高数不定积分第一类换元法一

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高等数学不定积分
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第四章 第一节 定理.
不定积分的几何意义: 例1.
设曲线通过点( 1 , 2 ) ,
二、 基本积分表
p170-171 例2. 求 三、不定积分的性质 例4.
求 例5. 求 例7. 求 内容小结 思考与练习 2. 若 3. 若 4. 求下列积分: 5. 求不定积分 6. 已知 第三节 基本思路
一、第一类换元法 例1. 求 例2. 求 例3.
求 例4. 求 例5. 求 常用的几种配元形式:
求 例7. 求 例9.
求 例10. 求 例11. 求 例12 . 求 例13. 求 例14. 求 1. 求 二、第二类换元法 定理2 . 设 例16. 求 例17. 求 例18. 求 例19. 求 例20. 求 例21. 求 例22. 求 思考与练习 第三节 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 解题技巧: 例6. 求 例7. 已知 例8. 求 思考与练习 第四节 一、 有理函数的积分 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : (2) 用赋值法 (3) 混合法 四种典型部分分式的积分:
例2. 求 例3. 求 例4.
求 例5. 求 二. 简单无理函数的积分 例6. 求 例7. 求 例8. 求 解: (1) 用拼凑法 机动
原式 = 机动
再分项积分
已知 例1(3)
将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 ,
因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
解: 原式 = 机动
解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = 机动
解法1 解法2
两法结果一样 机动
原式 = 机动
解: ∴原式 = 机动
原式= 机动
提示: 法1 法2 法3 作业
思考与练习 机动
第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 机动
则有换元公式 解: 令 则 ∴ 原式 机动
解: 令 则 ∴ 原式 机动
解: 令 则 ∴ 原式 机动
令 于是 机动
原式 解: 令 则 原式 当 x & 0 时, 类似可得同样结果 . 机动
原式 = 机动
解: 令 得 原式 机动
下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令 令 令 机动
由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1)
v 容易求得 ; 容易计算 . 机动
分部积分法
原式 思考: 如何求 提示: 令 则 原式 机动
令 则 原式 = 机动
令 则 ∴ 原式 机动
令 , 则 ∴
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高数求不定积分,∫x4/(1+x2)dx
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= (x^4-1)/(x^2+1) + 1/(x^2+1) dx= x^2 - 1 + 1/(x^2+1) dx= x^3/3 - x + arctanx
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用换元法很好求的 教科书都有例子
你写的是x^4 和x^2吗？是令t=x^2
则，x=t^(1/2)
则：∫x^4/(1+x^2)dx=∫t^2/(1+t)d(t^1/2)
=∫t^2*(1/2)*[t^(-1/2)]/(1+t)dt
=(1/2)∫1/t*(1+t)dt
则，x=t^(1/2)
则：∫x^4/(1+x^2)dx=∫t^2/(1+t)d(t^1/2)
=∫t^2*(1/2)*[t^(-1/2)]/(1+t)dt
=(1/2)∫1/t*(1+t)dt
=(1/2)∫[1/t-1/(1+t)]dt
=(1/2)[lnt-ln(1+t)]
=(1/2)[ln(x^2)-ln(1+x^2)]
=(1/2)[2lnx-ln(1+x^2)]
=lnx-1/2ln(1+x^2)+C
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