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§ 2-1 系统的微分方程
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关注微信公众号是时候展现真正的实力了！快来核对微分方程的那2道经典题答案啦！3 months ago赞赏还没有人赞赏，快来当第一个赞赏的人吧！15收藏分享举报文章被以下专栏收录推荐阅读{&debug&:false,&apiRoot&:&&,&paySDK&:&https:\u002F\\u002Fapi\u002Fjs&,&wechatConfigAPI&:&\u002Fapi\u002Fwechat\u002Fjssdkconfig&,&name&:&production&,&instance&:&column&,&tokens&:{&X-XSRF-TOKEN&:null,&X-UDID&:null,&Authorization&:&oauth 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有种预感，几家欢喜几家愁，不过，还是希望大家都是“喜”，即便刚开始不是“喜”，那么看完讲解之后，也会变“喜”~ 昨天的题： 今天的解析： 简要点评第一题：这道题中规中矩，只要你能记得曲线积…&,&copyPermission&:&ARTICLE_COPYABLE&,&translatedCommentPermission&:&all&,&likes&:0,&origAuthorId&:0,&publishedTime&:&T11:15:33+08:00&,&sourceUrl&:&&,&urlToken&:,&id&:3750096,&withContent&:false,&slug&:,&bigTitleImage&:false,&title&:&是时候展现真正的实力了！快来核对微分方程的那2道经典题答案啦！&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&commentPermission&:&ARTICLE_ALL_CAN_COMMENT&,&snapshotUrl&:&&,&created&:,&comments&:0,&columnId&:54259,&content&:&&,&parentId&:0,&state&:&ARTICLE_PUBLISHED&,&imageUrl&:&https:\u002F\\u002Fv2-70e8dae792ea9d424dfe1_r.jpg&,&author&:{&bio&:&微信公众号：考研摆渡人宝刀君。一个普通人，热爱读书，懂点考研数学、自动控制原理&,&isFollowing&:false,&hash&:&1fbf275d99&,&uid&:834200,&isOrg&:false,&slug&:&yu-lun-80&,&isFollowed&:false,&description&:&学生需要良师引导，教师需要自我磨练，与经典图书为邻，以教书育人为业 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data-actualsrc=\&https:\u002F\\u002Fv2-2f3cfcba1ff0d57f675494_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E我们的第一步，首先做了预处理，\u003Cb\u003E两边同时乘了个（x+1）\u003C\u002Fb\u003E，这样在后续的\u003Cb\u003E求导过程中简便好多\u003C\u002Fb\u003E，不知各位微信后台的宝宝们是不是也是这样做的？\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我有一个体会，咱们在学习数学时，包括我现在看一些经典的书籍也是一样，都在不断地强化数学思维，强化一种优化意识。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E比如说，自动控制原理中，假如给你一个传递函数，让你画它的根轨迹，那你不能立马就开始画啊！这叫蛮干！你应该是先看看他是不是标准型，不是标准型的话，先化成标准型，然后再判断到底是画180度还是0度根轨迹。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E数学里，也是一样的道理，命题人扔给我们一道题，我们也应该\u003Cb\u003E先对题目进行“预处理”\u003C\u002Fb\u003E，而不是傻乎乎的一股脑上去赶紧做，坐了半天，突然发现哪里不对劲，这时候才去想哪里可以优化，这样白白把时间耽搁了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E因此，正确的步骤应该是\u003Cb\u003E先短暂思考一两分钟\u003C\u002Fb\u003E，然后再动手做。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\\u002Fv2-6dc6b18a99_b.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&316\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&600\& data-original=\&https:\u002F\\u002Fv2-6dc6b18a99_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='600'%20height='316'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&316\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&600\& data-original=\&https:\u002F\\u002Fv2-6dc6b18a99_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\\u002Fv2-6dc6b18a99_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E再看第二问怎么证？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\\u002Fv2-1fbd695b846aaad66d522_b.jpg\& data-rawwidth=\&1280\& data-rawheight=\&1108\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&1280\& data-original=\&https:\u002F\\u002Fv2-1fbd695b846aaad66d522_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='1280'%20height='1108'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&1280\& data-rawheight=\&1108\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&1280\& data-original=\&https:\u002F\\u002Fv2-1fbd695b846aaad66d522_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\\u002Fv2-1fbd695b846aaad66d522_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E第二问的右半部分，相当于证函数的值域，那用什么方法呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E要揣摩命题人的思维方式啊！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E第一问命题人让你求出来了导函数f'(x)，你不感到奇怪吗？平时遇到的微分方程题都是让求f(x)的，可这道题就奇怪呢，偏偏让求出导数！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E难道这不是命题人的一种强烈的暗示？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E有的学生看到这种暗示，心里窃喜，哦，我知道了你到导数，你不是让我求值域吗？那好办，我把你的原函数求出来，于是乎，他奔着求积分去做了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E也有的学生看到这种暗示，想到了另一个方向，哦，让求值域呀，那我现在知道了导数，\u003Cb\u003E导函数就是判断函数性态单调性的呀\u003C\u002Fb\u003E，那我看看你这个导函数在整个区间内的正负号如何，于是就有了如上的解题步骤。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E坦白讲，两种方法都可以，只不过，我个人觉得还是第二种方法好，简单高效！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E右边证完，再证左边。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E左边的证明，就是不等式的证明，而关于不等式的证明，方法太多太多了，有些题甚至技巧性非常高，但是\u003Cb\u003E最基本的\u003C\u002Fb\u003E还是\u003Cb\u003E利用单调性证明不等式\u003C\u002Fb\u003E，这是常规、基本的证明思路，这道题就用了构造函数、求导，利用单调性得证，方法简单！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E综合来看这道题的解题、证明思路，全程没有一处你没学的，要说技巧吧，好像没啥技巧吧？都是基本的思想结合在一起啊！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E第一问两边同时乘以（x+1）优化计算，中间积分因子法构造辅助函数，求出通解后再借助初始条件求参数。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E证明题部分，第一问让求出了函数的导函数，接下来就从最基本的单调性出发，从而得证。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E当然，估计也有学生是根据导函数，然后求出原函数f(x)，然后再往下做的吧？不过，感觉这个积分不是很好积啊~还是用单调性简便一些~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E不知大家此刻什么感觉？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E有木有那种做真题的感觉？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E就是那种你看了题目之后，觉得很容易上手，但实际亲自操作之后，发现没有想象的那么简单，还是有些磕磕绊绊，看了答案之后，不禁发出一句：“我靠，竟然这么简单！我怎么没想到呢？”\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E是啊，它就是简单的原理的堆砌，它就是考察的基本知识点的有机结合，它就是让你做了之后想骂它超纲又骂不出来。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这，就是所谓的真题~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这，就是所谓的真题的感觉~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg 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考研数学\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E希望我分享的知识点对你的学习有帮助~\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T03:15:33.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&anyone&,&commentCount&:9,&collapsedCount&:0,&likeCount&:15,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&lastestTipjarors&:[],&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\\u002Fv2-70e8dae792ea9d424dfe1_r.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&reviewers&:[],&topics&:[{&url&:&https:\u002F\\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&考研数学&},{&url&:&https:\u002F\\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&高等数学 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简要点评第一题：这道题中规中矩，只要你能记得曲线积…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:{&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\\u002F50\u002Fv2-e29c0deb11cf36bdfa0f521_xl.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&topics&:[{&url&:&https:\u002F\\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&考研数学&},{&url&:&https:\u002F\\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&高等数学&},{&url&:&https:\u002F\\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&常微分方程&}],&adminClosedComment&:false,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&excerptTitle&:&&,&author&:{&bio&:&微信公众号：考研摆渡人宝刀君。一个普通人，热爱读书，懂点考研数学、自动控制原理&,&isFollowing&:false,&hash&:&1fbf275d99&,&uid&:834200,&isOrg&:false,&slug&:&yu-lun-80&,&isFollowed&:false,&description&:&学生需要良师引导，教师需要自我磨练，与经典图书为邻，以教书育人为业 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src=\&http:\u002F\\u002Fv2-97a0cd2ddfc289c94f62_b.png\& data-rawwidth=\&842\& data-rawheight=\&282\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&842\& data-original=\&http:\u002F\\u002Fv2-97a0cd2ddfc289c94f62_r.png\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fv2-37c0d5cea2b3bb2c952c4e0_b.jpg\& data-rawwidth=\&842\& data-rawheight=\&434\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&842\& data-original=\&http:\u002F\\u002Fv2-37c0d5cea2b3bb2c952c4e0_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E自动化这个专业，能称得上是“万金油”，可真不是沽名钓誉啊！宝刀君在以前的文章\u003Ca href=\&http:\u002F\\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fmp.\u002Fs%3F__biz%3DMzUzMzA2NTg3Ng%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D8911afe17fac%26chksm%3Dfaa8fb36cddf4ea9fe16f7ef29e07c25bc3d71edfb73c6a3900f%23rd\& class=\& wrap external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E考研院校专业课选择及自动控制原理备考的宏观战略分析（一）\u003Ci class=\&icon-external\&\u003E\u003C\u002Fi\u003E\u003C\u002Fa\u003E 中分析过这个专业都学哪些课、特点是什么，自动化专业的初学者们可以点开链接亲自瞅瞅~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E那么，落到考研数学里，哪个知识点也被称为万金油呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E微分方程！ \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E英文名叫：differential equation\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E要说这微分方程啊，叫它为万金油，一点都不为过！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E放眼望去，这货太粘人了，哪都要凑热闹，哪都要去分一杯羹，哪都要约起来！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E极限 约完 导数约！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E中值定理的证明 约完 积分学 约！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E一元积分学 约完 多元积分学 约！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E总之是，但凡是高数学的每一个知识点，它\u003Cb\u003E微分方程\u003C\u002Fb\u003E，都会在命题人的指挥下，\u003Cb\u003E随时结合某个知识点\u003C\u002Fb\u003E，\u003Cb\u003E一起出现在未知的考研数学试卷里\u003C\u002Fb\u003E!\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E今天，就给大家献上2道题小试牛刀，看看\u003Cb\u003E微分方程和二重积分，以及函数的性态之拐点的结合\u003C\u002Fb\u003E，建议大家自己先动手做，然后再核对答案~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fv2-5a9b6ed2_b.jpg\& data-rawwidth=\&1280\& data-rawheight=\&403\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&1280\& data-original=\&http:\u002F\\u002Fv2-5a9b6ed2_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E这里更正下\u003C\u002Fb\u003E：\u003Cb\u003E上面例题1的区域 是x^2+y^2=4t^2。漏写了个4，向各位抱歉。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fv2-9e6acd88f65db8bb260b9_b.jpg\& data-rawwidth=\&1280\& data-rawheight=\&269\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&1280\& data-original=\&http:\u002F\\u002Fv2-9e6acd88f65db8bb260b9_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这两题呢，整体难度不是很大，不过考察的知识点不少~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E比如说第一道题，\u003Cb\u003E就是一个微分方程与抽象型二重积分的结合。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E第二道题，给出了2个微分方程，那感情是要联立求解了，第二问求拐点，那么最直接的思路就是要求出y的表达式，然后再选择求拐点的方法\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E一起来看下第一题的解答吧~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这里要想求解出函数的表达式，首先需要解决的问题是求出里面的二重积分，这是一个\u003Cb\u003E抽象型的，而且积分区域是个圆域，那么最好选用极坐标来表示\u003C\u002Fb\u003E，先对式子进行整理。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E完整的解题过程如下所示：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fv2-a4f035ba3c4bc0c5a0bddf_b.jpg\& data-rawwidth=\&1280\& data-rawheight=\&1707\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&1280\& data-original=\&http:\u002F\\u002Fv2-a4f035ba3c4bc0c5a0bddf_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E更正一下：题目的区域是\u003Cb\u003Ex^2+y^2=4t^2。漏写了个4，向各位抱歉。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E需要说明的是：这里有一个定式思维，\u003Cb\u003E但凡遇到变限积分，啥话也不说，先给我求导再说\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这道题的微分方程是\u003Cb\u003E一阶线性非齐次DE\u003C\u002Fb\u003E，那么\u003Cb\u003E可以考虑用公式法求解\u003C\u002Fb\u003E，求出通解后，记得不要停，要返回到题干里面，看看能不能寻找到一些\u003Cb\u003E隐含的初始条件\u003C\u002Fb\u003E，这样方便\u003Cb\u003E确定常数C\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E寻找初始条件，这个一般就是寻找一些特殊值，0,1，-1之类的，或者就是多个式子做差，遇到变限积分的，可以尝试给积分上下限取特殊值，这样能得到一些特殊值\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E接下来再看第二题\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2个式子，那就联立求解就行，得出的依然是一阶线性非齐次，这种形式一般考察的比较多，上面演示了公式法，这道题演示的是\u003Cb\u003E积分因子法\u003C\u002Fb\u003E，就是你们在中值定理证明题当中学的那招，构造一个原函数，使得它的导数等于右端式子。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fv2-749a06d012b1370dcbd52a774a403c52_b.jpg\& data-rawwidth=\&1280\& data-rawheight=\&1707\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&1280\& data-original=\&http:\u002F\\u002Fv2-749a06d012b1370dcbd52a774a403c52_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E求常数C时，用的是同样的思路，寻找初始条件。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E接下来看第二问求拐点。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E求拐点的做题过程如下：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fv2-6f9f74c3bc4be1a7dac02_b.jpg\& data-rawwidth=\&1280\& data-rawheight=\&1190\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&1280\& data-original=\&http:\u002F\\u002Fv2-6f9f74c3bc4be1a7dac02_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这里再提醒一下：如果要用到三阶导数判断的话，尤其是一些选择题，那要留意是否可导，不可导的话，那就不能随便求啊！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E举一个例子吧，一个学生发的问题，询问为什么红色框框内二阶可导？是咋推出来的？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fv2-8aca041d87c9fb0afa150c_b.jpg\& data-rawwidth=\&960\& data-rawheight=\&720\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&960\& data-original=\&http:\u002F\\u002Fv2-8aca041d87c9fb0afa150c_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E左边等于右边，是一个等式，右边是可导的，自然左边就是可导的啊~\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以上两个例子，只是为了向大家说明这样一个事实：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E微分方程其实是可以和任意一个章节知识点结合起来的\u003C\u002Fb\u003E，基本上是多个知识点糅合在一起，没有特别大的难度。只不过，建议在\u003Cb\u003E学习DE时，先把基本的概念理清楚\u003C\u002Fb\u003E，比如非齐次、阶、线性、\u003Cb\u003E通解特解\u003C\u002Fb\u003E、\u003Cb\u003E解的结构\u003C\u002Fb\u003E、\u003Cb\u003E公式法\u003C\u002Fb\u003E等这些基本的概念先弄明白，然后再做一些小综合题练手。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E也许你还想看\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E近期热文\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Ca href=\&http:\u002F\\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fmp.\u002Fs%3F__biz%3DMzUzMzA2NTg3Ng%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dca86cb3a4cfb8c%26chksm%3Dfaa8fa59cddf734faf5ce125bd7e7afd809df25f8f7e5c54edc6f226a9bderd\& class=\& wrap external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E身为一只考研单身狗，我该如何在七夕向女神表达呢？\u003Ci class=\&icon-external\&\u003E\u003C\u002Fi\u003E\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Ca href=\&http:\u002F\\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fmp.\u002Fs%3F__biz%3DMzUzMzA2NTg3Ng%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Db940d6e1afdchksm%3Dfaa8fa81cddf7ba2dc648a829ddb233f%23rd\& class=\& wrap external\& target=\&_blank\& rel=\&nofollow noreferrer\&\u003E那位咨询泰勒公式求极限的少年，宝刀君喊你来核对答案啦！\u003Ci class=\&icon-external\&\u003E\u003C\u002Fi\u003E\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Ca 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考研数学\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E希望我分享的知识点对你的学习有帮助~\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003C\u002Fp\u003E&,&state&:&published&,&sourceUrl&:&&,&pageCommentsCount&:0,&canComment&:false,&snapshotUrl&:&&,&slug&:,&publishedTime&:&T21:38:25+08:00&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&title&:&俗称考研数学里“万金油”的微分方程，究竟可以粘哪些知识点？（1）&,&summary&:&题图演员来自于《天龙八部》TVB版，他是一个王爷，孩子叫段誉。 在工科专业里，有一门专业俗称万金油，那就是宝刀君的本科专业：自动化。 啥叫万金油呢， 我们查看百度百科的解释：形容\u003Cb\u003E人或物用处较多，在很多地方都能起到一定作用\u003C\u002Fb\u003E。 自动化这个专业，能称…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&commentPermission&:&anyone&,&commentsCount&:10,&likesCount&:28},&next&:null},&annotationDetail&:null,&commentsCount&:9,&likesCount&:15,&FULLINFO&:true}},&User&:{&yu-lun-80&:{&isFollowed&:false,&name&:&摆渡人宝刀君&,&headline&:&学生需要良师引导，教师需要自我磨练，与经典图书为邻，以教书育人为业 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