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所需积分：0请问,平行板电容器的电容计算公式是怎么推出来的?两极板之间的场强是两个极板场强的叠加吗?
请问,平行板电容器的电容计算公式是怎么推出来的?两极板之间的场强是两个极板场强的叠加吗?为什么是σ／ε呢?不是一个极板就产生这么大的场强吗?
这个不是几句话能说明白的,大学物理《电磁学》教材上有推导过程,你仔细看看吧
与《请问,平行板电容器的电容计算公式是怎么推出来的?两极板之间的场强是两个极板场强的叠加吗?》相关的作业问题
静电计的特点是,可以从指针的偏转角度看出两个指针间的电势差,偏角越大,电势差越大.当静电计连载在了平行板电容器两极板上时,指针的偏角就直接显示了两极板间的电势差.
C=εS/4πkd,这个公式在实际工程中,并不常用；工程中,经常使用的是C=εS/d,这个公式,既实用,又容易理解,记住这一个就行了.ε包含两个部分,介质的相对介电常数εr和真空的绝对介电常数εo,即,ε=εr*εoεo=8.85*10^-12 法拉/米,这是一个常数.如果你的材料,相对介电常数εr=2,那么该材料的绝
请你参阅大学物理电磁学教材.这里我点到为止,电介质在外加电场作用下里面的束缚电荷会发生微小位移,产生所谓的“极化电荷”抵抗外加电场.
什么事电容?&即储存电荷能力也就是是指在给定电位差下的电荷储藏量&距离变了U也变了&应为U=Ed&面积变了也就是两块金属板变小了能不能理解?&电容（或称电容量）是表现电容器容纳电荷本领的物理量&电容器都变了&电容还不变?&一个电容如果两极间
开始时重力等于电场力,即mg=qQ/(Cd)之后电荷量增大一倍,电场力增大一倍,所以入射的电荷合外力为mg,方向向上,所以加速度为g,方向向上.根据运动学方程,d/2=gt²/2,求得时间t=√（d/g）
介电常数,板距离,板的正对面积.c=介电常数s/d
A、将N板向下平移，板间距离增大，电容减小，而电容器的电量不变，由C=QU分析可知，板间电压增大，则静电计指针张角增大．故A正确．B、将N板竖直向左平移，两板正对面积减小，电容减小，而电容器的电量不变，由C=QU分析可知，板间电压增大，则静电计指针张角增大．故B正确．C、在M、N之间插入一块绝缘介质板，由电容的决定式C
C=εS/4kπd充电后断开电源,电量Q不变减小距离d减小,C增大U=Q/C减小E=U/d=Q/Cd=4kπQ/εSE与d无关,不变.
C = εS/d所以,与电容器的 介电常数、极板面积 和 极板距离 有关
两极板间的电势差为：U=QC，则两极板间的电场强度为：E=Ud，电荷q所受的电场力为：F=qE=QqCd．故选：B
由C=Q/U U=Q/C=Ed微粒做匀速直线运动mg-qQ/cd=0电量加倍后微粒向上做匀加速运动（类平抛）2qQ/cd-mg=ma a=g因为板足够长,微粒打在上板d/2=1/2gt^2t=(d/g)^1/2 再问： 2qQ/cd-mg=ma a=g因为板足够长，微粒打在上板d/2=1/2gt^2t=(d/g)^1/
E就代1D E=U/d 因为U积分取上下限 距离是D 即电压U对应的距离是D而不是0.5D
本来是C=ε0εrS/d=εS/d,ε=ε0εr,ε介质介电常数,ε0真空介电常数,εr介质相对介电常数,d两极板的距离,其实4π是根据理论计算出来的一个常数,很多理论公式或经验公式里都会有一些常数 ,静电力常量k=8.988e9 牛顿·米^2/库仑^2,你这公式里的ε实际上是真空介电常数ε0,而1/（4πk）实际是ε
关于距离d对电容的影响,要分两种情况：1,当U不变时（即此时电容器接入电路）无论怎么改变d电势差U是不会改变的.根据决定式C=εS/4πkd可以得到距离d越大C越小.总电量Q变小2,当Q不变时（即此时电容器充当电源）根据决定式C=εS/4πkd可以得到距离d变大C变小.而C=Q/U,Q不变时U变大.即距离d变大U变大,
C = εS/4πkd （决定式）C = Q/U （定义式）保持电源相连：U不变与电源断开：Q不变1、充电后保持电源相连（U不变）,将极板面积增大一倍.（变为2S）由C = εS/4πkd 得：C变为 2C 再由C = Q/U 得：2C = 2Q/U 即：U不变,Q增大一倍2、充电后与电源断开(Q不变),再将两极板间距
充电后与电源断开,电容器极板上的电荷量Q保持不变Q′=Q现保持间距不变使两板错开一半,正对面积s减小一半C=εs/4πkd,C′=C/2U′=Q′/C′=Q/(C/2)=2UE′=U′/d=2U/d=2E
这谁出的题啊?库伦/秒 是电流!电容的单位是 库伦/伏特! 再问： 这道题是因为电容器能反映（ ） ，故电容的单位应是库伦/秒；平行板电容器的电容和每极板的面积成（ ），和两极板的距离成 （ ） 。 这三个空 = = 再答： 因为电容器能反映（ ） ，故电容的单位应是库伦/秒；平行板电容器的电容和每极板的面积成（ 正比
1.U不变,由于d增大,C减小,Q=CU,故Q减小.2.Q不变,由于d减小,C增大,Q=CU,故U减小.
C=ε *ε0* S/dC电容量,法拉Fε介质相对介电常数ε0真空介电常数,8.86×10（-12方） F/mS平板面积,m2d间距,m大物下册答案(查看版)_大学生考试网
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第三部分 第一章电 磁 学真空中的静电场1-1 试说明:(1)场强大的地方电势是否一定高?电势高的地方场强 是否一定大? (2)场强为零的地方电势是否一定为零?电势为零的 地方场强是否一定为零 解:(1)电场强度大;说明电势沿其等势面法线方向的电势变化率大 , 故不一定此处电势就高.若电势高,但它对空间变化率不大,场强 不大; .(2)场强为零,说明对电势空间变化率为零.电势为零的地 方,它的临近处电势不为零,说明电势变化率不为零,即场强不为零 . 补充1.1 A、B、C是在同一直线依次排列的三点且?A&?B&?C(1) 若将一正电荷放在B点,在电场力的作用下此电荷向何处运动? (2)若将一负电荷放在B点,情况又如一何? 解:场强的方向总是由电势高指向电势低方向.(1)放在B点的静止 正电荷向C方向运动.(2)放在B点的静止负电荷向A方向运动补充1.2 已知某区域内,电势沿x方向变化曲线如图所示,请画出 1 电场强度沿该方向的变化曲线.解:v=4x,8,0&x&22&x&8V 9 6 33 0 2 x(cm) 12 x(cm) 1464/3-4x/3, 8&x&148E=?-4dv = dx0&x&2 2&x&804/3 8&x&14E(V/cm 2) 0 2 8 -41-2 两个同号点电荷,电量之和为Q,问他们的电量各为多少时, 他们之间的作用力最大? 解: 设一个点电荷为q,另一个点电荷为Q-q. df Q ? 2q q(Q ? q ) ? ?0 f ? , 2 2 dq 4??0r 4??0r Q Q ? 2 Q 得q=Q/2时, f ? 2 22 ? 为最大. 2 2 4??0r 16??0r1-3 两点电荷点电量分别为2q和q，相距l，将第三个电荷放在 q 2q Q 何处时，它所受的合力为零？ r L－r 解：设第三个电荷Q距电荷q的距离为r 2qQ 。 此时电荷Q受合力为零，q对其的作用力 f ? 2 ? ? 4 ?? L ? r qQ 0 ' ' 与电荷2q对其点作用力 f ? 4?? r 2 f ? f 即： 0 2 2 整理后为： r ? 2Lr ? L ? 0 解得 r1 ? 2 ? 1 L, r2 ? ? 1 ? 2 Lr2 不合题意，舍去。故电荷Q应距电荷q? ?? 2 ? 1? L?? ?1-4 半径为R的带电圆环，其单位长度电量的分布为， ? ? ?0 sin? 求(1) x 轴上方半圆所带电量 (2)在圆环圆心处的电场强度？解:半圆所带电量为： q ?2?? 0 sin ?R cos ? ? d? 在圆心处的场强： Ex ? ? ?0 2 0 4??0 R 2 ? ? sin ?R sin ? ? d? ? 0? ?0 0 Ey ? ? ? ? 2 0 4??0 R 4??0 R 4? 0 R??L0sin ?Rd ? ? ? 0 R ? sin ? ? d? ? 2? 0 R0yL? dE?Rd ?R3x补充1.3 一均匀带电圆柱面,电荷面密度为?,柱面高度为h,半 径为R,求柱面上端面的中心P点的电场强度? R P 解:在z与z+dz之间取一小圆环,带电量: dq ? 2?Rdz ? ?1 dq ? z R? zdz dE ? 3 ? 3 2 2 2 2 2 4? 0 ? (R ? z ) 2? 0 (R ? z ) 2 ?h R?zdz R? ? 2 ? R ?h E?? (1 ? ) 3 ? 1 |0 ? 2 2 2 2 2 2 2 0 2? 0 2? 0 ( ? ? z ) 4? 0 ( ? ? z ) 2 R ?z1-5h半径为R,面电荷密度为?的均匀带电上半球面的球心处场强 zzdq R cos ?.?ds ? sin ? cos ?d? dE ? ? ? 2 2 3/ 2 3 4? ?0 ( z ? r ) 4? ?0 R 2? 0故球心o处总场强为: E ? ? dE ? ?0?/2解:两平面z,z+dz所夹的球面看作半径为r的 小园环,面积ds=2?r.dl= 2?Rsin?.Rd?,带电 量dq=?.ds,此园环在球心o处的场强为:Z+dz zr d? R o4x? sin ? cos ?d? ? ? 2? 0 4? 01-6 均匀带电的无限长细线,弯成如图所示的形状,若点电荷的线 密度为λ ,半圆处半径为R,求o点处的电场强度. R 解:o电场强是由三部分电荷产生的: o (1)半圆环场强: dq ?d? ? dE ? ? , dE x ? dE ? sin ? ? sin ?d?, 2 4??0 R 4??0 R 4??0 R? ? ? 2 E x ? 2? dE x ? sin ?d? ? , ? 0 0 2??0 R 2??0 R ? 2Ey ? 0(2)两半直线在o点的场强: dq ? ?dx , dE ??dx , 2 2 4??0 ( R ? x )?dy R R?dy dE x ? dE ? cos ? ? ? 2 2 1? 3 , 2 2 2 2 4??0 ( R ? x ) ( R ? x ) 2 4??0 ( R ? x ) 2E x ? 2?? 0? 3 ? 2 2 2 4??0 ( R ? x ) 2??0 RR?dyo点场强: E ?? ? ? ?0 2??0 R 2??0 R5补充1.4 求在点电荷q的电场中,通过半径为R的圆形平面的电通 量,设q位于该平面轴线上离圆心O为 h 处. 解:r~r+dr之间圆环,ds=2πrdr ? ? q qhrdr d? e ? E ? d s ? ? 2?rdr ? cos ? ? 3 , 2 2 2 2 4??0 (h ? r ) 2? 0 (h ? r ) 2?e ? ?Rqhrdr 2? 0 (h ? r )2 23 20??qh 2? 0 (h ? r )2 21 2R0q ? 2? 0? ? h ?1 ? 2 2 12 ? ? ? (h ? r ) ? ?1-7 某一区域电场沿x轴正方向,场强 Ex＝800 X 伏/米.求:(1) 通过图示边长为a的正方体表面的电通量;(2)正方体内的正电量 有多少？（设a＝10厘米） y 解：由电通量的定义 因为Ey、Ez为零， a o ? ? x 故 ? ? ?SE ? ds ? ?S Exds x ? ?S Eyds y ? ?S Ezds z z? ? 由于 ?SE ? d s ? ?q ? 0 ? ?? ? ? Exds ? E1x ?s1 ? E2x ?s 2 ? 800 ? a1 / 2 ? 800?2a?1 / 2 ? a2 ? 1.05?V ? m? S故?q ? ? 0 ? ? ? 9.29 ? 10?12 ?C?61-8 两同心球面,半径分别为0.10米和0.30米,内球面上带有 q1=1.0×10-8库仑的电量,外球面上带有q2=1.5×10-8库仑的电量, 求离球心为0.05米、0.20米、0.50米各处的电场强度. 解:由高斯定理求得的E分布:? ? 0 ? r ? 0.10 ?0 ? q1 E?? 0.10 ? r ? 0.30 2 ? 4?? 0 r ? q1 ? q 2 r ? 0.30 ? 2 ? 4?? 0 r q1 3 E r ? 0.05 ? 0 E r ? 0.20 ? ? 2 . 25 ? 10 (V / m) 2 4??0rr ? 0.20q1 ? q 2 E r ? 0.50 ? 4??0r 2? 9 ? 10 2 ( V / m )r ? 0.507补充1-5 中性氢原子处于基态时,其电荷按密度 ?(r ) ? ?ce?2r / a 0分布在点电荷+e(原子核)的周围,这里a0=0.529×10-10米,是玻尔 半径,c为一常数,旗帜可以有负电种植-e定出.试计算:(1)半径 为a0的球内的静电荷.(2)离核距离为a0处的电场强度. 解: (1) r&a0的静电荷:, ? e ? ? , 2 3 ? e ? ?0 ?(r ) ?4?r dr ? 4?c?0 e 0 ?r 2dr ? c?a 0 ?c ? 3 ?a 0 2r a0 a 0 4e ? a0 , 2 , q ? e ? ?0 ?(r ) ?4?r dr ? e ? ?0 3 e ?r 2dr a02r ?a? 5e ? e,?2? 5e ? 0.14 ? 1.08 ? 10,?19( C)(2)由高斯定理求得:?19 1 q 1 . 12 ? 10 9 11 E? ? 9 . 0 ? 10 ? ? 3 . 47 ? 10 ( V / m) 2 ?10 2 8 4??0 u 0 (0.529 ? 10 )1-9 一层厚度为0.5厘米的无限大平板,均匀带电,电荷体密度为 1.0×10-4库仑/米3,求: (1)薄板中央的电场强度; (2)薄板与表面相距0.1厘米处的电场强度; (3)薄板内外的电场强度; 解:在板内作一对称高斯面,由高斯定理求得:2x ? s ? ? 2E ? S ? ?0(1)板中央x=0处, E=0; (2)x=0.15cm,x? ? E? ?0oxxE=1.69×104(V/m);(3)板外,d?s?? 2E ? S ? ?0?d ? E? ? 2.83 ? 104 (v/m) 2? 091-10 两个无限长的共轴圆柱面，半径分别为R1和R2，面上都均 匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为 ? 1和? 2 , 求： (1)场强分布；(2)若 ? 1 ? ?? 2 ,情况如何？画出E－r曲线。 解：由圆柱面的对称性，E的方向为垂直柱面， r 故作一共轴圆柱面为高斯面，由高斯定律得： 当 r&R1, 当R1&r&R2 ，R1 R20 E1 ? 2?rL ? , E1 ? 0 ?0 ? 1L ?1 E 2 ? 2?rL ? , E2 ? ?0 2??0r高 斯 面轴线 E（r）当r&R2 E3 ?0 ， 若 ? 1 ? ?? 2 ,E1和E2不变，即? ? 1 ? ? 2 ?L ? 2?rL ? ,E?1 E2 ? 2??0r3? ?1 ? ? 2 ? ?2??0rE3而oR1 R2rE1 ? 0? ?1 ? ? 2 ? ? ?02??0r10补充1.6 内外半径分别为R1和R2的无限空心直圆柱体均匀带电, 电荷体密度为ρ .求空间任一点的电场,并做Er图. 解:0 ? r ? R10 E ? 2?rL ? ?0 ?r R1E?0 ?2?rdr ? L ?0 ? L? ( r 2 ? R 2 ) ? ?0E(r)2 2R 1 ? r ? R 2 E ? 2?rL ??(r 2 ? R 2 ) E? 2? 0r r ? R2 ? L? ( R 2 ? R 1 ) E ? 2?rL ? ?0 E? ?( R 2 2 ? 2? 0r2 R1 )0R1R211r1-11 一带电厚球壳，其内外半径分别为R1和R2，电荷体密度 ?=A/r ，A为已知恒量，求其场强分布。解：作一半径为r的同心球面为高斯面。当r&R1E ? 4?r ? 0,2? E?0? 2? 0R1 R2当 R1&r&R2E ? 4?r2? ? ? ?R1 0 ? 2?r? ? r sin ?drd ?d?2?01 ? ? ? ? 0 R1 0r?0A ? r sin ?drd ?d?A r ?R ?E ? 2? 0r 22?2 1?2 1同理，当r&R21 E ? 4?r ? ? ? ? 0 R1 02R2 ??2?0A ? r sin ?drd ?d?A R2 ? R ? E? 2? 0r 212?2?补充1.7 假定一个半径为R的球内均匀分布着正电荷,电荷体密度 ρ ,试用高斯定理证明,离球心r(r&=R处的一个正电荷q所受斥力 为 F ? ?qr / 3? . 解:由高斯定理求得:0E ? 4?r ?2? ?dv?0? ?r0? ? 4?r 2dr ?0? ? 4?r 3 ? 3? 0?r ?E ? 3? 0q?r F ? qE ? 3? 01-12 将q=1.7×10-8库仑的点电荷从电场中的A点移到B点,外力 需做功5.0×10-8焦耳,问A,B俩点间的电势差是多少?哪点电势高 ?若设B点的电势为零,A点的电势为多大? 解:(1) AAB=q(VA-VB), WAB=- AAB=+5.0×10-8 即q(VA-VB)=- 5.0×10-8 VA-VB=-2.94(V) (2) V13=0 VA=-2.94- VB=-2.94(V) B点电势高131-13 点电荷q1、q2、q3、q4 各为4x10-9 库仑，置于正方形的四 个顶点上,各点距正方形中心O点均5厘米。 (1)计算O点的场强和电势:(2)将q0=10-9 库仑的试探电荷从无限 远处移到O点,电场力作功多少？(3)电势能的改变为多少? q Eo ? 0 q 电场强度 解：由于q对于o点对称，电势为? ? 电场力作功为 A e ? q 0 E ? d l ? ?q 0 v 0 ? ?2.88 ? 10 ? 6 ?J ?电势能的改变为q vo ? 4 ? ? 2.88 ? 10 3 ?V ? 4?? 0 r?W ? ? Ae ? 2.88 ? 10?6 J0 ??qoq1-14 两个点电荷,电量分别为+4q和-q,相距为l,求电场中电势为 零的点的位置,该点的电场强度是多少?4q q ? ?0 解: (1) 4??0 (L ? x) 4??0 x4 1 ? ? ?0 (L ? x) xx? 1 5L4q q 25q 3 75q ( 2)E ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4 1 4??0 (L ? 5 L) 4??0 ( 5 L) 4??0L 2 8??14 L 0补充1.8 题设条件和题1-12相同,求各点电势? q1 q2 解: V r ? 0.05 ? ? ? 1350(V) 4??0 R 1 4??0 R 2q1 q2 V r ? 0.20 ? ? ? 900( V ) 4??0r 4??0 R 2q1 ? q 2 V r ? 0.50 ? ? 450( V ) 4??0r1-15 电荷q均匀分布在半径为R的球体内,求球内的电势。 4 解：作一半径为r0同心球面为高斯面。且 q ? ? ? ?r 3 33 2 2 ? ? ? r ? R q 3 R ? r ? R ? r处的电势为 V ? ?r Edr ? ?r dr ? ?R dr ? 15 3 2 3? 0 3? 0 r 8?? 0 R4 3 ? ? ?r0 3 当0&r0&R E ? 4?r02 ? ?0 4 ? ? ?R 3 当r0&R E ? 4?r02 ? 3 ?0?r0 故 E? 3? 0故?R 3 E? 3? 0r021-16 有两个半径为R的球体,球心相距为L (L&R)。在两球各自 不于另一个球重叠的部分均匀地带电,体电荷密度分别为 ? ? 和 ? ? .试求在球外任一点 (r&&L)电势，并与偶极子电场比较 ，确定其等效电偶极距。 R R 解：由于重叠部分不带电，等价于各球带 L O ?O 等密度异种电荷。而球外一点电势等价于 r 电荷集中于球心的电势。 ?q q 4 3 V ? ? r－ r＋ (r&&L) 故 其中 q ? ?R ? 4??0r? 4??0r? 3 p 1 1 1 2 ? ? 又有 r?2 ? r 2 ? L ? 2 ? L r cos ? 1/ 2 2 r r ? L 4 ? Lr cos ? ? ? 4 2 ? ? 2 ?1 ? ? 由二项式定理 r? 1 1 ? L cos ? L ? ? 1? ? 2 ? ... ? ? ? r? r ? 2r 8r ?2故? 1 1 ? L cos ? L2 1? ? 2 ? ... ? 同理 ? ? ? ? r? r ? 2r 8r ? q ? 1 1 ? qL cos ? ? V? ? ? ? 16 ? ? 4??0 ? r? r? ? 4??0r 2??1-17 利用电势梯度求体电荷密度为? ,半径为R均匀带电球体的 电场强度。 解： r&R时?R 3 V? 3? 0rd 可得 E ? ? dr ? ?R 3 ? ?R 3 ? ?? 2 3 ? r 3 ? r 0 ? 0 ??V 由 E?? ?rq 3R 2 ? r 2 ? 3R 2 ? r 2 ? r&R时 V ? 3 8??0 R 6? 0?V 由 E?? ?rd 可得 E ? ? dr?? ??? ? 3 R 2 ? r 2 ? ?r ? ?? 6? 0 ? ? 3? 017??补充1.9 电量q均匀分布在长为2L的细直线上,求其中垂面上离 带电线段垂直距离为r处的电势,(见图),并利用梯度求电场强度 . P q dz 解: rq dq ? dz , 2L1 2L d? ? 4??0 r 2 ? z 2 L L L L 1 q dz q ? ? 2? ? ln(z ? r 2 ? z 2 ) 0 4?? 2L 0 r 2 ? z 2 4??0L 0 q L ? r 2 ? L2 ? ln( ) 4??0 L r d? q E?? dr 4??0r r 2 ? L218第二章静电场中的导体与电介质2-1 如图在电容器中充入两种介质,其相对电容率为??r1和??r2 (1)在充入介质保持电源与电容器的极板相连接；(2)电容器充 电后,与电源断开,再充入介质,以上两种情况下,两种介质中的 场强之比?极板上电荷是否均匀?(3)这两种情况下电容如计算? 解:(1)保持电源与电容器相连再充入介质, Q0变 U1=U2 , E1=E2 , ??r1 ??r2D1 D2 ? ? , ? 0? r1 ? 0? r 2?D ? ??1 ? 2 ? ? r1 ? r 2(2)充电后,与电源断开,再充入介质, Q0不变 ,U’1=U’2 , E’1=E’2 ' ' ' 'D1 D2 ? ? , ? 0? r1 ? 0? r 2?D ? ?''(3)这两种情况下电容可看作并联? 0? r1s1 ? 0? r 2s 2 C ? C1 ? C2 ? ? 1 d d?1 ?2 ? ? r1 ? r 22-2 如图平行板电容器面积为S，两板间距为d.(1)在保持电源与 电容器的极板相连接情况下扦入厚度为d’介质,求介质内外场强 之比；(2)电容器与电源断开,再扦入介质,情况如何?(3)扦入不 是介质,而是金属平板.(1),(2)这两种情况如何? d 解：(1)在保持电源与电容器的极板相连接情 ' ? d r 况下扦入厚度为d’介质,介质内外场强之比.D=D1=D2=? , ?0E1=?r?0E2(2)先充电后再插入介质，' D' ? ?' ? D1 ? D'2 ' ?0E1 ? ?0?r E'2E1 ? ?r E2' E1 ? ?r ' E2d?rd'(3）如果插入的不是介质板而是一块金属板， 金属板内E=0,电势差变小:dd'? V ? E(d ? d?) ? (d ? d?) ?0Q ? 0S C? ? V d ? d? ,22?3 在一个点电荷的电场中,以点电荷所在处作一个球形封闭曲面 ，问在下列情况下,高斯定律是否成立？有能否由高斯定律求出这 些曲面上的电场强度？（1）电场中有一块对球心不对称的电解质 ；（2）电场中有一块以点电荷为中心的均匀球壳形电解质。解:下列(1) (2)情况,高斯定律均成立!但 : (1)电场中有一块对球心不对称的电解质,极化后产生一附加场 E’,这样各点电场不再球面对称,不能由高斯定律求出这些曲面上 的电场强度! (2)电场中有一块以点电荷为中心的均匀球壳形电解质。这样各 点电场是球面对称,能由高斯定律求出这些球形封闭曲面的电场 强度2-4 下列说法是否正确,为什麽？(1)高斯面内如无自由电荷，则 面上各点D必为零；(2)高斯面上各点的D为零,则面内一定没有 自由电荷.(3)高斯面上各点的E均为零，则面内自由电荷电量的 代数和为零,极化电荷电量的代数和也为零;(4)通过高斯面的D 3 通量只与面内自由电荷的电量有关；(5)D仅与自由电荷有关。解: 高斯定理是研究闭曲面D的通量等于面内自由电荷电量的代 数和 ,而D本身不仅与自由电荷有关,还与极化电荷有关.故:（1）面内如无自由电荷，而面外有,则面上各点D不见得为零； （2）高斯面上各点的D为零，则面内一定没有自由电荷。正确! （3）高斯面上各点的E均为零，则面内自由电荷电量的代数和 为零，极化电荷电量的代数和也为零； （4）通过闭合高斯面的D通量只与面内自由电荷的电量有关； 这种才对! （5）不对. D本身不仅与自由电荷有关,还与极化电荷有关.2-5 D线，E线和P线各起自何处？ 答:以平行板电容器介质板为例画出D线，E线和P线示意图. ?rD线?rE线?rP线42-6 证明两个无限大平行带电导体板(1)相向的两面上，电荷的 面密度总是大小相等而异号；(2)相背的两面上，电荷的面密度 总是大小相等而同号。 ?1 ?2 ?3 ?4 证明：设各板面电荷密度为?1,?2.?3,?4。由电荷守恒，得：? 1s ? ? 2 s ? Q 1 ? 3s ? ? 4s ? Q 2?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0由左导体内电场为零得：?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?0 由右导体内电场为零得： 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0连立上述四个方程解得：Q1 ? Q 2 ? ?1 ? ? 4 ? ? ? 2s ? ?? ? ? ? ? Q 1 ? Q 2 1 3 ? 2s ?52-7 两个面积均为S的平行金属板，两板间距d远小于板的限度 ，已知其中一块金属板上带的电量是q,另一块上所带电量是2q, 试求（1）板上各面的面密度是多少？（2）两板间的电势差是 多少？（3）两板外电场强度是多少？ 解:(1)以2-6的结果，以Q1=q, Q2=2q带入求得：3q ?1 ? ? 4 ? 2s(2)两板间的电势差?q ? 1 ? ?? 3 ? 2s?2 q.d v1 ? v 2 ? E ? d ? d?? ?0 2? 0 s? 4 3q E? ? ? 0 2? 0 s6(3)两板外的电场由高斯定理求得：? 4 ? ?s E ? ?s ? ?0补充2.1 有一半径为0.01米的金属球A带电q=1.0 ×10-8库仑， 把原来一个不带电的半径为0.20米的薄金属球壳B同心的罩在球A 的外面。(1)求距球心0.05米处的电势;(2)求距球心0.15米处的 电势;(3)求B球的电势;(4)若A,B两求用导线连接,求B球的电势. 解：由高斯定理求得电场 E的分布： ? ? 0 ? r ? 0.1 ?0 ? q ? E?? , 0.1 ? r ? 0.2 2 ? 4?? 0 r ? q , 0.2 ? r ? ? ? 2 ? ? 4?? 0 r ? ? ? 由 v ? ? E ? d l 求得电势分布：x(1)q q v(0.05) ? ? 0dr ? ? dr ? 2 2 0.05 0.1 4?? r 4 ?? r 0 00.5 ?? 900( v )r ? 0.57( 2)( 3)q q v(0.15) ? ? dr ? 0.15 4?? r 2 4?? 0 r 0?? 600( v )r ? 0.15v(0.2) ?q q dr ? ?0.2 4?? 0 r 2 4?? 0 r?? 450( v )r ? 0.2(4)若A,B两求用导线连接，内球上的电荷转移到外球上， 故 qv?4?? 0 r? 450( v )r ? 0.22-8有半径为R1和R2(R1&R2)的两个相互绝缘的同心金属球壳，现在 把＋q的电量给予内球，问(1)外球的电荷和电势；(2)把外球接 地后,重新绝缘,这时外球的电荷和电势. 解：由静电感应可知，外球内壁带－q，外壁带＋q。 故 ? ? ? ? q ?0 ? qv外 ??R2E ? dl ??R2外球接地后,其外壁不再带电,电场集中在内外球壳间,故 v 外4?? 0 r2r ? dl ?4?? 0 R 28?02-9 将电量为4x10-10库仑的点电荷，放在内外半径分别为 R1=2.0 厘米，R2=3.0 厘米的原不带电的导体球壳的中心，求（ 1）导体球壳的电势;（2）离球心 r=1.0 厘米处的电势；（3） 把点电荷移至离球心r=1.0 厘米处，导体球壳的电势。 q ? 120(V ) 解：(1)球壳电势为 v 壳 ?? ? ?? ? q ?1 1 1 ? ? ? (2)球壳电势v ? ? E ? d l ? ? E ? d l ? ? ? ? 300(V ) ? ? r R2 4?? 0 ? r R 1 R 2 ? (3)点电荷在壳内移动不影响壳外电势，故 v 壳 ? 120(V )R14?? 0 R 2补充2.2 以内外半径分别为R1和R2的金属球壳,带电量为Q,问： (1)球心处的电势是多少？(2)若再在球壳内离球心为r0处,绝缘 地放置一个点电荷q0,这时球心处的电势是多少？(3)若在球外离 球心为r处再放置一个电量为q的点电荷，球心处的电势是多少？ 解:(1)当求带电为Q时，球壳电势为： v?? ?R 2球内各点电势均为Q/4??0R2Q Q dr ? 2 4?? 0 R 2 4?? 0 r9(2)若球壳内离球心为r0处放一点电荷q0,由于静电感应，球壳内 表面电荷为-q0，球壳外表面电荷为Q+q0，故球心电势为这三部 分电荷的电势的叠加： q0 ? q0 Q ? q0v0 ?4?? 0 r0?4?? 0 R 1?4?? 0 R 2(3)若球外r处又放一点电荷q，在球外表面上又感应出等量异号 电荷，但他在球心电势为零，故球心处电势为：q q0 ? q0 Q ? q0 v0 ? ? ? ? 4?? 0 r0 4?? 0 R 1 4?? 0 R 2 4?? 0 r补充2.3 有两个同轴的圆柱面，面内柱面半径为R1,电势为U1，外 柱面半径为R2,电势为U2，求两柱面间两点的电势差。 解：设内筒单位长度的电量为?1，外筒为?2，故R1与R2之间的电 场强度 E=?1/2??0r,两筒之间电势差：v 12 ? v 1 ? v 2 ? ?R2R1?1 ?1 R2 Edr ? ? dr ? ln R 1 2?? r 2?? 0 R 110 0R2( v 1 ? v 2 ) ? 2?? 0 ? ?1 ? 在两筒之间r1, r2两点的电势差： ln( R 2 R 1 ) r2 ? ?1 r2 ln(r2 r1 ) ' ' 1 v1 ? v 2 ? ? dr ? ln ? ( v 1 ? v 2 ) r1 2?? r 2?? 0 r1 ln(R 2 R 12 ) 02-10 两同心导体球壳，内球和外球的半径分别为R1和R2，设该 系统与地面以及其他物体相距都很远，现将内球通过细导线接 地，试证明此时系统的电容可用如下公式表示：4?R 2 2 C? R 2 ? R1证明：把内球接地电势为零可与无限远电势为零等同起来。这样 可看作：内球与外球的内表面组成一个球形电容器，外球的外表 面与无限远处构成一个球电容器，但它们之间是并联关系。故C=C球形+C球2 4?? 0 R 2R1 4??0 R 2 ? ? 4?? 0 R 2 ? R 2 ? R1 R 2 ? R1112-11 三个平行金属板A、B、C面积均为200平方厘米，AB间距离 4.0毫米，AC间距离2.0毫米，B和C都接地。如果使A板带正电， Q=3x10-7 库仑，求：(1)B,C上的感应电荷;(2)A板上的电势. 解：由图可知C? 由此得出 Q ?C ?? A1 ? ? A 2 ? ?5 2 s ( ) ? ? ? ? ? ? 10 C / m ? C A ?? A ? ? ? B ?5 2 1 ( ) ? ? ? ? ? ? 0 . 5 ? 10 C / m ? B A ? ?? A 2 ? ? ? C ?7 q ? ? s ? ? 2 ? 10 C 故 ? C C ? E 1d 1 ? E 2 d 2 ?7 qB ? ? Bs ? ?1 ? 10 C ? ? A1 ? A2 ? E1 ? , E2 ? ? ?0 ?0 ? A2 d 2 ? v A ? v AC ? E 2 d 2 ? ? 2260(V ) 12 ?02 1B A E2 E1 ? A1 ? A ? B 2 d2 d12-12 有三个电容C1,C2,C3先将C1充电致电压U0,然后再将C1何以 串联好的C2,C3并联起来，如图，求各电容上的电压和电量。解 : q 0 ? C1 V0 , C 2 与C 3串联再与C1并联的电容为 : C2 ? C3 C1C 2 ? C1C 3 ? C 2 C 3 C ? C1 ? ? C2 ? C3 C 2 ?C 3 C的带电量q ? C1 V0 , 故等效电容 C的电势为: C1 V0 (C 2 ? C 3 ) q V1 ? ? , C C1C 2 ? C1C 3 ? C 2 C 3C2C1 C3C1 V0 (C 2 ? C 3 ) ? ?V2 ? V3 ? V1 ? C1C 2 ? C1C 3 ? C 2 C 3 ? ?C V ? C V 3 3 ? 2 2C1C 3 V0 ? ?V2 ? C C ? C C ? C C ? 1 2 1 3 2 3 解得 : ? C1C 2 V0 ?V ? 3 ? C1 C 2 ? C1C 3 ? C 2 C 3 ?2-13 图中C1＝C2＝C4＝2.0微法, C3＝C5＝C6＝4.0微法，求(1)AB 间电容；（2）AB间电压为200伏时,每块极板上的电量；（3）每 13 个电容存储的电能。' 解： (1)C1并C2为 C ? 4.0?F 再与C3和C4串联为 1 1 1 1 '' ? ? ? ? C ? 1?F '' ' C C3 C4 C A ’’ C5和C6串联后,再与C 并联的电容为 C5 C6 '' ''' '' C?C ?C ?C ? ? 3?F C5 ? C6C3 C1 C5C2 C6C4 B(2)设V＝200伏，则AB间电荷为 由于 C : C ? 1 : 2 故 q 3 ? q4 ? q'' ? 2 ? 10?4 C'' '''q ? CV ? 6 ? 10?4 C' q'' : q''，因此 ? 1: 2q5 ? q6 ? q''' ? 4 ? 10?4 C 同理由于 C1 : C2 ? 1 : 1 故 q1 : q 2 ? 1 : 1 ，因此 q'' q1 ? q 2 ? ? 1 ? 10? 4 C 2电容存储的电能为?3W1 ? W2 ? 2.5 ? 10 J W3 ? 5 ? 10 J?31 q2 W? ，因此可得 2 C?2?2 W ? W ? 2 ? 10 J 14 W4 ? 10 J 5 62-14 计算两根带异号电荷的平行导线单位长度的电容，导线的 半径均为a，距离为d(d&&a)，设导线可视为无限长，电荷均匀 分布。 解：由于? E? ? , 2??0r? ? ? E ? E? ? E???r a?? E? ? 2??0 (d ? r )?? d-r?? 0 l Q ?l 因而 C ? ? ? ? d d ?V ln ln ?? 0 a a1 ? d ?1 ? ? ? 故 ?r d?r? ? ? ? d?a ? d d?a ?V ? ?a E ? d l ? ln ? ln ?? 0 a ?? 0 a??0 C单 位 长 ＝ d ln a 15? E? 2?? 02-15 今需要一个耐压900伏、500微微法的电容，能否用两个分 别标有“200pF 500V”和“300pF 900V”的电容来代替？ 解：若电容串联，则增大耐压，减小电容， C1C2 200 ? 300 ? ? 120(pF ) V ? V1 ? V2 ? 500 ? 900 ? 1400(V ) C ? C1 ? C2 200 ? 300 若并联,耐压不变，容量增大， C ? C ? C ? 200 ? 300 ? 500(pF ) 1 2 因而串联、并联都不行。不能用两个电容来代替.补充2.4 两块平行导体板，面积各为100厘米板上带有8.9x10-7 库仑的等量异号电荷，在两板间充满电介质，已知介质内部电场 强度为 1.4x106伏特/米，求:（1）电介质的相对电容率 ?（2 ）电介质的极化面电荷密度。Q Q ? 7.18 解： 由于 E ? ，故 ? r ? ? 0Es ? 0? rs Q? 1? Q ?' ' ?5 ?1 ? ( ) 1 ? ? 7 . 66 ? 10 C ? m 由于 E ? D ? P ? ? 故 ? ? ? ? ? 16 s ? ?r ? ? 0s ? 02-16 在一平行板电容器的极板上，带有等值异号电荷，两板间的 距离为5.0毫米,以?r=3的电介质,介质中的电场强度为1.0 × 106伏 特/米,求:(1)介质中电位移D;(2)极板上自由电荷面密度?0;(3)介质 中的极化强度P；(4)介质面上的极化电荷面电荷密度?’；(5)极 板上自由电荷产生的电场强度E0 ;(6)极化电荷产生的电场强度E’ 。 解 : (1) D ? ? ? E ? 2.7 x10 ?5 库仑 / 米 20 r( 2)? 0 ? D ? ? 2.7 x10 ? 5 库仑 / 米 2(((3)P ? ? 0 (? r ? 1)E ? 1.8x10 ? 5 库仑 / 米 2 ? ? (4)? ? P ? n ? P ? 1.8x10 ? 5 库仑 / 米 2(())))? 2.7 x10 ? 5 6 (5)E0 ? ? ? 3 . 0 x 10 (伏 / 米 ) ?12 ?0 8.85x10 ?? (6)E? ? ? 2.0x10 6 (伏 / 米 ) 17 ?0? 0S 解：(1)原电容为 C0 ? ? 177pF d ?7 q ? C V ? 5 . 31 ? 10 C 0 0 (2)极板上自由电荷的电量 0(3)放入介质后的电容2-17一空气平行板电容器,面积S=0.2米2，d=0.1厘米,充电后断 开电源,其电位差V=3x103伏，当将电介质充满极间后，电压降至 1000伏，计算：(1)原电容；(2)导体极板上的自由电荷的电量； (3)放入介质后的电容；(4)两板间原场强和充入介质后的场强； (5)介质面上的极化电荷；(6)电介质的相对介电常数 ? r 。C ? ? r C0 ? 531pFV0 ? 3 ? 105 V ? m ?1 (4)两板间原场强 E0 ? d V 充入介质后的场强 E? ? 1 ? 105 V ? m ?1 d (5)介质面上的极化电荷? ' ? ? n ? P ? ? 0 (? r ? 1)E() ()q ' ? ? 'S ? 3.54 ? 10 ?7 C18(6)电介质的相对介电常数? r ? C C0 ? V0 V ? 32-18 在半径为R1的金属球之外有一均匀电介质层，其外半径为 R2，电介质的相对电容率为?r金属球带的电量为Q,求(1)介质层 内外场强分布;(2)介质层内外电势分布;(3)金属球的电势;(4) 该系统所储存的静电能。 Q 解：(1)由高斯定理求得介质中D2=Q/4?r2 R1 Q ?r 又D=?0?rE ，故介质层内场强 E 2 ? 2 1 R2 4 ?? ? r 0 r Q 2 E ? 在介质外场强为 3 3 4?? r 2(2)介质内电势为 v 2 ? ?R2rv3 ? ? 介质外电势 r 为 ? ? R ? ? ? (3)金属球电势为v 金 ? ?R E 2 ? d l ? ?R E 3 ? d l ?2 1 2?? ? 0 ? ? ? E2 ? d l ? ? E3 ? d l ?? ? E3 ? d l ?R2Q 4?? 0 rQ 4?? 0 ? r? 1 ?r ? 1 ? ? ?r ? R ? ? 2 ? ?Q 4?? 0 ? r(4)系统所储存的静电能为? 1 ?r ? 1 ? ? ?R ? R ? ? 2 ? ? 12 ? 1 ?r ? 1 ? 1 1 Q R2 ? 2 2 2 2 ? W ? ? ?e dV ? ?R1 ? 0 ? r E 2 (4?r dr ) ? ?R 2 ? 0 E 3 (4?r dr ) ? ? 19 ? ? 2 2 8?? 0 ? r ? R 1 R 2 ? ?补充2.5 球形电容器是半径为R1的的导体球与和它同心的导体 球壳组成的，球壳的内半径为R3，其间充入两层均匀电介质， 分界面的半径为R2，它们的相对电容率分别为 ?r1和 ?r2 ,求电 容C。 解:设两板各带＋Q和－Q则介质中场强为Q E1 ? 4??0 ? r1 r 2因而介质中电势差为Q E2 ? 4??0? r2 r 2? r22 1R1? r1R3R2?V ? ?R2R1? ? R3 ? ? E1 ? d l ? ? E 2 ? d lR2Q ? ? r2 R 3 (R 2 ? R 1 ) ? ? r2 R 1 (R 3 ? R 2 ) 4?? 0 ? r1 ? r2 R 1 R 2 R 3故电容为??4??0 ? r1 ? r2 R 1R 2 R 3 Q C? ? ) ?? ? r2 R 3 (R 2 ? R 1 ) ? ? r2 R 1 (R 3 ? R 2 20补充2.6 当上题中，内球上带有电量Q时，求各介质表面上极化 电荷面密度是多少？ ? Q R1 ? r ? R2 ? 4?? ?r 1r 2 解:由上题的结果： 0 ? ? Q E?? R2 ? r ? R3 2 ? 4??0 ?r 2r ?0 r ? R1, r ? R3 ? ? 由P ? ? 0(?r ? 1)E求 得 的P分 布? (?r 1 ? 1)Q 2 ? ? 4??r 1r P ? ? ? (?r 2 ? 1)Q 2 ? 4 ?? r r 2 ?R1 ? r ? R2 R2 ? r ? R3r ? R 1处? ? ? ? P (R1 ) ?(1 ? ?r )Q14??r 1 R 1 221r ? R2处 r ? R 3处? ? ( ?r 1 ? ?r2 )Q ? ? ? ? ? P2 ? P1 ? n ? 4??r 1?r2 R 2 2()( 1 ? ?r2 )Q ? ? ? ? P(R 3 ) ? 24??r2 R 3补充2.7 圆柱形变容器是由半径为R1的导体圆柱和与它同轴的导 体圆柱面组成，柱面内半径为R2，长为L,其间充满相对电容率为 ?r的电介质，如图。内外导体带等量异号电荷，单位长度的电量 为±?0,求：（1）介质中的电位移D,电场强度E和极化强度P的值 ；（2）极化电荷的面密度?’；（3）极间电势差。 解:在R1&r&R2的介质区间内， ? ?0 ? (1) 由?? D ? d s ? Q, 求得 : D ? 2?r ?0 由D ? ? 0 ? r E, 求得 : E ? 2?? 0 ? r r R1 R2 L22由P ? ? 0 (? r ? 1) E, 求得 : P ?(? r(2)? ? r ? R??1? ? ? P ? n ? ?P ? ? ? P ? n ? ?P Edr ?r ?? 1)? 0 R1 ? ? 2?? r R 1(? r? 1)? 0 ? 2?? r r , ,r ? R2r ?? 1)? 0 R2 ? ? 2?? r R 2(? r(3)V ? ?RR21?R2R1?0 ?0 R2 dr ? ln 2?? 0 ? r r 2?? 0 ? r R12-19 三个相同的点电荷，放置在等边三角形各顶点上，设三角形的边长为a，电荷的电量均为q，计算电荷系的相互作用能。如果在三角形的中心放置一个电量为-q/?3 的电荷，计算该电荷在 其余三个电荷产生的场中具有的电势能。232 a 1 2 q 3 q 解：由等边三角形可知 r ? )? 故 W ? 3?( ?q 2 4?? 0 a 4?? 0 a 3 q 3 3q ? 又 V0 ? 3 ? 4?? 0 r 4?? 0 a故3 3 3q 3q 2 W ? q0 v0 ? ? q ?? 3 4?? 0 a 4?? 0 a补充2.8 电量为Q的导体球，置于均匀的无限大的电介质中，已 知电介质的相对电容率为?r ,导体球半径为R，求在介质中的能 量密度和静电能。 Q解：介质中的场强为故能量密度为 静电能为4??0 ? r r 2 2 1 Q ? ? ? 0?r E2 ? 2 32?? 0 ? r r 4 ? Q2 W ? ? ?dV ? R 8?? 0 ? r RE?24第三章稳恒电流和稳恒电场3-1.下列各量中那些是空间的函数?那些是矢量?电压;电流强度; 电流密度;电阻;电导率;电功率。 解：空间点的函数有:电压.电流强度.电阻.电导率.热功率密度 ； 矢量有：电流密度。 负载 补充3.1 如图所示,这样连接变阻器有何不妥？ B A C 解：调节可变电阻器时易把电源短路而损 ?0 坏电源。 r k3-2 5安培的电流在10欧姆的电阻器中的流动4分钟之久，在 这段时间内有多少库仑的电荷和多少电子通过这个电阻的任意 横截面？ 3 解： q ? I ? t ? 5 ? 4 ? 60 ? 1.2 ? 10 ( 库仑 )q 1. 2?103 21 n ? ? ?19 ? 7 . 5 ? 10 ( 个 ) e 1. 6?1013-3 在下列情况下通过导体横截面的电量是多少？ （1）电流强度在10秒内均匀的有零增加到3安培； （2）电流强度从18安培起，每过0.01秒减少一半,直到零。 t 10 解：(1)I ? 3 t q ? ? Idt ? ?0 dt ? 15(库 仑) 10 10 1 1 ( 2)q ? I ?k ? I ?k ? I ?k ? ? ? 0 2 0 4 0 ? I ?k (1 ? 1 / 2 ? 1 / 4 ? ? ?) 0 ?18?0.01?1/(1?1/ 2)? 0.36(库 仑) 3-4 球形电容器的内、外半径分别为a和b，两极间充满电阻率 为 ? 的均匀介质，试计算该电容器的漏电电阻。解：取体元球壳，故积分得漏电电阻为dl dr dR ? ? ? ? S 4?r 2 b ? ?1 1? R ? ? dR ? ? ? ? a 4? ? a b ?23-5 如果有20安培的电流通过直径为2毫米的导线,且电流均匀分 布,导线的电阻率为3.14x10-8欧姆.米,求导线内的电场强度。 ? 解：I I j? ? 2 S ?rj? ?Ej I ? E ? ? ?j ? ? 2 ? 0.2(伏特 / 米) ? ?r3? 3? 6? 6? 3? 6? 6?补充3.2求下面各图中a和b两点间的电阻。 a4 ? 5 ? 6? 5? 4?brr r r a r r r (b) r rab6?r r r r (d) r rbb(a)6?a r(c)解 : (d )? V ? I ?2 r ? I r 1 ? ab 2 ? ? ? Vab ? I1r ? ( I1 ? I 2 )r ? I1r ? 3 I1r ? I 2r 5Vab I ? I1 ? I 2 ? 7r Vab 7 ?R ab ? ? r I 5? I ? 3V / 7r ab ? 1 ? ? ? I 2 ? 2 Vab / 7 r33-6 高频情况下，电流在导线横截面上的分布是不均匀的，越 靠近表面，电流的密度越大，这种效应叫做趋服效应。已知电流 密度的函数表达式为 j=j0e-d/ds ,式中j0是导体表面处的电流密 度，ds是和材料及频率有关的常量，称为趋服深度，d是离表面的 深度。设导体是半径为R的圆柱体，试计算由表面到d=ds的一层导 体中的电流与总电流之比。若 ds&&R ，结果如何？ 解:r=R-ds rs=R-dsIs ??rsRj? 2 ?r dr ??rs?R?j0 eR ?r ds? 2 ?r dr ? 2 ?j0d s [( R ? d s )( 1? e ?1 ) ? d s e -1 ]? R dsI ? j 2 ?r dr ? j 0 e?0R?0RR ?r ds? 2 ?r dr ? 2 ?j 0 d s ( R ? d s ? d s e)I s ( R ? d s )( 1? e ?1 ) ? d s e -1 ? I R ? d s ? d s e ? R / ds43-7 如图电导率很大的导体之间有两层电导率分别为?1和?2的导 电介质,厚度为d1和d2, S,通过导体的稳恒电流强 ?导体的截面积为 2 度为I‘求(1)两层导电电介质中的场强E1和E2;(2)电势差V1和V2。 解：由欧姆定律I j ? ?E ? S可得电介质中场强为I I E1 ? , E2 ? ? 1S ? 2SI?1?2S而电势差为 V ? E d ? Id 1 , V ? E d ? Id 2 1 1 1 2 2 2 ?1S ? 2Sd1 d2补充3.3一导线电阻为 R=6 欧姆,其中电流的变化规律为:(1) 电流强度在10秒内均匀的由零增加到3安培；(2)电流强度从18 安培起，每过0.01秒减少一半,直到零。求导线产生的热量。 t 3 解: 2 3 2 3 3 10(1) I ? 10 t dQ ? I rdt Q?2?0( 10t )2Rdt ?210Rt|0? 180( 焦)( 2 ) Q ? ?Q 1 ? ?Q 2 ? ?Q 3 ? ? ? I 1 R?t ? I 2 R?t ? I 3 R?t ? ??2 ? R?t[I 0 ? ( I 0 / 2 ) 2 ? ( I 0 / 4 ) 2 ? ? ? I 0 2 R?t1 4 5) ? I 0 2 R?t ? 25.92( 焦 耳 1? 1 / 4 33-8 一铜棒截面积为20x80毫米2,长2米,两端的电势差为50毫伏 ，已知铜的电导率为?=5.7x107西门子/米，自由电子密度 n=8.5x1028个/米3，求:（1）它的电阻；(2）电流及电流密度； （3）棒内电场强度；（4）所消耗的功率； 解(1)电阻为R?? l l ? ? 2.2 ? 10? 5 ?? ? S ?S V I ? ? 2.27 ? 103 ?A ?, R(2)电流及其密度为 (3)棒内场强 (4)消耗功率为j?I ? 1.42 ? 106 A / m 2 S??j ? ?E? E ? j ? ? 2.49 ? 10?12 ?V / m?P ? IV ? 113.5?W?3-9 一蓄电池在充电时，通过的电流为3安培，此时两极间的 电势差为4.25伏特，当该电池放电时，通过的电流为4安培两极 间的电势差为3.90伏特，求该电池的电动势和电阻。 解:? ? ? I1r ? 4.25 ? ? ? I r ? 3.90 2 ?欧 姆) ? r ? 0.05( ? ? ? ? 4.10( 伏 特) ?63-10 设在图中所示的电路中，三个电容开始时均不带电，求将 它们与A、B、C点联结后，各极板上的电量。 解：充电完毕后，电容等价于开路， 设回路ABCA中电流为I。 ? 20 ? 24 ? 10 ? I?10 ? 15 ? 15 ? 5 ? 5 ? 25? ? 0 ? I ? 0.1?A ? 故20V A I 10 ? B 15? 24V20?F C2C1 25?O20?FVA ? VAC ? 10 ? I?25 ? 5? ? 7?V ?VB ? VBC ? 24 ? I?15 ? 5? ? 26?V ?C3 10?F 10V C 5? 5??V1 ? V3 ? VA 由图可知 ? ?V2 ? V3 ? VB ?? C V ? C V ? C V ? 0 ? 1 1 2 2 3 3故q1 ? ?C1V1 ? 1.24 ? 10 ?4 ?C??V1 ? ?6.2V ? ? ?V2 ? 12.8V ?V ? 13.2V ? 3q 2 ? ?C2 V2 ? ?2.56 ? 10 ? 4 ?C? q 3 ? ?C3 V3 ? 1.32 ? 10 ? 4 ?C?7补充3.4一电路如图,其中b点接地，R1=10.0欧姆，R2=2.5欧姆， R3=3.0欧姆,R4=1.0欧姆,?1=6.0伏,r1=0.40欧姆,?2=8.0伏特 r2=0.6欧姆，求:(1)通过每个电阻的电流;(2)每个电源的端电压 ;(3)a,d 两点电势差;(4)b,c 两点电势差(5)a,b,c,d各点电势。 c R4 d R 1R 2 解（1）R 12 ? R1 ? R 2 ? 2(? ) ?? 6?8 ? ? 2( A ) ? R 0.4 ? 0.6 ? 1 ? 3 ? 2 R3 R1 I1 ? I ? 0.4( A ) I 2 ? I ? I1 ? 1.6( A ) R1 ? R 2 I?? 1 r1? 2 r2R1 a R2b( 2) v1 ? ?1 ? Ir1 ? 5.2( V ) v 2 ? ? 2 ? Ir2 ? 6.8( V ) ( 3) v a ? v d ? ? IR 3 ? ?1 ? Ir1 ? IR 4 ? ?2.8( V ) (4) v b ? v c ? ? ? 2 ? Ir2 ? IR 4 ? ?4.8( V ) (5) v b ? 0 v a ? IR 12 ? 2 ? 2 ? 4( V ) v b ? v c ? ?4.8( V )8 v c ? 4.8( V ) v d ? ( v d ? v a ) ? ( v a ? v b ) ? 2.8 ? 4 ? 6.8( V )3-11 如图所示电路,?1=12.0伏特,?2=?3=6.0伏特,R1=R2=R3=3.0 欧姆,电源内阻可忽略,求Vcb ,Vac ,V若C点接地,a ,b ,c点电 动势是多少? ?3解:R 1 ? 2 R 2 ? 1 R 1回 路 电 流: ?? R 12.0 ? 6.0 I ? ? ? 1( 安 培) ?R 3? 3R2R3a b? 1 R1 c?2Vab ? Va ? Vb ? ? ? 3 ? 0 ? IR 2 ? ?3 ( 伏 特) Vbc ? Vb ? Vc ? ? ? 1 ? I 1 R 1 ? ?9 ( 伏 特) Vac ? Va ? Vc ? ( Va ? Vb ) ? ( Vb ? Vc ) ? ?12( 伏 特)9? 2 ? 9 伏， r1 ? r2 ? r3 ? 1 欧姆 3-12 电路中,已知 ?1 ? 12 伏， ? 3 ? 8 伏， R 5 ? 3 欧姆求： （1）a、b两点的电 R1 ? R 2 ? R 3 ? R 4 ? 2 欧姆， 势差；（2）c、d两点的电势差；（3）如果c d两点短路，这时 通过R5的电流是多少？ ? 1 r1 解：c、d开路 则回路中电流为 R1 R3 ?1 ? ? 2 a c d ? r R5 b 3 3 ? ? I? ? 0.5 A R2 r1 ? r2 ? R 1 ? R 2 ? R 3 ? R 4 R4 Ia、b间电势差为 c、d间电势差为Vab ? ? 2 ? I?R 2 ? r2 ? R 4 ? ? 10.5?V ? Vcd ? Vab ? Vbd ? 2.5?V ?? 2 r2(3)c、d短路,设回路中电流为I1、I2、I3 ，回路绕向见图 ? 2 r2 ?I 1 ? I 2 ? I 3 ? 由基尔霍夫方程可得 ?? ?1 ? ? 3 ? I1 ?r1 ? R 1 ? R 3 ? ? I 3 ?r3 ? R 5 ? ? 0 ?? ? ? ? ? I ?r ? R ? R ? ? I ?r ? R ? ? 0 2 4 3 3 5 ? 3 2 2 2通过R5的电流为 I=0.455(A) 方向由a到br1 R1 R3 R5 b a I3 ? 3 r3 R2 R4 I2I1?1103-13 图中 ?1 ? 1.5 伏， ? 2 ? 1.0 伏； R1 ? 50 欧姆， R ? 70 R 2 ? 75 欧姆， 欧姆，求通过R的电流。 I1 R1 I R R2 I2?2?1解：由基尔霍夫方程可知?I ? I 1 ? I 2 ? ? ? ? 1 ? I 1 R 1 ? IR ? 0 ?? ? I R ? IR ? 0 2 2 ? 2可得I ? 1.3 ? 10?2 ?A ?11补充3.5求图中各支路电流。 解: ? I 1 ? I 3 ? I 2 ? 020k? 10V 60k ?40k?? ? ? ? 3 ? I 3 R 3 ? I 1R 1 ? ?1 ? 0 ? ? ?? 2 ? I 2R 2 ? I 3R 3 ? ? 3 ?0I36VI120VI2?I ?I ?I ?0 ? 1 3 2 ? I 1 ? 3 I 3 ? ?1.2?10?4 ? I ? 1.5 I ? 3.5?10?4 3 ? 2? I ?1.0?10-4 ( 安 培) ? 1 ? I 2 ? 2.0?10-4 ( 安 培) ? I ?1.0?10-4 ( 安 培) ? 3补充3.6三个电池连接如图,已知?1=1.3伏特,?2=1.5伏特,?3=2.0 伏特,r1=r2=r3=0.20伏特,外电阻R=0.55欧姆,求电池中的电流 ?1 r1 解: ? 3 r3?I ? I ?I ?0 ? 1 2 3 ? ? I1r1 ? I 2r2 ? ?1 ? ? 2 ? 0 ? ? ? I 2r2 ? I 3 ( r3 ? R )? ? 2 ? ? 3 ? 0I 1 ? 1.5( 安培)?I ?I ?I ?0 ? 1 2 3 ? ? I 1 ? I 2 ? 1? 0 ? ? ? 2 I1 ? 7.5 I 3 ? 35? 0? 2 r2R12I 2 ? 2.5( 安培)I 3 ? 4.0( 安培)3-14 如图电路中,?1=20伏特, ?2=18伏特 , ?3=7伏特r1=r2=r3=1 欧姆，R1=4欧姆,R2=6欧姆,R3=2欧姆,求个支路中的电流以及Vab ，若 a 点接地，Ub=？ R1 ?1r1 解: ? I 3 ? I 2 ? I 1 ? 0? ? ? I 2 ( R 2 ? r2 ) ? I 1 ( R 1 ? r1 ) ? ? 2 ? ? 1 ? 0 ? ? ? I 3 ( r3 ? R 3 ) ? I 2 ( r2 ? R 2 ) ? ?1 ? ? 3 ? 0 ?I ?I ?I ?0 ? 3 2 1 ? ? 3 I 2 ? 7 I1 ? 2? 0 ? ? ? 3 I 3 ? 5 I 2 ?11? 0aR2?2r2R3b?3r3I 2 ? ?1( A ) ,题3-20图I 1 ? 1( A ),I 3 ? 2( A )Vab ? ?I 2 R 2 ? I 2r2 ? ? 2 ? ?1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 18 ? 13( v)Vab ? Va ? Vb ? 0 ? Vb ? 13 ? Vb ? ?13( v )133?15电容C=1.0微法拉的电容器,经过R=1000欧姆的电阻放电， 经过多少时间后，电容器两极板上的电压降为原来的一半？解： uC ? Ue? t RC? Ue?103 t3-16如图开关先接1,对电容充电到稳定值后再将开关拨向2,(1） 问经过几倍的时间后，电容器所处的能量变为原来的一半？（2 ）试证明：电容器所处的能量最后全部转化为电阻消耗的热量。 解：（1） u C t ?0 ? ? ? ? RC C 2t 2t R 2t ? ? 1 1 W? CU2e RC ? W0e ? W0 ? W0e ? ? 2 2 2 K 1 2t 1 ? ln 2 t ? ? ln 2 ? ? 2U ?103 t t ? 10?3 ln 2 ? 6.9 ? 10?4 (秒) ? Ue 2（2）? i? e R?t RC? e R2 ? 0?2t RC? dw ? Pdt e R2?2t RCdt14t ? ? dw ? ?2t ? 2 ? RC 1 2 e dt ? C? R 23-17 如图所示,在t=0 时,C1和C2上都没有电荷,求:(1)在 K 接 通后的瞬间各电阻上的电流。(2)流感电源的稳态电流和此时C1 和C2上的电量。 B 解（1）K接通瞬间，电容相当于短路 三个电阻并联后与电源相连接，故R1A? ? ? I1 ? , I2 ? , I3 ? R1 R2 R3（2）接通很久，电容相当于断路，三个 电阻串联与电源连接：C1R2C2 CR3D?k? I? , R1 ? R 2 ? R 3Vc1 ? I( R 1 ? R 2 ),Vc 2 ? I( R 2 ? R 3 )c1 ? ( R 1 ? R 2 ) q c 1 ? c1 v c 1 ? , R1 ? R 2 ? R 3c 2 ?( R 2 ? R 3 ) qc 2 ? c 2 v c2 ? R1 ? R 2 ? R 315第四章稳 恒 磁 场4-1.一电流元Idl沿x方向放置时不受力，将它转到y方向上时 ，受的力与z轴反向，试问此地B的方向为何？ ? ? ? ? ? ? ? 若Id y ? B在负k方向， 解： Id x ? B ? 0 说明B// i ，? ? 说明B与 i 方向相同。4-2一电流元Idl位于坐标原点处，并沿x轴方向。在以原点为中 心半径为R的圆上，每隔45o有一个点，求P1-P8各点处磁感应强 度B的大小和方向。 ? ? ? ? 3 由毕 ? 沙定律dB ? ? 0Id l ? r / 4?r 求得B： 3 解： 4 ? ? ? ?2 ? 2 Idl 3 2 B1 ? 0 ； B 2 ? ? 0 Id l ? r /4 ?r ? 3? 0Idl k / 8?r ； 5 ? ? ? ? 3 1 B 3 ? ? 0Id l ? r3 / 4?r3 ? ? 0Idl k / 4?R 2； 6 ? ? ? ?? ? 8 3 2 B 4 ? ? 0Id l ? r4 / 4?r4 ? 2? 0 Id l k / 8?R ； B 5 ? 0 ； 7 ? ? ? ?? 3 1 B 6 ? ? 0Id l ? r6 / 4?r6 ? ? 2? 0 Id l k / 8?R 2；? ? ? ?? 3 B 7 ? ? 0Id l ? r7 / 4?r7 ? ?? 0 Id l k / 4?R 2； ? ? ? ?? 3 B 8 ? ? 0Id l ? r8 / 4?r8 ? ? 2? 0 Id l k / 8?R 2 .4-3 在电子仪器中，常把载有大小相等方向相反电流的导线扭 在一起，这是为什么？ 相当于两线圈串联， 解： 导线双过来而扭在一起载有电流时两方向相反 ，这样可以消除自感。4-4. 将一六面体，放入非均匀磁场内，已知穿插过其中一个面 的磁通量为?1，则穿过其它五面的磁通量是多少？ ? ? ? ? ? ? 即 : ?? B ? dS ? ?? B ? dS ? 0 解： ??SB ? dS ? 0 S1 S2 ? ? ? ? 可得 ?? B ? dS ? ? ?? B ? dS ? ?? 。S1 S24-5 在同一平面上有两根彼此垂直，而且相互绝缘的长直导线 ，电流为 I，指出该平面上哪些点的磁感应强度为零。 I 解：两电流方向所夹的 ? / 2角的角平分线 ? 上的各点的磁感应强度 B为0。I24-6在下列两种情况下能否用安培环路定理求磁感应强度B，为什 么？(1)有限长载流直导线产生的场；(2)圆电流产生的场。 ? ? 答(1)安培环路定理 ?l B ? d l ? ? 0 ? I i 中的B是闭合电流产生,故不能用! n (2)圆电流产生的场不是高度对称的场,故也不能用。4-7一个质子，一个氘核和一个? 粒子，通过相同的电位差加速 后，进入一均匀磁场中，此时它们的运动方向与B正交。试比较 这些粒子的动能;(2)如果质子在磁场中运动的圆形轨道半径为 10厘米，则氘核和 ? 粒子的轨道半径为多少？解：(1) E H ? m H v H /2 ? q H v ? ev E ? ? m ? v ? /2 ? q ? v ? 2 ev ( 2) m H : m D : m ? ? 1 : 2 : 42 2 2 22E d ? m D v D /2 ? q D v ? ev E H : Ed : E? ? 1 : 1 : 22(m H v H /2) : (m D v D /2 ) : (m ? v ? /2) ? 1 : 1 : 2 vH : vD : v? ? 1 : 2 / 2 : 2 / 2 RH : RD : R? ? 1 : 2 : 2 ? R ? mv/qB R D ? R ? ? 2R H ? 143 (cm )4-8 回旋加速器工作原理如图，D1和D2是两个电极，其形状如沿 直径切成两半的扁金属盒，其间加上交变电场。在与盒垂直方向 上有一稳恒均匀磁场同时存在，整个装置放在真空中，带电粒子 在极间加速，进入电极后在磁场作用下作圆周运动，半个周期后 又进入极间，再次被加速，如此反复。随粒子速度的增大，圆周 运动的半径也加大，当运动半径达到R时及时引出。今欲加速氘 核，已知电场频率f=12x106赫兹，R=0.53米，求磁感应强度B及氘 核的最大能量。 E D1 B 解：回旋次数等于电场频率,故 B qB 2?mf f? ?B ? ? 1.57?T? R 2?m q D mv qBR 出加速器时粒子运动速度为 R ? ?v ? 2Bqm故其最大能量为1 2 q 2B2R 2 E k ? mv ? ? 2.65 ? 10 ?12 ?J ? 2 2m44-9 某一区域内，有正交电磁场存在，已知电场强度E=1500伏/ 米，磁感应强度B=0.4特，且作用在一个电子上的合力为零，求 电子的速率V，并画出E，B和V三个量的相对方向。3 ( 1 ) eE ? evB v ? E/B ? 3.75 ? 10 (米/秒） 解： ? ? ? （2）E，V，B 两两垂直4-10 已知一电量为q的粒子垂直入射到磁感应强度为B的均匀磁 场以前，经过电压为V的电场加速，粒子的初速度可以忽略不计 ，进入磁场后经过半圆到达照像底片上的P点，已知粒子入口至 P点的距离为x，求该粒子质量。 1 2qV 2 qV ? mv ? v? 解：经电场加速后速度为m 2 2 mv x Bqx qB x 由已知 R ? ? ? 故粒子质量为 m ? Bq 2 2v 8V24-11如图设有一电子射入磁感应强度为B的均匀磁场中,当它通 过a点时,其速度V与磁场B的夹角为?,它沿螺旋线运动一周到达b 点.(1)写出ab两点间距离的表达式；（2）如果测螺旋线的半径 5 为R，ab间距离为h，则角度是多少？解：电子运动的周期为 故ab间距离为T?2?m BqV2?m Bqab ? V cos ?T ? V cos ?a?mV sin ? R? 电子运动半径为 Bq 2?m 又 ab ? h ? V cos ? Bqb2?R hB故tg? ?4-12 如图，在长直导线旁有一个矩形线圈，导线中电流I1=20安 培， 线圈中电流I2＝10安培， 求矩形线圈受到的合力是多少？ 已知a＝1厘米，b＝9厘米，l＝20厘米。 b a 解：由于BC和AD中I2方向相反，在I1的磁场中受 C B 力，大小相等方向相反，合力为零。 I1 I2 l AB受力为 FAB ? I 2 lB1 ? I 2 l ? 0 I 1 （方向如图） A D 2?a CD受力为' FCD ? I 2 lB1 ? I 2l? 0I1 2??a ? b ?（方向如图）6故合力为F ? FAB ? FCD补充4.1有一段导线弯成如图所示的形状，它的质量为m，上面 水平的一段长为L，处于均匀磁场中，磁感应强度B与导线垂直 ，导线的下端分别插在两个浅水银槽内，水银槽又通过一开关 与电源连接，当K一接通，导线便从水银槽里跳出来。（1）设 跳的高度为I。求通过导线的电量q；（2）当m=10g，L=20cm， h=0.30m，B=0.10T ? 时，求q的量值。（提示：利用动量定理，并 找出 idt 与 ? Fdt 的关系）? 0 I 1I 2 l ? 1 1 ? ?4 ?N? （方向指向I1） ? ? ? 7 . 2 ? 10 ? ? 2? ? a ?a ? b ? ?(1) F ? BI L， 解： ? Fdt ? ? BLIdt ? mV ? m 2gh 即 BL ? Idt ? BL?q ? m 2gh ，?× × ×?× × × ××××××BLm 2gh ?q ? K BL 7 （2） m ? 10克，L ? 20厘米，h ? 0.30米，b ? 0.10特，求得?q ? 1 （库仑）4-13一半径为R＝0.10米的半圆形闭合线圈，载有电流I＝10安 培，放在均匀外磁场中，磁场方向与线圈平面平行，磁感应强 度 B=5.0x103高斯。（1）求线圈的磁矩P；（2）求线圈所受磁 力矩的大小和方向；（3）在此力矩作用下线圈转90o（即转到线 圈平面与B垂直），求力矩作功。 解：线圈的磁矩为?R P ? IS ? I ? 15.7 ? 10 ? 2 ?A ? m ? 2 ? 22I RB线圈所受磁力矩? ? ? M ? P ? B ? PB sin ? 7.85 ? 10 ? 2 ?J ? 2? ?? 2力矩作功A?Md ? ?? ?? 2PB sin ?d? ? PB ? 7.85 ? 10?2?J ?8补充4.2半径为R的载流圆线圈,电流为 I,在均匀磁场B中，已知B 的方向与线圈平面平行，求此时该线圈绕OO’ 轴的磁力矩。 ? 0 解： B 求线圈的磁矩P o L I R P ? IS ? I ? ?R 2 , 方向垂直纸面 ? B 磁力矩 O? ? ? ? M ? P ? B ? PB ? ?R 2 IB 补充4.3一根载流长直导线被折成如图所示的形状，已知电流强 度为20安， ? =120o，L=2厘米，求A点的磁感应强度B。 解： I ? 0IB?2?a L ? 0I ?4 ? (cos ? ? cos ? ) ? 1 . 73 ? 10 (特斯拉）。 2 1 0 2?L sin 60(sin ? 1 ? sin ? 2 ) ? 0A?94-14 如图所示，一根宽为a的“无限长”平面载流铜板，其厚 度可以忽略，铜板中的电流为I，求铜板中心上方h处的磁感应 强度B，并讨论h&&a,h&&a两种情况，其结果说明了什么？I 解： dI ? jdy ? dy a? 0dI ? 0 Idy dB ? ? 2?r 2?a x 2 ? y 2-a/2? 0 Ixdy dB y ? dB ? cos ? ? 2?a( x 2 ? y 2 )aoa/2y dB x? 0 Iydx ? 0 Ix 1 ? 0I y 2 a a/2 B y ? ?? a / 2 ? ? arctg | a ? arctg 2 2 x ?2 ?a 2x 2?a( x ? y ) 2?a x2 x 2 yBx ? 0? 0I a B ? B ? B ? By ? arctg ?a 2x ? 0I ? 0I ? ? 0 j 当a ? ?时， B ? arctg? ? ? ? . 10 ?a ?a 2 2补充4.4 边长为a的正方形载流回路，电流为I， (1)求这回路轴 线上离回路中心x远处一点B的值；(2)求x=0处的B值；(3)当x&&a 时，该回路能否看成一个磁偶极子，它的磁矩是多少？ ? ? ? ? ? x轴处为B1， 这边上的l ? l ? d l 电流之Id l 的dB1 解：正方形的一边在 2 ? 0 Idl sin ? a 2 2 2 垂直分量: dB 1? ? ? cos ? ， r ? （ l ? x ? ） 2 4? r 4 psin? ?B ? 4? dB 1?x2 ? a2 4 a/2 ， cos? ? r r? 0Ia a / 2 dl ? 3 2? ??a / 2 2 2 （l ? x 2 ? a 2 4）xaI?? 0Ia 2 / 2 ?（x 2 ? a 2 4）（x 2 ? a 2 4）1 2?4? 0Ia 2 ?（4x 2 ? a 2）（4x 2 ? 2a ）1 2 211补充4.5 一根半径为R的无限长半圆柱面金属薄片中有自下而 上的电流通过，电流为I，求自轴线上任一点的磁感应强度。 O 解：将金属片顺I分成dl宽的小条。 则I dI ? dl ?RI由无限长载流直导线的磁场?0 ? 0I dB ? dI ? Rd ? 2 2 2?R 2? R根据对称性dI?? dBxB ? ? dB x ? ? dB cos ? ? ?? 2 ? ? 2? 0I ? 0I d? ? 2 2 2? R ? R柱面横截面图 （沿x正向）124-15 载流长直导线弯成图中三种形状，求O点的磁感应强度B。 解:（a）分成4段 B1 ? B3 ? 0 I ? ? I ? 0Idl ? I 4 0 0 B2 ? ? ? R d ? ? 2 ?0 4?R12 1 R2 4R 1 4?R1 R1 2 ? 0I ? O 同理 B4 ? 垂直纸面向外 1 3 4R 2 ? 0I ? 1 1 ? ? ? 故O点磁感应强度为 B ? B 2 ? B4 ? ? 垂直纸面向里 ? ? 4 ? R1 R 2 ? (b)分三段 B 1 ? B 3 ?B2 ? ???/2 ?0? 0 I sin ? ? 0I d? ? 4?R 4?R垂直纸面向里垂直纸面向里0? 0I ? 0I d? ? 4?R 4RI 2R3O113故O点磁感应强度为? 0I ?2 ? ? ? B ? B1 ? B 2 ? B 3 ? 4?R3 ? 0I ? 0I x Bz ? ? 故O点磁感应强度 B x ? ? 2?R 4R 补充4.6在半径为R的半木球上密绕着一层细导线，导线平面互 相平行，且匝数沿半径均匀分布，设线圈的总匝数为N，每匝中 的电流为I，求球心出的磁感应强度。 解：把半圆分为一系列环带,带宽? ? ? ? ? ? 0 I?? k ? ? 0I 2 ?? k ? d? ? （c）分三段 B 1 ? B 3 ? ?0 4?R 4?R ? ? ? ? I ? 0I ? 0 B2 ? ? ? i d? ? ?i 1 0 4?R 4Rz2 Oy? ?? ?dx ? R sin?d?NI dx ? NI sin ?d? 故电流元 dI ? R 2 从而 m ? dIS ? NI sin ?d? ? ??R sin ??R?x?0 ? 0 NI 3 dB ? 2 m ? sin ?d? 3 2R 4?R ? ? NI ? o NI 3 得到 B ? ? dB ? ? 2 0 sin ?d? ? 0 2R 3Rdx144-16一个半径为R的均匀带电圆盘，电量为q，如果使这个圆盘 以角速率 绕其轴线（与盘面垂直）旋转，试证明： ? (1)在圆盘中心的磁感应强度大小为 B ? ? 0?qq 2q 解：把圆盘分成一系列圆环，宽为dr dq ? ?R 2 2?rdr ? R 2 rdr ? ?q ? 0 dI ? 0 q? dI ? dq ? rdr 则 dB ? ? dr 而 2 2 2? ?R 2r 2?R故中心处磁感应强度为?q 3 又 dm ? S ? dI ? 2 r dr R B ? ? dB ? ?R 0(2)圆盘的磁矩为?qR 2 ?? 42?R? 0 q? ? 0 q? dr ? 2 2?R 2?RR ?0故磁矩为P ? ? dP ??q 3 1 2 r dr ? q ? R 4 R2L a154-17试求无限长载流导线旁一矩形面积的磁通量。 ? ? ? 0 IL ? 0I I 解： B? , dS ? Ldr , d? ? B ? dS ? dr 2?r 2?r a ? b? ? a ? b ? 0 IL ? 0 IL a ? b ?m ? ? B ? dS ? ? dr ? ln . a a 2?r 2? ab4-18一无限长载流圆柱形导体，电流I均匀分布在整个截面上, 圆柱半径为R，求穿过S面（图中阴影）的磁通量。 解：由I的轴对称性，作轴对称的圆环。 S I 2 ? ? ? 0 Ir r R B ? d l ? B2?r ? ? 0 I 2 ?B ? 2 L R 2 ? R l ? 0Ir ? 0I d ? ? BdS ? Ldr ? ? ? d? ? L 故S面的磁通 2 4? 2?R 4-19如图所示一空心柱形导体，其内外半径分别为a和b,导体内 载有电流I，设电流均匀的分布在导体的横截面上，求证导体内 部各点（a&r&b)的磁感应强度 ? 0 I (r 2 ? a 2 ) B? 解：a&r&b 2?(b 2 ? a 2 )r b?I j? , 2 2 ?(b ? a )? ? ? B ? dl ? ?0 ? IiaB ? 2?r ? ? 0 ? I i ? ? 0 j ? ?(b 2 ? a 2 )2 2 ?0 j ? I ( b ? a ) 2 2 0 B? ? (r ? a ) ? . 2 2 2r 2?(b ? a )r16补充4.7 图中所示的导体内，电流密度按j=A/r分布，其中A为 已知常数,r为场点到轴的距离。(1)求柱内外磁感应强度的分布 ；(2)若在轴线上放一根载流导线，电流为I，欲使导体内磁感 受应强2)度与r无关，则I应取何值？ 解： (1)r?aB ? 2?r ? ? 0 ? I i ? 0 ,rB?00?r?ar?b? 0 Aa a ( 2) 在（ 1）中 B ? ? 0 A(1 ? ) ? ? 0 A ? r r ? 0I ? 0 Aa 若I的磁场 B ? ? 则 I ? 2?Aa 。 17 2?r r? 0 A(r ? a) a ? B? ? ? 0 A(1 ? ) r r ? 0I ? 0 A(b ? a) B ? 2?r ? ? 0I B? ? 2?r rB ? 2?r ? ? 0 ? I i ?? 0 ? jdS ? ? 0 ? ? 2?r ? dr ? ? 0 2?A(r ? a) a arrA4-20 有一根很长的同轴电缆是由同轴的圆柱形导体组成，在这 两个导体中有大小相等方向相反的电流通过，试求同轴电缆内 外的磁感应强度分布。 b 解：根据安培环路定理,由于I的 c a 对称性作半径为r的同轴环路。 当r&ar2 B ? 2?r ? ? 0I 2 aB2?r ? ? 0I? 0Ir ?B ? 2?a 2? 0I B? 2?r? 0I c 2 ? r 2 B? 2?r c 2 ? b 2当a&r&b当b&r&c? r 2 ? b2 ? B2?r ? ? 0I ?1 ? 2 2? c ? b ? ?当c&rB2?r ? ? 0 ? 0? B?018第五章磁介质5-1 下面的说法是否正确(1)若闭和曲线内没有包含传导电流,则 曲线上各点的H必为零. (2)若闭和曲线上各点H为零，则该曲线 包围的传导电流代数和为零。 （3）H仅与传导电流有关。 ? ? 解：（1） ? H.d l ? ? I i , 若 ? I i ? 0, 则H不一定为零 ? ? （ 2） ? H.d l ? ? Ii, 回路上总H为零， ? I i 必然为零。 （ 3） 由 流有关，但 H 沿环路的积分值只与传导电流有关系。? ? ? ? B H? ? M 知 H 不仅与传导电流有关,还与磁化电 ? ? 0补充5.1有两根铁棒，外形完全相同，其中一根为磁铁，另一根 则不是，你怎样辨别他们？（不允许将一根铁棒悬挂起来，也 不允许用其他设备。） 解：用甲棒的一端靠近乙棒的中部，若有吸引力 ，则甲为铁 1 棒，乙为磁棒；若无吸引力，则结论相反。补充5.2 两种不同磁材料作成的小棒,分别放在磁铁的两个磁极 之间,小棒磁化后其方位取向如图,指出哪个是顺磁质,哪个是抗 磁质。 解:有固有分子磁矩的顺磁质在磁场中,分子磁矩转向外磁场方向 故小棒不转;而无分子磁矩组成的抗 磁质在外磁场中产生一附近磁场与外 磁场方向相反，受排斥而旋转。NSNS补充5.3把未磁化的铁棒和直棒形状的永久磁铁放在同一均匀磁 场中时，分别讨论初始时刻它们受到的力和力矩的作用。 解:棒形永久磁铁与外磁场不平行时，合力为零，单合力矩不 为零；若平行，则合力和合力矩均为零。而铁棒在外磁场中很 快磁化变为磁棒，结论同上。补充5.4一永久磁铁的磁力强度为M,如题所示。 （1） 你能证明1 和2两点H相等吗？（2） 你能根据B,M,H三矢量之间的关系分析点 2 3处B和H的方向吗？解：（1） M1=M, M2=0. B1’=?0j’=?0M, B2’=0, 2 1 B=B0+B’=B’ .H 1=B1/?0-M=B1’/?-M=0,H2=0. M ? ? ? ' ? ' ' ' B ? B ? B ? B B ? 1 / 2 B (2) 3 0 3 3 3 1 ? 1 / 2? 0 M H 3 ? B 3 / ? 0 ? M ? ?1 / 2M H3与B3方向相反。35-2 一均匀磁化的介质棒，直径为 25毫米，长为75毫米，其总磁 ? 矩为1.2x104安.米2，求该棒中的磁化强度。 ? ? 2 解：m=IS=jm?r , jm=|M ? n0|= M m=Ml?r2, M=m/l?r2=3.3x108(安/米） 补充5.5半径为R的磁介质球，均匀磁化，磁化强度为M，M与z轴 平行，如题所示。用球坐标表示出介质球表面上的磁化面电流密 度，并求出这样分布的磁化棉电流所提供的总磁矩。 |=Msin? , ?-?+d?所对应的弧 dl=Rd?含有磁化电流， dI’=jm.dl=MRsin?d?, 解：jm’=|M ? r 0 dm=?r2.dI’=?R2sin?.MRsin?d?=?MR3sin3 ?d??R M3z3 ? ?MR 3 ( ? cos ? ? cos 3 ? / 3) | ? ?MR 3 40 ?m ? ? dm ? ? ?MR 3 sin3 ?d? ? ?MR 3 ? (1 ? cos 2 ?)d( ? cos ?)0 0 ? ?补充5.6一环形螺线管，已知n=103匝/米，电流I=2.0安，再环内 充满磁介质时，B=1.0特斯拉。求（1）放入 磁介质后，环内的 H,M和?的值。（2）移去磁介质后，环内的H,M,?的值。 解：（1）H=nI=103x2.0=2.0x103 B=?0?rH ?r= B/?0H=398 (安/米） (安/米 ） H=B/?0-M, M=B/?0-H=7.9x105（2） H=nI= 2.0x103 (安/米）, M=0, ?r= 145-3 中心周长l＝10厘米的环形密绕细型螺线管环上线圈的总匝 数N＝200匝,线圈中的电流I＝100毫安.求(1)环内磁感应强度B0 和磁场强度H0;(2)在环内充入相对磁导率?r=4200的磁介质,求环 内的B和H;(3)在管内由传导电流产生的B和由磁化电流产生的B` 解：由于是密绕细型,故 NI H 0 2?r ? NI ? H 0 ? ? 200?A / m? B0 ? ? 0 H 0 ? 2.5 ? 10?4 ?T? 2?r若?r=4200 则H ? H0 ? 200?A / m?B ? ?0?r H0 ? 1.06?T?传导电流的磁场 磁化电流的磁场B 0 ? 2.5 ? 10 ? 4 ?T?B' ? B ? B0 ? 1.06?T?5-4 一个铁制的圆环,如题5-10图所示,其平均周长为30厘米，截 面积为1厘米2,在环上均匀的绕有300匝导线,当导线的电流为 0.032安时，环内的磁通量为2x10-6韦伯，试计算(1)环内磁感应 强度B；磁场强度H；(2)磁性材料的磁导率?，相对磁导率?r和磁 化率?m.(3)铁心内的磁化强度M。（4）磁化面的电流密度j’. 5解 (1) ? m ? B ? S, B ? ? m / S ? 2x10 ? 2 (特 ) ( 2) H ? nI ? 32 (安 / 米）-4 2 （3）B ? ?H, ? ? B/H ? 6.25x10 ( 牛 / 安 ） (1) ? ? ? 0 ? r , ? r ? ? / ? 0 ? 497, X m ? ? r ? 1 ? 496(4)M ? X m H ? 1.59x10 4 (安 / 米） ? ?0 （5）jm ?| Mxn |? M , I' ? jm ? l ? 4.77 x10 3 (安）5-5 有一圆柱形无限长导体,其磁导率为?,半径为R,电流I沿轴 向流动且均匀分布在截面上求(1)导体内任一点的B和H；(2)导 体外任一点的B和H。解:根据安培环路定理,由于对称性作半径为r的同轴环路r2 导体内： H2?r ? I 2 R导体外： H2?r ? IIr ?H ? 2?R 2? H ? I 2?rB ? ?H ?B ? ?H ??Ir 2?R 2?I 2?r65-6 一磁导率为?1 的无限长圆柱形导体，半径为R1，其中均匀 地通过电流I，导体外包了一层绝缘介质，其外半径为R2，磁导 率为?2 ，试求B和H的分布。解：根据安培环路定理,由于I的对称性作半径为r的 同轴环路。当r&R1r2 Ir H 2?r ? I 2 ? H ? 2 R1 2?R 1 ? 1Ir B? 2 2?R 1当 R1&r&R2 当 r&R2H2?r ? I ?I ? 2I H? ,B ? 2?r 2?rH 2?r ? I?? 0I I H? ,B ? 2?r 2?r75-7 同轴电缆是由同轴导体圆柱组成，内导体半径为R1的圆柱， 外导体的内外半径分别为R2和R3，导体间充满相对磁导率为?2 的 磁介质，已知两导体中电流I等量而反向且均匀分布，导体的相 对磁导率为 ?1 ，求B的分布。 解：根据安培环路定理,由于I的对称性 r R 作半径为r的同轴环路。 1 ? 2 2 R2 O ? 0? r1Ir r Ir ,B ? R3 当r&R1 H 2?r ? I 2 ? H ? 2 2 R1 2?R1 2?R1 ?1 ? 0? 2 r I I ,B ? 当R1&r&R2 H2?r ? I ? H ? 2?r 2?r 2 2 r2 ? R2 r ? R I 2 2 当R2&r&R3 H 2?r ? I(1 ? 2 ) ? H ? 2 2 2 ? r R3 ? R2 R ? R 2 3 2? 0 ? 1r I r 2 ? R 2 2 B? 2 2?r R 2 ? R 3 2当R3&rH2?r ? 0?H ? 0, B ? 085-8 如图中是储存元件的环形磁芯，其外直径为0.8毫米，高为 0.3毫米。若磁芯原来已被磁化，方向如图所示，现需使磁芯自 内到外的磁化方向全部翻转，已知该矩磁材料的矫顽力HC=2奥斯 特，问导线中电流至少需要多大？（1奥斯特=103/4?安/米） 解:电流I在磁介质内产生的磁场 由式： ? ? ? H ? d l ? I 求得I H? 2?r 它在r ? 0.4mm 处内H最小, 若在此点H C ? 2 奥斯特 翻转， 在r ? 0.4mm， (H ? I/2 ?r ), H c而全部翻转，故 I ? 2?r ? H c ? 2? ? 0.4 ? 10 ? 3 ? 2 ? 10 3 / 4? ? 0.（安） 49第六章电磁感应和电磁波6-1 如图所示，两个同心共面的圆形闭合回路，问当开关合上 的瞬间，小回路各段上受力方向如何？ 解：当K合上瞬间，大回路中电流增大 ? 这样 小回路内部有一磁场方向向，磁感应强度 B 增大的磁场，因而小回路中的感应电流是逆时 ? ? Id l ? B 可知，内环受 针方向的，由安培定律 一个方向指向圆心的内压力。补充6.1 一块金属板在均匀磁场中平移会不会产生感应电动势? 会不会产生涡电流？若金属板在均匀磁场中旋转,情况怎样？解：当平板运动方向与磁力线平行时，不产生感应电动势；若 不平行，则有感应电动势，但无涡流产生；若是旋转，则平板 上各点速度所在平面与磁力线平行，无感应电动势，不平行则 1 有电动势。补充6.2有一个铜环和一个木环，两环尺寸完全相同，放在同一 变化磁场里，问在两环中的感应电动势和感生电场相同吗？ 解：产生的感应电场相同，电动势不同，铜环内有自由电子可 形成感应电流，而木环在感应电场作用下受极化。 6-2将一个超导材料作成的小薄片，放在永久磁铁的上方，它会 悬浮起来。你能解释这种现象吗？ 解：处于超导态的材料电阻为零，电流分布在外表面上，内部 磁场为零。实际超导电流产生磁场抵抗外磁场的侵入，因而超 导材料受到一个排斥力，它与重力平衡而悬浮在磁场的上方。 补充6.3 在一个电子感应加速器中从上往下看，电子沿逆时针 方向旋转，试问：在该加速器中磁场的方向？当电子正在受加 速作用时，这个磁场随时间如何变化？? ? ? 解：电子受的洛伦兹力 f ? ?ev ? B 是向心力可判断出磁场方向垂直向上。若电子在运动的方向上被加速，说明感应电场 的方向是顺时针方向，由此推知磁场是随时间而增大的。 26-3 如图所示，通过回路的B线与线圈平面垂直，若磁通量按如 下规律变化?=6t2+8t+8，式中?的单位是毫韦伯，t是以秒为单位 。求当t=2秒时,（1）回路中感应电动势的大小是多少？（2）设 R=2欧姆，R上电流I的大小及方向如何？ ? ? ? 2 ?3 ? ? ? ? 解：(1) ? ? (6t ? 8 ? 8) ? 10 (韦伯 )d? ?? ? ? (12t ? 8) ? 10 ? 3 ? 3.2 ? 10 ? 2 ( V ) t?2 dt t ? 2? ?B? ? ?? ( 2) I ? ? 1.6 ? 10 ? 2 ( A ) RR6-4 如图导体棒ab长1米,放在金属导轨上,整个装置放在B=0.5 特斯拉的均匀磁场中，磁场方向与图面垂直。（1）若棒以4米/ 秒的速度向右运动，求棒的感应电动势大小和方向；（2）若棒 ab到某一位置时，电路的电阻恰好为0.2欧姆，求此时棒受的力 3 （摩擦力略去);（3）比较外力作功的功率及所消耗的热功率。解： (1)? ? Bvab ? 0.5 ? 4 ? 1 ? 2( V ) ? 2 ( 2) I ? ? ? 10( A ) R 0.2 F ? IB ab ? 10 ? 0.5 ? 1 ? 5( N ) ( 3) P ? I 2 R ? 102 ? 0.2 ? 20( w )6-5 如图一长为l的直导线弯折成夹角为120o 相等长度的两部分，放在垂直于均匀磁场B的 平面上，并绕其一端以角速度?在此平面内旋 转，求导线中感应电动势，并指出哪些电势高 。 解:两部分获感应电动势相当于直线段OA感 应电动势: l 3 0 OA ? 2 ? cos 30 ? l 2 2 直线段OA感应电动势:a??B?? ?? ?? ?? Vb( P ? FV ? 5 ? 4 ? 20( W ))? ?? ?? B? ? ? ? ? ????? ? ??l ? 2120 ? o??O?? l ? ?2 ??1 2 3 ? ? ?BOA ? ?Bl 2 2 846-6 如图金属ab长1米,以V=2.0米/秒的速度平行于一直导线运动 ,直导线中电流I=40安培.求棒中感应电动势大小,哪端电势高？ u Iv ? 解 : d? ? ( v ? B) ? dr ? ? vBdr ? ? 0 dr V 2?r I 4? ? 10?7 ? 40 ? 2.0 1.1 1.1 u 0 Iv b a ? ? ?0.1 dr ? ln ? 3.85 ? 10?5 ( v ) 0.1m 2?r 2? 0.1 6-7 如图一长直导线，通有电流I＝5.0安培，在与其相距d＝ 5.0厘米处放一矩形线圈，l＝4.0厘米，宽A＝2.0厘米，共1000 匝。线圈以速度v＝3.0厘米/秒，沿垂直于长直导线的方向向右 运动，问该时刻线圈中感应电动势是多少？解：将矩形线圈分成AB、BC、CD、DA四段。 则? AB ? ? cd ? 0? DA而? 0I B? 2?rA I l D d aBv故? 0I ? ? ? ? ?v ? B ?? l ? v l 2?d?D ? A?C5? BC? ? ? ? ?v ? B ?? l ? v? 0I l 2??d ? a ?2?d ?d ? a ??C ? B?l ? 6.86 ? 10 ? 6 ?V ?感应电动势为:?? N ?? AD ? ? BC ? ? v?0aI6-8若上题中的线圈不动,而直导线通有交变电流, i=5sin100?t 安培,求线圈中感应电动势。? 0I N d ? a 解 :? ? ln 2? d d? ? 0 N dI d ? a ? 0 N d?a ?? ? ? ln ? ? 500? cos 100?t ln dt 2? dt a 2? a 4? ? 10 ? 7 ? 4.0 ? 10 ? 2 ? 10 3 7.0 ? 10 ? 2 ? ? 500? ln cos 100?t ?2 2? 5.0 ? 10 ? 4.23 ? 10 ? 3 cos 100?t 6补充6.4 如图所示，一平行导轨上放一质量为m的金属杆，长为 l，导轨的一端与电阻R相连，其它部分的电阻可以忽略。整个 装置放在均匀磁场B中，B与导线平面垂直，当杆以初速度V向右 运动时，试求：（1）金属杆能移动的距离；（2）在此过程中R 发出的焦耳热；（3）能否用能量守恒解释所得结果。? vBl ? ? ? 解： (1) ? ? vBl, I ? ? , R ? B? ? V R R ? ? ? ? vBl B 2l 2 b f ? I lB ? ? lB ? v R R dv dv dx dv B 2 l 2 dv f ? ?m ? ?m ? ? ?mv , v ? ?mv dt dx dt dx R dx x 0 Rm Rm Rm dx ? ? 2 2 dv , ? x ? ? dx ? ? ? 2 2 dv ? 2 2 v 0 0 v0 Bl Bl Bl7a2 2 2 2 vBl v B l dx vB l Rm 2 2 ( 2)dw ? I Rdt ? ( ) Rdt ? ? ? ( ? 2 2 dv ) R R v R Bl 0 1 2 dw ? ?mvdv , w ? ? ? mvdv ? mv 0 v0 2补充6.5如图所示，法拉第圆盘发电机是一个在磁场中转动的导 体圆盘。设圆盘的半径R，它的轴线与均匀外磁场B平行，旋转角 速率为?。求盘心到盘边的电势差，哪处电势高？当盘旋转方向 ? 反转时，电势的高低是否也会反过来？ ? ? B解 ：d? ? ( v ? B) ? dr, d? ? ?BrdrR 0v ? r?R1 ? ? ? d? ? ? ?Brdr ? ?BR2 286-9 一环形密绕细型螺线管，每厘米上有40匝，铁芯截面积为 3厘米2，磁导率 ? ? 2000? 0 ，线圈中通有5毫安电流。试求 （1）环中磁场强度H:（2）环中的磁感应强度B:（3）磁通量； （4）如果环上绕有2匝次级线圈，并且初级线圈中电流在0.1秒 内由5安培均匀降到零,在次级线圈中产生的感应电动势是多少？ 解：由于线圈密绕 磁场强度为 磁感应强度为 磁通量为 感应电动势为40 H ? nI ? ? 2 5 ? 10? 3 ? 20?A / m ? 10B ? ?H ? 2000? 0 H ? 5.03 ? 10?2 ?T?? ? BS ? 1.51 ? 10?5 ?韦伯?d? d d ?i ? ? ? ? ?N? ? ? ? ?N?nIS ? ? 0.302?V ? dt dt dt96-10在圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与柱的轴线平行 ，若B的变化率为dB/dt＝0.1特/秒，R＝10厘米，问自r＝5厘米 、15厘米处的感应电场的电场强度为多大？若将一个电子放在r ＝5厘米处，求开始时电子的加速度a。 解：由于B的对称性? ? dB 2 r＝5厘米时 ?l E ? d l ? E1 2?r ? ? dt ?r r dB ? E1 ? ? ? ?2.5 ? 10? 3 V ? m ?1 2 dt??r＝15厘米时? ? dB 2 E ? d l ? E 2 ? r ? ? ? R 2 ?l dt R 2 dB E2 ? ? ? ?3.3 ? 10 ? 3 V ? m ?1 2r dt??（负号表示E为逆时针方向）加速度为 eE1 ? maeE1 ? a? ? 4.40 ? 108 V ? s ? 2 m??106-11在半径R的圆柱形空间内存在一均匀磁场,磁场变化率dB/dt&0一长度位 l 的金属棒置于如图所示的位置，棒的一半在 磁场内一半在磁场外（ab=bc），求棒两端的感应电动势?ac。 d? ? ? ? 解法一 用 计算。取oabco为一闭合环路，由于 dt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E涡 ?d l ? ? E涡 ? d l ? ? E涡 ? d l ? ? E涡 ? d loa abc co因在oa，co段上E涡 垂直dl,积分值为零,故abc0 a? ? ? ? ? ? ? E涡 ? d l ? ? E涡 ? d l ? ? acc b上述闭合环路内的磁通变化仅在三角形oab,扇形obc`区域内,故有1 30 3 ? 2 2 ? ? B ? S ? B( ? ab ? h ? ?R ? ) ? BR ( ? ) 2 360 4 12 d? 3 ? 2 dB 求得感生电动势大小为： ? ac ? ? ?( ? )R dt 4 12 dt11解法二 用 ?ac ? ? E涡 ? dl计算r dB E涡 ? ? (r ? R ) R dt变化的磁场激起一涡旋电场 ：R dB E涡 ? ? (r ? R ) 2r dt2a0 h? E涡? b E涡c方向如图所示，故棒上的感应电动势为：2 r dB R dB b c b c ? ac ? ?a E涡 ? dl ? ?b E涡 ? dl ? ?a cos ?dl ? ?b cos ?dl 2 dt 2r dt上式第一项中 r cos ? ? h 第二项中 cos ?dl ? rd? ，故h dB b h dB 2 dB 2 dB ? ac ? dl ? R d? ? ? ab ? R ?? ? ? 2 dt a dt 2 dt dt 3 2 ? 2 dB ?( R ? R ) 4 12 dt感生电动势的方向从a指向c。12补充6.6一密绕长直螺线管，横截面为S，单位长度上有n匝线圈 ，电流为I，竖直放置。一质量为m半径为R的匀质介质环，同轴 地套在螺线管外，且可在水平面内自由旋转，电量q均匀分布在 环上，当螺线管中电流匀速率随时间减少时，求：环由静止开 始，经过t时间后转动的角速度?，旋转方向怎样？解 : B ? ? 0nI,R ? s/?? 0ns dI d dB dI E涡 ? 2?R ? ? (B ? S ) ? ?S ? ?? 0ns E涡 ? ? dt dt dt 2?R dt ? 0nsq dI ? 0nsq dI F ? qE 涡 FR ? qE 涡 R ? ? ?R ? ? 2?R dt 2? dt ? 0nsq dI FR 2 d? FR ? IB ? mR d? ? ? dt ? ? dt 2 2 dt mR 2?mR dt ? t ? 0nsq dI dI t ?0 d? ? ?0 ? 2?mR 2 dt dt ? ? ?? 0nsq dt 2?mR 2 136-12 如图所示，两长螺线管共轴，半径分别为R1和R2 ，长为l （l&&R1,l&&R2),匝数分别为N1和N2，求互感系数M。 ? 解法一: 利用公式 M ? 计算。设内螺 R2 I R1 线管载流为I2时，产生的B=?0nI在外螺线管2 的全磁通量为 ? 21 ? N1?21 ? N1B2S 2 ? ? 0n 2I 2 N1?R 2因而互感系数为：l? 21 2 M? ? ? 0n 2 N1?R 2 ? ? N N I ? R 2 0 1 2 2 /l I2dI 2 解法二 : 利用公式 M ? ? 21 / 计算。设内外螺线管的载流都 dt 可变的，则互感系数为：dI 2 d? 21 dI 2 2 M ? ? 21 / ? / ? ? 0n 2 N1?R 2 ? ? N N ? R 2 0 1 2 2 /l dt dt dt 14解法三:? ? 利用公式 ? B ? HdV ? W 自1 ? W 自2 ? W互设两螺线管载流I1 , I2为同向流动，又因为 由公式： 上式中1 2 1 2 BHdV ? L I ? L I 1 1 2 2 ? MI 1I 2 ? 2 22 L1 ? ? 0n1 v1 ,L 2 ? ? 0n 2 2 v2 ,1 1 2 2 BHdV ? L I ? L I 1 1 2 2 ? 求得互感系数： 2 2 M? I 1I 2B 1 ( B1 ? B 2 ) 2 2 2 BHdv ? ( ? R ? ? R ) ? l ? ? ? ? R 1 2 2l ? 2? 0 2 ?02 1 21 1 2 2 2 2 2 2 ? ? 0n1 I1 ?R 1 l ? ? 0n 2 I ? R l ? ? n n I I ? R 2 2 2 0 1 2 1 2 2l 2 2 15? 0n1n 2 I1I 2 ?R 2 2 1 2l M? ? ? 0 N1N 2 ?R 2 I 1I 2 l6-13 如图所示，两个共轴圆线圈，半径分别为R和r，匝数分 别为N1和N2，相距为l,设r很小，则小线圈所在处的磁场可认为 是均匀的，求两线圈的互感系数M。解 : B12 ? N1? 0I1R 2 2( R ? l )2 3 2 2 2N1 R lN2r? 12 ? N 2 ? 21 ? N 2 B 21 ? S ? N 2 B 21?r ? 21 ? 0 N1N 2 ?R r M? ? 3 I1 2( R 2 ? l 2 ) 22 2166-14 一矩形线圈其边长为a＝10厘米，b＝20厘米，由100匝绝 缘导线绕成，放在一很长的导线旁边并与之共面，求图中两情 况下，线圈与导线间的互感系数。 ? 0I dr 解：(1)无限长导线中有I产生 B ? 2?r I r 在矩形线圈中产生 b? ? N? ? ? N2a ?aNb? 0 ln 2 ? 2.7 ? 10? 6 ?H ? 故互感系数为 M ? 2? ? 0I B? (2)无限长导线中的I产生 2?r但在线圈中产生的 故Nb? 0 I Bbdr ? ln 2 2?aab? 值相反a??0M?? I?0互感系数为176-15 一个矩形截面的环形密绕螺线管，尺寸如图，总匝数为N， 电流为I，求：（1）穿过横截面的磁通；(2）自感系数；(3）环 内的磁场能量；(4）当N＝1000匝，D1＝10厘米， D2＝20厘米， h＝1.0厘米，I＝2安培时的自感系数和磁能大小。 解：由于线圈密绕，故当其中有电流I时，环内 ? 0 NI B ? 2?r ? ? 0 NI ?B ? 2?r (1)穿过横截面的磁通为? ? ? d? ??D2 2 D1 2? 0 NI ? 0 Nh D2 hdr ? I ln 2?r 2? D1hdrD1 D2(2)自感系数为? N? ? 0 N 2h D2 L? ? ? ln I I 2? D1(3)环内的磁场能量为 (4)带入数据计算得到1 2 ? 0 N 2h 2 D 2 W ? LI ? I ln 2 4? D1L ? 1.39 ? 10?3 ?H?, W ? 2.78 ? 10?3 ?J ? 18补充6.7 两平行导线，横截面的半径均为a,中心相距d，载有大 小相等，方向相反的电流，设两导线内部的磁通均可忽略不计， 证明：这样一对导线长为l的一段的自感系数为:? 0l d ? a L? ln ? a解: ? 0I ? 0I B ? B1 ? B 2 ? ? 2?r 2?(d ? r ) ? 0I 1 1 d? ? B ? ds ? ( ? ) ? l ? dr 2? r d ? r d ? a l? I 1 ? 0I l d ? a 1 0 ? ? ? d? ? ? ( ? )dr ? ln a 2? r d ? r ? a ? ? 0l d ? a L? ? ln I ? a196-16 证明：两个自感系数分别为L1和L2，互感系数为M的线圈 ，当它们串联是起等效自感系数L=L1+L 2M。式中+号和-号 ? 2 分别表示是顺接和反接两种情况。 解:(1)两线圈顺接时,线圈1,2自身的磁通分别为?1 ? L1I, ?2 ? L2I;线圈1在2 中的磁通为?12 ? MI, ?21 ? MI,线圈2在1 中的磁通为故串联而顺接时的总磁通为:? ? ?1 ? ? 2 ? ? 21 ? ?12 ? (L1 ? L 2 ? 2M )I ? ? L ? ? L1 ? L 2 ? 2M I同理,串联反接时自感系数为:L ? L1 ? L2 ? 2M20补充6.8 RL电路的电流在5秒内达到它的稳态值的1/3，问这个 电路的时间常数多大？解:? I(t) ? (1 ? e RR ? t L) ? I 0 (1 ? e )? t ??t ?I0 I t ?5 ? ? I 0 (1 ? e ) 3 t?52 e ? 3?5 ?5 ?? ? ? 12.3(s) ln1.5补充6.9 一个有电阻R=4欧姆,电感L=20亨利,组成为RL电路.已 知合闸的瞬间电流增长率为5安/秒,求电源电动势?(设电源无内 R 阻) ? t ?解:I(t) ? dI dtR(1 ? eL)t?0t ? R ?R L ? . e R L? 5(m s )t?021? ? 5L ? 5 ? 20 ? 100( V )6-17 在图中 ?=100 伏，R1＝10欧姆，R2＝20欧姆,R3＝30欧姆 ，L＝2亨利，求在下列三种情况下I1、I2、I3的值：（1）K刚接 通的瞬间；（2）接通很长时间后；（3）接通很长时间后，再 切断的瞬间。 R3 R1 解： K接通时，L相当于开路 K I3 I1 ? L 故 R2 I3 ? 0 I1 ? I 2 ? ? 3.3?A ? ?1 R1 ? R 2 I2 K接通很长时间后，L相当于短路 R3 ? I1 ? ? 4.5?A ? I 2 ? I1 ? 2.7?A ? R 2R 3 R2 ? R3 R1 ? R2 ? R3 R2 I 3 ? I1 ? 1.8?A ? R2 ? R3 K接通很长时间后,再断开I1 ? 0I 2 ? I 3 ? 1.8?A?22补充6.10 如图所示，求合闸后i1,i2,I随时间变化的规律。? ?i ? i 1 ? i 2 ? 解 : ?iR ? i 1 R ? ? ? 0 ? di 2 ?? i1R ? L ?0 dt ?Rii1i2L?RK?? i1 ? e 2R?R t 2L,? i 2 ? (1 ? e R?R t 2L),? 1 i ? (1 ? e R 2?R t 2L)补充6.11 电阻R=10欧姆,电感L=2.0亨利的线圈,接入电动势 ?=100伏的电源上（内阻不计），在接通后0.1秒内，求：（1） 线圈磁场储存的磁能的增长率;（2）线圈中产生的焦尔热产生 23 的速率；（3）电源释放能量的速率。解： (1)R ? t ? 1 2 L I(t) ? (1 ? e ) w 0 ? LI ( t ) R 2dw dI ? LI dt dtt ? 0.1R R ? t ? t ? ? (1 ? e L ) e L Rt ? 0 .110 10 ? ?0.1 ? ?0.1 100 ? (1 ? e 20 )e 20 ? 238( W ) 10( 2)P?I R2t ? 0.1?? ? ? (1 ? e ?RR ? t L? )? ? R ? t ? 0.1210 ? ?0.1 100 2 2 20 ? (1 ? e ) ? 152( W ) 10 dw ( 3) ? p ? 238 ? 152 ? 390( W ) dt24补充6.12 无限长且半径为Ｒ的直导线,通有电流Ｉ,电流均匀分 布在整个截面上,求单位长度内部所储存的磁能与其相应的自感 系数（设 ?r＝1）。 解法一: 有安培定理距导线中心轴ｒ处的磁感应强度 B ?该处的磁能密度为：B2 I 2r 2 ?m ? ? 2? 0 8? 0 ? 2 R 4?0 Ir 2?R 2在导线长度为ｌ的范围内，厚度r-r+dr体元内储有磁 能：? 0 I 2r 2 ? 0 I 2r 3 d?m ? ?m ? dV ? 2 4 ? 1 ? 2?rdr ? dr 4 8? R 4?R故求得导线内的磁能为：? 0 I 2r 3 ? 0I 2 ?m ? ? d?m ? ? dr ? 4 0 4?R 16? 2?m ? 0 1 2 利用公式 ? ? LI 求得自感系数为： L ? 2 ? I 8? 2R25解法二 利用公式 ? ? LI 求解。在单位长度导线中，穿过rr+dr的截面的磁通量为： d? ? BdS ? Bdr ? ? 0Ir dr2 r 这部分磁通量只套链了面积 ?r 内的电流 I ，因而在计算磁 2 R 通匝链数应乘上因子 r 2 R 2 ，所以2?R 22? 0Ir 3 r2 r 2 ? 0Ir d? ? 2 d? ? 2 ? dr ? dr 2 4 R R 2?R 2?R故单位长度导体总磁通匝链数为： ? ? d? ???R0? 0Ir 3 ? 0I dr ? 4 2?R 8??0 8?与式 ? ? LI 比较，求得单位长度的自感系数仍为： L ?从上面的计算结果不难得出R2 R1 若 R1 ? R 2若 k?&１，则为不完全耦合； ，这时 k ? 1, M ?L1L 226称这为完全耦合，也就是不存在漏磁现象。6-18 如图所示的电路里，R1,R2,R3,L,C和 均为已知，L和C为 理想的电感和电容，电源内阻可以忽略，求 （1）K接通的瞬 间，流过各电阻的电流；（2）K接通很久后，电阻R2消耗的功率 和电感L和电容C储存的能量。 L C 解:(1)K接通瞬间,L断路,C短路,这时电路 R3 图如下,回路电阻为: R1 R2 R 2R 3 R 1R 2 ? R 2 R 3 ? R 1R 3 R ? R1 ? ? R2 ? R3 R2 ? R3( R 2 ? R 3 )? ? ? ?i 1 ? R ? R R ? R R ? R R 1 2 2 3 1 3 ? ? R 2R 3 i1 ? R2 ? R3 R 3? ? ? ?i 2 ? R2 R 1R 2 ? R 2 R 3 ? R 1R 3 ? ? R 2? ?i 3 ? i 1 ? i 2 ? R 1R 2 ? R 2 R 3 ? R 1R 3 ? ? ???K27(2)K接通很久,L短路,C断路,这时电路图如右,电流分布仿(1) 写出:? R 3? i ? ?1 R 1R 2 ? R 2 R 3 ? R 1R 3 ? ? ( R 1 ? R 3 )? ? ?i 2 ? R 1R 2 ? R 2 R 3 ? R 1R 3 ? ? R 1? ?i 3 ? R 1R 2 ? R 2 R 3 ? R 1R 3 ? ?通过L的电流为i3 故它存在有确解为:2 2 1 2 LR 1 ? w ? Li 3 ? 2 2( R1R 2 ? R 2 R 3 ? R1R 3 )在R2上消耗功率为:( R 2 ? R 3 )2 R 2? P ? i R2 ? ( R 1R 2 ? R 2 R 3 ? R1R 3 ) 22 21 2 2 在电容C上存储的电能: w ? 1 cvc ? c? 2 2286-19 如图一平行板电容器，两极板都是半径为5.0厘米的圆形 导体板,在充电时,其电场强度的变化率dE/dt=1.0X1012 伏/米 秒. 求(1)两极板间位移电流;(2)求极板边缘处的磁感应强度B. 解:(1): I d ? jd s ??D ? 2 ? ?a ? ?? 0 E ? ? ?a 2 ?t ?t 2 dE ? ??0a ? 6.94 ? 10 ? 2 (A) dt ? ? Id 2 dE ? H ? d l ? Id ? H ? 2?r ? Id ? H ? 2?a ? ??0a dt / 2?a 1 dE ? B ? ? 0 H ? ? 0? 0a ? 2.75 ? 10? 7 (T) 2 dt6-20 一平行板电容器,两板都是面积为S的圆形金属片,接交流电 源上,板上电荷q=qmsin?t.(1)求电容器中位移电流密度;(2)试证两 板间磁感强度: B ? (qmr??0 2s) ? cos ?t, 其中r为由圆板中心线 29 到场点的距离.q qm sin ?t ?D qm ? 解:(1) ? D ? ? ? ? , ? jd ? ? cos ?t . s s ?t s ? ? 2 ? H ? d l ? I ? H ? 2 ? r ? j ? ? r (2) d d ?j dr H? 2 ? 0r ? 0 ?q m r ? B ? ?0H ? j d? cos ? t 2 2s6-21 一平面电磁波在无界的无损耗的介质中沿x 方向传播,介质 的磁率和真空相同,而相对电容率(1)求波的速度, (2)如果电场强 度E只有y方向的分量,且它的振幅是 10伏/米 ,求磁场强度的振幅 及方向. 1解:1 u? ? ??1 ? ? 0 ? r ? 0? r ?H ?? 0? 0 ? ?r?rc ? 10 8 (m / s ) ?r?r? ?E ? ? H? 0?r E ? 7.96 ? 10 ? 2 ( A / m ) 30 ?0第四部分 第一章波 动 光 学 光 的 干 涉1-1 在杨式双缝实验中，当作如下调节时，屏幕上的干涉条纹 将如何变化：(1)两缝之间的距离逐渐增大；(2)保持双缝之间的 距离不变，使双缝与屏幕之间的距离逐渐减小；(3)如果把一条 狭缝遮住，在屏幕中心点Ｏ的光强将发生什么变化？ 解: (1)干涉条纹间距 ?X=?L/d 双缝间距ｄ增大，条纹间距变 小,条纹变密，中央零级条纹位置不变．(2)ｄ不变，逐渐减小双缝与屏之间的距离L，条纹间距也变 小，零级明条纹位置不变． I=4I0cos(?/2) ,?为屏上任一点处两光相位差.在屏幕心,?=0,I=4I0 若挡住双缝中的一个，屏上而是单缝衍射(3)设双缝中每一缝产生的光强为I0，屏上相干光强分布为 I0中心Ｏ点光强度为 ，它是双缝时的1/4．11-2 在杨式双缝实验中，用单色光垂直照射在两个相距为0.5毫 米的双缝上，在与缝相距为1.0米的屏幕上测得中央明条纹两侧 第5级明条纹之间的距离为11.78毫米，是求此单色光的波长？ ?L , 光程差为波长的 解: 杨式干涉中条纹间距公式为 ?x ? d 整数倍时产生亮条纹．由题中条件知d ? 5 ? 10 ?4 m, L ? 1.0m, 10?x ? 11.78 ? 10 ?3 m.?x ? 1.178 ? 10 m .?x ? d 1.178 ? 10 ?3 ? 5 ? 10 ?4 ? ? 589(nm ). 因此有 ? ? 3 L 1 ? 101-3 用白光垂直照射在两个相距为 0.5 毫米的双缝上,已知缝与屏幕的距离为1.0米,试求第一级彩色条纹中,红色条纹（?=760nm） 和紫色条纹（?=400nm ）间的距离．2?3?L x?k . 解: 第K级明条纹坐标： d两波长的第一级明条纹的坐标分别为：? 1L 760 ? 10 ?6 ? 1 ? 10 3 ?3 x1 ? ? ? 1 . 52 ? 10 (m ), ?3 d 0.5 ? 10 ? 2 L 400 ? 10 ?6 ?3 x2 ? ? ? 0 . 8 ? 10 (m ). ?3 d 0.5 ? 10两