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关于解微分方程ln的绝对值加还是不加的问题
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在发个询问一些微分方程ln的绝对值问题。。第五版答案书解题过程都不带绝对值，第六版的带绝对值然后结果在去掉，。。。我的理解是 两边积分时如果等号两边都带绝对值结果就可以去掉，只有一端带的话就要保留 例如
& &&&∫1/ydy= ∫1/xdx
& && &ln|y|=ln|x|+lnC
& && & | y|=|cx|
& && & y=cx
& &&&∫1/ydy= ∫xdx
& &&&ln|y|=0.5x^2+c
第二个问题在求特解的时候虽然通解是带绝对值的但是给出的初值是大于零的 所以特解可以去掉绝对值，应该是因为特解不用包括所有的解的缘故吧
第三个问题用公式法求一阶非齐次线性方程 e^ -∫p(x)dx&&例如p（x）=1/x积分后就没有带绝对值的，这是为什么呢
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我个人觉得求解微分方程时，应当要加上，这样更加规范，保证了绝对值里面可正可负。
不然开始时不加绝对值，到后来去ln时，解里面虽然补上了负的情况，但是给人不够严谨的感觉。
∫1/ydy= ∫xdx
& &&&ln|y|=0.5x^2+c
你这边还可以继续下去，得到 |y|=e^(0.5x^2+c) =e^c*e^(0.5x^2)，最终y=C1 e^(0.5x^2)，这里C为任意常数，可正可负。
求一阶非齐次线性方程时，公式法中e^ -∫p(x)dx只是为了凑微分，所以可以不考虑绝对值，只要能凑成微分就可以了。
y'+p(x)y=q(x)
[e^ (-∫p(x)dx) *y]' =e^ (-∫p(x)dx) *q(x)
这里不必考虑绝对值，只要上式能成立就行。
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xjtulx 发表于
我个人觉得求解微分方程时，应当要加上，这样更加规范，保证了绝对值里面可正可负。
不然开始时不加绝对值 ...
嗯 那个e^的其实就是积分因子，，刚看看明白了 嗯 感觉你好厉害，是13年考研么 还是考过了
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陈文灯说微分方程求1/x的积分不加绝对值，在不定积分中的计算要加，因为在微分方程中有一个常数C可以影响到lnx里的x的符号。
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RE: 关于解微分方程ln的绝对值加还是不加的问题
xjtulx 发表于
我个人觉得求解微分方程时，应当要加上，这样更加规范，保证了绝对值里面可正可负。
不然开始时不加绝对值 ...
因为C1=e^c&0,所以C1只能为正数
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加上，有的时候不影响，但是有的时候后面的计算就会出现错误！
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这困惑了我。
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并不是所有的结果都能去掉绝对值，比如同济6版上册P323第1题第6小题。
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不定积分和不含初试条件的微分方程不用加。& &定积分和含有初始条件的微分方程一定要加上。&&就这么简单
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Powered by Discuz!彭实戈(1947-)：倒向随机微分方程
彭实戈(1947-)：倒向随机微分方程
近日，中科院院士、山东大学数学学院彭实戈教授受国际数学家大会组委会主席M.S.Raghunathan教授的正式邀请，将出席2010年在印度召开的第26届国际数学家大会并作一小时报告。在该大会的历史上，彭实戈院士是第一位被邀请作一小时报告的中国大陆数学家。
彭实戈院士在随机最优控制系统的最大值原理、倒向随机微分方程理论和非线性数学期望理论的研究方面取得了国际领先水平的研究成果，产生了重要影响。彭实戈院士和Pardoux合作于1990年发表的文章被认为是倒向随机微分方程理论的奠基性工作。他创建了非线性Feynman-Kac公式，证明了一大类二阶非线性偏微分方程的解可以通过倒向随机微分方程的解来表示。获得了最优控制的一般随机最大值原理，被认为是该领域“最近二十年来两个主要进展”之一，被称为“彭最大值原理（Peng’s
principle）”。彭实戈院士建立了非线性数学期望——g-期望理论并获得与经典著名结果相应的g－上鞅分解定理和概率模型具有不确定性情况下的新的大数定律和中心极限定理。创立了非线性期望下的G-正态分布和G-布朗运动的理论基础，并将上述成果应用于研究动态金融产品定价和风险度量。以彭实戈院士为第一负责人的国家自然科学基金委“九五”重大项目《金融数学、金融工程和金融管理》有力地推动了“金融数学”这门新兴学科在中国的发展。彭实戈院士现为国家973计划“金融风险控制中的定量分析与计算”重大项目首席科学家。
国际数学家大会由国际数学联盟主办，简称ICM，是全球数学界最高水平的学术会议，素有国际数学“奥运会”之称。首次会议于1897年在瑞士苏黎世召开，已有100多年的历史，一般4年一次。第24届国际数学家大会（2002年）第一次在我国北京举行。大会每次都邀请一批杰出数学家在大会上作一小时的学术报告和学科组的分组会上作45分钟学术报告。
决定论曾长期在科学界占统治地位，相应的数学体系始于牛顿—莱布尼茨的微积分和微分方程理论。但人们逐渐认识到，世界本质上是随机的，处处充满着不确定性。
日本数学家伊藤清（Ito）在1942年开创的随机微积分和随机微分方程理论是对随机现象进行定量分析和研究的最重要的数学工具。这个理论被誉为“随机王国中的牛顿定律”。
但是与牛顿—莱布尼茨的微分方程相比，Ito型随机微分方程理论有一个重要缺憾：它本质上是正向的——只能根据现在的数据计算将来的可能状态；不能根据将来的可能状态倒向现在。
然而，倒向的随机问题在现实，尤其是金融市场中被大量涉及。
为弥补这一缺憾，全世界的数学家进行了大量的工作。数理金融学家们曾用了70多年的时间来解决期权定价这样一个倒向的随机问题，其中一例就是著名的Black-Scholes公式。虽然当时并不知道，但Black、Scholes和Merton于1973年获得的期权价格方程其实就是一个特殊的线性倒向随机微分方程，它的解即Black-Scholes公式。Scholes和Merton因此获得了1997年诺贝尔经济学奖，而Black不幸在获奖前便去世了。
6月26日，金融统计学家彭实戈院士在中科院第十四次院士大会学术年会上作了题为《倒向随机微分方程、非线性数学期望和G-布朗运动》的报告，介绍了倒向的、非线性的随机计算方法，利用这些方法，人们可以作出更稳健的金融决策。
20世纪90年代初，受随机最优控制理论中对偶过程的启发，彭实戈和法国同事建立起了倒向随机微分方程理论。
“理论建立之初，我本人也像大多数第一次见到这个方程的人一样，对这种与扩散时间指向相反的方程的解感到大惑不解。但这更激起了我对这种奇特现象的好奇心。”彭实戈说，虽然Black-Scholes-Merton的期权价格方程实际上是一个特殊的线性倒向随机微分方程，但在更一般的假设下，期权价格则需要用非线性的倒向随机微分方程来描述。
基于对量子力学中Feynman路径理论的研究，数学家Kac在1951年获得了概率论与线性二阶偏微分方程关系的著名的Feynman-Kac公式，它成为现代概率论一个重要的基础性成果。
“但是一个非常基础但是长期以来进展甚小的数学问题是：Feynman-Kac
公式能不能推广到非线性？”彭实戈问道。他曾长期思索这个问题，结果，他和同事通过倒向随机微分方程出人意料地发现和证明了：一大类二阶非线性偏微分方程的解可以通过倒向随机微分方程的解来表示，而其线性情况就是Feynman-Kac公式。
很多文章都称这个结果为“非线性Feynman-Kac公式”。“而这个结果的更深层的含义则是：一个倒向随机微分方程实际上可以视为一种路径依赖的偏微分方程，由于在现代金融市场中有各类形形色色的路径依赖的期权，相应的期权定价问题所对应的倒向随机微分方程就是这类路径依赖的偏微分方程。”彭实戈解释道。
数学大师柯尔莫哥洛夫1933年建立的现代概率论已被广泛应用到不同领域，这个理论的本质是：数学期望是线性的。为了克服线性期望在解释经济现象时的不足，曾有许多数学家与经济学家致力于研究非线性数学期望。
彭实戈等人1997年引入了g-期望以及条件g-期望的概念，从而建立了动态非线性数学期望理论基础。“这是据我们所知的第一个动态非线性数学期望。”彭实戈表示，进一步的，他还引进了g-鞅等重要概念并用独创的方法获得了g-上鞅分解定理，将作为现代随机分析的基石的Doob-Meyer分解定理推广到了非线性。
2002年，基于该定理，他又证明了一个非常有趣的结果：一个动态相容的非线性数学期望，只要满足一定的光滑条件，就一定是g-期望。这表明g-期望是一个基础性的重要概念。最近国外学者发现，g-期望是计算“风险测度”和进行非线性统计分析的一个重要工具。这些研究结果都对建立非线性概率理论奠定了基础。
事实上，即使对于金融资产的波动率的动态不确定性这种金融市场中天天都会遇到的现象，其动态风险度量度也无法在柯尔莫哥洛夫意义下的经典概率空间中定义，这促使彭实戈在一种全新的次线性期望空间中引入一个标准的随机过程：G-布朗运动——一种新的布朗运动。而一个具有波动率不确定性的金融资产实际上就是一个G-几何布朗运动。他和同事从此出发系统地建立起了相应的随机分析和随机计算理论，这也是现代动态金融风险度量理论的基础工具。
一、倒向随机微分方程
已经成为经典理论的正向随机微分方程描述一个受到随机干扰的客观对象在已知初始条件的情况下的运动规律，当前时刻作为初始条件的数据是确定的，而所获得的解是随机状态。最近十年里，人们对倒向随机微分方程产生了很大兴趣，其求解的时间顺序正好相反：它研究为达到将来的预定目标，如何确定当前的状态和策略。作为终端定解条件的目标（以及环境）是随机的，而所得的当前时刻的解则是确定的。由于随机干扰环境下时间的不可逆性，则两类方程的数学结构和研究方法都有本质的不同。
美国金融数学的学术带头人、哥伦比亚大学教授Karatzas最近在研究倒向随机微分
方程的专门文章中说："倒向随机微分方程的概念是由 Pardoux 和彭引入的"。类似的说法出现在很多文章里，而实际上早在1973年
J. M. Bismut
（法国著名数学家、法国科学院院士）引入的随机共轭方程就是一个线性的倒向随机微分方程，并且给出了它的显式解。彭实戈1990年与Pardoux合作发表了题为《具有适应解的倒向随机微分方程》的文章。提出了倒向随机微分方程的一般形式，并且证明了作为其理论基础的解的存在唯一性定理。这篇文章后来引起了一系列重要反响，被称为是倒向随机微分方程的
"Founder Paper"。现在倒向随机微分方程在随机分析、金融数学等领域已经产生了广泛的影响，而BSDE（即倒向随机微分方程
Backward Stochastic Differential
Equation）已经成为该领域所熟悉的专用缩略语。倒向随机微分方程理论已经在国际上产生了重要的影响，许多国家的金融数学、随机分析、随机控制等领域的学术带头人，如法国的El
Karoui、美国的
Karatzas、Protter等都发表了专门文章进行研究，推动了倒向随机微分方程的理论研究与应用。1996年6月在法国的勒芒举行了有法国、中国、美国、德国、意大利、西班牙等国家一些著名学者参加的"倒向随机微分程"学术研讨会。著名的巴黎第六大学概率论实验室在学年举行了（每周一次的）"倒向随机微分方程专题讨论班，邀请了许多专家作综述报告，并整理出版了（由El
教授等主编的）《倒向随机微分方程》一书（Pitman数学丛书）。此书的序言一开始就写道："自从Pardoux和彭于1990年发表了关
于一般存在唯一性结果的Founder
Paper以来，倒向随机微分方程已经成为一个有趣的、活跃的和正在扩大的领域。当我们写这个序言的时候，论述这个问题的文章还在增加"倒向随机微分方程理论产生重要的影响，除了由于"它被证实在处理状态受限的问题上是有力的和优雅的工具"以外，还因为它与现代经济金融中的一些核心问题有重要的联系。非常巧合，两年以后（即1992年）著名经济学家Duffie（斯坦福大学）和Epstein(多伦多大学）引入了随机微分效用方程的概念在经济学界产生了很大的影响，他们的文章指出"Pardoux和彭(1990)最近独立地给出了一个比命题A1更一般的结果"。Karatzas
教授在文章中论及由Pardoux和彭"引入倒向随机微分方程"的同时也指出："作为某种倒向随机微分方程的解，Duffie和Epstein（1992）在经济模型中引入了随机微分效用。"
未定权益套期定价理论是现代金融理论的核心。它的一个典型情况就是著名的"Black &
Scholes公式"。它被认为是金融经济学的一次革命。而正如法国金融数学的学术带头人El
Karoui教授在文章指出："过去五年以来，人们怀着巨大的兴趣看待倒向随机微分方程理论，这是由于它与非线性偏微分方程的联系，以及更一般地，与非线性半群、随机控制问题的联系。与此同时，在金融数学中，未定权益的套期和定价理论被典型地表示为线性倒向随机微分方程"。
二、非线性Feynman-Kac公式
Feynman是国际著名的物理学家，他的Feynman路径积分理论是对量子力学理论的一个重大贡献。以他和著名数学家Kac命名的Feynman-Kac公式是四十年代末获得的，背景就是线性抛物型和椭圆型偏微分方程的解都可以通过倒向随机微分方程的解来给出其概率表示，它的特殊情况就是Feynman-Kac公式。这个结果受到了很大的重视，被称为"推广的Feynman-Kac公式"。事实上，"人们怀着巨大的兴趣看待倒向随机微分方程理论"也是由于发现了"它与非线性偏微分方程的联系"。法国偏微分方程专家Barles教授以《SDE,BSDE
PDE》（《随机微分方程，倒向随机微分方程和偏微分方程》）为题发表文章专门论述了这个问题。著名随机微分几何专家Elworthy综述文章《随机微分几何》的第一节的题目就是"调和映照、倒向随机微分方程和非线性热方程"，详细介绍了著名的Elles-Sampson方法与彭的及Pardoux和彭的及Pardoux和彭的倒向方程的关系。美国的Darling教授也以《用倒向随机微分方程构造G-鞅》为题发表文章讨论这个问题。我国的青年数学家雍炯敏、马进和Protter（美国著名随机分析专家）也通过这个关系获得了正倒向随机微分方程的解的存在唯一性的重要结果。如前面公开发表的评价所指出，这个发现实际上还建立了"倒向随机微分方程与非线性半群和随机控制问题"的内在联系。彭的合作者Pardoux教授在1994年苏黎士世界数学家大会上以《倒向随机微分方程及应用》为题作了45分钟的大会报告，专门介绍"由彭和作者以及由Duffie和Epstein分别独立引进的"倒向随机微分方程理论。Pardoux在一次介绍倒向随机微分方程的大会报告（已经发表）中"特别感谢彭实戈，他在随机分析的这一新篇章的发现中作出了实质性的贡献"。彭于1992年通过法国"领导研究资格"（国家博士）答辩时，由著名数学家、概率论和控制论专家组成的评审委员会的评审报告高度评价彭的工作，指出彭是倒向随机微分方程领域的"开创者"。彭的合作者Pardoux教授在对答辩委员会的报告里特别谈到了倒向随机微分方程和非线性Feynman-Kac公式的发现经过。"1989年我应他（即彭）的邀请访问中国，我们按他的思想一起搞出了一类新型的倒向随机微分方程。当时我还以为这不过是一个新鲜想法，而彭则接着就有了一个完全创新的思想：运用倒向随机微分方程来推广Feynman-Kac公式使之适用于非线性偏微分方程组。"
三、一般最大值原理
50年代后期获得的、以苏联著名数学家庞特里雅金命名的最优控制的最大值原理是现代控制理论的三个里程碑之一。从70年代开始Kushner、Bismut、Bensoussan等著名专家致力于获得随机控制系统的最大值原理，取得了非常重要的成果。但是对于一般随机控制系统（即漂移和扩散都含控制项的系统）却始终没有获得庞特里雅金形式的最大值原理，成了这个领域长期未决的重要难题。彭1990年在SIAM
Control杂志发表了《最优控制问题的一般随机最大值原理》。终于圆满地解决了这个难题。综述文章《无限维最优控制理论》对该文的评价是："彭实戈针对这一困难引进了一阶变分方程和二阶变分方程，借助于摄动方法和共轭系统的引入，证明了一般的随机最大值原理，解决了人们长期期望解决的问题"。随机控制系统的最大值原理的综述文章则用了将近一半的篇幅介绍了"Peng's
Principle"。
彭实戈教授在领导和推动我国的金融数学这个新兴的交叉学科的发展中起了学术带头人的作用。他是国家自然科学基金"九五"重大项目《金融数学、金融工程、金融管理》的第一负责人。在国家自然科学基金委的支持下，为加强我国自然科学和经济金融学的有机结合，自然科学更好地为发展国民经济服务作出了重要的贡献。
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