石桥中心学校09/10学年四数（下）&&&&&&&期中试卷
石桥中心学校09/10学年四数（下）&&&&&&
学校：&&&&&&&
&班级：&&&&&&&
&&&&姓名：&&&&&&&
一、快乐思考（20%）
1、在括号里填上适当的数。
1米45厘米=（&&&&
2.64千克=（&
）千克（&&& ）克
1.02吨=（&&&&&
）千克&&&&
2、运动会上同学们参加100米跑，成绩是：小明14.05秒，小东14.5秒，小强14.65秒，小平15.01秒。第一名是（&&&&&&&
），第四名（&&&&&
3、把0.2608的小数点向（&&&&&&
）移动（&&&&&&
）位后是26.08。
4、有5个2，3个0.1和7个0.01组成的数是（&&&&&&&&&
5、5.04的计数单位是（&&&&&&&
），它有（&&&&
）个这样的单位。
6、小数部分的最高位是（&&&
）位，整数部分的最低位是（&&&
）位，它们之间的进率是（&&&&
7、小明家在学校东偏南30°500米处，那么学校在小明家&
&&&500米处。&
8、104&25=（100+4）&25=100&25+4&25=2600，这是利用（&&&&&&&&&&&&&
）进行简便计算。
144＋118＝262，262&2＝131，131&9＝1179改成综合算式是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
10、一个两位小数精确到十分位后是5.6。这个两位小数最大是（&&&&&&
），最小是（&&&&&
二、快乐点击（选择正确答案的序号填在括号里）（5%）
1、下面哪个算式是正确的。（&&&&
92+22+78=92+100&&&&&
B& 102&56=100&56＋2
97+3&12=100&12&&&&
D& 35&16=35&2+35&8
2、9米缩小100倍是（&&&
A、9厘米&&
B、9毫米&& C、9分米
3、下列算式中运用乘法交换律使运算达到简便的是（&&&&&
、55&101&&&&&
B、25&166&4&&&&
C、492&5&2
4、下面各数中最小的数是（&&&&&
A、0．550&&&&&&&
B、0.505&&&&&&&&
5、下面各数中与10最接近的数是（&&&&
A、9.998&&&&
B、10.1&&&
&&&&&&&C、10.09
三、火眼金睛判对错。（对的打√,错的打&）（5%）
去掉小数末尾的0,小数的大小不变。&&&&&&&&&&&&&
25=24&100&4=&&&&&&&&&&&&&&&
3、比2大，比3小的两位小数只有99个。&&&&&&&&&&
4、0除以任何数都得0。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
5、小数部分位数多的数比小数部分位数少的数大。&&&
&四、计算。
1、口算。（3%）
225-25+75=&&&&&&&&&
150+50&50=&&&&&&&&&
53+47&2=&&&&
15+20-15+20=&&&&&&&&
99&9＋99=&&&&&&&&&&
749&7=&&&&&&
2、递等式计算。（能简算的要简算）（27%）
58&132－32&58&&&&&&&&
15&25&8&&&&&&&&&
（124-85）&12&26&&&&
783－299&&&&&&&&&&
837-26-274
3、列式计算。（9%）
⑴、 6012除以12的商，再加56与20的积，和是多少？
⑵、 与36的商，差是多少？
⑶、163减去13与7的积，所得的差除以6，商是多少？
五、慧眼识图。（6%）
（1）市政府在中心（&&&
）的方向上，距离是（&&&&
（2）邮局在中心（&&&
）的方向上，距离是（&&&&
（3）银行在中心（&&&
）的方向上，距离是（&&&&
六、走进生活解决问题。（25%）
1、5台机器平均每小时加工零件175个，照这样计算，1台机器8小时共加工零件多少个？
&2、王阿姨要缝320件棉衣送给灾区的群众过冬，已经完成了140件，剩下的要在4天内完成，平均每天要缝多少件衣服？
&3、小强今年18岁，是表妹年龄的3倍，而舅舅的年龄是表妹年龄的5倍还多2岁，舅舅今年多少岁？
4、胜利小学买40把椅子花了1520元，又买了7张桌子花了735元。照这样计算，买一套桌椅要用多少钱？
&5、一个工厂前6个月用煤120吨，后半年共用煤102吨。每吨煤按30元计算，后半年比前半年用煤节约多少钱？
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。单价．当单价一定时，练习本总价和练习本本数成正比例．
科目：小学数学
下面各量成什么比例，请写在方框中．（1）小丽从家到学校，行驶的时间和速度反比例．（2）王师傅去购买“雪花牌”饺子粉，买的袋数和总价正比例．（3）六（1）班同学参加数学竞赛，及格人数和不及格人数不成比例．（4）设计一个面积是24平方米的三角形草地，设计的底和高反比例．（5）用24米长的篱笆围一个长方形鸡舍，围出的长和宽不成比例．（6）给病人打点滴（250毫升），每分钟滴的滴数与滴的时间反比例．
科目：小学数学
题型：解答题
下面各题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例，并说明理由．（1）正方形的面积和边长．（2）三角形的底一定，它的面积和高（3）三角形的高一定，面积与底．（4）圆的面积与半径． （5）房屋地面的面积一定，铺地砖的块数与每块地砖的面积．（6）每块地砖的面积一定，铺地面积与所需地砖的块数．（7）分子一定，分母和分数值．（8）梯形的上底和下底一定，面积和高．（9）车轮的直径一定，所行驶的路程和转数．（10）练习本总价和练习本本数的比值是______．当______一定时，______和______成______比例．
科目：小学数学
来源：专项题
题型：单选题
下面各数中，与4互质的合数是
[&&&& ]A．6&&&&B．7&&&&C．15
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下面各数中，与6最接近的数是（　　）A. 6.1B. 5.99C. 6.02
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6.1-6=0.1，6-5.99=0.01，6.02-6=0.02．0.01＜0.02＜0.1，所以5.99最接近6．故选：B．
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分别求出这几个数与6的差，再根据小数大小比较的方法比较它们的差，差最小的就和6最接近．据此解答．
本题考点：
近似数及其求法．
考点点评：
本题的关键是先求出这几个数与6的差，再进行比较．
答案--b.5.99a中，6+0.1=6.1
0.1b中，5.99+0.01=6
0.01c中，6+0.02=6.02
0.02因为0.01最小，所以与6最接近，选b
5.99与6最接近
6.1 - 6 = 0.1
6 - 5.99 = 0.01
6.02 - 6 = 0.02所以可知，5.99与6的变化量最小，即6与5.99最接近。
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大数的认识（复习课二）
16:45:14&&&&&&&&标签：
　　教学目标：
　　1.使学生在认识万以内数的基础上，进一步认识计数单位&万&、&十万&、&百万&、&千万&和&亿&，知道亿以内及以上各个计数单位的名称和相邻两个单位之间的关系。
　　2.掌握数位顺序表，根据数级正确地读写大数，会比较大数的大小，会将整万、整亿的数分别改写成用&万&和&亿&作单位的数，会用&四舍五入&法把一个大数省略万位或亿位后面的尾数，求出它的近似数。
　　3.认数过程中，使学生体会和感受大数在日常生活中的应用，进一步培养数感。
　　教学重点：
　　在认数过程中，使学生体会和感受大数在日常生活中的应用，进一步培养数感。
　　教学难点：
　　在认数过程中，使学生体会和感受大数在日常生活中的应用，进一步培养数感。
　　教学关键：
　　掌握数位顺序表，根据数级正确地读写大数，会比较大数的大小，会将数万、整亿的数分别改写成用&万&和&亿&作单位的数，会用&四舍五入&法把一个大数省略万位或亿位后面的尾数，求出它的近似数。
　　教学过程：
　　第一关：明辨概念。（以抢答形式出现，师给予点评）
　　一、填空。
　　⑴10个一千是（一万），（10）个百万是一千万。
　　⑵从个位起，第五位是（万位），计数单位是（万），第九位是（亿位），计数单位是（亿），第十二位是（千亿位），计数单位是（千亿）。
　　⑶是（10）位数，它的最高位是（十亿位）。
　　⑷十万十万地数，数100次是（一千万）。
　　⑸一个数是由7个十万、6个万和3个十组成的，这个数写做（76？0030）。
　　⑹一个数千万位上是8，万位上是5，其它各位上都是0，这个数是（）。
　　⑺1个百万是（10）个十万，1个千万是（10）个百万，（100）个百万是一亿。
　　⑻在4和6之间填上（5）个0，这个数就万为四百万零六。
　　⑼最高位上的3表示（3个千万），中间的3表示（3个十万），最后的3表示（3个十）。
　　⑽一个六位数，最低位上是1，任意两个相邻数位上数字的和都是6，这个数写作（515151）。
　　⑾591000是由（59）个（万）和（1000）个（一）组成。
　　二、判断对错
　　⑴读数和写数都要从最高位读起或写起。
　　⑶9□000&9万，□里最小填0。
　　⑷四万零五百写作：
　　⑸404040读作四十万四千四十。
　　三、选择正确答案的序号填在（ 　）里。
　　⑴元＝（ 　）。
　　A、135元　　 B、1350元　　 C、1350万　　 D、1350万元
　　⑵读5000505这个数时，要读（ 　）个零。
　　A、1 　　B、2 　　C、3 　　D、4
　　⑶一个数最高位是（　 ）位，这个数是八位数。
　　A、百万 　　B、十万 　　C、千万 　　D、亿
　　⑷有一个数，万级是207，个级是375，这个数是（　 ）。
　　A、207375 　　B、2070375 　　C、2073750
　　⑸下面各数中，最接近20000的数是（　 ）。
　　A、19998 　　B、20003 　　C、21000
　　第二关：细答基本（先让学生独立完成，集体讲评）
　　一、在里填上&＞&、&＜&或&＝&。
　　 　　　　万
　　二、按要求写数。
　　吨＝900亿吨 　　　810000千克＝81万千克
　　三、求近似数。
　　74380&74万（四舍五入到万位）。
　　&13亿（四舍五入到亿位）。
　　第三关：勇闯万难（先让学生独立思考，再讲评）
　　一、根据数的组成填写下面各题。
　　（）＋（2000000）＋（700000）＝
　　（3000000）＋（800000）＋（9）＝3800009
　　二、用2、7、0、3、1这五个数组成一个五位数，其中最大的数是（73210），最小的数是（10237），约等于7万的最小的数是（70123），约等于3万的最大的数是（32710）。
　　三、用5、4、7和2个0组成五位数，使这个数：
　　⑴只读一个零：5，4，7
　　⑵读两个零：5，7，4
　　⑶一个零也不读：5，7，4
　　作业：认真复习，明天考试。
　　课后追记。
来源：网络
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华罗庚学校数学课本四年级(上)
第一讲 速算与巧算（三） 例 1 计算 9＋99＋999＋ 解：在涉及所有数字都是 9 的计算中，常使用凑整法.例如将 999 化成 1000―1 去 计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 9＋99＋999＋ ＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1） ＋（） ＝10＋100＋＋ ＝ ＝111105. 例 2 计算 999＋＋19 解：此题各数字中，除最高位是 1 外，其余都是 9，仍使用凑整法.不过这里是加 1 凑整.（如 199＋1＝200） 999＋＋19 ＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1） ＋（19＋1）－5 ＝000＋＋20-5 ＝ ＝22225. 例 3 计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）解法 2： 先把两个括号内的数分别相加， 再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从 1 到 1989 共有 995 个奇数，凑成 497 个 1990，还剩下 995，第二个括号内的数 相加的结果是：从 2 到 1988 共有 994 个偶数，凑成 497 个 ×497＋995―＝995. 例 4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 解法 1：认真观察每个加数，发现它们都和整数 390 接近，所以选 390 为基准数. 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 ＝390×7―1―3―7―5―6―4― ＝2730―28 ＝2702. 解法 2：也可以选 380 为基准数，则有 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 ＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8 ＝2660＋42 ＝2702. 例 5 计算（＋＋）÷6 解：认真观察可知此题关键是求括号中 6 个相接近的数之和，故可选 4940 为基准 数. （＋＋）÷6 ＝（＋3―2―1＋1＋3）÷6 ＝（）÷6（这里没有把 4940×6 先算出来，而是运 ＝＋6÷6 运用了除法中的巧算方法） ＝4940＋1 ＝4941.例 6 计算 54＋99×99＋45 解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把 45 和 54 先结合可得 99，就可以运 用乘法分配律进行简算了. 54＋99×99＋45 ＝（54＋45）＋99×99 ＝99＋99×99 ＝99×（1＋99） ＝99×100 ＝9900. 例 7 计算 ＋ 解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将 9999 变为 3333×3，规律就 出现了. ＋ ＝22＋ ＝＋ ＝3333×（） ＝ ＝. 例 8 ×999 解法 1：×999 ＝＋999×999 ＝×（1＋999） ＝×1000 ＝1000×（999＋1） ＝＝1000000. 解法 2：×999 ＝×（1000-1） ＝-999 ＝（）＋999000 ＝ ＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习， 多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一 1.计算 998＋＋88 2.计算 999＋＋79 3.计算 （＋1984＋…＋6＋4＋2） （1＋3＋5＋…＋＋1987） － 4.计算 1―2＋3―4＋5―6＋…＋＋1993 5.时钟 1 点钟敲 1 下，2 点钟敲 2 下，3 点钟敲 3 下，依次类推.从 1 点到 12 点这 12 个小时内时钟共敲了多少下？ 6.求出从 1～25 的全体自然数之和. 7.计算 ―998―997＋996＋995―994―993＋…＋108＋107―106―105 ＋104＋103―102―101 8.计算 92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×16 10.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9 11.计算 053 12.两个 10 位数
的乘积中，有几个数字是奇数？第二讲 速算与巧算（四） 例 1 比较下面两个积的大小： A＝×， B＝×. 分析 经审题可知 A 的第一个因数的个位数字比 B 的第一个因数的个位数字小 1， 但 A 的第二个因数的个位数字比 B 的第二个因数的个位数字大 1.所以不经计算，凭直 接观察不容易知道 A 和 B 哪个大.但是无论是对 A 或是对 B，直接把两个因数相乘求积 又太繁，所以我们开动脑筋，将 A 和 B 先进行恒等变形，再作判断. 解： A＝× ＝×（＋1） ＝×＋. B＝× ＝（＋1）× ＝×＋. 因为 ＞，所以 A＞B. 例 2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由. 241×249 242×248 243×247 244×246 245×245. 解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250―1）＝240×250＋1×9； 242×248＝（240＋2）×（250―2）＝240×250＋2×8； 243×247＝（240＋ 3）×（250― 3）＝ 240×250＋3×7； 244×246＝（240＋4）×（250―4）＝240×250＋4×6； 245×245＝（240＋5）×（250― 5）＝240×250＋5×5. 恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245 的积最大. 一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两 部分的乘积越大. 如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5 则 5×5＝25 积最大. 例 3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006 五个数的总和. 解：五个数中，后一个数都比前一个数大 10，可看出 1986 是这五个数的平均值， 故其总和为： 30. 例 4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是 320，求它们中最 小的一个. 解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差 2，故这五个 偶数依次是 60、62、64、66、68，其中最小的是 60. 总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为 首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质――它是五个自然数 的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x―1、x、x＋1、x ＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值. 如：对于 2n＋1 个连续自然数可以表示为：x―n，x―n＋1，x－n＋2，…， x―1， x， x＋1，…x＋n―1，x＋n，其中 x 是这 2n＋1 个自然数的平均值. 巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题. 例 5 将 1～1001 各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于： ①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由. 解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数. 又因横行相邻两数相差 1，是 3 个连续自然数，竖列 3 个数中，上下两数相差 7.框中 的九个数之和应是 9 的倍数. ①1986 不是 9 的倍数，故不行； ②1，是 9 的倍数，但是 281÷7＝40×7＋1，这说明 281 在题中数表 的最左一列，显然它不能做中数，也不行； ③1，是 9 的倍数，且 221÷7＝31×7＋4，这就是说 221 在数表中第 四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为 1989 是办得到的，且最大的数是 229， 最小的数是 213. 这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有 那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二 1.右图的 30 个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每 个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中 a＝14 ＋17＝31）.右图填满后，这 30 个数的总和是多少？2.有两个算式：①9， ②98766 × 98768， 请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？ 3.比较 568×764 和 567×765 哪个积大？ 4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？ ① ＋1999 ② ＋1998 ③ ＋1997④ ＋1996 5.五个连续奇数的和是 85，求其中最大和最小的数. 6.45 是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是 3，请你写出这五个数. 7.把从 1 到 100 的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面 3 个数，宽 的方面 2 个数，一共 6 个数用长方形框围起来，这 6 个数的和为 81，在数表的别的地 方， 如上面一样地框起来的 6 个数的和为 429， 问此时长方形框子里最大的数是多少？第三讲 定义新运算 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不 同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法， 对应法则不同就是不同的 运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数 与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义 了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相 同. 我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”. 例 1 设 a、b 都表示数，规定 a△b＝3×a―2×b， ①求 3△2， 2△3； ②这个运算“△”有交换律吗？ ③求（17△6）△2，17△（6△2）； ④这个运算“△”有结合律吗？ ⑤如果已知 4△b＝2，求 b. 分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是： 用运算符号前面的数的 3 倍减去符号后面的数的 2 倍.解： 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4 ① ＝ 52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0. ②由①的例子可知“△”没有交换律. ③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计 算第二步 39△2＝3 × 39-2×2＝113， 所以（17△6）△2＝113. 对于 17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次 17△14＝3×17－2×14＝23， 所以 17△（6△2）＝23. ④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为 4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么 12-2b＝2，解出 b＝5. 例 2 定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），①求 5※7，7※5； ②求 12※（3※4），（12※3）※4； ③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果 3※（5※x）＝3，求 x. 解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12 ＝23. ②要计算 12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5， 再计算第二步 12※5＝12×5－（12＋5）＝43， 所以 12※（3※4）＝43. 对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其 次 21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于 a※b＝a×b－ （a＋b）； b※a＝b×a－（b＋a） ＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律） 所以有 a※b＝b※a，因此“※”有交换律. 由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5； 3※（5※x）＝3※（4x－5） ＝3（4x－5）－（3＋4x－5） ＝12x－15－（4x－2） ＝ 8x－ 13 那么 8x－13＝3 解出 x＝2.③这个运算有交换律和结合律吗？的观察，找到规律：例 5 x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3 的值.分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求 1△2）*3 的值，首先我们 要计算 1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于 k 的值不知道，所以首先 要计算出 k 的值.k 值求出后，l△2 的值也就计算出来了，我们设 1△2=a. (1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出 m、n 时，我们才能计 算 a*3 的值.因此要计算（1△2）* 3 的值，我们就要先求出 k、m、n 的值.通过 1*2 =5 可以求出 m、n 的值，通过（2*3）△4=64 求出 k 的值. 解：因为 1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有 m+2n =5.又因为 m、n 均为自然数，所以解出：①当 m=1，n=2 时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k×8×4=32k 有 32k=64，解出 k=2. ②当 m=3，n=1 时： （2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k所以 m=l，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3 =4*3 =1×4+2×3 =10. 在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计 算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算， 这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具 有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三计算：① 10*6 ② 7*（2*1）.3.有一个数学运算符号°，使下列算式成立：5.对于任意的整数 x、y，定义新运算“△”，如果 1△2=2，则 2△9=？7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：9.规定 a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1），（a、b 均为自然数，b＞a）如 果 x△10=65，那么 x=？ 10.我们规定：符号。表示选择两数中较大数的运算，例如：5 °3=3 °5=5，符 号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：第四讲 等差数列及其应用 许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法 迅速计算出从 1 到 100 这 100 个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余， 有没有仔细想一 想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想， 最基本的原因却是这 100 个数及其排列的方法本身具有极强的规律性――每项都比它 前面的一项大 1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过 这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来 解决许多有趣的问题. 一、等差数列 什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子： ①l，2，3，4，5，6，7，8，9，… ②1，3，5，7，9，11，13. ③ 2，4，6，8，10，12，14… ④ 3，6，9，12，15，18，21. ⑤100，95，90，85，80，75，70. ⑥20，18，16，14，12，10，8. 这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列 就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母 d 表示，如： 数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1； 数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2； 数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5； 数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例 1 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由. ①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 解：①是，公差 d=4. ②不是，因为数列的第 3 项减去第 2 项不等于数列的第 2 项减去第 1 项. ③不是，因为 4-2≠2-1. ④是，公差 d=l. ⑤是，公差 d=0. ⑥不是，因为第 1 项减去第 2 项不等于第 2 项减去第 3 项. 一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面 的项，或者每一项都大于前面的项，上述例 1 的数列⑥中，第 1 项大于第 2 项，第 2 项却又小于第 3 项，所以，显然不符合等差数列的定义. 为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第 1 项记为a ，第 2 项记为a ，…， 第n项记为an，an。又称为数列的通项，a 1 ；又称为数列的首项，最后一项又称为数列 的末项.1 2二、通项公式对于公差为d的等差数列a ，a 2 ，…a n …来说，如果a 1 ；小于a ，则1 2由此可知：1 2(1)若a ；大于a ，则同理可推得：(2) 公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的 情况下可以求出等差数列中的任何一项. 例 2 求等差数列 1，6，11，16…的第 20 项. 解：首项a =1，又因为a ；大于a ；，1 2 1公差 d=6-1=5，所以运用公式（1）可知： 第 20 项a 0=a =（20-1）×5=1+19×5=96.2 1一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公 式，我们可以得到项数公式：例 3 已知等差数列 2，5，8，11，14…，问 47 是其中第几项？ 解：首项a =2，公差d=5-2=31令 an=47 则利用项数公式可得： n=（47-2）÷3+1=16. 即 47 是第 16 项. 例 4 如果一等差数列的第 4 项为 21，第 6 项为 33，求它的第 8 项. 分析与解答 方法 1：要求第 8 项，必须知道首项和公差. 因为a =a +3×d，又a =21，所以a =21-3×d又a =a +5×d，又a =33，所以a =33-5 ×d所以：21-3×d=33-5×d，4 1 4 1 6 1 6 1所以d=6 a =21-3×d=3，1所以 a8=3+7×6=45. 方法 2：考虑到a8=a7+d=a +d+d=a +2×d，其中a 已知，只要求 2×d即可.6 6 6又 a =a +d=a +d+d=a +2×d，6 5 4 4所以 2×d=a -a64所以 a8=3+7×6=45 方法 2 说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便. 三、等差数列求和 若a 小于a ，则公差为d的等差数列a ,a ,a …an可以写为1 2 1 2 3a ,a +d,a +d×2，…，a +d×（n-1）.所以，容易知道：a +a =a +a =a +a1 1 1 1 1 n 2 n-1 3n-2=a +a -3=…=a +a =a +a .4 n n-1 2 n 1设 Sn=a +a +a +…+a1 2 3 n n-1 n-2n则 Sn=a +a +a +…+a 两式相加可得：12×Sn=（a +a ）+(a +a )+…+(an+a )1 n 2 n-1 1即：2×Sn=n×（a +a ）,所以，1 n例 5 计算 1+5+9+13+17+…+1993. 当a ；大于a 。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和 的公式.1 2解：因为 1，5，9，13，17，…，1993 是一个等差数列，且 al=1，d=4，an=1993. 所以，n=（a －a ）÷d+1=499.n 1所以，1+5+9+13+17+…+1993 =（1+1993）×499÷2 =997×499 =497503.题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有 499 项，中间一项即第 250 项的值是 997，而和恰等于 997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如 下定理：这个定理称为中项定理. 例 6 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第 2 层 6 块砖，第 3 层 10 块砖…，依次每层都比其上面一层多 4 块砖，已知最下层 2106 块砖，问中间一层多少 块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，… 容易知道，这是一 个等差数列. 方法 1： a =2， d=4， an=2106，1贝n=（a -a ）÷d+1=527n 1这堆砖共有则中间一项为 a 64=a +（264-1）×4=1054.2 1方法 2：（a +a ）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.1 n则中间一项为（a +a ）÷2=10541 na =2， d=4， an=2106，1这堆砖共有 5458（块）. n=（a -a ）÷d+1=527n 1例 7 求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差. 解：根据题意可列出算式： （2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+1999） 解法 1：可以看出，2，4，6，…，2000 是一个公差为 2 的等差数列，1，3，5，…， 1999 也是一个公差为 2 的等差数列，且项数均为 1000，所以： 原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000. 解法 2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差 1，所以 1000 项就差了 1000 个 1，即 原式=0. 例 8 连续九个自然数的和为 54， 则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数 之和是多少？ 分析与解答 方法 1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的 一个.即条件中的九个连续自然数的末项. 因为， 条件中九个连续自然数的和为 54， 所以， 这九个自然数的中间数为 54÷9=6， 则末项为 6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）×9÷2=126. 方法 2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前一组 自然数的对应项大 8，因此，后一组自然数的和应为 54+8×9=126. 在方法 1 中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（a +a ）×n÷2，则 a +a9=54×2÷9.又因为a =a ，所以代入后也可求出a9=10.1 n 1 1 9-8例 9 100 个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是 8450，取出其中第 1 个，第 3 个…第 99 个，再把剩下的 50 个数相加，得多少？ 分析与解答 方法 1：要求和，我们可以先把这 50 个数算出来. 100 个连续自然数构成等差数列，且和为 8450，则： 首项+末项=0=169，又因为末项比首项大 99，所以，首项=（169-99） ÷2=35.因此，剩下的 50 个数为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数 列，和为（36+134）×50÷2=4250. 方法 2：我们考虑这 100 个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差， 相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大 1，因此， 剩下的数的总和比取走的数的总和大 50，又因为它们相加的和为 8450.所以，剩下的 数的总和为（8450+50）÷2=4250. 四、等差数列的应用 例 10 把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的 差都是 5，那么，第 1 个数与第 6 个数分别是多少？解： 由题可知： 210 拆成的 7 个数必构成等差数列， 由 则中间一个数为 210÷7=30， 所以，这 7 个数分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40. 例 11 把 27 枚棋子放到 7 个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒 子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由. 分析与解答 因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一 样， 所以 7 个盒中共有的棋子数至少为 1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了 27 枚棋子， 所以，题中要求不能办到. 例 12 从 1 到 50 这 50 个连续自然数中，取两数相加，使其和大于 50，有多少种不同 的取法？ 解：设满足条件的两数为 a、b，且 a＜b，则 若 a=1，则 b=50，共 1 种. 若 a=2，则 b=49，50，共 2 种. 若 a=3，则 b=48，49，50，共 3 种. … 若 a=25，则 b=26，27，…50，共 25 种. 若 a=26，则 b=27，28，…50，共 24 种.（a=26，b=25 的情形与 a=25，b=26 相同， 舍去）. 若 a=27，则 b=28，29，…50，共 23 种. … 若 a=49，则 b=50，共 1 种. 所以，所有不同的取法种数为 1+2+3+…+25+24+23+22+…+l =2×（1+2+3+…+24）+25 =625. 例 13 x+y+z=1993 有多少组正整数解.显然，x 不能等于 . 所以，原方程的不同的整数解的组数是： l+2+3+…+. 本题中运用了分类的思想，先按照 x 的值分类，在每一类中，又从 y 的角度来分 类，如：x=1987 时，因为 y+z=6，且 y、z 均为正整数，所以 y 最小取 1，最大取 5， 即按 y=1，2，3，4，5 分类，每一类对应一组解，因此，x=1987 时，共 5 组解. 例 13 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：①197 排在第几行的第几个 数？ ②第 10 行的第 9 个数是多少？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 … … 分析与解答 ①197 是奇数中的第 99 个数. 数表中，第 1 行有 1 个数. 第 2 行有 3 个数. 第 3 行有 5 个数… 第 n 行有 2×n-l 个数 因此，前 n 行中共有奇数的个数为： 1+3+5+7+…+（2×n-1） =［1+（2×n-1）〕×n÷2=n×n 因为 9×9＜99＜10×10.所以，第 99 个数位于数表的第 10 行的倒数第 2 个数， 即第 18 个数，即 197 位于第 10 行第 18 个数. ②第 10 行的第 9 个数是奇数中的第 90 个数.因为 9×9+9=90），它是 179. 例 14 将自然数如下排列， 1 2 6 7 15 16 … 3 5 8 14 17 … 4 9 13 18 … 10 12 … 11 … … 在这样的排列下，数字 3 排在第 2 行第 1 列，13 排在第 3 行第 3 列，问：1993 排 在第几行第几列？ 分析与解答 不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针 转动 45°，就成为三角阵（如右图），三角阵中，第 1 行 1 个数，第 2 行 2 个数…第 n 行就有 n 个数，设 1993 在三角阵中的第 n 行，则： 1+2+3+…+n-1＜+3+…+n 即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2 用试值的方法，可以求出 n=63. 又因为 1+2+…+62=1953，即第 62 行中最大的数为1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又 ，所以， 1993 是三角阵中第 63 行从左开始数起的第 40 个数 （若从右开始数， 则为第 24 个数） . 把三角阵与左图作比较，可以发现： ①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行. 由此，我们可知，1993 位于原图的 24 行 40 列.习题四 1.求值： ① 6+11+16+…+501. ② 101+102+103+104+…+999. 2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第 100 个算式的得数是多少？ 4+2，5+8，6+14，7+20，… 3.11 至 18 这 8 个连续自然数的和再加上 1992 后所得的值恰好等于另外 8 个连续 数的和，这另外 8 个连续自然数中的最小数是多少？ 4.把 100 根小棒分成 10 堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何 分？ 5.300 到 400 之间能被 7 整除的各数之和是多少？ 6.100 到 200 之间不能被 3 整除的数之和是多少？ 7.把一堆苹果分给 8 个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果 个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？ 8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和. 1，2，3，4，5，6…98，99，100 2，3，4，5，6，7…99，100，101 3，4，5，6，7，8…100，101，102 100，101，102，103，104，105…197，198，199第五讲 倒推法的妙用 在分析应用题的过程中， 倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用 题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例 1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说： “用我得的分数减去 8 加上 10，再除以 7，最后乘以 4，得 56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？ 分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析， 就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题. 如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去 8，加上 10，再除以 7，乘 以 4，结果是 56.求这个数是多少？ 把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式： ｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56. 如何求出□中的数呢？我们可以从结果 56 出发倒推回去.因为 56 是乘以 4 后得到 的，而乘以 4 之前是 56÷4＝14.14 是除以 7 后得到的，除以 7 之前是 14×7＝98.98 是加 10 后得到的，加 10 以前是 98-10＝88.88 是减 8 以后得到的，减 8 以前是 88＋8 ＝96.这样倒推使问题得解. 解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56 ［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4 答：于昆这次数学考试成绩是 96 分. 通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理. ②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算. ③列式时注意运算顺序，正确使用括号. 例 2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的 1 看成 7，把减数十位上的 7 看成 1，结果得出差是 111.问正确答案应是几？ 分析 马小虎错把减数个位上 1 看成 7，使差减少 7―1＝6，而把十位上的 7 看成 1，使差增加 70―10＝60.因此这道题归结为某数减 6，加 60 得 111，求某数是几的问 题. 解：111－（70―10）＋（7―1）＝57 答：正确的答案是 57. 例 3 树林中的三棵树上共落着 48 只鸟.如果从第一棵树上飞走 8 只落到第二棵树上； 从第二棵树上飞走 6 只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树 上各落多少只鸟？分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只 数 48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟 16 只是从第二棵树上飞来的 6 只后得到的， 所以第三棵树上原落鸟 16―6＝10 （只） .同理， 第二棵树上原有鸟 16＋6―8＝14 （只） . 第一棵树上原落鸟 16＋8＝24（只），使问题得解. 解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只） ②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只） ③第二棵树上原有鸟只数.16＋6―8＝14（只） ④第三棵树上原有鸟只数.16―6＝10（只） 答：第一、二、三棵树上原来各落鸟 24 只、14 只和 10 只. 例 4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多 1 个.小军 取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨 1 个.问：篮子里原有梨多少 个？ 分析 依题意，画图进行分析.解：列综合算式： ｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2 ＝22（个） 答：篮子里原有梨 22 个. 例 5 甲乙两个油桶各装了 15 千克油.售货员卖了 14 千克.后来，售货员从剩下较多油 的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也 增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的 3 倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克 油？ 分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油 桶各装油 15 千克.售货员卖了 14 千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油 15×2－14 ＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的 3 倍”. 就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克. 求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒 油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克. 解：①甲乙两桶油共剩多少千克？15×2-14＝16（千克） ②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克） ③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克） 用倒推法画图如下：④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克） ⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15―5＝10（千克） 答：从甲桶卖出油 4 千克，从乙桶卖出油 10 千克. 例 6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进 200 千 克.第三天卖出现有白菜的一半又 30 千克，结果剩余白菜的 3 倍是 1800 千克.求原有 冬贮大白菜多少千克？ 分析 解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数 量关系清晰的展现出来.解：①剩余的白菜是多少千克？0（千克） ②第二天运进 200 千克后的一半是多少千克？ 600＋30＝630（千克） ③第二天运进 200 千克后有白菜多少千克？ 630×2＝1260（千克） ④原来的一半是多少千克？＝1060（千克） ⑤原有贮存多少千克？20（千克） 答：菜站原来贮存大白菜 2120 千克. 综合算式： ［（）×2―200］×2＝2120（千克） 答：菜站原有冬贮大白菜 2120 千克.习题五 1.某数除以 4，乘以 5，再除以 6，结果是 615，求某数. 2.生产一批零件共 560 个， 师徒二人合作用 4 天做完.已知师傅每天生产零件的个 数是徒弟的 3 倍.师徒二人每天各生产零件多少个？ 3.有砖 26 块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟 弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给 哥哥 5 块.这时哥哥比弟弟多 2 块.问：最初弟弟准备挑几块砖？ 4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜. 别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是 1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7 的和；加 7 加 8，加 8 加 7、加 9 加 10 加 11。”你知道阿凡提一共带了多少钱？买鱼 用了多少钱？第六讲 行程问题（一） 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题. 在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解 到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间.因此，在这一讲中，我 们将在前面学习的基础上，主要来研究行程问题中较为复杂的一类问题――反向运动 问题， 也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题 和相背问题.所谓相遇问题， 指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的 问题；所谓相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题， 下面，我们来具体看几个例子. 例 1 甲、乙二人分别从相距 30 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走 6 千米， 乙每小时走 4 千米，问：二人几小时后相遇？ 分析 出发时甲、 乙二人相距 30 千米， 以后两人的距离每小时都缩短 6＋4＝10 （千 米），即两人的速度的和（简称速度和），所以 30 千米里有几个 10 千米就是几小时 相遇. 解：30÷（6＋4） ＝30÷10＝3（小时） 答：3 小时后两人相遇. 例 1 是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系： 路程＝速度和×时间. 例 2 一列货车早晨 6 时从甲地开往乙地，平均每小时行 45 千米，一列客车从乙地开 往甲地，平均每小时比货车快 15 千米，已知客车比货车迟发 2 小时，中午 12 时两车 同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少 千米？ 分析 货车每小时行 45 千米，客车每小时比货车快 15 千米，所以，客车速度为每 小时（45＋15）千米；中午 12 点两车相遇时，货车已行了（12―6）小时，而客车已 行（12―6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完 全程到达甲地时，货车离乙地的距离. 解：①甲、乙两地之间的距离是： 45×（12―6）＋（45＋15）×（12―6―2） ＝45×6＋60×4 ＝510（千米）. ②客车行完全程所需的时间是： 510÷（45＋15） ＝510÷60 ＝8.5（小时）. ③客车到甲地时，货车离乙地的距离： 510―45×（8.5＋2） ＝510－472.5 ＝37.5（千米）. 答：客车到甲地时，货车离乙地还有 37.5 千米. 例 3 两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米.两车错车时， 甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒，求乙车的车长.分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟 3＝10（米），乙车的速 度是每秒钟 5＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客 以每秒钟 10 米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们 只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起， 乙车车头和甲车乘客开始作反向运动 14 秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距 离都增大（10＋15）米，因此，14 秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）× 14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客 在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙 两车在 14 秒内所走的路程之和. 解：（10＋15）×14 ＝350（米） 答：乙车的车长为 350 米. 我们也可以把例 3 称为一个相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的基 本关系仍然成立. 例 4 甲、 乙两车同时从 A、 两地出发相向而行， B 两车在离 B 地 64 千米处第一次相遇. 相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两 车在距 A 地 48 千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？分析 甲、乙两车共同走完一个 AB 全程时，乙车走了 64 千米，从上图可以看出： 它们到第二次相遇时共走了 3 个 AB 全程，因此，我们可以理解为乙车共走了 3 个 64 千米，再由上图可知：减去一个 48 千米后，正好等于一个 AB 全程. 解：①AB 间的距离是 64×3－48 ＝192－48 ＝144（千米）. ②两次相遇点的距离为 144―48－64 ＝32（千米）. 答：两次相遇点的距离为 32 千米.例 5 甲、乙二人从相距 100 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行， 在行走过程中， 甲的车发生故障， 修车用了 1 小时.在出发 4 小时后， 甲、 乙二人相遇， 又已知甲的速度为乙的 2 倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是 多少？ 分析 甲的速度为乙的 2 倍，因此，乙走 4 小时的路，甲只要 2 小时就可以了，因 此，甲走 100 千米所需的时间为（4―1＋4÷2）＝5 小时.这样就可求出甲的速度. 解：甲的速度为： 100÷（4－1＋4÷2） ＝10O÷5＝20（千米/小时）. 乙的速度为：20÷2＝10（千米/小时）. 答：甲的速度为 20 千米/小时，乙的速度为 10 千米/小时. 例 6 某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，若该列车与 另一列长 150 米.时速为 72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？ 分析 解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道 算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车 相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程 实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走 的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和. 列车通过 250 米的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，所以列车行驶的 路程为（250―210）米时，所用的时间为（25―23）秒.由此可求得列车的车速为（250 ―210）÷（25―23）＝20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在 25 秒内所走的 路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为 20×25―250＝250（米），从而 可求出错车时间. 解：根据另一个列车每小时走 72 千米，所以，它的速度为： 7＝20（米/秒）， 某列车的速度为： （25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒） 某列车的车长为： 20×25-250＝500-250＝250（米）， 两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）. 答：错车时间为 10 秒. 例 7 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为每小时 60 千米和 48 千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的 5 小时.6 小时，8 小时先 后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度. 分析 甲车每小时比乙车快 60-48＝12（千米）.则 5 小时后，甲比乙多走的路程 为 12×5＝60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为 60 千米，又因为 卡车与乙在卡车与甲相遇的 6-5＝1 小时后相遇， 所以， 可求出卡车的速度为 60÷1-48 ＝12（千米/小时） 卡车在与甲相遇后，再走 8-5＝3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了 8 个小 时，因此，卡车 3 小时所走的路程与丙 8 小时所走的路程之和就等于甲 5 小时所走的 路程.由此，丙的速度也可求得，应为： （60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）. 解：卡车的速度： （60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时）， 丙车的速度： （60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时）， 答：丙车的速度为每小时 33 千米. 注：在本讲中出现的“米/秒”、“千米/小时”等都是速度单位，如 5 米/秒表示 为每秒钟走 5 米.习题六 1.甲、乙两车分别从相距 240 千米的 A、B 两城同时出发，相向而行，已知甲车到 达 B 城需 4 小时，乙车到达 A 城需 6 小时，问：两车出发后多长时间相遇？ 2.东、西镇相距 45 千米，甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙每小 时多行 1 千米，5 小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？ 3.甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相 遇地点离 A 地 4 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.4.甲、乙二人从相距 100 千米的 A、B 两地出发相向而行，甲先出发 1 小时.他们 二人在乙出后的 4 小时相遇，又已知甲比乙每小时快 2 千米，求甲、乙二人的速度. 5.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 280 米，慢车的车长为 385 米， 坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 11 秒， 那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时 间是多少？ 6.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂 90 千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车， 甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时 40 千米和 50 千米， 到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停 留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？第七讲 几何中的计数问题（一） 几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综 合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良 好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力. 一、数线段 我们把直线上两点间的部分称为线段， 这两个点称为线段的端点.线段是组成三角 形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与 线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的. 例 1 数一数下列图形中各有多少条线段.分析 要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一 定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可 以按照两种顺序或两种规律去数. 第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是 A，即 以 A 为左端点的线段有 AB、AC 两条以 B 为左端点的线段有 BC 一条，所以上图（1）中 共有线段 2＋1＝3 条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以 A 为左端点的线段 有 AB、AC、AD 三条，以 B 为左端点的线段有 BC、BD 两条，以 C 为左端点的线段有 CD 一条.所以上页图（2）中共有线段为 3＋2＋1＝6 条. 第二种： 按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有 n 个 分点， 则这条大线段就被这 n 个分点分成 n＋1 条小线段， 这每条小线段称为基本线段. 如上页图（2）中，线段 AD 上有两个分点 B、C，这时分点 B、C 把 AD 分成 AB、BC、CD 三条基本线段，那么线段 AD 总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有 二条基本线段的是：AC、BD 二条，然后是包含有三条基本线段的是 AD 这样一条.所以线段 AD 上总共有线段 3＋2＋1＝6 条，又如上页图（3）中线段 AE 上有三个分点 B、C、 D，这样分点 B、C、D 把线段 AE 分为 AB、BC、CD、DE 四条基本线段，那么线段 AE 上 总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有 4 条基本线段，其次是包含 有二条基本线段的有 3 条，然后是包含有三条基本线段的有 2 条，最后是包含有 4 条 基本线段的有一条，所以线段 AE 上总共有线段是 4＋3＋2＋1＝10 条. 解：①2＋1＝3（条）. ② 3＋2＋1＝6（条）. ③ 4＋3＋2＋1＝10（条）. 小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序 有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从 1 开始的连续几个自然数的和， 这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加 1 或者是线段所有点数（包括线段 的两个端点）减 1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段 AF 上所有点数（包括两个 端点 A、F）共有 6 个，所以从 1 开始的连续自然数的和中最大的加数是 6―1＝5，或 者线段 AF 上的分点有 4 个（B、C、D、E）.所以从 1 开始的连续自然数的和中最大的 加数是 4＋1＝5.也就是线段 AF 上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是 5.所以 线段 AF 上总共有线段的条数是 5＋4＋3＋2＋1＝15（条）. 二、数角 例 2 数出右图中总共有多少个角.分析 在∠AOB 内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠AOB 被这三条角分线分成 4 个 基本角，那么∠AOB 内总共有多少个角呢？首先有这 4 个基本角，其次是包含有 2 个 基本角组成的角有 3 个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有 3 个基本角组 成的角有 2 个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有 4 个基本角组成的角有 1 个（即 ∠AOB），所以∠AOB 内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个）. 解：4＋3＋2＋1＝10（个）. 小结：数角的方法可以采用例 1 数线段的方法来数，就是角的总数等于从 1 开始 的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加 1，也就是基本 角的个数. 例 3 数一数右图中总共有多少个角？解：因为∠AOB 内角分线 OC1、OC2…OC9 共有 9 条，即 9+1=10 个基本角. 所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）. 三、数三角形 例 4 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析 可以采用类似 例 1 数线段的两种方法来数，如图（2）： 第一种方法：先数以 AB 为一条边的三角形共有： △ABD、△ABE、△ABF、△ABC 四个三角形. 再数以 AD 为一条边的三角形共有： △ADE、△ADF、△ADC 三个三角形. 以 AE 为一条边的三角形共有： △AEF、△AEC 二个三角形. 最后以 AF 为一条边的三角形共有△AFC 一个三角形. 所以三角形的个数总共有 4+3+2+1=10. 第二种方法：先数图中小三角形共有： △ABD、△ADE、△AEF、△AFC 四个三角形. 再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有： △ABE、△ADF、△AEC 三个三角形， 以三个小三角形组合在一起的三角形共有： △ABF、△ADC 二个三角形， 最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC 一个. 所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）. 解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）. 答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是 6 个和 10 个. 小结：计算三角形的总数也等于从 1 开始的几个连续自然数的和，其中最大的加 数就是三角形一边上的分点数加 1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数. 例 5 如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？ 怎么数？这样两个问题.数： 就是要数出图中基本线段 （基本三角形） 的条数， 算： 就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从 1 开始的连续几个自然数的和. ①要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC、上各有 2 个分点，各分成 3 条基本线段，再看 BC、MN、GH 这 3 条线段上各有 3 个分点，各分成 4 条基本线段.所 以图中总共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）. ②要数有多少个三角形，先看在△AGH 中，在 GH 上有 3 个分点，分成基本小三角 形有 4 个.所以在△AGH 中共有三角形 4+3+2+1=10（个）.在△AMN 与△ABC 中，三角形 有同样的个数，所以在△ABC 中三角形个数总共： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个）. 解：①在△ABC 中共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） ②在△ABC 中共有三角形是： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个）. 例 6 如右图中，共有多少个角？分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决. ∠1、∠2、∠3、∠4 我们可视为 4 个基本角，由 2 个基本角组成的有：∠1 与∠2、 ∠2 与∠3、∠3 与∠4、∠4 与∠1，共 4 个角.由 3 个基本角组成的角有：∠1、∠2 与∠3；∠2、∠3 与∠4；∠3、∠4 与∠1；∠4、∠1 与∠2，共 4 个角，由 4 个基本角 组成的角只有一个. 所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）. 解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）. 小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有 n 个基本角，那么它上面角的总 数是 n（n-1）+1.习题七 1.数一数下图中，各有多少条线段？2.数一数下图中各有多少角？3.数一数下图中，各有多少条线段？4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？习题七 1.数一数下图中，各有多少条线段？2.数一数下图中各有多少角？3.数一数下图中，各有多少条线段？4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？习题七 1.数一数下图中，各有多少条线段？2.数一数下图中各有多少角？3.数一数下图中，各有多少条线段？4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？第九讲 图形的剪拼（一） 把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一 种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、 大小以及它们之间的位置关系. 例 1 如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图 形？分析 如果我们不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它的面积，就要求把原来三 个正方形分成四个面积相等的部分.每部分面积应是正方形面积的 图形，于是我们就有了如图（2）的分法.仿照例 1 的分法我们把如右图这样由五个正方形组成的图形，分成四块 正方形，则可把每个正方形分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这 样的小正方形，如右图所示. 例 2 把一个等边三角形分别分成 8 块和 9 块形状、大小都一样的三角形.分析 分成 8 块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到 4 个大小、形 状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形. 分成 9 块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右 图所示的符合条件的图形. 例 3 长方形的长和宽各是 9 厘米和 4 厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并 使它们拼成一个正方形. 分析 已知长方形面积 9×4=36（平方厘米），所以正方形的边长应为 6 厘米，因 此可以把长方形上半部剪下 6 厘米，下半部剪下 3 厘米，分成相等的两块，合起来正 好拼成一个边长为 6 厘米的正方形，如下右图.例 4 把一个正方形分成 8 块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形 和长方形的面积相等. 分析 连接正方形的对角线，把正方形分成了 4 个相等的等腰直角三角形，再连接 各腰中点，又把它们分成 4 个小等腰直角三角形和 4 个等腰梯形.（如下页图（1）所 示） 出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形 和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了（如图（2）、（3）所示）.除这种方法外，还有多种拼接方法.例 5 在下左图中画 5 条线，把小圆圈分开，并使每块大小、形状都相等. 分析 因为图中有 8 个小圆圈，画 5 条线把图形应分成 8 块，根据小圆圈的分布特 点，分法如下图（右）所示.例 6 把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方 形.分析 不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等，甲面 积=10×5=50 平方厘米； 乙面积=10×7-（7-2）×4=70-20=50 平方厘米. 所以甲面积+乙面积=50+50=100 平方厘米，也就是最后拼得正方形的边长为 10 厘 米.甲、 乙两图形各有一边是 10 厘米， 可视为正方形的一条边， 然后把乙剪成三块 （如 下图所示）拼成的正方形，即可.当然，除这种拼凑的方法之外，还有其他多种方法，同学们可自行构思、设计. 例 7 如下左图将其切成 3 块，使之拼成一个正方形.分析 原图形面积是 32，所以拼成正方形的面积也应是 32，即正方形边 长，如下右图所示，切成甲、乙、丙 3 块，甲拼到甲′位置，乙拼到乙′位置，这样 甲′、乙′、丙便构成一个正方形.例 8 如下左图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线 将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两 个并列的正方形.分析 实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的 2 倍，设 所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是 3 和 1 的斜边.它恰是两个对角顶点 的连线.剪拼方法如下图右所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意 的图形. 本题小结：假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的 4 片是 4 个全等 多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直.剪开的这 4 个图形其中一 个绕中心旋转 90°也和另一个重合.由此我们便得到一个示.例 9 把如下图（1）所示的图形切成两块，然后拼成一个正方形. 分析 原图形面积为 16（平方单位），所以拼成的正方形面积也应为 16（平方单 位），边长为 4（长度单位）.切开后，须将右片向左平移 2 个单位，然后再向上平移 1 个单位.（如下图（2）所示）恰拼成一个正方形.例 10 如右图两个正方形的边长分别是 a 和 b（a＞b），将边长为 a 的正方形切成四块大小、形状都相同 的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形. 分析 拼成大正方形的面积应是 a2+a2 设边长 c，则有等式 c2=a2+b2，又因为将边 长为 a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 MN 为 大正方形边长，如下图（1），一定有 MN2=a2+b2，而 MH=a，将 MN 绕中心 O 旋转 90°到 EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块.如下图（2） 及下图（3）.这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为 b 的小正方形.这是因 为：①中心四边形的角即边长为 a 的正方形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为 各边长度相等.因此中心四边形是正方形.＝a-（a-b）＝b. 因此，中间部分是边长为 b 的正方形.习题九 1.如右图，将一个底角为 60°，上底和腰相等的等腰梯形切割成 4 块大小、形状 都相同的图形.2.如右图， 方框外面边长为 5， 里面边长为 3， 把方框锯成 4 块， 拼成一个正方形， 问怎样拼法？3.如右图，分别将两图形，分成 8 个大小、形状相同，面积相等的图形.4.如右图，把它锯成 3 块再拼成一个正方形.5.把一个正方形分成 20 个大小形状完全一样的三角形. 6.长方形长 24 厘米，宽 15 厘米.把它剪成两块，使它们拼成一个长 20 厘米，宽 18 厘米的长方形. 7.将下列各图均切成三块，每三块拼成一个正方形.第十讲 图形的剪拼（二） 类似棋盘图形的剪拼问题更需要我们认真的思考、周密的分析，虽然有的问题难 度较大，但通过我们的探索，还是能寻找到规律性的. 例 1 如右图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同， 并且每一块都含有 A、B、C、D、E 五个字母.分析 图中有相同字母挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开，因此，首先要在 它们之间划出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形， 所以 其中一块绕中心点旋转 180°必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转 180° 就可得到一些新的切分线.这就为我们解决问题提供了线索， 本题的两种解法如下图所 示.例 2 如右图所示.请将这个正方形切成四块，使得它们彼此之间的形状和大小都相同， 而且每块当中都含有 A、B、C、D 四个字母.分析 先将图中两个相同字母挨在一起的之间划出切分线.因为要把正方形切成形 状大小完全相同的四块，其中一块绕中心点旋转 90°、180°、270°之后必定分别和 另外三块重合.那么画出的切分线在绕中心旋转 90°、180°、270°之后得到一些新 的切分线，从而为我们解决问题提供了线索.块里都应包含有四个小正方形.本题解答如右图所示.例 3 如右图所示的正方形是由 36 个小正方格组成的.如图那样放着 4 颗黑子，4 颗白 子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗 白子.试问如何切割？分析 首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转 90°、180°、270° 之后，得一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一 找到了符合要求的其中一块之后，让它绕中心旋转 90°、180°、270°便得到其 他三块，如右图.例 4 如下页图，甲、乙是两个大小一样的正方形.要求把每一个正方形分成四块，两 个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○.分析 一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能 找出其中符合题目要求的一块， 然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转 90°、 180 °、270°就可以得到另外三块.又因为这个正方形面积为 36 平方单位，所以分成的每 一块的面积都是 9 平方单位.即每一块都由 9 个小正方格组成.另外，由于两个正方形 要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑. 解：①将两个正方形重叠在一起，如右图所示，为便于区别，将其中一组的“○” 改写成“×”.按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都 有一个“○”和“×”.②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线. 并将这些截线绕中心点旋转 90°、180°、270°得到另外三段截线.如右图.利用它们 设想出划分线.③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已 分入到某小块中，并作上记号（斜线阴影），然后将它绕中心旋转 180°后得到另一 方格分入到另一小块中，也作上记号（横线阴影），如右图.对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要 有一个“○”和一个“×”.每一块都有 9 个方格组成，不能断开.下图是分解了的分 块过程示意图.④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“×”.那么左下角包含“○” 的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分. 于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分.空白部分是另外两块.右图就是最后分得 的结果.例 5 如右图所示，请将这个正方形分成大小和形状都一样的四块，并且使每一块都有 A、B、C、D 四个字母.分析 这个正方形的面积是 8×8=64（平方单位），切开后每一小块应是 16 平方 单位（即由 16 个小方格组成），由于要求分成的四块形状、大小都相同，必定是由中 心点分开的.而且其中一块若绕中心点旋转 90°、180°、270°后必定和其他三块重 合. 解：①将两个相同字母并列在一起的中间划出切分线，并将它们分别绕中心点旋 转 90°、180°、270°，得到相应的另三段切分线.如下左图所示. ②从最里层开始，沿着画出的切分线作设想分块，注意到题目的要求，找到满足 要求题目的一块，如下右图中阴影部分③将上面的阴影部分绕中心点旋转 180°，可以得到符合条件的另一块，这样两 块空白部分也符合条件，最后划分的结果如右图所示.例 6 如下图长方形的长、宽分别为 120 厘米、90 厘米，正中央开有小长方形孔，长为 80 厘米，宽为 10 厘米，要拼成面积为 100 平方厘米的正方形.问如何切分，能使划分 的块数最少.分析 切分前面积为 12×90-80×10=10000（平方厘米）应与拼成后的正方形面积 相等.拼成后正方形的边长 x=100 厘米.因为：100=120-20=90＋1O.假设上页图切成两 块如下左图，然后将右块向上平移 10 厘米，再向左平移 20 厘米，就拼成了一个正方 形，切分线不可能是直线，一定是折线段.切分后的两块类似阶梯形，然后由两个阶梯 互相啮合，组成一个正方形，如下右图.习题十 1.把右图划分成形状、大小完全相同的 4 块，而且每块中有一个字母.2.将下图中的各图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个小圆圈 “○”.3.将右图分成 4 块，使它们的形状、大小都相同并且每块内都有一个小圆圈“○”4.如下图有两个正方形，请把每一个正方形分成两块，两个正方形共四块，使这 四块的形状、大小都相同，并且每一块中都有 A、B、C、D 四个字母.第十一讲格点与面积 请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方 格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个 顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如 A 点）像图（a） 这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每 个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两 条平行线的距离都是相等的（通常规定是 1 个单位），在这样的方格纸上，横、纵两 组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图 （b）这样的多边形虽然除 A 点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多 边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密 切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上 的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数 目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共 同探索这个规律. 例 1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出 相应的有关数据就行了. 解：第（1）图是正方形，边长是 4，所以面积是 4×4=16（面积单位）. 第（2）图是矩形，长是 5，宽是 3，所以面积是 5×3=15（面积单位）. 第（3）图是三角形，底是 5，高是 4，所以面积是 5×4÷2=10（面积单位）. 第（4）图是平行四边形，底是 5，高是 3，所以面积是 5×3=15（面积单位）. 第（5）图是直角梯形，上底是 3，下底是 5，高是 3，所以面积是（3+5）×3÷ 2=12（面积单位）. 第（6）图是梯形，上底是 3，下底是 6，高是 4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18 （面积单位）. 例 2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积. 分析 这是个三角形， 虽然有三角形面积公式可用， 但判断它的底和高却十分困难， 只能另想别的办法：这个三角形是处在长是 6、宽是 4 的矩形内，除此之外还有其他 三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减 去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是 6×4=24. 直角三角形Ｉ的面积是： 6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4， 直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4. 所求三角形的面积是： 24-（6＋4＋4）=10（面积单位）. 例 3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析 这是个不规则的多边形，可以仿照例 2 的方法，用矩形面积减去四个直角三 角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要 所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法 1：矩形面积是 4×3=12. 直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1. 直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5. 直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1. 直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2. 所以，所求四边形的面积是 12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）. 解法 2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形 和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1； 1×1÷2=0.5；2×1=2. 所以整个四边形的面积是： 1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）. 从解法 2 可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是： 切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出. 为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例 4.例 4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）. 图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）. 图（B）面积为： 3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图 A 与图 B 面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特 点：一是图 A 与图 B 周界上的格点数相等，都是 8 个.二是它们所包含在图形内的格点 数也相等，都是 5 个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数 相同.图形内所包含的格点数也相同， 就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我 们做进一步的探索. 例 5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内 包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除 以 2 减 1 再加上图形内包含的格点数.如果用 S 表示面积，用 N 表示图形内的格点数， 用 L 表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积 S 的差永远恰好是 1. 例 6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式： S=N+L/2-1 这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一 半减 1. 上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为 数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了. 例 7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数 N=21. 图形周界上的格点数 L=9. 图形面积 S=N+L/2-1=21+4.5-1 =24.5（面积单位）. 以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由 两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们 进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题. 所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都 是等边三角形.规定它的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边 形. 例 8 如下页图（a），有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形 都是等边三角形.计算三角.形 ABC 的面积.解法 1：如图（b）所示，在△ABC 内连接相邻的三个点成△DEF，再连接 DC、EA、 FB 后是△ABC 可看成是由△DEF 分别延长 FD、DE、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，不 难得到 S△ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以 S△=1+2+3+4=10（面积单位）. 解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC 的面积为 10.解法 3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形 ARBE 中有 6 个小正三角 形，而△ABE 的面积是平行四边形 ARBE 面积的一半，即 S△ABE=3，平行四边形 ADCH 中有 4 个小正三角形，而△ADC 的面积是平行四边形 ADCH 面积的一半，即 S△ADC=2. 平行四边形 FBGC 中有 8 个小正三角形，而△FBC 的面积是平行四边形 FBGC 的一半， 即： S△FBC=4. 所以三角形 ABC 的面积是 1+2+3+4=10（面积单位）. 关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示 图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多 边形面积等于图形内部所包含格点数的 2 倍与周界上格点数的和减去 2.例如例 8 中， N=4，L=4；所以 S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）. 例 9 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形，计算△ABC 的面积.解：因为 N=5；L=3： 所以 S=2×N+L-2 =2×5+3-2 =11（面积单位）. 例 10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的正三角形，计算四 边形 ABCD 的面积.解：因为 N=9；L=4； 所以 S=2×N+L-2 =2×9+4-2 =20（面积单位）.习题十一 1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三 角形）.第十二讲 数阵图 把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一 种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封 闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明. 例 1 将 1～8 这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数 之和都等于 14，且数字 1 出现在四边形的一个顶点上.应如何填？分析 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如上图（2）. 由条件得出以下四个算式： a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2）e+f+g=14 （3） a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得： a+b+c+e+f+g=28， （a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28， d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8， 由（2）+（4），同样可得 b+f=8， 又 1，2，3，4，5，6，7，8 中有 1+7=2+6=3+5=8. 又 1 要出现在顶点上，d+h 与 b+f 只能有 2+6 和 3+5 两种填法. 又由对称性，不妨设 b=2，f=6，d=3，h=5. a，c，e，g 可取到 1，4，7，8 若 a=1，则 c=14-（1+2）=11，不在 1，4，7，8 中，不行. 若 c=1，则 a=14-（1+2）=11，不行. 若 e=1，则 c=14-（1+3）=10，不行. 若 g=1，则 a=8，c=4，e=7. 解：例 1 为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的 数为封闭型数阵的解题突破口. 例 2 请你把 1～7 这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个 数的和都相等.应怎样填？分析 为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）. 设 a+b+e=a+c+f=a+d+g=k， 则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+g=3k 2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k 2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k 2a+28=3k a 为 1、4 或 7. 若 a=1， k=10， 则 直线上另外两个数的和为 9.在 2、 4、 6、 中， 3、 5、 7 2+7=3+6=4+5=9， 因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5. 若 a=4， k=12， 则 直线上另外两个数的和为 8.在 1、 3、 6、 中， 2、 5、 7 1+7=2+6=3+5=8， 因此得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5. 若 a=7， k=14， 则 直线上另外两个数的和为 7.在 1、 3、 5、 中， 2、 4、 6 1+6=2+5=3+4=7， 因此得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4. 解：共得到三个解：如下图.例 2 为辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数 a 和每条直线上几 个圆圈内数的和 k. 例 3 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的 和都等于大圆圈上三个数的和.分析 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）. 则有 a+4+9=a+b+c（1） b+8+9=a+b+c（2） c+17+9=a+b+c（3） （1）+（2）+（3） （a+b+c）+56=3（a+b+c） a+b+c=28 则 a=28-（4+9）=15b=28-（8+9）=11 c=28-（17+9）=2 解：见图.例 4 请你将数字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆 圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？ 分析 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示. 设 A+B+C=A+F+G=A+D+E =B+D+F =C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F） +（C+E+G）=5k， 3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k， 2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k， 2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k， 56+A=5k. 因为 56+A 为 5 的倍数，得 A=4，进而推出 k=12. 因为在 1、2、3、5、6、7 中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设 B=1，F=5，D=6，则 C=12（4+1）=7， G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2. 解：得到一个基本解为：（见图）例 5 将 1～16 分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方 形的四个数之和都为 34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.分析 为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示. 9+15+a+c=34，5+10+e+g=34， 7+14+b+d=34，11+8+f+h=34， c+d+e+f=34， 化简得：a+c=10 4+6=10. e+g=19 3+16=19，6+13=19 b+d=13 1+12=13， f+h=15 2+13=15，3+12=15. a，b，c，d，e，f，g，h 应分别从 1，2，3，4，6，12，13，16 中选取.因为 a+c=10， 所以只能选 a+c=4+6； b+d=13，只能选 b+d=13；e+g=19，只能选 e+g=3+16；f+h=15， 只能选 f+h=2+13 若 d=1，c=4，则 e+f=34-1-4=29，有 e=16，f=13. 若 d=1，c=6，则 e+f=34-1-6=27，那么 e、f 无值可取，使其和为 27. 若 d=12，c=4，则 e+f=34-12-4=18，有 e=16，f=2. 若 d=12，c=6，则 e+f=34-12-6=16，有 e=3，f=13. 解：共有三个解（见图）.习题十二 1.如果把例 1 的条件改为“使四边形每条边上的三个数之和都等于 12”，其他条 件不变，又应如何填？ 2.请在下图（1）中圆圈内填入 1～9 这九个数，其中 6，8 已填好，要求 A、B、C、 D 四个小三角形边上各数字之和全都相等.3.将 1～10 这十个数填入如上图（2）的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都 等于 23，应怎样填？ 4.右图是一部古怪的电话，中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形和四个 正方形.若想打电话， 必须首先将 1～12 这十二个数填入其中， 使四个椭圆、 四个圆形、 四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为 26，假如你要打电话，那么你将怎样填 数？5.请在下图的空格内填入 1～46 这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之和都 等于 93.应怎样填？6.把 1～8 这八个数字分别填入下图（1）中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线 上四个数之和都相等，给出一种具体的填法. 7.下图（2）中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的数，使 交点上的数恰好等于四周四个方格内的数的和.应怎样填？第十三讲 填横式（一） 整数可以分为奇数和偶数两类.我们把 1，3，5，7，9 和个位数字是 1，3，5，7， 9 的数叫奇数.把 0，2，4，6，8 和个位数是 0，2，4，6，8 的数叫偶数. ①整数的加法有以下性质： 奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数. ②整数的减法有以下性质： 奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数； 偶数-奇数=奇数； 偶数-偶数=偶数. ③整数的乘法有以下性质： 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数； 偶数×偶数=偶数. ④奇数≠偶数. 利用上面的性质往往可以巧妙地解出一些数字问题，请看下面的例题. 例 1 把 1～8 这八个数字写成两个四位数字，使它们的差等于 1111.即：分析 注意到两个四位数字的差是 1111，也就是要求被减数上的每一位数，都要 比减数上相对应的位上的数大 1.而所给的八个数字最小的是 1，是奇数，所以被减数 各位上的数字都应是偶数，而减数的每一位，都是比被减数上相对应的位上的数小 1 的奇数.这样就可以得到答案. 解：本题的答案不惟一，下面是其中的三个.补充说明：这道题的答案共有 24 个.同学们可以试着写出其他的解. 例 2 将 1～9 这九个数字分别填入下面算式的九个□中，使每个算式都成立.分析 ①审题.在题目的三个算式中，乘法运算要求比较高，它要求在从 1～9 这 九个数字中选出两个，使它们的积是一位数，且三个数字不能重复. ②选择解题的突破口.由①的分析可知，填出第三个乘法算式是解题的关键.③确定各空格中的数字.由前面的分析，满足乘法算式的只有 2×3＝6 和 2