞ ， 因为 0.51是八个数从 3 9 25 47 ●小到大排列的第四个，说明另外两个数一定比 0.51小，所以这八个数中第四个大的数 是 0.51。 3、 （3）的积最大 练5 1、 红色两圆的面积大 2、 B 的周长大。 3、 1 3 5 7 99 1 × × × ×?× ＜ 。 2 4 6 8 100 10●●24六年级数学奥数举一反三（下册)第二十五周最大最小问题专题简析： 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶 段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学 的各种知识。 例 1： a－b a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数，求 的最大值。 a+b 根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以 b=1；由 b=1 可知，分母比分子 大 2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于 1，可见应使所求分数的分数单位尽 可能小，因此 a=99 a－b 99－1 49 的最大值是 = a+b 99+1 50 a－b 49 答： 的最大值是 。 a+b 50 练习 1： x－y 1、 设 x 和 y 是选自前 100 个自然数的两个不同的数，求 的最大值。 x+y a－ b 2、 a 和 b 是小于 50 的两个不同的自然数，且 a＞b，求 的最小值。 a+b x+y 3、 设 x 和 y 是选自前 200 个自然数的两个不同的数，且 x＞y，①求 的最大值； x－y x+y ②求 的最小值。 x－y 例 2： 有甲、乙两个两位数，甲数 2 2 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？ 7 32 2 甲数：乙数= ： =7：3，甲数的 7 份，乙数的 3 份。由甲是两位数可知，每份的数 3 7 量最大是 14，甲数与乙数相差 4 份，所以，甲、乙两数的差是 14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是 56。 练习 2： 1、 有甲、乙两个两位数，甲数的 3 4 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？ 10 55 1 2、 甲、乙两数都是三位数，如果甲数的 恰好等于乙数的 。这两个两位数的和最小 6 4 是多少？ 3、 加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做 48 个、32 个、28 个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？25六年级数学奥数举一反三（下册)例 3： 如果两个四位数的差等于 8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对 共有多少个？ 在这些数对中，被减数最大是 9999，此时减数是 ＝1078，被减数和剑术同 时减去 1 后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去 78，因此，这样的数对共有 78+1＝79 个。 答：这样的数对共有 79 个。 练习 3 1、 两个四位数的差是 8921。这两个四位数的和的最大值是多少？ 2、 如果两个三位数的和是 525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有 多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？ 3、 如果两个四位数的差是 3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多 少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？ 例 4． 三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是 114。这三个数中最小的是多 少？ 因为： 最大数×中间数－最小数×中间数＝114， 即： （最大数－最小数） ×中间数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是 114÷2＝57，最小数是 57 －1＝56 答：最小数是 56。 练习 4 1、 桑连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是 252。三个数中最小的数是 ______. 2、 a、b、c 是从小到大排列的三个数，且 a－b＝b－c，前两个数的积与后两个数的 积之差是 280。如果 b＝35，那么 c 是_____。 3、 6 5 10 被分数 ， ， 除得的结果都是整数的最小分数是______。 7 14 21例 5． 三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数的和是 2886。求所有这样的 6 个三 位数中的最小的三位数。 因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了 2 次。所以， 能得到三个数 字的和。 设三个数字为 a、b、c，那么 6 个不同的三位数的和为 abc+acb+bac+bca+cab+cba ＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2 ＝（a+b+c）×222 ＝2886 即 a+b+c＝＝13 答：所有这样的 6 个三位数中，最小的三位数是 139。 练习 526六年级数学奥数举一反三（下册)1、 2、 3、有三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个不同的三位数的和是 3108。所有这样 的 6 个三位数中最大的一个是多少？ 有三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个不同的三位数的和是 2220。所有这样 的 6 个三位数中最小的一个是多少？ 用 a、b、c 能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数相加的和是 2886。已知 a、b、c 三个数字中，最大的数字是最小数字的 2 倍，这 6 个三位数中最小的数是多少？答案： 练1 1、 99 101 2、 1 97 3、 （1）399 （2） 201 199练2 1、 甲、乙两数的比是 8：3，甲数最大是 96 ，差最大是 60。 2、 甲、乙两数的比是 3：10，甲数最小是 102，和最小是 442。 1 1 1 3、 一、二、三道工序所需的工人数的比是48 ：32 ：28 ＝14：21：24，所以至少安排 14+21+24＝59 个工人。 练3 1、 9999+（）＝11077 2、 较小的数最大是（521－1）÷2＝262，100～262 共有 163 个自然数,所以共有 163 对, 两个数的差最大是 525－100－100＝325 3、 数对共有 9999 － 3456 －1000+1 ＝ 5544 个，两个数的和最大是 9999 － ＝ 16542，两个数的和最小是 00＝5456 练4 1、 最大数－最小数＝4 中间数＝252÷4＝63 最小数＝63－2＝61 2、 根据题意可得（a－c）×b＝280，进而可以推出 a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c ＝35－8÷2＝31 3、 所求的分数，它的分子是 6，5，10 的最小公倍数，分母是 7，14，21 的最大公约数， 30 所以答案是 。 7 练5 1、 符合题意的三个数字之和是 ＝14，因此，所有这样的 6 个三位数中最大的 一个是 941（三个数字不能有 0，否则就不能排出 6 个不同的三位数） 。 2、 三个数字的和是 ＝10，最小的一个是 127。 3、 最小的数是 346。27六年级数学奥数举一反三（下册)第二十六周乘法和加法原理专题简析： 在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法， 要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。做一件事时有几类 不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。例题 1： 由数字 0，1，2，3 组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 在确定组成三位数的过程中，应该一位一位地去确定，所以每个问题都可以 分三个步骤来完成。 ①要求组成不相等的三位数，所以数字可以重复使用。百位上不能取 0，故 有 3 种不同的取法：十位上有 4 种取法，个位上也有 4 种取法，由乘法原理共可 组成 3×4×4=48 个不相等的三位数。 ②要求组成的三位数没有重复数字，百位上不能取 0，有三种不同的取法， 十位上有三种不同的取法，个位上有两种不同的取法，由乘法原理共可组成 3× 3×2=18 个没有重复数字的三位数。 练习 1： 1、有数字 1，2，3，4，5，6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同 的减法算式？ 3、由数字 1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个： ①三位数； ②三位偶数； ③没有重复数字的三位偶数； ④百位是 8 的没有重复数字的三位数； ⑤百位是 8 的没有重复数字的三位偶数。28六年级数学奥数举一反三（下册)例题 2： 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5， 6。将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？ 要使两个数字之和为偶数，就需要这两个数字的奇、偶性相同，即两个数字 同为奇数或偶数。所以，需要分两大类来考虑： 两个正方体向上一面同为奇数的共有 3×3=9（种）不同的情形； 两个正方体向上一面同为偶数的共有 3×3=9（种）不同的情形； 两个正方体向上一面同为偶数的共有 3×3+3×3=18（种）不同的情形。 练习 2： 1、在 1―1000 的自然数中，一共有多少个数字 1？ 2、在 1―500 的自然数中，不含数字 0 和 1 的数有多少个？ 3、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次， 就能把锁和钥匙配起来？ 4、由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？例题 3： 书架上层有 6 本不同的数学书，下层有 5 本不同的语文书，若任意从书架上 取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ 从书架上任取一本数学书和一本语文书，可分两个步骤完成，第一步先取数 学书，有 6 种不同的方法，而这 6 种的每一种取出后，第二步再取语文书，又有 5 种不同的取法，这样共有 6 个 5 种取法，应用乘法计算 6×5=30（种） ，有 30 种不同的取法。 练习 3： 1、商店里有 5 种不同的儿童上衣，4 种不同的裙子，妈妈准备为女儿买上 衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？ 2、小明家到学校共有 5 条路可走，从学校到少年宫共有 3 条路可走。小明 从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？ 3、张师傅到食堂吃饭，主食有 2 种，副食有 6 种，主、副食各选一种，他29六年级数学奥数举一反三（下册)有几种不同的选法？例题 4： 在 2， 3， 5， 7， 9 这五个数字中， 选出四个数字， 组成被 3 除余 2 的四位数， 这样的四位数有多少个？ 从五个数字中选出四个数字，即五个数字中要去掉一个数字，由于原来五个 数字相加的和除以 3 余 2，所以去掉的数字只能是 3 或 9。 去掉的数字为 3 时， 即选 2， 5， 7， 9 四个数字， 能排出 4×3×2×1=24 （个） 符合要求的数，去掉的数字为 9 时也能排出 24 个符合要求得数，因此这样的四 位数一共有 24+24=48（个） 练习 4： 1、在 1，2，3，4，5 这五个数字中，选出四个数字组成被 3 除余 2 的四位 数，这样的四位数有多少个？ 2、在 1，2，3，4，5 这五个数字中，选出四个数字组成能被 3 整除的四位 数，这样的四位数有多少个？ 3、在 1，4，5，6，7 这五个数字中，选出四个数字组成被 3 除余 1 的四位 数，这样的四位数有多少个？例题 5： 从学校到少年宫有 4 条东西的马路和 3 条南北的马路相通（如图） ，小明从 学校出发到少年宫（只许向东或向南行进） ，最后有多少种走法？ 为了方便解答，把图中各点用字母表示如图。根据小明步行规则，显然可知 由 A 到 T 通过 AC 边上的各点和 AN 边上的各点只有一条路线， 通过 E 点有两条路 线（即从 B 点、D 点来各一条路线） ，通过 H 点有 3 条路线（即从 E 点来有二条 路线，从 G 点来有一条路线） ，这样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等 于通过该点左边、上方的两邻接交叉点的路线的总和，因此，可求得通过 S 点有 4 条路线，通过 F 点有 3 条路线??由此可见，由 A 点通过 T 点有 10 条不同的 路线，所以小明从学校到少年宫最多有 10 种走法。 练习 5：30六年级数学奥数举一反三（下册)1、从学校到图书馆有 5 条东西的马路和 5 条南北的马路相通（如图） 。李菊 从学校出发步行到图书馆（只许向东或向南行进） ，最多有多少种走法？ 2、某区的街道非常整齐（如图） ，从西南角 A 处走到东北角 B 处，要求走最 近的路，一共有多少种不同的走法？ 3、如图有 6 个点，9 条线段，一只小虫从 A 点出发，要沿着某几条线段爬 到 F 点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种 不同的走法？答案： 练1 1、 3×5×4×3＝180 个 2、 90×9＝810 个 3、 8×8×8＝512 个 4×7×6＝168 个 练2 1、 2 个 2、 8+8×8+3×8×8＝264 个 3、 9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45 次 练3 1、 24 个 练4 1、 48 个 练5 1、 12 个 2、 18 个 3、 30 个 12 个 2、 24 个 3、 72 个 2、 42 个 3、 48 个 48 个 4×8×8＝256 个 1×7×6＝42 个 1×3×6＝18 个31六年级数学奥数举一反三（下册)第 27 周 专题简析：表面积与体积（一）小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从 平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因 此， 要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法， 能将公式作适当的变形， 养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵 活地计算。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。 反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼 合起来。 若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合 起来。例题 1： 从一个棱长 10 厘米的正方体木块上挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘 米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ 这是一道开放题，方法有多种： ①按图 27-1 所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为 592 平方厘米。图27--1②按图 27-2 所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为 632 平方厘米。32六年级数学奥数举一反三（下册)图27--2③按图 27-3 所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为 672 平方厘米。图27--3练习 1： 1、从一个长 10 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2 厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？ 2、把一个长为 12 分米，宽为 6 分米，高为 9 分米的长方体木块锯成两个想 同的小厂房体木块， 这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加 了多少平方分米？ 3、在一个棱长是 4 厘米的立方体上挖一个棱长是 1 厘米的小正方体后，表 面积会发生怎样的变化？例题 2： 把 19 个棱长为 3 厘米的正方体重叠起来，如图 27-4 所示，拼成一个立体图 形，求这个立体图形的表面积。33六年级数学奥数举一反三（下册)图27―4要求这个复杂形体的表面积， 必须从整体入手， 从上、 左、 前三个方向观察， 每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图 27-5 所示） 。从上往下看从左往右看 图27―5从前往后看而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。 整个立体 图形的表面积可采用（S 上+S 左+S 前）×2 来计算。 （3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2 =（81+72+90）×2 =243×2 =486（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是 486 平方厘米。 练习 2：34六年级数学奥数举一反三（下册)1、用棱长是 1 厘米的立方体拼成图 27-6 所示的立体图形。求这个立体图形 的表面积。图27―62、 一堆积木 （如图 27-7 所示） ， 是由 16 块棱长是 2 厘米的小正方体堆成的。 它们的表面积是多少平方厘米？3、一个正方体的表面积是 384 平方厘米，把这个正方体平均分割成 64 个相 等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？例题 3： 把两个长、 宽、 高分别是 9 厘米、 7 厘米、 4 厘米的相同长方体， 拼成一个 大 长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？ 把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大35六年级数学奥数举一反三（下册)厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必 须使两个拼合面的面积最大，即减少两个 9×7 的面。 （9×9+9×4+7×4）×2×2―9×7×2 =（63+36+28）×4―126 =508―126 =382（平方厘米） 答：这个大厂房体的表面积最少是 382 平方厘米。 练习 3： 1、把底面积为 20 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的 表面积是多少？ 2、将一个表面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长 方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。 3、 用6块 （如图 27-8 所示） 长方体木块拼成一个大长方体， 有许多种做法， 其中表面积最小的是多少平方厘米？1厘米 2厘米3厘米例题 4： 一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米，则体积增加 90 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方里，求 原长方体的表面积。 我们知道：体积=长×宽×高；由长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘米，可 知宽×高=40÷2=20（平方厘米） ；由宽增加 3 厘米，体积增加 90 立方厘米，可 知长×高=90÷3=30（平方厘米） ；由高增加 4 厘米，体积增加 96 立方厘米，可 知长×宽=96÷4=24 （平方厘米） 。 而长方体的表面积= （长×宽+长×高+宽×高） ×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米） 。即36六年级数学奥数举一反三（下册)40÷2=20（平方厘米） 90÷3=30（平方厘米） 96÷4=24（平方厘米） （30+20+24）×2 =74×2 =148（平方厘米） 答：原 长方体的表面积是 148 平方厘米。 练习 4： 1、一个长方体，如果长减少 2 厘米，则体积减少 48 立方厘米；如果宽增加 5 厘米， 则体积增加 65 立方厘米； 如果高增加 4 厘米， 则体积增加 96 立方厘米。 原来厂房体的表面积是多少平方厘米？ 2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体 后，便成为一个正方体，其表面积减少了 120 平方厘米。原来厂房体的体积是多 少立方厘米？ 3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是 209。如果它的 长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？宽 长 高例题 5： 如图 27-10 所示，将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的 三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻37六年级数学奥数举一反三（下册)烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体 的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1 =3.14×（4.5+3+2+1） =3.14×10.5 =32.97（平方米） 答：这个物体的表面积是 32.97 平方米。 练习 5： 1、 一个棱长为 40 厘米的正方体零件 （如图 27-11 所示） 的上、 下两个面上， 各有一个直径为 4 厘米的圆孔，孔深为 10 厘米。求这个零件的表面积。 2、用铁皮做一个如图 27-12 所示的工件（单位：厘米） ，需用铁皮多少平方 厘米？ 3、如图 27-13 所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的 洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为 10 厘米，侧 面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆， 求该立方体的表面积和体积（∏取 3.14） 。答案： 练1 1、 切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面 3 个 1×1 的正方形，新增 加了左右下面三个 1×1 的正方形，所以表面积大小不变。 2、 4×4×6－2×2×2＝92 平方厘米 3、 中心挖去的洞的体积是： 12×3×3－13×2＝7 立方厘米， 挖洞后木块的体积： 33－7＝20 立方厘米， 中心挖洞后每面增加的面积是 12×4－12＝3 平方厘米， 挖洞后木块的表面积： （32+3）×6＝72 平方厘米。38六年级数学奥数举一反三（下册)练2 1、 从三个不同的方向看，得到图答 27－1：从上往下看从前往后看从左往右看（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54 平方厘米 2、 （2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200 平方厘米 3、 因为 64＝4×4×4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的 4 被，那么大 正方体的表面积是小正方体的 4×4＝16 倍，小正方体的表面积是：384÷16 ＝24 平方厘米 练3 1、将正方体分为两个长方体，表面积就增加了 2 个 30÷6＝15 平方厘米，拼成 大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是 1 个 30÷6＝15 平方厘 米，所以大长方体的表面积是 30+30+6＝35 平方厘米。 2、要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有 如图答 27－2 两种：表面积都是（3×3+3×4×2）×2＝66 平方厘米。 3、设大长方体的宽和高为 x 分米，长为 2x 分米，左面和右面的面积就是 x2 平 方分米。其余的面积为 2x2 平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x2+8 ×2x2＝600 x＝5大长方体的体积是：5×5×2×5＝250 立方分米 练4 1、 （48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122 平方厘米 2、 减少的表面积实质是高度分别为 2 厘米和 3 厘米的前、后、左、右四个面的 面积之和。把两个合并起来，用 120÷（2+3）＝24 厘米，求到正方体底面 的周长，正方体的棱长就是 24÷4＝6 厘米。圆长方体的体积是： 6×6× （6+3+2）＝396 立方厘米 3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽+高） ，209＝39六年级数学奥数举一反三（下册)11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽 和高只能是 17 和 2，长方体的体积就是 11×17×2＝374 练5 1、 402×6+3.14×4×10×2＝9651.2 平方厘米 2、 用两个同样的工件可拼成图答 27－3 的圆柱体。 3.14×15×（46+54）÷2＝2355 平方厘米 3、 立方体的表面积和是：6×102－42×4－2×3.14×（ 打洞后增加的面积是： 3.14×4× （10－4） +4× （10－4）×4×2+42×2－3.14×（ 平方厘米 表面积是：510.88+274.24＝785.12 平方厘米 体积是：103－42×10×2+43－3.14×（ 4 ）2×（10－4）＝668.64 平方厘米 2 4 2 ） ×2＝274.24 2 4 2 ） ＝510.88 平方厘米 240六年级数学奥数举一反三（下册)第 28 周专题简析：表面积与体积（二）解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中 取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。 如果物体不全部浸在水中， 那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体 积。 （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积 保持不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防 止思维定。例题 1： 有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 6 米、3 米、2 米。把 两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米。如 果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？ 中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水 池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米，两堆碎石的体积就是 3×3×0.06+2×2× 0.04=0.7（立方米） 。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是 0.7 立方 米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。 3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米） 0.7÷6 的平方=7/360（米）=1 又 17/18（厘米） 答：大水池的水面升高了 1 又 17/18 厘米。 练习 1： 1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 4 米、3 米、2 米。 把两堆碎石分别沉没在中、 小水池的水中，两个水池的水面分别升高了 4 厘米和 11 厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘 米？41六年级数学奥数举一反三（下册)2、用直径为 20 厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为 30 厘米、20 厘米、 5 厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到 0.1 厘米）？ 3、将表面积为 54 平方厘米、96 平方厘米、150 平方厘米的三个铁质正方体 熔铸成一个大正方体（不计损耗） ，求这个大正方体的体积。例题 2： 一个底面半径是 10 厘米的圆柱形瓶中，水深 8 厘米，要在瓶中放入长和宽 都是 8 厘米、高是 15 厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？ 在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是 全部沉入水中，排开水的体积是 8×8×15=960（立方厘米） 。而现在瓶中水深是 8 厘米，要淹没 15 厘米高的铁块，水面就要上升 15―8=7（厘米） ，需要排开水 的体积是（3.14×10×10―8×8）×7=1750（立方厘米） ，可知铁块是部分在水 中。 当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是 3.14×10×10―8×8=250 （平方厘米） 。 水的形状变了， 但体积还是 3.14×10×10×8=2512 （立方厘米） 。 水的高度是 .048（厘米） ，上升 10.048―8=2.048（厘米） 3.14×10×10×8÷（3.14×10×10―8×8）―8 =―8 =10.048―8 =2.048（厘米） 答：水面上升了 2.048 厘米。 练习 2： 1、 一个底面积是 15 平方厘米的玻璃杯中装有高 3 厘米的水。现把一个底面 半径是 1 厘米、 高 5 厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少 厘米（∏取 3）？ 2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积市 2 平方里。在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这 时水面高多少厘米？ 3、 在底面是边长为 60 厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长42六年级数学奥数举一反三（下册)100 厘米、底面边长为 15 厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水 50 厘米 深。现在把铁棍轻轻地向上方提起 24 厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长 多少厘米？例题 3： 某面粉厂有一容积是 24 立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的 2 倍。 当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时， 求这堆面粉的体积 （如图 28-1 所示） 。设圆锥体的底面半径是 r，则长方体的高和宽也都是 r，长是 2r。长方体的 容积是 2r×r×r=24，即 r 的立方=12。这个半圆锥体的体积是 1/3×∏r 的平方 ×r÷2=1/6∏r 的立方，将 r 的立方=12 代入，就可以求得面粉的体积。 设圆锥体的底面半径是 r，则长方体的容积是 2r×r×r=24，r 的立方=12。 1/3×3.14×r 的平方×r÷2 =1/6×3.14×r 的立方 =1/6×3.14×12 =6.28（立方米） 答：这堆面粉的体积是 6.28 立方米。 练习 3： 1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的 体积是 216 立方分米。求这个圆锥体的体积。 2、一个正方体的纸盒中如图 28-2 所示，恰好能装入一个体积 6.28 立方厘 米的圆柱体。纸盒的容积有多大（∏取 3.14）？43六年级数学奥数举一反三（下册)3、如图 28-3 所掷，圆锥形容器中装有 3 升水，水面告诉正好是圆锥高读的 一半。这个容器还能装多少水？例题 4： 如果把 12 件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方 法？怎样打包物体的表面积最小呢？a c b 图28―4图28―544六年级数学奥数举一反三（下册)图28―6设长方体物品的长、宽、高分别是 a、b、c，并且 a＞b＞c（入土 28-4） 。 比较“3×4”和“2×6”两种包法。图 28-5 中大长方体表面积为 6ab+8ac+24bc ①，图 28-6 中大长方体的表面积为 4ab+12ac+24bc②，两个式子中都曲调相同 的部分 4ab+8ac+24bc 后， ①式与②式的大小要看 2ab 与 4ac 的大小。 （1） 当 b=2c 时，2ab=￥ac，两种包法相同。 （2）当 b＜2c 时， “3×4”的包法表面积最小。 （3）当 b＞2c 时， “2×6”的包法表面积最小。 练习 4： 1、如果把长 8 厘米，宽 7 厘米，高 3 厘米的 2 件同样的长方体物品打包， 形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？ 2、一个精美小礼品盒的形状是长 9 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体。 请你帮厂家设计一个能装 10 个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？ 为什么？ 3、 一包香烟的形状是长方体， 它的长是 9 厘米， 宽是 5 厘米， 高是 2 厘米。 把 10 包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算 需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计） 。你认为哪一种包装比较 合理？例题 5： 一只集装箱，它的内尺寸是 18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸是 1 ×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱？ 因为集装箱内尺寸 18 不是货箱尺寸 4 的倍数，所以，只能先在 18×16×18 的空间放货箱，可放 18×16×18÷（1×4×9）=144（只） 。这时还有 18×2×1845六年级数学奥数举一反三（下册)的空间，但只能在 18×2×16 的空间放货箱，可放 18×2×16÷（1×4×9）=16 （只） 。 最后剩下 18×2×2 的空间无法再放货箱， 所以最多能装 144+16=160 （只） 。 18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9） =144+16 =160（只） 答：这只集装箱能装 160 只货箱。 练习 5： 1、有一个长方体的盒子，从里面量长为 40 厘米、宽为 12 厘米、高为 7 厘 米。在这个盒子里放长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，最多可放几 块？ 2、从一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的厂房体上面，尽 可能大地切下一个正方体， 然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最 后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体， 剩下的体积是多少立方厘 米？ 3、现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好） ，你做出的 铁皮盒容积是多少立方厘米？答案： 练1 1、 （32×0.04+22×0.11）÷42＝0.05 米＝5 厘米 2、 30×20×5÷【3.14×（ 20 2 ） 】≈9.6 厘米 23、 大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。 54÷6＝9 平方厘米 9＝3×3 96÷6＝16 平方厘米它的体积是 3×3×3＝27 平方厘米 16＝4×4它的体积是 4×4×4＝64 立方厘米 25＝5×5150÷6＝25 平方厘米它的体积是 5×5×5＝125 立方厘米46六年级数学奥数举一反三（下册)27+64+125＝216 立方厘米 练2 1、 铁块全部放入水中，排水的体积是 3×12×5＝15 立方厘米，要使水面升高 2 厘米，铁块要排水（15－3×12）×2＝24 立方厘米。可见，铁块不能全部 3 放入水中。15×3÷（15－3×12）－3＝ 厘米 4 2、 杯中水的体积是：72×2.5＝180 立方厘米放入铁块后的底面积是 72－62＝ 36 平方厘米；水面的高：180÷36＝5 厘米 3、 容器中水的体积： （602－152）×50＝168750 立方厘米；当铁棍提起后，仍 浸在水中的部分长： （2×24）÷（602－152）＝24.4 厘米。露出 水面的浸湿部分长：50－24.4＝25.6 厘米 练3 1、 设这个圆锥的底面半径为 r， 则正方体的体积为 r3＝216， 圆锥体的体积为： 1 ×∏×r2×r＝226.08 立方分米 3 2、 设圆柱体的底面半径为 x，则正方体的棱长为 2r。圆柱的体积是∏r2×2r ＝6.28，即（2r）3＝8 r3＝8 立方厘米 r 1 r 2 h 3、 设容器的底面半径为 r， 则水面半径为 。 水的体积是： ×∏ （ ） × ＝3， 2 3 2 2 1 即∏r2h＝72。容器的体积是 ×72＝24 升，还能装 24－3＝21 升。 3 练4 1、 20.56÷（1+1+3.14）＝4 分米 2、长方体中： （1）高+宽＝（365－5）÷2＝180 厘米 （2）高+长＝（405－5）÷2＝200 厘米 （3）长+宽＝（485－5）÷2＝240 厘米 （4） （2）－（1）得：200－180＝20 厘米 4 3.14×（ ）2×4＝50.24 立方分米 247六年级数学奥数举一反三（下册)长： （240+30）÷2＝130 厘米 高：200－130＝70 厘米 宽：240－130＝110 厘米 130×110×70＝1001000 立方厘米＝1.001 立方米 3、瓶的容积相当于底面积相同、高为 20+5＝25 厘米的圆柱体的容积。饮料的体 积相当于与瓶同底， 高为 20 厘米的圆柱体的体积， 所以饮料的体积占瓶容积的： 20 4 20 ＝ 。30× ＝24 立方分米 20+5 5 20+5 练5 1、 长方体的盒子高是 7 厘米，正好是木块宽与高的和，长方体的宽 12 厘米， 正好是木块宽与高的公倍数，采用如图答 27－4 所示的拼放法可以填满盒 子。最多可放：40×12×7÷（5×4×3）＝56 个 2、 第一次切下的正方体棱长应是 12 厘米，留下的部分如图答 27－5，其中较 大的一块是长为 21－12＝9 厘米，宽为 15 厘米，高为 12 厘米的长方体。 第二次切下的正方体棱长应是 9 厘米，留下的部分如图答 27－6 所示，较 大的一块是长为 9 厘米，宽为 15－9＝6 厘米，高为 12 厘米的长方体。第 三次切下的正方体棱长应是 6 厘米。 上下的体积是： 21×15×12－ （123+ 93+ 63）＝1107 立方厘米 3、 制作这个铁盒的方法比较多，但容积不一样。 第一种是把铁皮的四角截去边长 5 厘米的正方形。它的体积是（40－5 ×2）×（20－5×2）×5＝1500 立方厘米。 第二种是在铁皮的一侧角上截下两个边长 5 厘米的正方形， 焊接到铁皮的另一侧 的中间位置，这样做成的无盖铁皮盒长是 40－4＝35 厘米，体积是（40－5）× （20－5×2）×5＝1750 立方厘米。如图 27－7 所示 第三种是在铁皮的两侧各截下一条宽为 5 厘米、长为 20 厘米的长方形铁皮分别 焊接到上、下边上的中间部位，这样做成的无盖铁皮盒的长是 40－5×4＝20 厘 米，宽是 20 厘米。体积是（40－5×4）×20×5＝2000 立方厘米。如图答 27－8 所示。48六年级数学奥数举一反三（下册)第二十九周抽屉原理（一）专题简析： 如果给你 5 盒饼干，让你把它们放到 4 个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉 里至少有 2 盒饼干。 如果把 4 封信投到 3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中 至少有 2 封信。 如果把 3 本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同 学至少分到 2 本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理” 。 基本的抽屉原理有两条： （1）如果把 x+k（k≥1）个元素放到 x 个抽屉里， 那么至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素。 （2）如果把 m×x×k（x＞k ≥1） 个元素放到 x 个抽屉里， 那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按 以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。 C、 说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。例题 1： 某校六年级有学生 367 人， 请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把 367 个元素放到 366 个抽屉中，至少有一个抽屉中有 2 个元素，即至少有两个学生的生日是同一 天。 平年一年有 365 天，闰年一年有 366 天。把天数看做抽屉，共 366 个抽屉。 把 367 个人分别放入 366 个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有 两个学生的生日是同一天。 练习 1： 1、 某校有 370 名 1992 年出生的学生， 其中至少有 2 个学生的生日是同一天， 为什么？ 2、 某校有 30 名学生是 2 月份出生的， 能否至少有两个学生生日是在同一天？ 3、15 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？49六年级数学奥数举一反三（下册)例题 2： 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本 的、 也有三本的， 问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书 （每 种书最多买一本）？ 首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有 7 种类型，把 7 种类 型看成 7 个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有 2 人，那么去 的人数应大于抽屉数。所以至少要去 7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学 买到相同的书。 买书的类型有： 买一本的：有语文、数学、外语 3 种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语 3 种。 买三本的：有语文、数学和外语 1 种。 3+3+1=7（种）把 7 种类型看做 7 个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同 的书，至少要去 8 位学生。 练习 2： 1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况 是：有买一本的、二本的、三本或四本的。 ，问至少要去几位学生才能保证一定 有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本， 那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄 三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？例题 3： 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套， 颜色有黑、 红、 蓝、 黄四种。 问最少要摸出多少只手套才能保证有 3 副同色的？ 把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有 1 副同色 的，就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5 只手套。这50六年级数学奥数举一反三（下册)时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸 出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。 把四种颜色看成是 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保证有一副就要 摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉 原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有 3 副同色的，共摸出的手套有 5+2+2=9（只） 答：最少要摸出 9 只手套才能保证有 3 副同色的。 练习 3： 1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄 四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有 4 副同色的？ 2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。 问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有 3 双同色的？ 3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各 8 只。每次从布袋中拿出一只袜子， 最少要拿出多少只才能保证其中至少有 2 双不同袜子？例题 4： 任意 5 个不相同的自然数， 其中至少有两个数的差是 4 的倍数， 这是为什么？ 一个自然数除以 4 的余数只能是 0，1，2，3。如果有 2 个自然数除以 4 的 余数相同，那么这两个自然数的差就是 4 的倍数。 一个自然数除以 4 的余数可能是 0，1，2，3，所以，把这 4 种情况看做时 个抽屉，把任意 5 个不相同的自然数看做 5 个元素，再根据抽屉原理，必有一个 抽屉中至少有 2 个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是 4 的倍数。 所以，任意 5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 4 的倍数。 练习 4： 1、任意 6 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 5 的倍数，这是为 什么？ 2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数？ 3、 证明在任意的 （n+1） 个不相同的自然数中， 必有两个数之差为 n 的倍数。51六年级数学奥数举一反三（下册)例题 5： 能否在图 29-1 的 5 行 5 列方格表的每个空格中，分别填上 1，2，3 这三个 数中的任一个，使得每行、每列及对角线 AD、BC 上的各个数的和互不相同？ 由图 29-1 可知：所有空格中只能填写 1 或 2 或 3。因此每行、每列、每条 对角线上的 5 个数的和最小是 1×5=5，最大是 3×5=15。从 5 到 15 共有 11 个互 不相同的整数值，把这 11 个值看承 11 个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的 各个数的和看承元素， 只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因 为每行、每列、每条对角线上的 5 个数的和最小是 5，最大是 15，从 5 到 15 共 有 11 个互不相同的整数值。而 5 行、5 列及两条对角线上的各个数的和共有 12 个，所以，这 12 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 练习 5： 1、能否在 6 行 6 列方格表的每个空格中，分别填上 1，2，3 这三个数中的 任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？ 2、证明在 8×8 的方格表的每个空格中，分别填上 3，4，5 这三个数中的任 一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。 3、在 3×9 的方格图中（如图 29-2 所示） ，将每一个小方格涂上红色或者蓝 色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？答案： 练1 1、 1992 年共有 366 天，把它看成是 366 个抽屉，把 370 个人放入 366 个抽屉 中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有 2 个学生的生日是同一天的。 2、 2 月份最多有 29 天，把它看作 29 个抽屉，把 30 名学生放入 29 个抽屉，至 少有一个抽屉里有两个人，因此这 30 名学生中至少有两个学生的生日是在同一 天。 3、 一年有 12 个月， 把 12 个月看作 12 个抽屉， 把 15 个小朋友放入 12 个抽屉中， 至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有 2 个小朋友是才同一个月出生。 练252六年级数学奥数举一反三（下册)1、买书的类型中买一本的有 4 种，买二本的有 6 种，买三本的有 4 种，买 4 本 的有一种，共有 4+6+4+1＝15 种情况。把种 15 种情况看出 15 个抽屉，要保证有 两位同学买到相同的书，至少要去 16 位学生。 2、从三周图书种任意借 2 本，只有 6 种情况。要保证有两个所借的图书属于同 一种，至少要 7 个学生。 3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有 2 个同色，最少应取出 4 只珠子。 练3 1、思路同例 3，最少要摸出 11 只手套才能保证有 4 付同色的。 2、把三种颜色看作 3 个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出 4 只袜子，这时拿 出 1 双同色的后，3 个抽屉中还剩 2 只袜子。以后，只要再摸出 2 只袜子就可保 证有一双同色的。因此，要保证有 3 双同色的，最少要摸 4+2+2＝8 只袜子。 3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出 8 只都是同一颜 色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取 3 只。因此，最少要拿 出 8+3＝11 只才能保证其中至少有 2 双颜色不同的袜子。 练4 1、 一个自然数除以 5 的余数可能是 0、1、2、3、4，把这 5 种情况看做 5 个抽 屉，6 个不同的自然数放入这 5 个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，这 两数的余数是相同的，所以它们的差一定是 5 的倍数。 2、 一个自然数除以 8 的余数可能是 0、1、2、3、4、6、7，把这 8 种情况看做 8 个抽屉，要保证至少有两个数的差是 8 的倍数，就要保证至少有 1 个抽屉 里有两个数，根据抽屉原理，要取 9 个不同的自然数，才能保证至少有两个 数的差是 8 的倍数。 3、 一个自然数除以 n 的余数可能是 0、1、2、3、?..n－1，把这 n 种情况看作 n 个抽屉，把（n+1）个自然数反复如 n 个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两 个数， 这两个数的余数相同， 则它们的差一定能被 n 整除， 也就是 n 的倍数。 练5 1、 不可能。 因为每行、 每列、 每条对角线上的 6 个数的和最小是 6， 最大是 18。 从 6 到 18 共有 13 个不同的整数值，而 6 行、6 列及两条对角线上的各个数 的和共有 14 个，所以这 14 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。53六年级数学奥数举一反三（下册)2、 因为每行、每列、每条对角线上的 8 个数的和最小是 24，最大是 40。从 24 到 40 共有 17 个互不相同的整数值，而 8 行、8 列及两条对角线上的各个数 的和共有 18 个，所以这 14 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 3、 每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色，每列 3 个方格的土色就有 2×2 ×2＝8 种不同情况，把这 8 种情况看做 8 个抽屉，根据抽屉原理，9 列中至 少有两列的土色方式是相同的。54六年级数学奥数举一反三（下册)第三十周抽屉原理（二）专题简析： 在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而 增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的 等式： 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是 0，则最小数=商+1；如果余数正好是 0，则最小数=商。例题 1： 幼儿园里有 120 个小朋友，各种玩具有 364 件。把这些玩具分给小朋友，是 否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉，把玩具件数看做是元素。则 364=120× 3+4，4＜120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把 m×x×k（x＞k≥1）个 元素放到 x 个抽屉里， 那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。可知至 少有一个抽屉里有 3+1=4 个元素，即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。 练习 1： 1、一个幼儿园大班有 40 个小朋友，班里有各种玩具 125 件。把这些玩具分 给小朋友，是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 2、把 16 枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于 6 枝。这是 为什么？ 3、把 25 个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有 7 个球？例题 2： 布袋里有 4 种不同颜色的球，每种都有 10 个。最少取出多少个球，才能保 证其中一定有 3 个球的颜色一样？ 把 4 种不同颜色看做 4 个抽屉， 把布袋中的球看做元素。 根据抽屉原理第 （2） 条， 要使其中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽 屉个数的 2 倍多 1。即 2×4+1=9（个）球。列算式为55六年级数学奥数举一反三（下册)（3―1）×4+1=9（个） 练习 2： 1、布袋里有组都多的 5 种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中 一定有 3 个颜色一样的球？ 2、 一个容器里放有 10 块红木块、 10 块白木块、 10 块蓝木块， 它们的形状、 大小都一样。 当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有 4 块颜色相同，应至少取出多少块木块？ 3、一副扑克牌共 54 张，其中 1―13 点各有 4 张，还有两张王的扑克牌。至 少要取出几张牌，才能保证其中必有 4 张牌的点数相同？例题 3： 某班共有 46 名学生， 他们都参加了课外兴趣小组。 活动内容有数学、 美术、 书法和英语，每人可参加 1 个、2 个、3 个或 4 个兴趣小组。问班级中至少有几 名学生参加的项目完全相同？ 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参 加两个小组的有 6 个类型， 只参加三个组的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类 型。把 4+6+4+1=15（种）类型看做 15 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因 为 46=3×15+1，所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。 练习 3： 1、某班有 37 个学生，他们都订阅了《小主人报》 、 《少年文艺》 、 《小学生优 秀作文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？ 2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可 以参加两个（可以不参加） 。某班有 52 名同学，问至少有几名同学参加课外学习 班的情况完全相同？ 3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在 31 个 搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？例题 4： 从 1 至 30 中， 3 的倍数有 30÷3=10 个， 不是 3 的倍数的数有 30―10=20 个，56六年级数学奥数举一反三（下册)至少要取出 20+1=21 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数。 练习 4： 1、在 1，2，3，??49，50 中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其 中一定有一个数能被 5 整除？ 2、从 1 至 120 中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数？ 3、从 1 至 36 中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数？例题 5： 将 400 张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过 11 张，试证 明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。 这题需要灵活运用抽屉原理。将分得 1，2，3，??，11 张可片看做 11 个 抽屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需 1+2+3+??+10+11=66（张）卡片。而 400÷66=6??4（张） ，即每个周体都有 6 个元素，还余下 4 张卡片没分掉。而这 4 张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽 屉至少有 7 个元素，所以至少有 7 名同学得到的卡片的张数相同。 练习 5： 1、 把 280 个桃分给若干只猴子， 每只猴子不超过 10 个。 证明： 无论怎样分， 至少有 6 只猴子得到的桃一样多。 2、把 61 颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放 5 颗棋子。证明： 至少有 5 个格子中的棋子数目相同。 3、汽车 8 小时行了 310 千米，已知汽车第一小时行了 25 千米，最后一小时 行了 45 千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了 80 千米。答案： 练1 1、把 40 名小朋友看做 40 个抽屉，将 125 件玩具放入这些抽屉，因为 125＝3×57六年级数学奥数举一反三（下册)40+5，根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有 4 件或 4 件以上的玩具，所以 肯定有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。 2、把三个笔盒看做 3 个抽屉，因为 16＝5×3+1，根据抽屉原理可以至少有一个 笔盒里的笔有 6 枝或 6 枝以上。 3、把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有 7 个球，那么球的个数至少 应比抽屉个数的（7－1）倍多 1，而 25＝4×（7－1）+1，所以最多方子 4 个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有 7 个球。 练2 1、最少应取出（3－1）×5+1＝11 个球 2、至少取出（4－1）×3+1＝10 块木块。 3、如果没有两张王牌，至少要取（4－1）×13+1＝40 张，再加上两张王牌，至 少要摸出 40+2＝42 张，才能保证其中必有 4 张牌点数相同。 练3 1、小学六年中最多有 2 个闰年，共 366×2+365×4＝2191 天，因为 13170＝6× 2192+18，所以其中一定有 7 人是同年同月同日生的。 2、参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参 加两个组的有 6 种类型，只参加三个字的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种 类型。把 4+6+4+1＝15 种类型看作 15 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉， 因为 46＝15×3+1，所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。 3、全班订阅报刊的类型共有 3+3+1＝7 种，因为 37＝5×7+2，所以其中至少有 6 位学生订的报刊相同。 练4 1、在 1～50 中， 5 的倍数有 50÷5＝10 个， 不是 5 的倍数的就有 50－10＝40 个， 至少要取出 40+1＝41 个不同的数才能保证其中有个数能贝 5 整除。 2、在 1～120 中， 4 的倍数有 120÷4＝30 个， 不是 4 的倍数有 120－30＝90 个， 正是要取出 90+1＝91 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数。 3、差是 5 的两数有下列 5 组：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17， 22、27；3、8，13、18，23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10， 15、20，25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是 5 的倍数，最多只58六年级数学奥数举一反三（下册)能从每组中各取 1 个数，即最多可以取 5 个数。 练5 1、把 11 秒钟看做 11 个抽屉，把 100 米看作